理工大學 工程力學教程第03章 力矩與平面力偶系

1、第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系 3-1 3-1 關(guān)于力矩的概念及其計算關(guān)于力矩的概念及其計算 3-2 3-2 關(guān)于力偶的概念關(guān)于力偶的概念 3-3 3-3 平面力偶系的合成與平衡平面力偶系的合成與平衡 3-1 平面力對點之矩的概念和計算 一、平面問題中力對點之矩（力矩）一、平面問題中力對點之矩（力矩） 力矩通常以力矩通常以 來表示，來表示，M M 的下標的下標O O表示力對哪一點取矩表示力對哪一點取矩 力矩作用面，力矩作用面， 稱為稱為矩心矩心， 到力的作用線的垂直距離到力的作用線的垂直距離 稱稱 為為力臂力臂 OO h hFFM 0 力對點之矩可看作是力對點之矩可看作是代數(shù)量

2、代數(shù)量，它的絕對值等于力的大小與，它的絕對值等于力的大小與 力臂的乘積，它的力臂的乘積，它的正負正負：力使物體繞矩心逆時針轉(zhuǎn)向時為正，：力使物體繞矩心逆時針轉(zhuǎn)向時為正， 反之為負。常用單位或反之為負。常用單位或mNmkN 0 MF o A B d F 由圖可知：由圖可知： ()2 o MFOAB 的面積的面積 平面內(nèi)力對點之矩是代數(shù)量，不僅與力的大小有關(guān)，且與矩心位置有關(guān)。平面內(nèi)力對點之矩是代數(shù)量，不僅與力的大小有關(guān)，且與矩心位置有關(guān)。 當當F=0 =0 或或 h=0 =0 時，時， =0=0。)(FMO 說明：說明： 力對一已知點之矩，不因力沿作用線的移動而改變。力對一已知點之矩，不因力沿作

3、用線的移動而改變。 互成平衡的兩個力對同一點之矩的代數(shù)和為零?；コ善胶獾膬蓚€力對同一點之矩的代數(shù)和為零。 力的作用線通過距心，則力矩為零；反之如果一個力的大小不為零，力的作用線通過距心，則力矩為零；反之如果一個力的大小不為零， 但它對某點的力矩為零，則此點的作用線必定通過該點，即但它對某點的力矩為零，則此點的作用線必定通過該點，即 力矩的概念是對物體上固定點的作用引出的，實際作用在物體上的力力矩的概念是對物體上固定點的作用引出的，實際作用在物體上的力 可以對任意點去矩，因此應(yīng)該具體問題具體分析?？梢詫θ我恻c去矩，因此應(yīng)該具體問題具體分析。 5 F Fx Fy O x y x y ( )sin(

4、) (sincossin cos ) O MFFdFr Fr 平面內(nèi)力矩的解析表達式平面內(nèi)力矩的解析表達式 d r - cos,sin xy FFFF cos,sinrxry Oyx MFxFyF 6 合力矩定理合力矩定理 平面匯交力系的合力對作用面內(nèi)任一點的矩，等于平面匯交力系的合力對作用面內(nèi)任一點的矩，等于 力系中各分力對同一點的矩的代數(shù)和。力系中各分力對同一點的矩的代數(shù)和。 已知：力系（已知：力系（F1， F2， F3， ， Fn ）可以合成為一個合力）可以合成為一個合力FR iR FF 則：則： 平面力系：平面力系： )()( iORO FMFM nR FFFF 21 n i xiiy

5、iiRO FyFxFM 1 )()( jFiFF yxi 7 解解：用力對點的矩法：用力對點的矩法 已知：如圖已知：如圖 F、Q、l, 求：求： 和和)(FMO )(QM O sin )( l FdFFMO lQQM O )( cot)( lFlFFM yxO lQQM o )( 應(yīng)用合力矩定理應(yīng)用合力矩定理 cotcossin)( lFlFFMO sin )( Fl FMO 根據(jù)具體情況，選擇計算量更 小的方法進行力矩的計算。 支架如圖所示，已知支架如圖所示，已知ABAB= =ACAC=30cm,=30cm,CDCD=15cm,=15cm, F F= =100N,100N, 30 求：求：

6、對對A A、B B、C C三點之矩。三點之矩。F F A B CD A d C d 解：由定義解：由定義 mNCDFFdFm mNADFFdFm CC AA 5730sin)( 52230sin)( 由合力矩定理由合力矩定理 mNADFABF ADFABFFm yxB 48.4830sin30cos )( 9 解解： 例例3 已知：如圖已知：如圖 F、R、r, , 求：求： )(FM A )()()( yAxAA FMFMFM 應(yīng)用合力矩定理應(yīng)用合力矩定理 A R F r Fx Fy sin)cos()(rFrRFFM yxA sinsin)cos(cos)(rFrRFFMA FrRFFMA

7、cos)( 將方程式展開將方程式展開 O B 3-2 關(guān)于力偶的概念 受兩個受兩個大小相等大小相等的的反向平行力反向平行力作用的物體作用的物體 顯然這些物體不滿足二力平衡條件，顯然這些物體不滿足二力平衡條件，不會達到平衡不會達到平衡。 d F F 在力學中，把在力學中，把大小相等、大小相等、 方向相反、作用線平行而不方向相反、作用線平行而不 重合重合的兩個具有特殊關(guān)系的的兩個具有特殊關(guān)系的 力作為一個整體，稱為力作為一個整體，稱為力偶力偶。 以以 表示。表示。),(FF 兩力作用線所決定的平面稱為兩力作用線所決定的平面稱為力偶的作用面力偶的作用面， 兩力作用線間的距離稱為兩力作用線間的距離稱為

8、力偶臂力偶臂。 力偶是具有特殊關(guān)系的力組成的力系，雖然力力偶是具有特殊關(guān)系的力組成的力系，雖然力 偶中每個力仍具有一般的力的性質(zhì)，但作為一個整偶中每個力仍具有一般的力的性質(zhì)，但作為一個整 體又有它體又有它本身的特性。本身的特性。 力偶的定義力偶的定義 1 1、力偶在任何坐標軸上的、力偶在任何坐標軸上的投影都等于零投影都等于零。因為力偶。因為力偶 中的兩個力大小相等、方向相反、作用線平行。因中的兩個力大小相等、方向相反、作用線平行。因 此投影必定為零。此投影必定為零。 2 2、力偶不能合成為一個力，或者說力偶沒有合力，、力偶不能合成為一個力，或者說力偶沒有合力， 即它不能一個力平衡；力偶是最簡單

9、的即它不能一個力平衡；力偶是最簡單的特殊力系特殊力系。 3 3、力偶對物體不產(chǎn)生移動效應(yīng)，只產(chǎn)生轉(zhuǎn)動、力偶對物體不產(chǎn)生移動效應(yīng)，只產(chǎn)生轉(zhuǎn)動 效應(yīng)，即它可以而且也效應(yīng)，即它可以而且也只能改變物體的轉(zhuǎn)動狀只能改變物體的轉(zhuǎn)動狀 態(tài)。態(tài)。 力偶矩力偶矩 一、力偶效應(yīng)的度量一、力偶效應(yīng)的度量- 設(shè)在剛體上作用有力偶（設(shè)在剛體上作用有力偶（F，F(xiàn) ），）， 現(xiàn)研究它對現(xiàn)研究它對O點的轉(zhuǎn)動效應(yīng)。點的轉(zhuǎn)動效應(yīng)。 力偶（力偶（F，F(xiàn) ）對）對O點的轉(zhuǎn)動效應(yīng)可點的轉(zhuǎn)動效應(yīng)可 用一矩矢用一矩矢 M 來度量（稱之為力偶矩）。來度量（稱之為力偶矩）。 ,( )()OOM F FMFMF x+dMFF xFd 力使物體轉(zhuǎn)

10、動的效應(yīng)用力矩來度量，因此力偶對物體的力使物體轉(zhuǎn)動的效應(yīng)用力矩來度量，因此力偶對物體的 轉(zhuǎn)動效應(yīng)也可以用力偶中的轉(zhuǎn)動效應(yīng)也可以用力偶中的兩個力兩個力對其作用平面內(nèi)對其作用平面內(nèi)任意任意 一點一點的的力矩之和力矩之和來度量。來度量。 F F d O x 力偶對物體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)取決于力偶對物體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)取決于三個要素三個要素 a.a.力偶矩的大?。毫εc力偶臂乘積力偶矩的大小：力與力偶臂乘積 b.b.力偶的轉(zhuǎn)動方向力偶的轉(zhuǎn)動方向 ABCdFM2 c.c.力偶的作用面力偶的作用面 + 力偶的方向：順時針為力偶的方向：順時針為 負；逆時針為正負；逆時針為正 同一平面內(nèi)同一平面內(nèi)力偶等效定理。力偶等效定理。

11、 在同一平面內(nèi)的兩個力偶，如果他們的在同一平面內(nèi)的兩個力偶，如果他們的力偶矩力偶矩大小相等，大小相等， 而且轉(zhuǎn)向相同，則這兩個力偶等效。而且轉(zhuǎn)向相同，則這兩個力偶等效。 三組力偶，力的大小、作用位置、力偶臂的長度不同，但三組力偶，力的大小、作用位置、力偶臂的長度不同，但 它們的力偶矩相等，轉(zhuǎn)向相同，三個力偶是等效的它們的力偶矩相等，轉(zhuǎn)向相同，三個力偶是等效的 = = 平面內(nèi)作用一力偶 加減平衡力系公理 力的合成 力的可傳性原理 證明：平面內(nèi)兩個等效的力偶，其力偶矩的大小相等，轉(zhuǎn)向相同證明：平面內(nèi)兩個等效的力偶，其力偶矩的大小相等，轉(zhuǎn)向相同 ABDABC ABDABC？ ABDdFFFM2, 1

12、RRR ABCFdFFM2, 力偶的性質(zhì)力偶的性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1. 1. 力偶可以在其作用面內(nèi)任意轉(zhuǎn)移，而不改變它對力偶可以在其作用面內(nèi)任意轉(zhuǎn)移，而不改變它對 剛體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)。剛體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)。 性質(zhì)性質(zhì)2 2：保持保持力偶矩力偶矩的大小和轉(zhuǎn)向不變的條件下，可以任的大小和轉(zhuǎn)向不變的條件下，可以任 意改變力偶中意改變力偶中力和力偶臂的大小力和力偶臂的大小，而不改變力偶對剛體的，而不改變力偶對剛體的 轉(zhuǎn)動效應(yīng)。轉(zhuǎn)動效應(yīng)。 力偶矩（包括大小和方向）才是度量力偶對剛體轉(zhuǎn)動效應(yīng)力偶矩（包括大小和方向）才是度量力偶對剛體轉(zhuǎn)動效應(yīng) 的依據(jù)。的依據(jù)。只要保證力偶矩的代數(shù)值不變，一個力偶就可以只要保證力偶矩的代數(shù)值

13、不變，一個力偶就可以 用同一平面內(nèi)的另一個力偶代替而不改變它對剛體的轉(zhuǎn)動用同一平面內(nèi)的另一個力偶代替而不改變它對剛體的轉(zhuǎn)動 效應(yīng)。效應(yīng)。 性質(zhì)性質(zhì)3. 3. 力偶沒有合力，力偶沒有合力，力偶只能由力偶來平衡力偶只能由力偶來平衡 1.力和力偶 小結(jié) 力偶使剛體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動；力可使剛體產(chǎn)生移 動+轉(zhuǎn)動. 2.力矩和力偶矩 同為度量轉(zhuǎn)動效應(yīng)的物理量.力矩與距心 位置有關(guān)，而力偶矩與矩心位置無關(guān). 1 M 2 M 3 M 3-3 3-3 平面力偶系的合成與平衡平面力偶系的合成與平衡 一、合成一、合成 AB 1 F 1 F d 11 MFd AB 2 F 2 F d 22 MF d AB 3 F 3 F d

14、 33 MF d 123 FFFF 123 ()FFFF F A B d F 123123 ()MFdFFF dMMM 結(jié)論：結(jié)論：平面力偶系合成的結(jié)果還是一個力偶（稱平面力偶系合成的結(jié)果還是一個力偶（稱 為合力偶），合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩為合力偶），合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩 的代數(shù)和。的代數(shù)和。 推廣得：推廣得： 12n MMMMM F F A 平面力偶系總可以簡化為圖平面力偶系總可以簡化為圖 示情形。若示情形。若F=0，則力偶系平衡，則力偶系平衡， 而力偶矩等于零。反之，若已知而力偶矩等于零。反之，若已知 合力偶矩等于零，則或是合力偶矩等于零，則或是F=0或或 是是d=0，無

15、論哪種情況，該力偶系，無論哪種情況，該力偶系 均平衡。因此可得結(jié)論：均平衡。因此可得結(jié)論： 平面力偶系平衡的必要與充分條件是：力偶系平面力偶系平衡的必要與充分條件是：力偶系 中各力偶矩的代數(shù)和等于零。中各力偶矩的代數(shù)和等于零。即：即： 0M 上式稱為上式稱為平面力偶系的平衡方程平面力偶系的平衡方程。 二、平衡條件二、平衡條件 d B 23 例例 在一鉆床上水平放置工件在一鉆床上水平放置工件, ,在工件上同時鉆四個等直徑在工件上同時鉆四個等直徑 的孔的孔, ,每個鉆頭的力偶矩為每個鉆頭的力偶矩為 求工件的總切削力偶矩和求工件的總切削力偶矩和A 、B端水平反力端水平反力? ? mN15 4321

16、mmmm 4321 mmmmM 解解: : 各力偶的合力偶距為各力偶的合力偶距為 mN60)15(4 n i i MM 1 24 02 . 0 4321 mmmmNB N300 2 . 0 60 B N N 300 BA NN 根據(jù)平面力偶系平衡方程有根據(jù)平面力偶系平衡方程有: : 由力偶只能與力偶平衡的性由力偶只能與力偶平衡的性 質(zhì)，力質(zhì)，力NA與力與力NB組成一力偶。組成一力偶。 0 1 n i i M 25 例例 已知：已知：M11kNm，l1m， 求平衡時求平衡時M2? ? 0 1 MlFE 解解: : kN l M F E 1 1 0 1 n i i M AB: CD: 0 1 n

17、i i M 0 2 MlF E kNmlFM E 1 2 B C l A D 45oE M1 M2 FE FA FC FE M2 E C l E A B M1 26 x y 例例 已知：已知：M13m/2， M2m/2， CD=l ， 求：求：AB、AC 桿所受力。桿所受力。 0 21 MMlF C cos 解解: : cosl m F C 0 1 n i i MCD: C:0 y F 0 BCC FF cos l m FBC FAC FC C B CD M1 M2 A M1 M2D C FD FC FBC 0 x F 0 ACC FF sin tan l m FAC 系統(tǒng)如圖，系統(tǒng)如圖，ABAB桿上作用矩為桿上作用矩為M M的力的力 偶，設(shè)偶，設(shè)AC=2RAC=2R，R R為輪為輪C C的半徑，各物的半徑，各物 體的重量及摩擦不計。求繩子的拉力體的重量及摩擦不計。求繩子的拉力 和鉸和鉸A A對對ABAB桿的約束反力及地面對輪桿的約束反力及地面對輪C C 的反力。的反力。 M B A