2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 等式與不等式 2.2 2.2.4 第1課時(shí) 均值不等式學(xué)案 新人教B版必修第一冊

1、2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 等式與不等式 2.2 2.2.4 第1課時(shí) 均值不等式學(xué)案 新人教b版必修第一冊2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 等式與不等式 2.2 2.2.4 第1課時(shí) 均值不等式學(xué)案 新人教b版必修第一冊年級(jí)：姓名：2.2.4均值不等式及其應(yīng)用第1課時(shí)均值不等式學(xué) 習(xí) 任 務(wù)核 心 素 養(yǎng)1掌握均值不等式，明確均值不等式成立的條件(難點(diǎn))2會(huì)用均值不等式證明一些簡單的不等式或比較代數(shù)式的大小(重點(diǎn))1通過不等式的證明，培養(yǎng)邏輯推理的素養(yǎng)2通過均值不等式形式求簡單的最值問題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).如圖，是第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)它依據(jù)我國著名數(shù)學(xué)家趙爽為研究

2、勾股定理所作的“弦圖”進(jìn)行設(shè)計(jì)，顏色的明暗使其看起來像一個(gè)風(fēng)車問題依據(jù)會(huì)標(biāo)，你能找到一些相等或不等關(guān)系嗎？知識(shí)點(diǎn)一重要不等式對任意實(shí)數(shù)a，b，有a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立1若x2y24，則xy的最大值是()ab1c2d4cxy2，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)取“”知識(shí)點(diǎn)二算術(shù)平均值與幾何平均值給定兩個(gè)正數(shù)a，b，數(shù)稱為a，b的算術(shù)平均值；數(shù)稱為a，b的幾何平均值知識(shí)點(diǎn)三均值不等式1均值不等式：如果a，b都是正數(shù)，那么，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立2幾何意義：所有周長一定的矩形中，正方形的面積最大1均值不等式中的a，b只能是具體的數(shù)嗎？提示a，b既可以是具體的某個(gè)數(shù)，也可以是代數(shù)式2.均值不等式的敘

3、述中，“正數(shù)”二字能省略嗎？提示不能如a3，b4，均值不等式不成立3均值不等式的常見變形(1)當(dāng)a0，b0，則ab2；(2)若a0，b0，則ab.2.思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)對任意a，br，a2b22ab，ab2均成立()(2)若a0，則a22.()(3)若a0，b0，則ab.()答案(1)(2)(3)提示(1)任意a，br，有a2b22ab成立，當(dāng)a，b都為正數(shù)時(shí)，不等式ab2成立(2)只有當(dāng)a0時(shí)，根據(jù)均值不等式，才有不等式a22成立(3)因?yàn)椋詀b.3.(對接教材p77習(xí)題22a)已知x0，則yx2的最小值是_22x0，0，y22，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x時(shí)等號(hào)成立4.當(dāng)

4、a，br時(shí)，下列不等關(guān)系成立的是_(填序號(hào))；ab2；a2b22ab；a2b22ab.根據(jù)ab，成立的條件判斷，知錯(cuò)，只有正確 類型1對均值不等式的理解【例1】給出下面三個(gè)推導(dǎo)過程：a，b為正實(shí)數(shù)，22；ar，a0，a24；x，yr，xy0，22.其中正確的推導(dǎo)為()abcdba，b為正實(shí)數(shù)，為正實(shí)數(shù)，符合均值不等式的條件，故的推導(dǎo)正確；ar，a0，不符合均值不等式的條件，a24是錯(cuò)誤的；由xy0，得，均為負(fù)數(shù)，但在推導(dǎo)過程中將整體提出負(fù)號(hào)后，均變?yōu)檎龜?shù)，符合均值不等式的條件，故正確均值不等式使用的條件是什么？提示利用均值不等式求最值時(shí)，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：“一正

5、”是，要判斷參數(shù)是否為正；“二定”是，要看和或積是否為定值(和定積最大，積定和最小)；“三相等”是，一定要驗(yàn)證等號(hào)能否成立(主要注意兩點(diǎn)，一是相等時(shí)參數(shù)是否在定義域內(nèi)，二是多次用或時(shí)等號(hào)能否同時(shí)成立)1下列不等式的推導(dǎo)過程正確的是_若x1，則x22；若x0，則x24；若a，br，則22. 中忽視了均值不等式等號(hào)成立的條件，當(dāng)x時(shí)，即當(dāng)x1時(shí)，x2等號(hào)成立，因?yàn)閤1，所以x2.中忽視了利用均值不等式時(shí)每一項(xiàng)必須為正數(shù)這一條件 類型2利用均值不等式比較大小【例2】(1)已知a，b(0，)，則下列各式中不一定成立的是()aab2b2c2d(2)已知a，b，c是兩兩不等的實(shí)數(shù)，則pa2b2c2與qab

6、bcca的大小關(guān)系是_(1)d(2)pq(1)由得ab2，a成立；22，b成立；2，c成立；，d不一定成立(2)a，b，c互不相等，a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac.2(a2b2c2)2(abbcac)即a2b2c2abbcac.pq.1在理解均值不等式時(shí)，要從形式到內(nèi)含中理解，特別要關(guān)注條件2運(yùn)用均值不等式比較大小時(shí)應(yīng)注意不等式成立的條件，即ab2成立的條件是a0，b0，等號(hào)成立的條件是ab；a2b22ab成立的條件是a，br，等號(hào)成立的條件是ab.2如果0ab1，p，q，m，那么p，q，m的大小順序是()apqmbmpqcqmpdmqpb顯然，又因?yàn)椋?故mpq. 類型3

7、利用均值不等式證明不等式【例3】已知a，b，c是互不相等的正數(shù)，且abc1，求證：9.思路點(diǎn)撥看到9，想到將“1”換成“abc”，裂項(xiàng)構(gòu)造均值不等式的形式，用均值不等式證明證明a，b，cr，且abc1，33322232229.當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取等號(hào)，a，b，c互不相等，9.本例條件不變，求證：8.證明a，b，cr，且abc1，10，10，10，8，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取等號(hào)，a，b，c互不相等，8.1條件不等式的證明，要將待證不等式與已知條件結(jié)合起來考慮，比如本題通過“1”的代換，將不等式的左邊化成齊次式，一方面為使用均值不等式創(chuàng)造條件，另一方面可實(shí)現(xiàn)約分與不等式的右邊建立聯(lián)系2先局部運(yùn)用均值不等

8、式，再利用不等式的性質(zhì)(注意限制條件)，通過相加(乘)合成為待證的不等式，既是運(yùn)用均值不等式時(shí)的一種重要技能，也是證明不等式時(shí)的一種常用方法1對于任意a，br，下列不等式一定成立的是()aba2c2d2da選項(xiàng)，當(dāng)a0，且b0時(shí)不成立；b選項(xiàng)，當(dāng)a0時(shí)不成立；c選項(xiàng)，當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)不成立故選d2設(shè)ab0，則下列不等式中一定成立的是()aab0b01cabcab0，由均值不等式知一定成立3設(shè)0ab，且ab1，在下列四個(gè)數(shù)中最大的是()abbc2abda2b2bab，ab，2ab.0，a2b2.b(a2b2)(bb2)a2b(1b)a2aba2a(ba)0，ba2b2，b最大4不等式(x2)6(其中x2)中等號(hào)成立的條件是()ax3bx3cx5dx5c由均值不等式知等號(hào)成立的條件為x2，即x5(x1舍去)5若a0，b0且2a3，則的最大值為_因?yàn)閍0，b0，所以2a32，當(dāng)且僅當(dāng)2a，即a，b時(shí)，等號(hào)成立，所以.回顧本節(jié)知識(shí)，自我完成以下問題：1試比較不等式a2b22ab與的區(qū)別與聯(lián)系提示(1)兩個(gè)不等式a2b22ab與成立的條件是不同的前者要求a，b是實(shí)數(shù)即可，而后者要求a，b都是正實(shí)數(shù)(實(shí)際上后者只要a0，b0即可)(2)兩個(gè)不等式a2b22ab和都是帶有等號(hào)的不