2024年山東省高中自主招生數(shù)學模擬試卷試題（含答案）

2024年山東省高中自主招生數(shù)學模擬試卷一、選擇題1．若關于x的方程＝無解，則m的值為（）A．0 B．4或6 C．6 D．0或42．如圖，圓錐底面圓半徑為7cm，高為24cm，則它側(cè)面展開圖的面積是（）A．cm2 B．cm2 C．175πcm2 D．350πcm23．已知點A（a，b），B（4，c）在直線y＝kx+3（k為常數(shù)，k≠0）上，若ab的最大值為9，則c的值為（）A． B．2 C． D．14．已知二次函數(shù)y＝mx2﹣4m2x﹣3（m為常數(shù)，m≠0），點P（xp，yp）是該函數(shù)圖象上一點，當0≤xp≤4時，yp≤﹣3，則m的取值范圍是（）A．m≥1或m＜0 B．m≥1 C．m≤﹣1或m＞0 D．m≤﹣15．將拋物線y＝﹣（x﹣1）2位于直線y＝﹣1以下的圖象沿直線y＝﹣1向上翻折所得的圖象與不翻折的部分組成新圖象，若新圖象與直線y＝﹣x+a的交點少于4個，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≤1或 B． C． D．a(chǎn)≤1或6．如圖，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC＝∠BDE＝90°，點A在邊DE的中點上，若AB＝BC，DB＝DE＝2，連結CE，則CE的長為（）A． B． C．4 D．7．如圖是一張矩形紙片ABCD，點E為AD中點，點F在BC上，把該紙片沿EF折疊，點A，B的對應點分別為A′，B′，A′E與BC相交于點G，B′A′的延長線過點C．若＝，則的值為（）A．2 B． C． D．8．如圖，正方形ABCD與正方形BEFG有公共頂點B，連接EC、GA，交于點O，GA與BC交于點P，連接OD、OB，則下列結論一定正確的是（）①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三邊為邊向外作正方形，連結CF，作GM⊥CF于點M，BJ⊥GM于點J，AK⊥BJ于點K，交CF于點L．若正方形ABGF與正方形JKLM的面積之比為5，CE＝+，則CH的長為（）A． B． C．2 D．10．如圖，正方形ABCD的頂點分別在反比例函數(shù)y＝（k1＞0）和y＝（k2＞0）的圖象上．若BD∥y軸，點D的橫坐標為3，則k1+k2＝（）A．36 B．18 C．12 D．9二、填空題11．如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點E、F分別是AB、DC上的動點，EF∥BC，則AF+CE的最小值是．12．如圖，在扇形AOB中，點C，D在上，將沿弦CD折疊后恰好與OA，OB相切于點E，F(xiàn)．已知∠AOB＝120°，OA＝6，則的度數(shù)為，折痕CD的長為．13．如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，點A在x軸的負半軸上，點B在y軸的負半軸上，tan∠ABO＝3，以AB為邊向上作正方形ABCD．若圖象經(jīng)過點C的反比例函數(shù)的解析式是y＝，則圖象經(jīng)過點D的反比例函數(shù)的解析式是．14．如圖，正方形A1B1P1P2的頂點P1、P2在反比例函數(shù)（x＜0）圖象上，頂點A1（m，0）在x軸的負半軸上，頂點B1（0，n）在y軸的正半軸上，再在其左側(cè)作正方形P2P3A2B2，頂點P3在反比例函數(shù)（x＜0）的圖象上，頂點A2在x軸的負半軸上，則點P3的坐標是．15．拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)）的部分圖象如圖所示，設m＝a﹣b+c，則m的取值范圍是．16．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DB平分∠ADC．若AD＝1，CD＝3，則sin∠ABD＝．17．如圖，在菱形ABCD中，過點D作DE⊥CD交對角線AC于點E，連接BE，點P是線段BE上一動點，作P關于直線DE的對稱點P'，點Q是AC上一動點，連接P'Q，DQ．若AE＝14，CE＝18，則DQ﹣P'Q的最大值為．三、解答題18．如圖所示，九（1）班數(shù)學興趣小組為了測量河對岸的古樹A、B之間的距離，他們在河邊與AB平行的直線l上取相距60m的C、D兩點，測得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．（1）求河的寬度；（2）求古樹A、B之間的距離．（結果保留根號）19．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC于點E，O為AC上一點，經(jīng)過點A、E的⊙O分別交AB、AC于點D、F，連接OD交AE于點M．（1）求證：BC是⊙O的切線．（2）若CF＝2，sinC＝，求AE的長．20．如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y＝﹣2x+6的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于A（a，4），B兩點．（1）求反比例函數(shù)的表達式及點B的坐標；（2）過點A作直線AC，交反比例函數(shù)圖象于另一點C，連接BC，當線段AC被y軸分成長度比為1：2的兩部分時，求BC的長；（3）我們把有兩個內(nèi)角是直角，且一條對角線垂直平分另一條對角線的四邊形稱為“完美箏形”．設P是第三象限內(nèi)的反比例函數(shù)圖象上一點，Q是平面內(nèi)一點，當四邊形ABPQ是完美箏形時，求P，Q兩點的坐標．21．如圖，在矩形ABCD中，點O是AB的中點，點M是射線DC上動點，點P在線段AM上（不與點A重合），OP＝AB．（1）判斷△ABP的形狀，并說明理由．（2）當點M為邊DC中點時，連接CP并延長交AD于點N．求證：PN＝AN．（3）點Q在邊AD上，AB＝5，AD＝4，DQ＝，當∠CPQ＝90°時，求DM的長．22．如圖，△ABC和△DBE的頂點B重合，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠BAC＝∠BDE＝30°，BC＝3，BE＝2．（1）特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當點D，E分別在AB，BC上時，可以得出結論：＝，直線AD與直線CE的位置關系是；（2）探究證明：如圖2，將圖1中的△DBE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使點D恰好落在線段AC上，連接EC，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；（3）拓展運用：如圖3，將圖1中的△DBE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)α（19°＜α＜60°），連接AD、EC，它們的延長線交于點F，當DF＝BE時，求tan（60°﹣α）的值．23．如圖（1），二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，點B的坐標為（3，0），點C的坐標為（0，3），直線l經(jīng)過B、C兩點．（1）求該二次函數(shù)的表達式及其圖象的頂點坐標；（2）點P為直線l上的一點，過點P作x軸的垂線與該二次函數(shù)的圖象相交于點M，再過點M作y軸的垂線與該二次函數(shù)的圖象相交于另一點N，當PM＝MN時，求點P的橫坐標；（3）如圖（2），點C關于x軸的對稱點為點D，點P為線段BC上的一個動點，連接AP，點Q為線段AP上一點，且AQ＝3PQ，連接DQ，當3AP+4DQ的值最小時，直接寫出DQ的長．

參考答案與試題解析一、選擇題1．若關于x的方程＝無解，則m的值為（）A．0 B．4或6 C．6 D．0或4【解答】解：＝，2（2x+1）＝mx，4x+2＝mx，（4﹣m）x＝﹣2，∵方程無解，∴4﹣m＝0或2x+1＝0或x＝0，即4﹣m＝0或x＝﹣＝﹣，∴m＝4或m＝0，故選：D．2．如圖，圓錐底面圓半徑為7cm，高為24cm，則它側(cè)面展開圖的面積是（）A．cm2 B．cm2 C．175πcm2 D．350πcm2【解答】解：在Rt△AOC中，AC＝＝25（cm），所以圓錐的側(cè)面展開圖的面積＝×2π×7×25＝175π（cm2）．故選：C．3．已知點A（a，b），B（4，c）在直線y＝kx+3（k為常數(shù)，k≠0）上，若ab的最大值為9，則c的值為（）A． B．2 C． D．1【解答】解：∵點A（a，b），B（4，c）在直線y＝kx+3上，∴，由①可得：ab＝a（ak+3）＝ka2+3a＝k（a+）2﹣，∵ab的最大值為9，∴k＜0，﹣＝9，解得k＝﹣，把k＝﹣代入②得：4×（﹣）+3＝c，∴c＝2，故選：B．4．已知二次函數(shù)y＝mx2﹣4m2x﹣3（m為常數(shù)，m≠0），點P（xp，yp）是該函數(shù)圖象上一點，當0≤xp≤4時，yp≤﹣3，則m的取值范圍是（）A．m≥1或m＜0 B．m≥1 C．m≤﹣1或m＞0 D．m≤﹣1【解答】解：∵二次函數(shù)y＝mx2﹣4m2x﹣3，∴對稱軸為x＝2m，拋物線與y軸的交點為（0，﹣3），∵點P（xp，yp）是該函數(shù)圖象上一點，當0≤xp≤4時，yp≤﹣3，∴①當m＞0時，對稱軸x＝2m＞0，此時，當x＝4時，y≤﹣3，即m?42﹣4m2?4﹣3≤﹣3，解得m≥1；②當m＜0時，對稱軸x＝2m＜0，當0≤x≤4時，y隨x增大而減小，則當0≤xp≤4時，yp≤﹣3恒成立；綜上，m的取值范圍是：m≥1或m＜0．故選：A．5．將拋物線y＝﹣（x﹣1）2位于直線y＝﹣1以下的圖象沿直線y＝﹣1向上翻折所得的圖象與不翻折的部分組成新圖象，若新圖象與直線y＝﹣x+a的交點少于4個，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≤1或 B． C． D．a(chǎn)≤1或【解答】解：如圖：在y＝﹣（x﹣1）2中，令y＝﹣1得x＝2或x＝0，∴B（2，﹣1），由圖可知，當直線y＝﹣x+a經(jīng)過B時，新圖象與直線y＝﹣x+a的交點有3個，此時﹣1＝﹣2+a，∴a＝1，當直線y＝﹣x+a為直線l2時，新圖象與直線y＝﹣x+a的交點有3個，此時﹣（x﹣1）2＝﹣x+a有兩個相等實數(shù)根，即x2﹣3x+a+1＝0的判別式Δ＝0，∴9﹣4（a+1）＝0，∴a＝，由圖可知，若新圖象與直線y＝﹣x+a的交點少于4個，則a≤1或a≥，故選：D．6．如圖，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC＝∠BDE＝90°，點A在邊DE的中點上，若AB＝BC，DB＝DE＝2，連結CE，則CE的長為（）A． B． C．4 D．【解答】解：方法一：作EF⊥CB交CB的延長線于點F，作EG⊥BA交BA的延長線于點G，∵DB＝DE＝2，∠BDE＝90°，點A是DE的中點，∴BE＝＝＝2，DA＝EA＝1，∴AB＝＝＝，∵AB＝BC，∴BC＝，∵＝，∴，解得EG＝，∵EG⊥BG，EF⊥BF，∠ABF＝90°，∴四邊形EFBG是矩形，∴EG＝BF＝，∵BE＝2，BF＝，∴EF＝＝＝，CF＝BF+BC＝+＝，∵∠EFC＝90°，∴EC＝＝＝，故選：D．方法二：延長ED到F，使得DE＝DF，連接CF，BF，如圖所示，∵BD＝DE＝2，∠BDE＝90°，∴∠BDE＝∠BDF＝90°，EF＝4，∴△BDE≌△BDF（SAS），∴BE＝BF，∠BEA＝∠BFA＝45°，∵∠EBA+∠ABF＝90°，∠ABF+∠FBC＝90°，∴∠EBA＝∠FBC，∵BE＝BF，BA＝BC，∴△EBA≌△FBC（SAS），∴∠BEA＝∠BFC＝45°，AE＝CF，∴∠CFE＝∠BFC+∠AFB＝90°，∵點A為DE的中點，∴AE＝1，∴CF＝1，∴EC＝＝＝，故選：D．7．如圖是一張矩形紙片ABCD，點E為AD中點，點F在BC上，把該紙片沿EF折疊，點A，B的對應點分別為A′，B′，A′E與BC相交于點G，B′A′的延長線過點C．若＝，則的值為（）A．2 B． C． D．【解答】解：連接FG，CA′，過點G作GT⊥AD于點T．設AB＝x，AD＝y(tǒng)．∵＝，∴可以假設BF＝2k，CG＝3k．∵AE＝DE＝y(tǒng)，由翻折的性質(zhì)可知EA＝EA′＝y(tǒng)，BF＝FB′＝2k，∠AEF＝∠GEF，∵AD∥CB，∴∠AEF＝∠EFG，∴∠GEF＝∠GFE，∴EG＝FG＝y(tǒng)﹣5k，∴GA′＝y(tǒng)﹣（y﹣5k）＝5k﹣y，∵C，A′，B′共線，GA′∥FB′，∴＝，∴＝，∴y2﹣12ky+32k2＝0，∴y＝8k或y＝4k（舍去），∴AE＝DE＝4k，∵四邊形CDTG是矩形，∴CG＝DT＝3k，∴ET＝k，∵EG＝8k﹣5k＝3k，∴AB＝CD＝GT＝＝2k，∴＝＝2．解法二：不妨設BF＝2，CG＝3，連接CE，則Rt△CA'E≌Rt△CDE，推出A'C＝CD＝AB＝A'B'，＝＝1，推出GF＝CG＝3，BC＝8，在Rt△CB'F，勾股得CB'＝4則A'B'＝2，故選：A．8．如圖，正方形ABCD與正方形BEFG有公共頂點B，連接EC、GA，交于點O，GA與BC交于點P，連接OD、OB，則下列結論一定正確的是（）①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④【解答】解：∵四邊形ABCD、四邊形BEFG是正方形，∴AB＝BC，BG＝BE，∠ABC＝90°＝∠GBE，∴∠ABC+∠CBG＝∠GBE+∠CBG，即∠ABG＝∠EBC，∴△ABG≌△CBE（SAS），∴∠BAG＝∠BCE，∵∠BAG+∠APB＝90°，∴∠BCE+∠APB＝90°，∴∠BCE+∠OPC＝90°，∴∠POC＝90°，∴EC⊥AG，故①正確；取AC的中點K，如圖：在Rt△AOC中，K為斜邊AC上的中點，∴AK＝CK＝OK，在Rt△ABC中，K為斜邊AC上的中點，∴AK＝CK＝BK，∴AK＝CK＝OK＝BK，∴A、B、O、C四點共圓，∴∠BOA＝∠BCA，∵∠BPO＝∠CPA，∴△OBP∽△CAP，故②正確，∵∠AOC＝∠ADC＝90°，∴∠AOC+∠ADC＝180°，∴A、O、C、D四點共圓，∵AD＝CD，∴∠AOD＝∠DOC＝45°，故④正確，由已知不能證明OB平分∠CBG，故③錯誤，故正確的有：①②④，故選：D．9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三邊為邊向外作正方形，連結CF，作GM⊥CF于點M，BJ⊥GM于點J，AK⊥BJ于點K，交CF于點L．若正方形ABGF與正方形JKLM的面積之比為5，CE＝+，則CH的長為（）A． B． C．2 D．【解答】解：設CF交AB于點P，過C作CN⊥AB于點N，如圖：設正方形JKLM邊長為m，∴正方形JKLM面積為m2，∵正方形ABGF與正方形JKLM的面積之比為5，∴正方形ABGF的面積為5m2，∴AF＝AB＝m，由已知可得：∠AFL＝90°﹣∠MFG＝∠MGF，∠ALF＝90°＝∠FMG，AF＝GF，∴△AFL≌△FGM（AAS），∴AL＝FM，設AL＝FM＝x，則FL＝FM+ML＝x+m，在Rt△AFL中，AL2+FL2＝AF2，∴x2+（x+m）2＝（m）2，解得x＝m或x＝﹣2m（舍去），∴AL＝FM＝m，F(xiàn)L＝2m，∵tan∠AFL＝＝＝＝，∴＝，∴AP＝，∴FP＝＝＝m，BP＝AB﹣AP＝m﹣＝，∴AP＝BP，即P為AB中點，∵∠ACB＝90°，∴CP＝AP＝BP＝，∵∠CPN＝∠APF，∠CNP＝90°＝∠FAP，∴△CPN∽△FPA，∴＝＝，即＝＝，∴CN＝m，PN＝m，∴AN＝AP+PN＝m，∴tan∠BAC＝＝＝＝，∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形，∴△AEC∽△BCH，∴＝，∵CE＝+，∴＝，∴CH＝2，故選：C．10．如圖，正方形ABCD的頂點分別在反比例函數(shù)y＝（k1＞0）和y＝（k2＞0）的圖象上．若BD∥y軸，點D的橫坐標為3，則k1+k2＝（）A．36 B．18 C．12 D．9【解答】解：連接AC交BD于E，延長BD交x軸于F，連接OD、OB，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴AE＝BE＝CE＝DE，設AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（3，a），∵BD∥y軸，∴B（3，a+2m），A（3+m，a+m），∵A，B都在反比例函數(shù)y＝（k1＞0）的圖象上，∴k1＝3（a+2m）＝（3+m）（a+m），∵m≠0，∴m＝3﹣a，∴B（3，6﹣a），∵B（3，6﹣a）在反比例函數(shù)y＝（k1＞0）的圖象上，D（3，a）在y＝（k2＞0）的圖象上，∴k1＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k2＝3a，∴k1+k2＝18﹣3a+3a＝18；故選：B．二、填空題11．如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點E、F分別是AB、DC上的動點，EF∥BC，則AF+CE的最小值是10．【解答】解：延長BC到G，使CG＝EF，連接FG，∵EF∥CG，EF＝CG，∴四邊形EFGC是平行四邊形，∴CE＝FG，∴AF+CE＝AF+FG，∴當點A、F、G三點共線時，AF+CE的值最小為AG，由勾股定理得，AG＝＝＝10，∴AF+CE的最小值為10，故答案為：10．12．如圖，在扇形AOB中，點C，D在上，將沿弦CD折疊后恰好與OA，OB相切于點E，F(xiàn)．已知∠AOB＝120°，OA＝6，則的度數(shù)為60°，折痕CD的長為4．【解答】解：如圖，設翻折后的弧的圓心為O′，連接O′E，O′F，OO′，O′C，OO′交CD于點H，∴OO′⊥CD，CH＝DH，O′C＝OA＝6，∵將沿弦CD折疊后恰好與OA，OB相切于點E，F(xiàn)．∴∠O′EO＝∠O′FO＝90°，∵∠AOB＝120°，∴∠EO′F＝60°，則的度數(shù)為60°；∵∠AOB＝120°，∴∠O′OF＝60°，∵O′F⊥OB，O′E＝O′F＝O′C＝6，∴OO′＝＝＝4，∴O′H＝2，∴CH＝＝＝2，∴CD＝2CH＝4．故答案為：60°，4．13．如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，點A在x軸的負半軸上，點B在y軸的負半軸上，tan∠ABO＝3，以AB為邊向上作正方形ABCD．若圖象經(jīng)過點C的反比例函數(shù)的解析式是y＝，則圖象經(jīng)過點D的反比例函數(shù)的解析式是y＝﹣．【解答】解：如圖，過點C作CT⊥y軸于點T，過點D作DH⊥CT交CT的延長線于點H．∵tan∠ABO＝＝3，∴可以假設OB＝a，OA＝3a，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠AOB＝∠BTC＝90°，∴∠ABO+∠CBT＝90°，∠CBT+∠BCT＝90°，∴∠ABO＝∠BCT，∴△AOB≌△BTC（AAS），∴BT＝OA＝3a，OB＝TC＝a，∴OT＝BT﹣OB＝2a，∴C（a，2a），∵點C在y＝的圖象上，∴2a2＝1，同法可證△CHD≌△BTC，∴DH＝CT＝a，CH＝BT＝3a，∴D（﹣2a，3a），設經(jīng)過點D的反比例函數(shù)的解析式為y＝，則有﹣2a×3a＝k，∴k＝﹣6a2＝﹣3，∴經(jīng)過點D的反比例函數(shù)的解析式是y＝﹣．故答案為：y＝﹣．14．如圖，正方形A1B1P1P2的頂點P1、P2在反比例函數(shù)（x＜0）圖象上，頂點A1（m，0）在x軸的負半軸上，頂點B1（0，n）在y軸的正半軸上，再在其左側(cè)作正方形P2P3A2B2，頂點P3在反比例函數(shù)（x＜0）的圖象上，頂點A2在x軸的負半軸上，則點P3的坐標是（﹣，﹣）．【解答】解：作P1C⊥y軸于C，P2D⊥x軸于D，P3E⊥x軸于E，P3F⊥P2D于F，如圖所示：∵四邊形A1B1P1P2為正方形，∴∠A1B1P1＝90°，∴∠CB1P1+∠OB1A1＝90°，∵∠CB1P1+∠CP1B1＝90°，∠OB1A1+∠OA1B1＝90°，∴∠CB1P1＝∠OA1B1，在△P1B1C和△B1A1O中，，∴△P1B1C≌△B1A1O（AAS），同理：△B1A1O≌△A1P2D，∴OB1＝P1C＝A1D＝n，∴OA1＝B1C＝P2D，∴P1（﹣n，），∴OA1＝B1C＝P2D＝﹣n，∴OD＝﹣n+n＝，∴P2的坐標為（﹣，﹣n），把P2的坐標代入y＝（x＜0）得：﹣?（﹣n）＝﹣1，解得：n＝﹣（舍去）或n＝，∴P2（﹣，），設P3的坐標為（﹣，b），又∵四邊形P2P3A2B2為正方形，同上：△P2P3F≌△A2P3E，∴P3E＝P3F＝DE＝b，∴OE＝OD+DE＝+b，∴+b＝，解得：b＝（舍去），b＝，∴﹣＝﹣，∴點P3的坐標為（﹣，﹣）．故答案為：（﹣，﹣）．15．拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)）的部分圖象如圖所示，設m＝a﹣b+c，則m的取值范圍是﹣4＜m＜0．【解答】解：∵拋物線開口向上，∴a＞0，∵拋物線對稱軸在y軸左側(cè)，∴﹣＜0，∴b＞0，∵拋物線經(jīng)過（0，﹣2），∴c＝﹣2，∵拋物線經(jīng)過（1，0），∴a+b+c＝0，∴a+b＝2，b＝2﹣a，∴m＝a﹣b+c＝a﹣（2﹣a）+（﹣2）＝2a﹣4，∴y＝ax2+（2﹣a）x﹣2，當x＝﹣1時，y＝a+a﹣2﹣2＝2a﹣4，∵b＝2﹣a＞0，∴0＜a＜2，∴﹣4＜2a﹣4＜0，故答案為：﹣4＜m＜0．16．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DB平分∠ADC．若AD＝1，CD＝3，則sin∠ABD＝．【解答】解：過點D作DE⊥BC，垂足為E，如圖，∵∠A＝∠ABC＝90°，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB，∴CD＝CB＝3，∵AD＝BE＝1，∴CE＝BC﹣BE＝3﹣1＝2，在Rt△CDE中，DE＝＝＝，∵DE＝AB，在Rt△ADB中，＝＝，∴sin∠ABD＝＝．故答案為：．17．如圖，在菱形ABCD中，過點D作DE⊥CD交對角線AC于點E，連接BE，點P是線段BE上一動點，作P關于直線DE的對稱點P'，點Q是AC上一動點，連接P'Q，DQ．若AE＝14，CE＝18，則DQ﹣P'Q的最大值為．【解答】解：如圖，連接BD交AC于點O，過點D作DK⊥BC于點K，延長DE交AB于點R，連接EP′并延長，延長線交AB于點J，作EJ關于AC的對稱線段EJ′，則點P′的對應點P″在線段EJ′上．當點P是定點時，DQ﹣QP′＝DQ﹣QP″，當D，P″，Q共線時，QD﹣QP′的值最大，最大值是線段DP″的長，當點P與B重合時，點P″與J′重合，此時DQ﹣QP′的值最大，最大值是線段DJ′的長，也就是線段BJ的長．∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝OC，∵AE＝14．EC＝18，∴AC＝32，AO＝OC＝16，∴OE＝AO﹣AE＝16﹣14＝2，∵DE⊥CD，∴∠DOE＝∠EDC＝90°，∵∠DEO＝∠DEC，∴△EDO∽△ECD，∴DE2＝EO?EC＝36，∴DE＝EB＝EJ＝6，∴CD＝＝＝12，∴OD＝＝＝4，∴BD＝8，∵S△DCB＝×OC×BD＝BC?DK，∴DK＝＝，∵∠BER＝∠DCK，∴sin∠BER＝sin∠DCK＝＝＝，∴RB＝BE×＝，∵EJ＝EB，ER⊥BJ，∴JR＝BR＝，∴JB＝DJ′＝，∴DQ﹣P'Q的最大值為．解法二：DQ﹣P'Q＝BQ﹣P'Q≤BP'，顯然P'的軌跡EJ，故最大值為BJ．勾股得CD，OD．△BDJ∽△BAD，BD2＝BJ*BA，可得BJ＝．故答案為：．三、解答題18．如圖所示，九（1）班數(shù)學興趣小組為了測量河對岸的古樹A、B之間的距離，他們在河邊與AB平行的直線l上取相距60m的C、D兩點，測得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．（1）求河的寬度；（2）求古樹A、B之間的距離．（結果保留根號）【解答】解：（1）過點A作AE⊥l，垂足為E，設CE＝x米，∵CD＝60米，∴DE＝CE+CD＝（x+60）米，∵∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝45°，在Rt△AEC中，AE＝CE?tan45°＝x（米），在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴tan30°＝＝＝，∴x＝30+30，經(jīng)檢驗：x＝30+30是原方程的根，∴AE＝（30+30）米，∴河的寬度為（30+30）米；（2）過點B作BF⊥l，垂足為F，則CE＝AE＝BF＝（30+30）米，AB＝EF，∵∠BCD＝120°，∴∠BCF＝180°﹣∠BCD＝60°，在Rt△BCF中，CF＝＝＝（30+10）米，∴AB＝EF＝CE﹣CF＝30+30﹣（30+10）＝20（米），∴古樹A、B之間的距離為20米．19．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC于點E，O為AC上一點，經(jīng)過點A、E的⊙O分別交AB、AC于點D、F，連接OD交AE于點M．（1）求證：BC是⊙O的切線．（2）若CF＝2，sinC＝，求AE的長．【解答】（1）證明：連接OE，方法一：∵AE平分∠BAC交BC于點E，∴∠BAC＝2∠OAE，∵∠FOE＝2∠OAE，∴∠FOE＝∠BAC，∴OE∥AB，∵∠B＝90°，∴OE⊥BC，又∵OE是⊙O的半徑，∴BC是⊙O的切線；方法二：∵AE平分∠BAC交BC于點E，∴∠OAE＝∠BAE，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∴∠BAE＝∠OEA，∴OE∥AB，∵∠B＝90°，∴OE⊥BC，又∵OE是⊙O的半徑，∴BC是⊙O的切線；（2）解：連接EF，∵CF＝2，sinC＝，∴，∵OE＝OF，∴OE＝OF＝3，∵OA＝OF＝3，∴AC＝OA+OF+CF＝8，∴AB＝AC?sinC＝8×＝，∵∠OAE＝∠BAE，∴cos∠OAE＝cos∠BAE，即，∴，解得AE＝（舍去負數(shù)），∴AE的長為．20．如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y＝﹣2x+6的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于A（a，4），B兩點．（1）求反比例函數(shù)的表達式及點B的坐標；（2）過點A作直線AC，交反比例函數(shù)圖象于另一點C，連接BC，當線段AC被y軸分成長度比為1：2的兩部分時，求BC的長；（3）我們把有兩個內(nèi)角是直角，且一條對角線垂直平分另一條對角線的四邊形稱為“完美箏形”．設P是第三象限內(nèi)的反比例函數(shù)圖象上一點，Q是平面內(nèi)一點，當四邊形ABPQ是完美箏形時，求P，Q兩點的坐標．【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y＝﹣2x+6的圖象過點A，∴4＝﹣2a+6，∴a＝1，∴點A（1，4），∵反比例函數(shù)y＝的圖象過點A（1，4），∴k＝1×4＝4；∴反比例函數(shù)的解析式為：y＝，聯(lián)立方程組可得：，解得：，，∴點B（2，2）；（2）如圖，過點A作AE⊥y軸于E，過點C作CF⊥y軸于F，∴AE∥CF，∴△AEH∽△CFH，∴，當＝時，則CF＝2AE＝2，∴點C（﹣2，﹣2），∴BC＝＝4，當＝2時，則CF＝AE＝，∴點C（﹣，﹣8），∴BC＝＝，綜上所述：BC的長為4或；（3）如圖，當∠AQP＝∠ABP＝90°時，設直線AB與y軸交于點E，過點B作BF⊥y軸于F，設BP與y軸的交點為N，連接BQ，AP交于點H，∵直線y＝﹣2x+6與y軸交于點E，∴點E（0，6），∵點B（2，2），∴BF＝OF＝2，∴EF＝4，∵∠ABP＝90°，∴∠ABF+∠FBN＝90°＝∠ABF+∠BEF，∴∠BEF＝∠FBN，又∵∠EFB＝∠BFN＝90°，∴△EBF∽△BNF，∴，∴FN＝＝1，∴點N（0，1），∴直線BN的解析式為：y＝x+1，聯(lián)立方程組得：，解得：，，∴點P（﹣4，﹣1），∴直線AP的解析式為：y＝x+3，∵AP垂直平分BQ，∴設BQ的解析式為y＝﹣x+4，∴x+3＝﹣x+4，∴x＝，∴點H（，），∵點H是BQ的中點，點B（2，2），∴點Q（﹣1，5）．21．如圖，在矩形ABCD中，點O是AB的中點，點M是射線DC上動點，點P在線段AM上（不與點A重合），OP＝AB．（1）判斷△ABP的形狀，并說明理由．（2）當點M為邊DC中點時，連接CP并延長交AD于點N．求證：PN＝AN．（3）點Q在邊AD上，AB＝5，AD＝4，DQ＝，當∠CPQ＝90°時，求DM的長．【解答】（1）解：△ABP是直角三角形，理由如下：∵點O是AB的中點，∴AO＝OB＝AB，∵OP＝AB，∴OP＝OA＝OB，∴∠OBP＝∠OPB，∠OAP＝∠APO，∵∠OAP+∠APO+∠OBP+∠BPO＝180°，∴∠APO+∠BPO＝90°，∴∠APB＝90°，∴△ABP是直角三角形；（2）證明：如圖1，延長AM，BC交于點Q，∵M是CD的中點，∴DM＝CM，∵∠D＝∠MCQ＝90°，∠AMD＝∠QMC，∴△ADM≌△QCM（ASA），∴AD＝CQ＝BC，∵∠BPQ＝90°，∴PC＝BQ＝BC，∴∠CPB＝∠CBP，∵∠OPB＝∠OBP，∴∠OBC＝∠OPC＝90°，∴∠OPN＝∠OPA+∠APN＝90°，∵∠OAP+∠PAN＝90°，∠OAP＝∠OPA，∴∠APN＝∠PAN，∴PN＝AN；（3）解：分兩種情況：①如圖2，點M在CD上時，過點P作GH∥CD，交AD于G，交BC于H，設DM＝x，QG＝a，則CH＝a+，BH＝AG＝4﹣﹣a＝﹣a，∵PG∥DM，∴△AGP∽△ADM，∴＝，即，∴PG＝x﹣ax，∵∠CPQ＝90°，∴∠CPH+∠QPG＝90°，∵∠CPH+∠PCH＝90°，∴∠QPG＝∠PCH，∴tan∠QPG＝tan∠PCH，即＝，∴PH?PG＝QG?CH，同理得：∠APG＝∠PBH，∴tan∠APG＝tan∠PBH，即＝，∴PG?PH＝AG?BH＝AG2，∴AG2＝QG?CH，即（﹣a）2＝a（+a），∴a＝，∵PG?PH＝AG2，∴（x﹣x）?（5﹣x+x）＝（﹣）2，解得：x1＝12（舍），x2＝，∴DM＝；②如圖3，當M在DC的延長線上時，同理得：DM＝12，綜上，DM的長是或12．22．如圖，△ABC和△DBE的頂點B重合，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠BAC＝∠BDE＝30°，BC＝3，BE＝2．（1）特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當點D，E分別在AB，BC上時，可以得出結論：＝，直線AD與直線CE的位置關系是垂直；（2）探究證明：如圖2，將圖1中的△DBE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使點D恰好落在線段AC上，連接EC，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；（3）拓展運用：如圖3，將圖1中的△DBE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)α（19°＜α＜60°），連接AD、EC，它們的延長線交于點F，當DF＝BE時，求tan（60°﹣α）的值．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，∠A＝30°，∴AB＝BC＝3，在Rt△BDE中，∠BDE＝30°，BE＝2，∴BD＝BE＝2，∴EC＝1，AD＝，∴＝，此時AD⊥EC，故答案為：，垂直；（2）結論成立．理