2018年高考數(shù)學(xué)05 函數(shù)的單調(diào)性與最值教學(xué)案 文

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精專題05 函數(shù)的單調(diào)性與最值1。利用函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間，比較大小，解不等式;2.利用函數(shù)單調(diào)性求最值和參數(shù)的取值范圍；3.與導(dǎo)數(shù)交匯命題，以解答題形式考查 1函數(shù)單調(diào)性的定義增函數(shù)減函數(shù)定義設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)閍,區(qū)間ma，如果取區(qū)間m中任意兩個(gè)值x1，x2，改變量xx2x10,則當(dāng)yf(x2)f(x1)0時(shí)，就稱函數(shù)yf（x）在區(qū)間m上是增函數(shù)yf(x2）f（x1)0時(shí)，就稱函數(shù)yf(x）在區(qū)間m上是減函數(shù)圖象自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的2。單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間如果一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間m上是增函數(shù)或是減函數(shù)就說這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間m上具有單調(diào)性,區(qū)

2、間m稱為單調(diào)區(qū)間【特別提醒】1函數(shù)的單調(diào)性是局部性質(zhì)函數(shù)的單調(diào)性，從定義上看，是指函數(shù)在定義域的某個(gè)子區(qū)間上的單調(diào)性，是局部的特征在某個(gè)區(qū)間上單調(diào),在整個(gè)定義域上不一定單調(diào)2函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子區(qū)間，所以求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須先求出函數(shù)的定義域?qū)τ诨境醯群瘮?shù)的單調(diào)區(qū)間可以直接利用已知結(jié)論求解，如二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等；如果是復(fù)合函數(shù)，應(yīng)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法，首先判斷兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)“同則增，異則減”的法則求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間3單調(diào)區(qū)間的表示單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示,不能用集合或不等式表示；如有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫，不能用并集符號(hào)“”聯(lián)

3、結(jié),也不能用“或聯(lián)結(jié)高頻考點(diǎn)一確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)例1、（1)函數(shù)f(x)log(x24）的單調(diào)遞增區(qū)間為()a(0，） b（，0)c（2，） d(，2）（2）試討論函數(shù)f(x）(a0)在（1，1）上的單調(diào)性答案d（2)解法一設(shè)1x1x21，f（x）aa,f(x1)f(x2）aa,由于1x1x20,x11f(x2），函數(shù)f（x)在（1,1）上遞減；當(dāng)a0時(shí)，f（x1)f(x2）0，即f(x1）f(x2）,函數(shù)f(x)在（1,1）上是增函數(shù)法二f(x）.當(dāng)a0時(shí)，f（x）0，函數(shù)f（x）在(1，1）上遞減;當(dāng)a0，函數(shù)f（x)在（1,1）上遞增?！痉椒ㄒ?guī)律】（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求定義

4、域，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間，如例1（1)(2)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法有:定義法；圖象法；利用已知函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)法（3)函數(shù)yf（g（x)的單調(diào)性應(yīng)根據(jù)外層函數(shù)yf(t)和內(nèi)層函數(shù)tg(x）的單調(diào)性判斷,遵循“同增異減的原則【變式探究】 判斷函數(shù)f(x）x(a0)在（0，)上的單調(diào)性，并給出證明解f(x）在(0，上是減函數(shù),在，）上是增函數(shù)證明如下:所以函數(shù)f(x)在，)上是增函數(shù)綜上可知，函數(shù)f（x)x（a0)在（0，上是減函數(shù)，在,）上為增函數(shù)法二f（x)1，令f（x）0，則10,解得x或x（舍）令f（x）0，則10,解得x0，0x。f（x）在(0,上為減函數(shù)，在，）上為增函數(shù)高頻考點(diǎn)二函數(shù)

5、的最值例2、(1)已知函數(shù)f（x）則f(f（3）_，函數(shù)f（x)的最大值是_(2)已知函數(shù)f(x)，x1，）且a1.當(dāng)a時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；若對(duì)任意x1,)，f（x)0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍(1)解析由于f(x)所以f(3）log31，則f(f（3）)f(1)3，當(dāng)x1時(shí)，f(x）logx是減函數(shù)，得f(x)0。當(dāng)x1時(shí)，f（x）x22x（x1)21在（，1上單調(diào)遞增，則f(x)1,綜上可知,f(x)的最大值為1。答案31(2)解當(dāng)a時(shí)，f（x）x2，設(shè)1x1x2，則f（x2)f(x1)(x2x1）,令g(x）(x22x)（x1）21，x1，）,g(x）在1，)上是減函數(shù)，g（x

6、)maxg（1）3.又a1，當(dāng)3a1時(shí)，f(x)0在x1，）上恒成立故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(3，1【方法規(guī)律】(1)求函數(shù)最值的常用方法：?jiǎn)握{(diào)性法；均值不等式法；配方法；圖象法；導(dǎo)數(shù)法（2)利用單調(diào)性求最值，應(yīng)先確定函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)性質(zhì)求解若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上是增函數(shù)，則f（x)在a,b上的最大值為f(b)，最小值為f（a)若函數(shù)f（x)在閉區(qū)間a，b上是減函數(shù)，則f(x）在a，b上的最大值為f(a)，最小值為f(b）【變式探究】 如果函數(shù)f（x）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有f（1x)f（x），且當(dāng)x時(shí),f(x）log2(3x1)，那么函數(shù)f(x）在2，0上的最大值與最小值之和為（）a2

7、 b3 c4 d1答案c高頻考點(diǎn)三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用例3、 (2016天津卷）已知f（x）是定義在r上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(，0)上單調(diào)遞增若實(shí)數(shù)a滿足f（2|a1|）f（），則a的取值范圍是_解析f（x）在r上是偶函數(shù)，且在區(qū)間（，0）上單調(diào)遞增，f(x）在(0,)上是減函數(shù),則f(2a1）f（）f(），因此2a12，又y2x是增函數(shù)，|a1|，解得0的解集為_解析（1）對(duì)任意x1x2，都有0。所以yf(x）在（,）上是增函數(shù)所以解得a2.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.所以原不等式的解集為.答案(1)（2)【方法規(guī)律】(1）利用單調(diào)性求參數(shù)的取值（范圍）的思路是：根據(jù)其單調(diào)性直接構(gòu)建參數(shù)滿足的方程（組）

8、(不等式（組）)或先得到其圖象的升降,再結(jié)合圖象求解（2）在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí)，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號(hào)脫掉,使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解，此時(shí)應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域1.【2016高考天津理數(shù)】已知f(x)是定義在r上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(，0)上單調(diào)遞增。若實(shí)數(shù)a滿足，則a的取值范圍是_?！敬鸢浮俊窘馕觥坑深}意在上單調(diào)遞減,又是偶函數(shù)，則不等式可化為，則,解得 2.【2016高考新課標(biāo)1卷】函數(shù)在的圖像大致為（a）(b）(c）（d)【答案】d 3.【2016高考上海理數(shù)】設(shè)、是定義域?yàn)榈娜齻€(gè)函數(shù)，對(duì)于命題：若、均為增函數(shù)，則、中至少有一個(gè)增函數(shù)；若、均是以為周期的函數(shù)，則、均

9、是以為周期的函數(shù)，下列判斷正確的是（ ）、和均為真命題 、和均為假命題、為真命題,為假命題 、為假命題,為真命題 【答案】d【解析】不成立，可舉反例, ， 前兩式作差，可得結(jié)合第三式，可得, 也有正確故選d。 【2015高考湖北，理6】已知符號(hào)函數(shù) 是上的增函數(shù)，則（ )a bc d【答案】b【2015高考安徽，理15】設(shè)，其中均為實(shí)數(shù),下列條件中，使得該三次方程僅有一個(gè)實(shí)根的是 .（寫出所有正確條件的編號(hào)） ；;；.【答案】【解析】令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí),，所以單調(diào)遞增,且至少存在一個(gè)數(shù)使，至少存在一個(gè)數(shù)使，所以必有一個(gè)零點(diǎn),即方程僅有一根，故正確；當(dāng)時(shí),若，則，易知，在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減，

10、所以，要使方程僅有一根，則或者，解得或,故正確。所以使得三次方程僅有一個(gè)實(shí) 根的是。(2014北京卷）下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,）上為增函數(shù)的是(）ay by（x1）2 cy2x dylog0。5(x1）【答案】a【解析】由基本初等函數(shù)的性質(zhì)得，選項(xiàng)b中的函數(shù)在(0，1）上遞減,選項(xiàng)c，d中的函數(shù)在（0,）上為減函數(shù)，所以排除b，c，d，選a。（2014福建卷）已知函數(shù)f（x）則下列結(jié)論正確的是(）af（x)是偶函數(shù)bf（x）是增函數(shù)cf(x)是周期函數(shù)df（x)的值域?yàn)?，)【答案】d（2014四川卷）設(shè)f（x）是定義在r上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)x1，1）時(shí)，f(x)則f_【答案】1【解析】由題

11、意可知，fff421.(2014四川卷）以a表示值域?yàn)閞的函數(shù)組成的集合,b表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)(x）組成的集合:對(duì)于函數(shù)（x)，存在一個(gè)正數(shù)m,使得函數(shù)(x）的值域包含于區(qū)間m,m例如,當(dāng)1(x）x3，2(x）sin x時(shí),1(x）a，2（x）b.現(xiàn)有如下命題：設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閐，則“f(x)a”的充要條件是“br,ad，f(a）b”；函數(shù)f(x)b的充要條件是f（x）有最大值和最小值；若函數(shù)f（x），g(x）的定義域相同，且f（x）a，g(x)b，則f（x）g（x)b;若函數(shù)f(x）aln（x2）(x2，ar)有最大值，則f（x）b。其中的真命題有_（寫出所有真命題的序號(hào))【答案

12、】【解析】若f(x)a，則f（x）的值域?yàn)閞，于是，對(duì)任意的br,一定存在ad，使得f（a）b,故正確取函數(shù)f（x）x（1x1)，其值域?yàn)?1，1),于是，存在m1，使得f（x）的值域包含于m，m1，1,但此時(shí)f（x)沒有最大值和最小值，故錯(cuò)誤當(dāng)f（x)a時(shí)，由可知，對(duì)任意的br，存在ad，使得f（a)b，所以，當(dāng)g（x）b時(shí)，對(duì)于函數(shù)f(x）g(x)，如果存在一個(gè)正數(shù)m，使得f(x)g（x）的值域包含于m,m，那么對(duì)于該區(qū)間外的某一個(gè)b0r，一定存在一個(gè)a0d,使得f（a0)bg(a0),即f（a0)g(a0)b0m,m，故正確對(duì)于f(x）aln(x2) (x2），當(dāng)a0或a0時(shí)，函數(shù)f（x

13、）都沒有最大值要使得函數(shù)f（x)有最大值,只有a0，此時(shí)f(x) （x2)易知f（x）,所以存在正數(shù)m，使得f（x）m，m，故正確（2014四川卷）已知函數(shù)f（x）exax2bx1，其中a，br，e2.718 28為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)(1)設(shè)g(x）是函數(shù)f（x)的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)g(x）在區(qū)間0，1上的最小值；(2)若f(1）0，函數(shù)f(x）在區(qū)間(0，1）內(nèi)有零點(diǎn)，求a的取值范圍當(dāng)a時(shí)，令g（x）0，得xln（2a)(0，1)，所以函數(shù)g（x)在區(qū)間0，ln（2a)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(ln(2a）,1上單調(diào)遞增，于是，g(x）在0，1上的最小值是g(ln(2a)2a2aln（2a）b。綜上所述，

14、當(dāng)a時(shí)，g(x）在0，1上的最小值是g（0）1b；當(dāng)a時(shí)，g（x）在0,1上的最小值是g（ln(2a）2a2aln(2a)b；當(dāng)a時(shí)，g（x）在0，1上的最小值是g(1)e2ab.(2）設(shè)x0為f（x）在區(qū)間(0，1）內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)，則由f（0）f（x0)0可知，f(x)在區(qū)間（0,x0）上不可能單調(diào)遞增，也不可能單調(diào)遞減則g（x)不可能恒為正,也不可能恒為負(fù)故g（x）在區(qū)間（0，x0)內(nèi)存在零點(diǎn)x1。同理g（x)在區(qū)間（x0,1）內(nèi)存在零點(diǎn)x2。故g（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn)由(1）知，當(dāng)a時(shí),g（x)在0,1上單調(diào)遞增，故g（x）在（0，1)內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a時(shí),g（x）在0

15、，1上單調(diào)遞減，故g(x)在(0，1）內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)，都不合題意所以a.從而f（x）在區(qū)間0，1內(nèi)單調(diào)遞增,這與f(0）f(1）0矛盾，所以g（ln(2a）)0，g（1)1a0.故此時(shí)g(x）在（0，ln（2a）)和（ln(2a)，1)內(nèi)各只有一個(gè)零點(diǎn)x1和x2。由此可知f(x）在0，x1上單調(diào)遞增，在（x1,x2)上單調(diào)遞減，在x2，1上單調(diào)遞增所以f(x1)f（0）0，f(x2）f(1)0，故f(x）在（x1,x2）內(nèi)有零點(diǎn)綜上可知，a的取值范圍是(e2,1）（2013四川卷）已知函數(shù)f（x）其中a是實(shí)數(shù)設(shè)a（x1，f(x1）,b（x2,f（x2）為該函數(shù)圖像上的兩點(diǎn),且x1x2。（1)

16、指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2）若函數(shù)f(x）的圖像在點(diǎn)a，b處的切線互相垂直，且x20，求x2x1的最小值；(3)若函數(shù)f（x)的圖像在點(diǎn)a，b處的切線重合,求a的取值范圍【解析】（1）函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(，1）,單調(diào)遞增區(qū)間為1，0),（0，)(2)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，點(diǎn)a處的切線斜率為f（x1),點(diǎn)b處的切線斜率為f（x2）,故當(dāng)點(diǎn)a處的切線與點(diǎn)b處的切線垂直時(shí)，有f（x1）f(x2）1。 當(dāng)x0時(shí),對(duì)函數(shù)f（x)求導(dǎo)，得f(x)2x2。因?yàn)閤1x20，所以，(2x12）（2x22）1，所以2x120,2x220.因此x2x1（2x12）2x221，當(dāng)且僅當(dāng)（2x12)2x

17、221，即x1且x2時(shí)等號(hào)成立所以，函數(shù)f（x)的圖像在點(diǎn)a，b處的切線互相垂直時(shí),x2x1的最小值為1。兩切線重合的充要條件是由及x10x2，知1x10.由得，axln1xln(2x12）1.設(shè)h(x1)xln（2x12)1（1x10),則h（x1）2x10.所以，h(x1）（1x1h(0）ln 21，所以aln 21.又當(dāng)x1(1，0）且趨近于1時(shí)，h(x1）無限增大，所以a的取值范圍是(ln 21，)故當(dāng)函數(shù)f（x)的圖像在點(diǎn)a,b處的切線重合時(shí),a的取值范圍是（ln 21，）（2013四川卷）設(shè)函數(shù)f(x）(ar,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）若曲線ysinx上存在（x0，y0）使得f（f（y0

18、)）y0，則a的取值范圍是（)a1,e be11,1c1，e1 de11，e1【答案】a當(dāng)x時(shí),ex0,2x10，故g(x)0，當(dāng)x時(shí)，ex1，02x11，故g(x）0。綜上,g(x)在x0，1上恒大于0，所以g(x）在0,1上為增函數(shù)，值域?yàn)?，e，從而a的取值范圍是1，e(2013四川卷）函數(shù)y的圖像大致是(）圖15【答案】c【解析】函數(shù)的定義域是xr|x0，排除選項(xiàng)a；當(dāng)x0時(shí)，x30，3x10，排除選項(xiàng)b；當(dāng)x時(shí),y0且y0，故為選項(xiàng)c中的圖像(2013新課標(biāo)全國(guó)卷 已知函數(shù)f（x）x3ax2bxc，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（)ax0r，f（x0）0b函數(shù)yf(x）的圖像是中心對(duì)稱圖形c若x

19、0是f（x)的極小值點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間（,x0）單調(diào)遞減d若x0是f（x)的極值點(diǎn),則f(x0)0【答案】c 1若函數(shù)f(x）|2xa|的單調(diào)遞增區(qū)間是3，），則a的值為（)a2 b2 c6 d6【解析】由圖象易知函數(shù)f(x)|2xa的單調(diào)增區(qū)間是，)，令3，a6。【答案】c2下列函數(shù)中，在區(qū)間（1，1）上為減函數(shù)的是（）ay bycos xcyln(x1） dy2x【解析】y與yln（x1)在(1，1)上為增函數(shù)，且ycos x在（1，1)上不具備單調(diào)性a，b，c不滿足題意只有y2x在（1，1）上是減函數(shù)【答案】d3定義新運(yùn)算“”：當(dāng)ab時(shí)，aba2；當(dāng)ab時(shí)，abb2,則函數(shù)f（x)(1

20、x)x(2x)，在區(qū)間2，2上的最大值等于（）a1 b1 c6 d12【解析】由已知得當(dāng)2x1時(shí)，f（x)x2,當(dāng)1x2時(shí)，f(x）x32.f(x)x2,f（x）x32在定義域內(nèi)都為增函數(shù)f(x）的最大值為f（2)2326.【答案】c4已知函數(shù)yf（x）的圖象關(guān)于x1對(duì)稱，且在（1，)上單調(diào)遞增,設(shè)af，bf(2），cf(3),則a,b，c的大小關(guān)系為()acba bbaccbca dabc【解析】函數(shù)圖象關(guān)于x1對(duì)稱，aff，又yf(x)在（1，)上單調(diào)遞增,f（2)ff（3)，即b0）（1)求證：f(x）在(0,）上是增函數(shù)；（2）若f（x）在上的值域是，求a的值（1)證明設(shè)x2x10，則x2x10，x1x20，f（x2）f（x1