2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第3章 三角恒等變換 3.1.2 第1課時(shí) 兩角和與差的正弦、余弦公式學(xué)案 新人教A版必修4

1、2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第3章 三角恒等變換 3.1.2 第1課時(shí) 兩角和與差的正弦、余弦公式學(xué)案 新人教a版必修42021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第3章 三角恒等變換 3.1.2 第1課時(shí) 兩角和與差的正弦、余弦公式學(xué)案 新人教a版必修4年級(jí)：姓名：3.1.2兩角和與差的正弦、余弦、正切公式第1課時(shí)兩角和與差的正弦、余弦公式學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.掌握用兩角差的余弦公式推導(dǎo)兩角和的余弦公式和兩角差與和的正弦公式(重點(diǎn))2.會(huì)利用兩角和與差的正弦、余弦公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)求值、化簡(jiǎn)和證明(重點(diǎn))3.熟練兩角和與差的正弦、余弦公式地靈活運(yùn)用，了解公式的正用、逆用和變用等常用方法

2、(難點(diǎn)、易混點(diǎn))1.借助用兩角差的余弦公式推導(dǎo)兩角和的余弦公式以及兩角和與差的正弦公式，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).2.通過(guò)用兩角和與差的正弦、余弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).1兩角和與差的余弦公式名稱簡(jiǎn)記符號(hào)公式使用條件兩角差的余弦公式c()cos()cos cos sin sin ，r兩角和的余弦公式c()cos()cos cos sin sin ，r2.兩角和與差的正弦公式名稱簡(jiǎn)記符號(hào)公式使用條件兩角和的正弦公式s()sin()sin cos cos sin ，r兩角差的正弦公式s()sin()sin cos cos sin ，r思考：sin()sin sin 成立

3、嗎？你能舉出一例嗎？提示不一定成立，如sinsinsin.3兩角和余弦公式的推導(dǎo)由()，cos()cos()cos cos()sin sin()cos cossin sin .1sin 20cos 10cos 160sin 10()ab.cd.d原式sin 20cos 10cos 20sin 10sin(2010)sin 30.2cos 57cos 3sin 57sin 3的值為()a0 b. c. dcos 54b原式cos(573)cos 60.3若cos ，是第三象限的角，則sin .cos ，是第三象限的角，sin ，sinsin cos .4.cos 15sin 15 .原式sin

4、30cos 15cos 30sin 15sin 45.給角求值問(wèn)題【例1】(1)cos的值為()a.b.c. d(2)求下列各式的值：cos 75cos 15sin 75sin 195；sin 46cos 14sin 44cos 76；cos 15sin 15.(1)dcoscoscoscoscoscossinsin.(2)解cos 75cos 15sin 75sin 195cos 75cos 15sin 75sin(18015)cos 75cos 15sin 75sin 15cos(7515)cos 60.sin 46cos 14sin 44cos 76sin(9044)cos 14sin

5、44cos(9014)cos 44cos 14sin 44sin 14cos(4414)cos 30.cos 15sin 15cos 60cos 15sin 60sin 15cos(6015)cos 45.解決給角求值問(wèn)題的策略(1)對(duì)于非特殊角的三角函數(shù)式求值問(wèn)題，一定要本著先整體后局部的基本原則，如果整體符合三角公式的形式，則整體變形，否則進(jìn)行各局部的變形(2)一般途徑有將非特殊角化為特殊角的和或差的形式，化為正負(fù)相消的項(xiàng)并消項(xiàng)求值，化分子、分母形式進(jìn)行約分，解題時(shí)要逆用或變用公式提醒：在逆用兩角和與差的正弦和余弦公式時(shí)，首先要注意結(jié)構(gòu)是否符合公式特點(diǎn)，其次注意角是否滿足要求1化簡(jiǎn)求值：(

6、1)；(2)sin(75)cos(45)cos(15)解(1)原式sin 30.(2)設(shè)15，則原式sin(60)cos(30)cos cos 0.給值求值問(wèn)題【例2】(1)已知sin ，cos ，且為第一象限角，為第二象限角，求sin()和sin()的值；(2)若是第二象限角且sin ，求cos(60)；(3)已知，cos()，sin()，求cos 2與cos 2的值思路點(diǎn)撥：(1)采用直接法：解(1)為第一象限角且sin ，cos .又為第二象限角且cos ，sin ，sin()sin cos cos sin .sin()sin cos cos sin .(2)是第二象限角且sin ，co

7、s ，cos(60)cos sin .(3)，0，.又cos()，sin()，sin()，cos().cos 2cos ()()cos()cos()sin()sin()，cos 2cos()()cos()cos()sin()sin().給值求值的方法(1)直接法：當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式.(2)常值代換：用某些三角函數(shù)代替某些常數(shù)，使之代換后能運(yùn)用相關(guān)的公式，我們把這種代換稱為常值代換，其中特別要注意的是“1”的代換，如1sin2cos2，1tan 45，1sin 90等.1，等均可視為某個(gè)特殊角的三角函數(shù)值，從而將常數(shù)換為三角函數(shù)使用.(3)角的

8、代換：將未知角用已知角表示出來(lái)，使之能直接運(yùn)用公式，像這樣的代換方法就是角的代換.,常見(jiàn)的有：()，()，2若sin，cos，且0，求sin()的值解0，0，又sin，cos，cos，sin.sin()coscos.給值求角【例3】已知cos ，sin()，0，0，求角的值思路點(diǎn)撥：解因?yàn)?，cos ，所以sin .又因?yàn)?，所以0.因?yàn)閟in()sin ，所以，所以cos()，所以sin sin()sin()cos cos()sin .又因?yàn)?，所以.求解給值求角的關(guān)鍵兩點(diǎn)(1)求出所求角的某種三角函數(shù)值；(2)確定角的范圍.一旦做好這兩個(gè)環(huán)節(jié)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)與圖象，便可求解.提醒：確定

9、所求角的哪種三角函數(shù)值，要根據(jù)具體題目，結(jié)合所給角的范圍確定.3已知cos ，sin()，且，.求：(1)cos(2)的值；(2)的值解(1)因?yàn)椋?，又sin()0，所以0，所以sin ，cos()，cos(2)cos()cos cos()sin sin().(2)cos cos()cos cos()sin sin()，又因?yàn)?，所?輔助角公式的應(yīng)用探究問(wèn)題1能否將函數(shù)ysin xcos x(xr)化為yasin(x)的形式？提示：能ysin xcos xsin.2如何推導(dǎo)asin xbcos xsin(x)公式？提示：asin xbcos x，令cos ，sin ，則asin xbcos

10、 x(sin xcos cos xsin )sin(x)(其中角所在象限由a，b的符號(hào)確定，角的值由tan 確定，或由sin 和cos 共同確定)【例4】(1)sincos .(2)已知a(，1)，b(sin x，cos x)，xr，f(x)ab，求函數(shù)f(x)的周期，值域，單調(diào)遞增區(qū)間思路點(diǎn)撥：解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵是巧妙構(gòu)建公式c()、c()、s()、s()的右側(cè)，逆用公式化成一個(gè)角的一種三角函數(shù)值(1)原式2.法一：(化正弦)原式222sin2sin.法二：(化余弦)原式222cos2cos.(2)解f(x)sin xcos x222sin，t2，值域2,2由2kx2k，得遞增區(qū)間，kz.1

11、若將本例(2)中a(，1)改為a(1，)，其他條件不變，如何解答？解f(x)sin xcos x22cos，t2，值域?yàn)?,2，由2kx2k，得遞增區(qū)間，kz.2若將本例(2)中a(，1)改為a(m，m)其中m0，其他條件不變，應(yīng)如何解答？解f(x)msin xmcos xmsin，t2，值域?yàn)閙，m，由2kx2k，得遞增區(qū)間，kz.輔助角公式及其運(yùn)用(1)公式形式：公式asin bcos sin()(或asin bcos cos()將形如asin bcos (a，b不同時(shí)為零)的三角函數(shù)式收縮為同一個(gè)角的一種三角函數(shù)式.(2)形式選擇：化為正弦還是余弦，要看具體條件而定，一般要求變形后角的系

12、數(shù)為正，這樣更有利于研究函數(shù)的性質(zhì).提醒：在使用輔助角公式時(shí)常因把輔助角求錯(cuò)而致誤.1公式的推導(dǎo)和記憶(1)理順公式間的邏輯關(guān)系c()c()s()s()(2)注意公式的結(jié)構(gòu)特征和符號(hào)規(guī)律對(duì)于公式c()，c()可記為“同名相乘，符號(hào)反”；對(duì)于公式s()，s()可記為“異名相乘，符號(hào)同”(3)符號(hào)變化是公式應(yīng)用中易錯(cuò)的地方，特別是公式c()，c()，s()，且公式sin()sin cos cos sin ，角，的“地位”不同也要特別注意2應(yīng)用公式需注意的三點(diǎn)(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正確地找出所給式子與公式右邊的異同，并積極創(chuàng)造條件逆用公式(2)注意拆角、拼角的技巧，將

13、未知角用已知角表示出來(lái)，使之能直接運(yùn)用公式(3)注意常值代換：用某些三角函數(shù)值代替某些常數(shù)，使之代換后能運(yùn)用相關(guān)公式，其中特別要注意的是“1”的代換，如1sin2cos2，1sin 90，cos 60，sin 60等，再如：0，等均可視為某個(gè)特殊角的三角函數(shù)值，從而將常數(shù)換為三角函數(shù)1下列說(shuō)法不正確的是()a存在角，使得cos()cos cos sin sin b任意角，都有sin()sin cos cos sin c存在角，使sin()sin cos cos sin d存在角，使sin()sin cos cos sin ca對(duì)，當(dāng)2k時(shí)，cos 1，sin 0，等式成立；b對(duì)，這是恒等式，對(duì)任意，均成立；c錯(cuò)，sin()sin cos cos sin