材料力學彎曲位移

1、 搖臂鉆床的搖臂或車床的主軸變形過大，就會影響零件的搖臂鉆床的搖臂或車床的主軸變形過大，就會影響零件的 加工精度，甚至會出現(xiàn)廢品。加工精度，甚至會出現(xiàn)廢品。 工程中的彎曲變形問題工程中的彎曲變形問題 橋式起重機的橫梁變形過大橋式起重機的橫梁變形過大, ,則會使小車行走困難，則會使小車行走困難， 出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象。出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象。 因此在工程中，常常要對梁的變形加以控制因此在工程中，常常要對梁的變形加以控制 但在另外一些情況下，有時卻要求構(gòu)件具有較大但在另外一些情況下，有時卻要求構(gòu)件具有較大 的彈性變形，以滿足特定的工作需要。的彈性變形，以滿足特定的工作需要。 例如，車輛上的板彈簧，要求有足夠大的變形

2、，以緩解例如，車輛上的板彈簧，要求有足夠大的變形，以緩解 車輛受到的沖擊和振動作用。車輛受到的沖擊和振動作用。 P 2 P 2 P 計算變形與位移的目的：計算變形與位移的目的：剛度校核、滿足工程要求、解超靜定梁。剛度校核、滿足工程要求、解超靜定梁。 撓曲線撓曲線 撓曲線撓曲線 1.梁的梁的撓曲線撓曲線：梁軸線變形后所形成的光滑連續(xù)的曲線梁軸線變形后所形成的光滑連續(xù)的曲線。 6.1 6.1 梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程 積分法求梁的位移積分法求梁的位移 B A B1 F x q q q q w y x 2.梁位移的度量：梁位移的度量： 撓度撓度：梁橫截面形心的豎向位移：梁橫截面形

3、心的豎向位移w，向上的撓度為正，向上的撓度為正 轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角：梁橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動的角度：梁橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動的角度q q，逆時針轉(zhuǎn)動為正，逆時針轉(zhuǎn)動為正 撓曲線方程撓曲線方程：撓度作為軸線坐標的函數(shù)：撓度作為軸線坐標的函數(shù) w=f(x) 轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程(小變形下小變形下)：轉(zhuǎn)角與撓度的關(guān)系：轉(zhuǎn)角與撓度的關(guān)系 )( d d tanxf x w qq 圖中圖中q q與與w的正負？的正負？ 一、梁的撓曲線一、梁的撓曲線 3 3、約束對位移的影響、約束對位移的影響 沒有約束無法確定位移沒有約束無法確定位移 連續(xù)光滑曲線，鉸支座對位移連續(xù)光滑曲線，鉸支座對位移 的限制的限制0 AB yy 連續(xù)光滑曲線，

4、固定端對位移連續(xù)光滑曲線，固定端對位移 的限制的限制 0,0 BB yq P C 光滑連續(xù)條件：光滑連續(xù)條件： cc qq cc yy 二、撓曲線近似微分方程二、撓曲線近似微分方程 EI xM x )( )( 1 1.力學關(guān)系力學關(guān)系： 2.幾何關(guān)系幾何關(guān)系： 23 2 1 )( 1 w w x 3.撓曲線近似微分方程撓曲線近似微分方程： EI xM w )( y x M M 00 wM， 00 wM， y x M M w 略去高階微分 )(xMwEI 三、積分法求梁的撓曲線三、積分法求梁的撓曲線 轉(zhuǎn)角方程； 積分一次 qEICdxxMEIw 1 )( 2.支承條件與連續(xù)條件支承條件與連續(xù)條件

5、: )(xMwEI 1. 式中式中C1、C2為積分常數(shù)，由梁邊界、連續(xù)條件確定。為積分常數(shù)，由梁邊界、連續(xù)條件確定。 1) 支承條件：支承條件： 2) 連續(xù)條件：連續(xù)條件：撓曲線是光滑連續(xù)唯一的撓曲線是光滑連續(xù)唯一的 CxCxCxCx ww|qq， y 0w y 0w y 0; 0ww l l y lw F AB C 撓曲線方程。 再積分一次 21 )(CxCdxdxxMEIw q qmax fmax 21 32 1 2 62 2 )()( CxC FxFLx EIw C Fx FlxEIw xlFxMEIw 次：列撓曲線方程并積分兩 00| 00| 20 10 Cw Cw x x ，得： ；

6、，得： 數(shù)：由邊界條件決定積分常 )3( 6 )2( 2 2 xl EI Fx wxl EI Fx wq 為：轉(zhuǎn)角和撓曲線方程分別 EI FL wf EI FL B B 3 2 3 max 2 max qq 解：建立坐標系如圖解：建立坐標系如圖 x處彎矩方程為：處彎矩方程為： 例例1 圖示圖示B端作用集中力端作用集中力P的懸臂梁，求其撓曲線方程。的懸臂梁，求其撓曲線方程。 y x F B A l x )()(xlFxM 例例2 求圖示梁受集中力求圖示梁受集中力F作用時的撓曲線方程。作用時的撓曲線方程。 F a b C l A B x FA FB 解：解： 1、求支反力、求支反力 l Fa F

7、l Fb F BA ； x l Fb EIw 1 2 2 C l Fbx EIw )0(axAC段)(lxaCB段 x l Fb axFEIw)( 2 2 2 2 )( 2 C l Fbx ax F EIw 11 3 6 DxC l Fbx EIw 22 3 3 6 )( 6 DxC l Fbx ax F EIw )( 6 0; 000 ; 22 2121 2121 bl l Fb CCwlxDDwx DDwwCCwwax ，得處，得處， ，則，則時， )3( 6 222 xbl EIl Fb w )( 3 1 )( 2 2222 blxax b l EIl F w )( 6 222 xbl

8、EIl Fbx w)()( 6 2233 xblxax b l EIl F w )0(axAC段 )(lxaCB段 在材料服從胡克定律、且變形很小的前在材料服從胡克定律、且變形很小的前 提下提下,載荷與它所引起的變形成線性關(guān)系。載荷與它所引起的變形成線性關(guān)系。 當梁上同時作用幾個載荷時，各個載荷當梁上同時作用幾個載荷時，各個載荷 所引起的變形是各自獨立的，互不影響。所引起的變形是各自獨立的，互不影響。 若計算幾個載荷共同作用下在某截面上引若計算幾個載荷共同作用下在某截面上引 起的變形，則可分別計算各個載荷單獨作起的變形，則可分別計算各個載荷單獨作 用下的變形，然后疊加。用下的變形，然后疊加。

9、6.2 6.2 疊加法求梁的位移疊加法求梁的位移 例：例：用疊加法求用疊加法求 CAB fqq、 C w 解：解： C f 5 384 4 ql EI Pl EI 3 48 ml EI 2 16 q A ql EI 3 24 Pl EI 2 16 ml EI3 q B ql EI 3 24 Pl EI 2 16 將梁上的各載荷分別引起的位移疊加將梁上的各載荷分別引起的位移疊加 （ ） （ ） （ ） EI ml 6 C w 幾個荷載共同作用下梁任意橫截面上的位移，等幾個荷載共同作用下梁任意橫截面上的位移，等 于每個荷載單獨作用時該截面的位移的疊加。于每個荷載單獨作用時該截面的位移的疊加。 逐段

10、剛化法：逐段剛化法： 變形后：變形后：AB AB BC BC 變形后變形后ABAB部部 分為曲線，分為曲線， 但但BCBC部分仍部分仍 為直線。為直線。 C點的位移為：點的位移為：w wc c 2 L w www BB cBc q 例：例：求外伸梁求外伸梁C C點的位移。點的位移。 L a C A B P 解：解： 將梁各部分分別將梁各部分分別 引起的位移疊加引起的位移疊加 A B C P 剛化 EI= P C wC1 1、BC部分引起的位移部分引起的位移wc1、 、c1 c1 3 1 3 c pa w EI EI pa c 2 2 1 q 2、AB部分引起的位移部分引起的位移wC2、 、 C

11、2 C A B P 剛化 EI= wC2 B2 P Pa B2 2 3 B PaL EI q La EI Pa www CCC 3 2 21 )23( 6 21 La EI pa CCC qqq a EI PaL af Bc 3 22 q 2C w a EI PaL 3 例例 如圖所示懸臂梁，其抗彎剛度如圖所示懸臂梁，其抗彎剛度EIEI為常數(shù)，求為常數(shù)，求B點轉(zhuǎn)角點轉(zhuǎn)角 和撓度。和撓度。 F B A 2/ l2/ l q C wBq wCq q qBF wBP F B A B A q C 1.在在F作用下：作用下： EI Fl w EI Fl BFBF 3 , 2 32 q查表： 2.在在q作

12、用下：作用下： EI ql EI lq w EI ql EI lq Cq Cq 1288 )2/( 486 )2/( 44 33 q查表： EI qll ww EI ql CqCqBq CqBq 384 7 2 48 4 3 q qq BqBFB BqBFB www qqq 3.在在F和和q共同作用下：共同作用下： 例例; ;試用疊加法求圖試用疊加法求圖(a)(a)所示梁跨中截面所示梁跨中截面(B(B截面截面) )的撓度。的撓度。 解解:表中沒有要求的撓度公式，但仍可利用表中的有關(guān)公式。表中沒有要求的撓度公式，但仍可利用表中的有關(guān)公式。 比較圖比較圖(a),(b),(c)三者跨中的撓度值。顯然

13、，圖三者跨中的撓度值。顯然，圖(a)和圖和圖(b)跨中的撓度值跨中的撓度值 相等，而圖相等，而圖(a)和圖和圖(b)兩種情況相疊加就是圖兩種情況相疊加就是圖(c)之情況，因而有之情況，因而有 由圖(c)查得wB，為 所以圖(a)所示梁跨中撓度值為 例例; ;試用疊加法求圖試用疊加法求圖(a)(a)所示梁跨中截面所示梁跨中截面(B(B截面截面) )的撓度。的撓度。 與上題類似，圖與上題類似，圖 ( a）所示梁跨中的撓度亦為）所示梁跨中的撓度亦為 例例 疊加法求圖疊加法求圖(a)(a)所示梁所示梁C C截面的撓度。截面的撓度。 解解: :沒有外伸梁的計算公式?jīng)]有外伸梁的計算公式, , 利利 用表中

14、的用表中的懸臂梁懸臂梁和和簡支梁簡支梁的有關(guān)的有關(guān) 公式計算。公式計算。 外伸梁在外伸梁在q q作用下的撓曲線如圖作用下的撓曲線如圖 (a)(a)中虛線所示，支座中虛線所示，支座B B處撓度等處撓度等 于零、轉(zhuǎn)角不等于零。于零、轉(zhuǎn)角不等于零。 1 1、將梁的、將梁的BCBC段視為段視為B B端為固定端為固定 端的懸臂梁端的懸臂梁(b),(b),此梁在此梁在q q作用下作用下C C 截面的撓度為截面的撓度為y yC1 C1。 。 2 2、外伸梁的、外伸梁的B B截面并非固定不動，而要產(chǎn)生轉(zhuǎn)角截面并非固定不動，而要產(chǎn)生轉(zhuǎn)角q qB B，截面的轉(zhuǎn)動對截面的轉(zhuǎn)動對BCBC段位移段位移 的影響，相當于使

15、的影響，相當于使BCBC段繞段繞B B點剛性轉(zhuǎn)動，此時點剛性轉(zhuǎn)動，此時C C截面的豎向位移為截面的豎向位移為y yC2 C2（圖 （圖c c），）， 因因q qB B 很小，很小，y yC2 C2=a =aq qB B。將圖。將圖(b)(b)和和(c)(c)所示的所示的y yC1 C1與 與y yC2 C2疊加就是外伸梁 疊加就是外伸梁c c截面的截面的 撓度，即撓度，即 3 3、q qB B是外伸梁是外伸梁( (圖圖a)Ba)B截面的轉(zhuǎn)角，截面的轉(zhuǎn)角， 求求q qB可利用圖可利用圖(d)(d)所示的等效力系，所示的等效力系， 即將即將BCBC段上段上q q的合力的合力qaqa平移到平移到B

16、B處并附處并附 加一力矩加一力矩m m= =0.5qa0.5qa2 2 4 4、由圖、由圖(d)(d)所示簡支梁求得所示簡支梁求得B B截面截面 的轉(zhuǎn)角就是外伸梁的轉(zhuǎn)角就是外伸梁B B截面的轉(zhuǎn)角。在截面的轉(zhuǎn)角。在 圖圖(d)(d)中，中，qaqa作用在梁的支座上，它作用在梁的支座上，它 不引起梁的變形，僅不引起梁的變形，僅m m和和q q使梁變形。使梁變形。 在在m m和和q q單獨作用下單獨作用下( (圖圖(e),(f)B(e),(f)B截面截面 的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角q qB1和和q qB2分別查得為分別查得為 5 5、注意到、注意到q qB2 B2為負值 為負值( (圖圖(f)(f)。 在在m m

17、，q q共同作用下共同作用下B B截面的轉(zhuǎn)角為截面的轉(zhuǎn)角為 外伸梁外伸梁C C截面的撓度為截面的撓度為 (1)疊加法求位移雖然比較簡便、快速，但具體運用時，往疊加法求位移雖然比較簡便、快速，但具體運用時，往 往需經(jīng)過分析、處理及運用等效力系后，才能利用表中的往需經(jīng)過分析、處理及運用等效力系后，才能利用表中的 公式，比較靈活。通過上面各例題，著重理解一些分析和公式，比較靈活。通過上面各例題，著重理解一些分析和 處理方法以及對等效力系的正確運用。處理方法以及對等效力系的正確運用。 (2)疊加法中的疊加是代數(shù)相加，在求若干荷載共同作用下疊加法中的疊加是代數(shù)相加，在求若干荷載共同作用下 的轉(zhuǎn)角和撓度時

18、，應(yīng)注意每項的正、負。的轉(zhuǎn)角和撓度時，應(yīng)注意每項的正、負。 (3)教材里表中所列公式不必強記，考試時，一般都是給出教材里表中所列公式不必強記，考試時，一般都是給出 所需的有關(guān)公式。所需的有關(guān)公式。 幾點注意幾點注意 一、梁的剛度校核一、梁的剛度校核 除滿足強度條件外，梁的位移也需加以控制，從而保證其除滿足強度條件外，梁的位移也需加以控制，從而保證其 正常工作。正常工作。 在工程中，通常對梁在工程中，通常對梁 的的撓度撓度加以控制，例如：加以控制，例如： 1000 1 250 1 l w 梁的梁的剛度條件剛度條件為：為： qq max max l w l w 通常情況通常情況下，強度條件滿足，剛

19、度條件一般也滿足。下，強度條件滿足，剛度條件一般也滿足。 但是，但是，當位移限制很嚴，或按強度條件所選截面過于單薄當位移限制很嚴，或按強度條件所選截面過于單薄 時，剛度條件也起控制作用。時，剛度條件也起控制作用。 6.36.3 梁的剛度校核梁的剛度校核 提高梁的剛度措施提高梁的剛度措施 1000 250 ll w 或 qq max ww 例例 一簡支梁受載如圖示，已知許用應(yīng)力一簡支梁受載如圖示，已知許用應(yīng)力160 MPa，許用撓度，許用撓度 w=l /500，彈性模量，彈性模量E=200GPa，試選擇工字鋼型號。，試選擇工字鋼型號。 解：解： 1、作出梁的彎矩圖、作出梁的彎矩圖 2、根據(jù)彎曲正

20、應(yīng)力強度條件，要求、根據(jù)彎曲正應(yīng)力強度條件，要求 3、梁的剛度條件為：、梁的剛度條件為： 由此得由此得 由型鋼表中查得，由型鋼表中查得，NO.22a工字鋼的抗彎截面系數(shù)工字鋼的抗彎截面系數(shù)Wz3.09xl0-4m3 ，慣，慣 性矩性矩Iz=3.40 x10-5m4，可見選擇，可見選擇NO.22a工字鋼作梁將同時滿足強度和剛度工字鋼作梁將同時滿足強度和剛度 要求。要求。 mN1035 4 41035 4 ：得 3 3 max Fl M 34 6 3 max m1019. 2 10160 1035 M Wz 50048 3 l EI Fl z 45 9 232 m1092. 2 1020048 4

21、1035500 48 500 E Fl I z F=35kN 2m A B 2m l=4m M 4/Fl 二、提高梁的剛度措施二、提高梁的剛度措施 2.調(diào)整跨長和改變結(jié)構(gòu)；調(diào)整跨長和改變結(jié)構(gòu)；縮短跨長：縮短跨長：如如將簡支梁改為外伸將簡支梁改為外伸 梁；或增加支座等。梁；或增加支座等。 1.增大梁的抗彎剛度增大梁的抗彎剛度 EI；主要增大主要增大I值，在截面面積不變值，在截面面積不變 的情況下，采用適當形狀，盡量使面積分布在距中性軸較遠的情況下，采用適當形狀，盡量使面積分布在距中性軸較遠 的地方。的地方。例如例如：工字形、箱形等。工字形、箱形等。 EI l w n q l A B q l A

22、B q A B A L B q 6.4 6.4 簡單超靜定梁的解法簡單超靜定梁的解法 用用“多余多余”反力反力 代替代替“多余多余”約束，約束， 就得到一個形式上的就得到一個形式上的 靜定梁，該梁稱為原靜定梁，該梁稱為原 超靜定梁的超靜定梁的基本靜定基本靜定 系系。 基本靜定系基本靜定系 可不止一個可不止一個 也叫做原超靜定梁的也叫做原超靜定梁的 梁的相當系統(tǒng)梁的相當系統(tǒng) 例：例：求圖示靜不定梁的支反力。求圖示靜不定梁的支反力。 解法一：解法一：將支座將支座 B看成多余約束，變看成多余約束，變 形協(xié)調(diào)條件為：形協(xié)調(diào)條件為： 0 B w 即 R l EI ql EI B 34 38 0 Rql

23、B 3 8 解法二解法二：將支座：將支座A對對 截面轉(zhuǎn)動的約束看成多截面轉(zhuǎn)動的約束看成多 余約束，變形協(xié)調(diào)條件余約束，變形協(xié)調(diào)條件 為：為： q A 0 即 M l EI ql EI A 324 0 3 Mql A 1 8 2 例：例：為了提高懸臂梁為了提高懸臂梁AB的強度和剛度，的強度和剛度， 用短梁用短梁CD加固。設(shè)二梁加固。設(shè)二梁EI相同，試求相同，試求 (1) 二梁接觸處的壓力；二梁接觸處的壓力； (2) 加固前后加固前后AB梁最大彎矩的比值；梁最大彎矩的比值； (3) 加固前后加固前后B點撓度的比值。點撓度的比值。 解：解：(1)變形協(xié)調(diào)條件為：變形協(xié)調(diào)條件為： DD ABCD ff

24、 即 5 633 333 Pa EI R a EI R a EI DD 5 4 D RP (2) (3) 自行完成自行完成 例：例：梁梁ABC由由AB、BC兩段組成，兩段兩段組成，兩段 梁的梁的EI相同。試繪制剪力圖與彎矩圖。相同。試繪制剪力圖與彎矩圖。 解：解：變形協(xié)調(diào)條件為：變形協(xié)調(diào)條件為： BB ABBC ff 334 833 BB R aR aqa EIEIEI 即 3 16 B Rqa 其余自行完成！自行完成！ 例：例：圖示結(jié)構(gòu)圖示結(jié)構(gòu)ABAB梁的抗彎剛度為梁的抗彎剛度為EIEI， CDCD桿的抗拉剛度為桿的抗拉剛度為EAEA，已知，已知P P、L L、a a。 求求CDCD桿所受的拉力。桿所受的拉力。 P A B C D a 2 L 2 L 解：解：變形協(xié)調(diào)條件為：變形協(xié)調(diào)條件為： D a C P AB C 2 L 2 L C R CDC lf 3 () 48 CC RaPRL EAEI 3 3 48 C A L RP A LI a 強度計算和剛度計算小結(jié)強度計算和剛度計算小結(jié) 強度及剛度校核強度及剛度校核 VW 純彎曲：純彎曲： 橫力彎曲：橫力彎曲： 2 ( ) d 2( ) l Mx Vx EI x 1 2 mq 1 2 m ml EI m l EI M l EI 22 22 6.56.5 梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能 純彎曲時梁的純彎曲時梁的彎曲應(yīng)變能彎曲