2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語 1.2 充分條件與必要條件教學(xué)案 選修2-1

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2 充分條件與必要條件 充分條件與必要條件古時候有個賣油郎叫洛孝，一天他在賣油回家的路上撿到30兩銀子，回家后其母親叫洛孝把銀子還給失主當(dāng)洛孝把銀子還給失主時，失主卻說自己丟了50兩銀子，叫洛孝拿出自己私留的20兩銀子兩人為此爭執(zhí)不休，告到縣衙，縣官聽了兩人的供述后，把銀子判給洛孝，失主含羞離去設(shè):a：洛孝主動歸還所拾銀兩b：洛孝無賴銀之情c：洛孝拾到30兩銀子，失主丟失50兩銀子d：洛孝所拾銀子不是失主所丟問題1:縣官得到結(jié)論b的依據(jù)是什么？它是b的什么條件？提示：a，充分條件問題2：縣官由c得出什么結(jié)論？它是c的什么條件?提示：d，必要條件充分條件和必要條件如果“

2、若p，則q形式的命題為真命題,即pq,稱p是q的充分條件，同時稱q是p的必要條件.充要條件已知：p：前年在倫敦舉行第30屆夏季奧運會q：前年是2012年問題1：“若p，則q為真命題嗎？p是q的什么條件?提示：是真命題,充分條件問題2:“若q，則p”是真命題嗎?p是q的什么條件?提示：是真命題，必要條件問題3：p是q的什么條件？q是p的什么條件？提示：充要條件，充要條件充要條件（1）如果既有pq，又有qp，通常記作pq，則稱p是q的充分必要條件,簡稱充要條件（2)p是q的充要條件也可以說成：p成立當(dāng)且僅當(dāng)q成立(3）如果p，q分別表示兩個命題,且它們互為充要條件，我們稱命題p和命題q是兩個相互等

3、價的命題(4)若pq，但q/ p，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件(5）若p/ q,且q/ p，則p是q的既不充分也不必要條件充分條件與必要條件的判斷，即對命題“若p，則q”與“若q，則p”進行真假判斷，若是一真一假則p是q的充分不必要條件或必要不充分條件；若是兩真則p是q的充要條件;若是兩假則p是q的即不充分又不必要條件 充分條件、必要條件的判斷例1下列各題中，p是q的什么條件?（1）p：a，b,c三數(shù)成等比數(shù)列，q：b；（2）p:yx4，q：x1，y3；(3）p：ab,q:2a2b；（4)p：abc是直角三角形，q：abc為等腰三角形思路點撥可先看p成立時,q是否成立，再反

4、過來若q成立時，p是否成立,從而判定p,q間的關(guān)系精解詳析(1)若a，b,c成等比數(shù)列，則b2ac，b，則p/ q；若b，當(dāng)a0，b0時，a，b，c不成等比數(shù)列，即q/ p，故p是q的既不充分也不必要條件（2）yx4不能得出x1，y3，即p/ q，而x1,y3可得xy4,即qp，故p是q的必要不充分條件（3）當(dāng)ab時，有2a2b，即pq，當(dāng)2a2b時，可得ab，即qp,故p是q的充要條件(4)法一：若abc是直角三角形不能得出abc為等腰三角形，即p/ q；若abc為等腰三角形也不能得出abc為直角三角形，即q/ p，故p是q的既不充分也不必要條件法二：如圖所示：p，q對應(yīng)集合間無包含關(guān)系，故

5、p是q的既不充分也不必要條件一點通充分必要條件判斷的常用方法：（1）定義法:分清條件和結(jié)論，利用定義判斷(2）等價法：將不易判斷的命題轉(zhuǎn)化為它的逆否命題判斷（3）集合法：設(shè)ax|p（x)，bxq（x），若x具有性質(zhì)p，則xa；若x具有性質(zhì)q，則xb.若ab，則p是q的充分不必要條件；若ba,則p是q的必要不充分條件；若ab，則p是q的充要條件；若ab且ba，則p是q的既不充分又不必要條件1設(shè)集合ax0，集合bx|x2|1，那么“ma”是“mb”的（）a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件d既不充分又不必要條件解析：集合ax|0x3，集合bx1x3，則由“ma”得不到“mb”,反之由“mb”

6、也得不到“ma，故選d.答案：d2對任意實數(shù)a，b,c給出下列命題：“ab”是“acbc”的充要條件；“a5是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)的充要條件；“ab”是“a2b2”的充分條件；“a5是“ab”不能得出a2b2,如a1，b2,為假命題；“由a5”不能得“a3”,而由“a3可得“a0的解集為r的充要條件是_解析:若x2ax10的解集為r，則a240，即2a2.又當(dāng)a(2,2)時，0的解集為r的充要條件是2a2。答案:2a25等差數(shù)列an的首項為a，公差為d，其前n項和為sn，則數(shù)列sn為遞增數(shù)列的充要條件是_解析：由sn1sn（nn)(n1）adnad（nn）dna0（nn）d0且da0。因此數(shù)

7、列sn為遞增數(shù)列的充要條件是d0且da0.答案：d0且da06求證:關(guān)于x的方程ax2bxc0有一個根為1的充要條件是abc0。證明：先證必要性：方程ax2bxc0有一個根為1，x1滿足方程ax2bxc0.a12b1c0，即abc0.必要性成立再證充分性：abc0,cab.代入方程ax2bxc0中可得:ax2bxab0，即（x1)（axba）0。故方程ax2bxc0有一個根為1.故關(guān)于x的方程ax2bxc0有一個根為1的充要條件是abc0.充分條件、必要條件的應(yīng)用例3已知p：關(guān)于x的不等式x,q：x(x3)0,若p是q的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍思路點撥求出q對應(yīng)的集合，然后把問題轉(zhuǎn)化

8、為集合間的包含關(guān)系求解精解詳析記ax|x，bx|x（x3)0x|0x3,若p是q的充分不必要條件,則ab。注意到bx|0x3,分兩種情況討論：（1)若a，即，解得m0，此時ab，符合題意；(2）若a，即，解得m0，要使ab，應(yīng)有綜上可得，實數(shù)m的取值范圍是（，3）一點通將充分、必要條件轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系,是解決該類問題的一種有效的方法,關(guān)鍵是準確把p，q用集合表示，借助數(shù)軸，利用數(shù)形結(jié)合的方法建立方程或不等式，求參數(shù)的范圍7已知條件p:x2x60，條件q：mx10(m0)，且q是p的充分不必要條件，求m的值解:解x2x60得x2或x3，令a2，3，b，q是p的充分不必要條件,b a.當(dāng)2時，

9、m;當(dāng)3時，m.所以m或m。8已知mx|（xa）21，nxx25x240,若xm是xn的充分條件，求a的取值范圍解：由(xa）21得x22ax（a1）(a1)0，a1xa1，mxa1xa1又由x25x240得3x8，nx3x8xm是xn的充分條件,mn，解得2a7.故a的取值范圍是2,71充分必要條件與四種命題之間的對應(yīng)關(guān)系；（1)若p是q的充分條件，則原命題“若p，則q”及它的逆否命題都是真命題;(2)若p是q的必要條件，則逆命題及否命題為真命題;(3）若p是q的充要條件，則四種命題均為真命題2涉及利用充分條件、必要條件、充要條件求參數(shù)的取值范圍時，常利用命題的等價性進行轉(zhuǎn)化，從集合的包含、

10、相等關(guān)系上來考慮制約關(guān)系1“1x2”是“x2”成立的()a充分不必要條件b必要不充分條件c充分必要條件 d既不充分也不必要條件解析：當(dāng)1x2時，必有x2；而x2時，如x0，推不出1x2，所以“1x2”是“x2的充分不必要條件答案：a2函數(shù)f(x)x2mx1的圖像關(guān)于直線x1對稱的充要條件是(）am2 bm2cm1 dm1解析：函數(shù)f（x)x2mx1的圖像關(guān)于x1對稱1m2。答案：a3已知命題p：“a,b,c成等差數(shù)列”，命題q：“2,則命題p是命題q的（)a必要不充分條件 b充分不必要條件c充要條件 d既不充分也不必要條件解析:若2，則ac2b，由此可得a，b,c成等差數(shù)列；當(dāng)a，b,c成等差

11、數(shù)列時，可得ac2b，但不一定得出2，如a1，b0,c1.所以命題p是命題q的必要不充分條件，故選a。答案：a4“a3”是“函數(shù)f（x)ax2在區(qū)間1，2上存在零點”的（）a充分不必要條件 b必要不充分條件c充要條件 d既不充分也不必要條件解析：當(dāng)a3時，f（1)f（2)（a2）(2a2)0，即函數(shù)f(x)ax2在區(qū)間1,2上存在零點；但當(dāng)函數(shù)f（x)ax2在區(qū)間1，2上存在零點;不一定是a3,如當(dāng)a3時，函數(shù)f(x）ax23x2在區(qū)間1，2上存在零點所以“a3”是“函數(shù)f（x)ax2在區(qū)間1,2上存在零點”的充分不必要條件，故選a。答案:a5直線l：xym0與圓c：（x1）2y22有公共點的

12、充要條件是_解析：直線l與圓c有公共點m121m3.答案：m1,36在下列各項中選擇一項填空：充分不必要條件必要不充分條件充要條件既不充分也不必要條件(1)記集合a1,p，2，b2，3，則“p3”是“abb”的_；（2）“a1”是“函數(shù)f(x）2xa在區(qū)間上為增函數(shù)”的_解析：(1)當(dāng)p3時，a1,2,3,此時abb；若abb，則必有p3.因此“p3”是“abb”的充要條件（2）當(dāng)a1時，f（x）|2xa|2x1|在上是增函數(shù)；但由f(x）|2xa|在區(qū)間上是增函數(shù)不能得到a1,如當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)2xa2x在區(qū)間上是增函數(shù)因此“a1”是“函數(shù)f（x)|2xa|在區(qū)間,）上為增函數(shù)的充分不

13、必要條件答案：（1)（2)7指出下列各組命題中,p是q的什么條件(充分不必要條件，必要不充分條件，充要條件,既不充分也不必要條件）?（1）p：abc中，b2a2c2，q：abc為鈍角三角形；（2)p：abc有兩個角相等,q：abc是正三角形;(3)若a,br,p：a2b20，q：ab0;(4)p：abc中，a30，q：sin a.解:(1）abc中，b2a2c2，cos b0,b為鈍角，即abc為鈍角三角形，反之若abc為鈍角三角形，b可能為銳角，這時b2a2c2。pq，q/ p，故p是q的充分不必要條件（2）有兩個角相等不一定是等邊三角形,反之一定成立，p/ q，qp,故p是q的必要不充分條件(3）若a2b20,則ab0，故pq；若ab0,則a2b20，即qp,所以p是q的充要條件(4)轉(zhuǎn)化為abc中sin a是a30的什么條件a30sin a，但是sin a/ a30，abc中sin a是a30的必要不充分條件即p是q的必要不充分條件8求方