2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 直線和圓的方程 2.5 2.5.1 第1課時 直線與圓的位置關(guān)系學(xué)案 新人教A版選擇性必修第一冊

1、2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 直線和圓的方程 2.5 2.5.1 第1課時 直線與圓的位置關(guān)系學(xué)案 新人教a版選擇性必修第一冊2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 直線和圓的方程 2.5 2.5.1 第1課時 直線與圓的位置關(guān)系學(xué)案 新人教a版選擇性必修第一冊年級：姓名：2.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系2.5.1直線與圓的位置關(guān)系第1課時直線與圓的位置關(guān)系學(xué) 習(xí) 任 務(wù)核 心 素 養(yǎng)1.掌握直線與圓的三種位置關(guān)系：相交、相切、相離(重點(diǎn))2.會用代數(shù)法和幾何法來判斷直線與圓的三種位置關(guān)系(難點(diǎn))3.能用直線與圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題(難點(diǎn))通過研究直線與圓的位置關(guān)系，提升邏輯

2、推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng).在日常生活中，可以見到很多有關(guān)直線與圓位置關(guān)系的形象，如圖所示我們已經(jīng)知道，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與圓都可以用方程來表示，一個點(diǎn)是否在直線上或圓上，只要看這個點(diǎn)的坐標(biāo)是否滿足它們的方程即可那么，能否利用直線與圓的方程來研究它們之間的位置關(guān)系呢？知識點(diǎn)直線axbyc0與圓(xa)2(yb)2r2的位置關(guān)系及判斷位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個數(shù)兩個一個零個判定方法幾何法：設(shè)圓心到直線的距離ddrdrdr代數(shù)法：由消元得到一元二次方程，計算方程的判別式000用“代數(shù)法”與“幾何法”判斷直線與圓的位置關(guān)系各有什么特點(diǎn)？提示“幾何法”與“代數(shù)法”判斷直線與圓的位置關(guān)系

3、，是從不同的方面，不同的思路來判斷的“幾何法”更多地側(cè)重于“形”，更多地結(jié)合了圖形的幾何性質(zhì)；“代數(shù)法”則側(cè)重于“數(shù)”，它傾向于“坐標(biāo)”與“方程”直線3x4y5與圓x2y216的位置關(guān)系是()a相交b相切c相離d相切或相交a圓心到直線的距離d10時，即m0或m時，直線與圓相交，即直線與圓有兩個公共點(diǎn)；(2)當(dāng)0時，即m0或m時，直線與圓相切，即直線與圓只有一個公共點(diǎn)；(3)當(dāng)0時，即m0時，直線與圓相離，即直線與圓沒有公共點(diǎn)法二：已知圓的方程可化為(x2)2(y1)24，即圓心為c(2,1)，半徑r2.圓心c(2,1)到直線mxym10的距離d.(1)當(dāng)d0或m2時，即m0，則相交；若有兩組相

4、同的實數(shù)解，即0，則相切；若無實數(shù)解，即0，則相離(2)幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小來判斷：當(dāng)dr時，直線與圓相離跟進(jìn)訓(xùn)練1(1)已知圓c：x2y24x0，l是過點(diǎn)p(3,0)的直線，則()al與c相交bl與c相切cl與c相離d以上三個選項均有可能(2)設(shè)m0，則直線l：(xy)1m0與圓o：x2y2m的位置關(guān)系為()a相切b相交c相切或相離d相交或相切(1)a(2)c(1)將點(diǎn)p(3,0)代入圓的方程，得32024391231，所以點(diǎn)a在圓外，故切線有兩條若所求直線的斜率存在，設(shè)切線斜率為k，則切線方程為y3k(x4)，即kxy4k30.設(shè)圓心為c，因為圓心c(3,1)到切線的

5、距離等于半徑1，所以1，即|k4|，所以k28k16k21，解得k.所以切線方程為xy30，即15x8y360.若直線斜率不存在，圓心c(3,1)到直線x4的距離為1，這時直線x4與圓相切，所以另一條切線方程為x4.綜上，所求切線方程為15x8y360或x4.(2)解根據(jù)題意，圓m：x2y24x10，即(x2)2y25，其圓心m(2,0)，直線l：axby30與圓m：x2y24x10相切于點(diǎn)p(1,2)，則p在直線l上且mp與直線l垂直kmp2，則有，則有b2a，又由p在直線l上，則有a2b30，可解得a1，b2，則直線l的方程為x2y30.若本例(1)中的條件不變，如何求其切線長？解設(shè)圓心c

6、(3,1)，則|ac|，則切線長d4.圓的切線方程的求法(1)點(diǎn)在圓上時求過圓上一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程：先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k，再由垂直關(guān)系得切線的斜率為，由點(diǎn)斜式可得切線方程如果斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程yy0或xx0.(2)點(diǎn)在圓外時幾何法：設(shè)切線方程為yy0k(xx0)由圓心到直線的距離等于半徑，可求得k，也就得切線方程代數(shù)法：設(shè)切線方程為yy0k(xx0)，與圓的方程聯(lián)立，消去y后得到關(guān)于x的一元二次方程，由0求出k，可得切線方程提醒：切線的斜率不存在的情況，不要漏解跟進(jìn)訓(xùn)練2(1)過圓x2y22x4y0上一點(diǎn)p(3,3)的切線方程為()a2xy90b2x

7、y90c2xy90d2xy90(2)由直線yx1上任一點(diǎn)向圓(x3)2y21引切線，則該切線長的最小值為()a1b2cd3(1)b(2)c(1)x2y22x4y0的圓心為c(1,2)，kpc，切線的斜率k2，切線方程為y32(x3)，即2xy90.(2)圓心c(3,0)到y(tǒng)x1的距離d2.所以切線長的最小值為l. 類型3直線與圓相交問題【例3】(1)求直線l：3xy60被圓c：x2y22y40截得的弦長|ab|.(2)過點(diǎn)(4,0)作直線l與圓x2y22x4y200交于a，b兩點(diǎn)，如果|ab|8，求直線l的方程直線和圓相交有兩個交點(diǎn)，在求弦長時，可先求出兩個交點(diǎn)坐標(biāo)再求弦長，若不求交點(diǎn)坐標(biāo)，可

8、用什么方法求弦長？解(1)法一：(求交點(diǎn)坐標(biāo))聯(lián)立直線l與圓c的方程，得解得所以交點(diǎn)為a(1,3)，b(2,0)故直線l：3xy60被圓c：x2y22y40截得的弦長|ab|.法二：(構(gòu)造直角三角形)圓的方程可化為x2(y1)25，則圓心c(0,1)，半徑r，圓心c(0,1)到直線l：3xy60的距離d，則弦長|ab|2.(2)將圓的方程配方得(x1)2(y2)225，由圓的性質(zhì)可得，圓心到直線l的距離d3.當(dāng)直線l的斜率不存在時，x4滿足題意；當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為yk(x4)，即kxy4k0.由點(diǎn)到直線的距離公式，得3，解得k，所以直線l的方程為5x12y200.綜上所述，直線

9、l的方程為x40或5x12y200.求圓的弦長的兩個方法圓的性質(zhì)利用圓的半徑r，圓心到直線的距離d，弦長l之間的關(guān)系r2d2解題交點(diǎn)坐標(biāo)若直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)易求出，求出交點(diǎn)坐標(biāo)后，直接用兩點(diǎn)間距離公式計算弦長跟進(jìn)訓(xùn)練3(1)過點(diǎn)(3,1)作圓(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦的長為_(2)圓心為c(2，1)，截直線yx1的弦長為2的圓的方程為_(1)2(2)(x2)2(y1)24(1)設(shè)點(diǎn)a(3,1)，易知圓心c(2,2)，半徑r2.當(dāng)弦過點(diǎn)a(3,1)且與ca垂直時為最短弦，|ca|，半弦長為.最短弦的長為2.(2)設(shè)圓的半徑為r，由條件，得圓心到直線yx1的距離d.又由題意知，半弦長為

10、，r2224，得r2.圓的方程為(x2)2(y1)24.1直線yx1與圓x2y21的位置關(guān)系是()a相切b相交但直線不過圓心c直線過圓心d相離b圓心(0,0)到直線yx1的距離d1，直線與圓x2y21相交，又(0,0)不在yx1上，直線不過圓心2(多選題)若直線3x4yb與圓x2y22x2y10相切，則b的值是()a2b12c2d12cd圓的方程為x2y22x2y10，可化為(x1)2(y1)21，由圓心(1,1)到直線3x4yb0的距離為1，得b2或12.3過點(diǎn)p(0,1)的直線l與圓(x1)2(y1)21相交于a，b兩點(diǎn)，若|ab|，則該直線的斜率為()a1bcd2a由題意設(shè)直線l的方程為

11、ykx1，因為圓(x1)2(y1)21的圓心為(1,1)，半徑為r1，又弦長|ab|，所以圓心到直線的距離為d，所以有，解得k1.4過點(diǎn)p(2,3)且與圓(x1)2(y2)21相切的直線方程為_x2或y3p(2,3)在圓(x1)2(y2)21外，過點(diǎn)p(2,3)與圓(x1)2(y2)21相切的直線有兩條當(dāng)斜率存在時，設(shè)切線的斜率為k，則切線方程為y3k(x2)，即kxy32k0，1，k0，切線方程為y3，當(dāng)斜率不存在時，切線方程為x2.5過圓x2y28內(nèi)的點(diǎn)p(1,2)作直線l交圓于a，b兩點(diǎn)若直線l的傾斜角為135，則弦ab的長為_由題意知直線l的方程為y2(x1)，即xy10，圓心o(0,0)到直線l的距離為d，則有|ab|22.回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題：(1)判斷直線和圓的位置關(guān)系有哪些方法？提示幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系判斷.代數(shù)法：根據(jù)直線與圓的方程組成的方程組解的個數(shù)來判斷.(2)如何求過圓外一點(diǎn)或圓上一點(diǎn)的圓的切線？提示點(diǎn)在圓上時，可先求點(diǎn)與圓心連