數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文淺析數(shù)學(xué)分析中的若干矛盾

1、學(xué)學(xué) 士士 學(xué)學(xué) 位位 論論 文文 題題 目目 淺析數(shù)學(xué)分析中的若干矛盾淺析數(shù)學(xué)分析中的若干矛盾 學(xué)學(xué) 生生 指導(dǎo)老師指導(dǎo)老師 年年 級(jí)級(jí) 2006 級(jí)級(jí) 專專 業(yè)業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 系系 別別 數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)系 學(xué)學(xué) 院院 文理學(xué)院文理學(xué)院 哈爾濱師范大學(xué) 2010 年 4 月 目 錄 摘摘 要要 .1 關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞 .1 1 常量與變量 .1 2 離散與連續(xù) .3 3 整體與局部 .5 4 一與多 .7 5 有限與無限 .9 6 曲與直 .11 7 積分與微分 .13 8 結(jié)束語 .13 參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn) .13 外文摘要外文摘要 .14 淺析數(shù)學(xué)分析中的若干矛盾淺析數(shù)學(xué)分析中的

2、若干矛盾 陳伶俐 摘摘 要要: : 恩格斯說：“純數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系”即數(shù) 學(xué)是研究“數(shù)”和“形”的科學(xué)數(shù)學(xué)分析中充滿著矛盾現(xiàn)象，研究和領(lǐng)會(huì)各個(gè)矛盾的對(duì)立 統(tǒng)一關(guān)系，對(duì)深入掌握數(shù)學(xué)分析的精髓有著重要作用本文就數(shù)學(xué)分析中的幾個(gè)主要矛 盾進(jìn)行比較與分析，著重闡述常量與變量，離散與連續(xù)，整體與局部，有限與無限，一與 多，直與曲，微分與積分等矛盾在數(shù)學(xué)分析中的體現(xiàn) 關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞: : 數(shù)學(xué)分析 矛盾 對(duì)立統(tǒng)一 恩格斯在反杜林論中指出：“高等數(shù)學(xué)的主要基礎(chǔ)之一，就是矛盾” ， 列寧在黑格爾一摘要中指出：“就本來的意義講，辯證法是研究 對(duì)象的本質(zhì)自身中的矛盾 ”在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)中

3、，是否能深刻認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)分析中的矛盾 現(xiàn)象，能否深入研究各個(gè)矛盾中的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系，就成為領(lǐng)會(huì)和掌握數(shù)學(xué)分析的精髓 的關(guān)鍵數(shù)學(xué)分析中的矛盾現(xiàn)象是普遍存在的，如常量與變量，有限與無限，離散與 連續(xù)，微分與積分，一元與多元等等本文僅就幾個(gè)主要矛盾予以討論 1 常量與變量 變量是運(yùn)動(dòng)的，不斷變化的量；常量是不變的，靜止不動(dòng)的因此他們是對(duì)立 的由于任何事物都是運(yùn)動(dòng)的，因此，靜止不動(dòng)的常量相對(duì)的常量寓于變量之中， 變量又通過常量所體現(xiàn)在一定條件下，常量與變量可相互轉(zhuǎn)化，因此它們又是統(tǒng)一 的正是運(yùn)用這個(gè)重要思想，我們解決了數(shù)學(xué)分析中的許多重要的基本理論問題 例如,我們知道定積分是作為一種特殊的無窮和而定義的 定

4、義 1.1 設(shè)是定義在上的一個(gè)函數(shù)，是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)若對(duì)任給的f , a bj 正數(shù)，總存在某一正數(shù)，使得對(duì)的任何分割，以及在其上任意選取的點(diǎn)集 , a bt ，只要，就有 i t ， 1 ( ) n ii i fxj 則稱函數(shù)在區(qū)間上可積或黎曼可積；數(shù)稱為在上的定積分或黎曼積f , a bjf , a b 分，記作 ( ). b a jf x dx 其中，稱為被積函數(shù)，稱為積分變量，稱為積分區(qū)間，分別稱為這個(gè)fx , a bab 定積分的下限和上限 當(dāng)積分函數(shù)和積分區(qū)間給定以后，定積分便以變量的形式出現(xiàn)研究定積分是從 確定定積分的積分區(qū)間開始的當(dāng)區(qū)間變化，積分值隨之變化，從而引入了積分上限

5、函數(shù)對(duì)此函數(shù)可微性的討論，得到了微積分基本定理，該定理反過來把變量轉(zhuǎn)化為 常量，最終得到牛頓萊布尼茲公式 定理 1.1 若函數(shù)在上連續(xù)，且存在原函數(shù)，即，f , a bf( )( )f xf x ，則在上可積，且 , a bf , a b ( )( )( ) b a f x dxf bf a 這一劃時(shí)代的偉大成果正是由常量與變量的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系導(dǎo)出的 充分利用常量與變量的辯證思想，常常能是某些數(shù)學(xué)問題得到很好的解決 定理 1.2 (泰勒（taylor）中值定理) 如果函數(shù)在含有的某個(gè)開區(qū)間( )f x 0 x 內(nèi)具有直到階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)在內(nèi)時(shí)，可以表示為的( , )a b(1)nx( , )a b

6、( )f x 0 ()xx 一個(gè)多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)之和( ) n r x 2 00 00000 ()() ( )()()()()()( ) 2! n n n fxfx f xf xfxxxxxxxr x n 其中，這里是與之間的某個(gè)值 1 1 0 ( ) ( )() (1)! n n n f r xxx x x 0 x 在這個(gè)定理的證明中，可將函數(shù)的次泰勒多項(xiàng)式： f xn 2 00 00000 ()() ( )()()()()() 2! n n fxfx f xf xfxxxxxxx n 的項(xiàng)換為 而得 0 xt 2 ( )( ) ( )( )( )()()() 2! n n ftft f t

7、f tf txtxtxt n 在上式中把原來的變量視作常量，而把原來的變成變量 ，則有x 0 xt 1( ) ( )() ! n n ft f txt n 由此證得泰勒中值定理 又如在數(shù)列極限定義說明了在一定條件下,變量可以向常量轉(zhuǎn)化.n 定義 1.2 設(shè)是一給定數(shù)列，是一個(gè)實(shí)常數(shù).如果對(duì)于任意給定的， n xa0 可以找到自然數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，成立nnn ， axn 則稱數(shù)列收斂于（或是是數(shù)列的極限） ，記為 n xaa n x lim n n xa 有時(shí)也記為 ., n xan 在這整個(gè)過程來說正數(shù)是任意的變化的，是一個(gè)變量，但是從過程的每個(gè)瞬間 來說，正數(shù)又是固定的有限的，找到一個(gè)常量，從而

8、刻畫了數(shù)列極限n 2 離散與連續(xù) 在數(shù)學(xué)分析中離散和連續(xù)的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系，最經(jīng)典的體現(xiàn)是數(shù)列與函數(shù)，級(jí)數(shù)與 積分的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系數(shù)列的極限和函數(shù)的極限是分別定義的，實(shí)現(xiàn)數(shù)列極限與函數(shù) 極限相互轉(zhuǎn)化的橋梁正是海涅定義 定理 2 .1（歸結(jié)原則） 設(shè)在內(nèi)有定義存在的充要條件是：對(duì)任何含于f 0 0 (;)ux 0 lim( ) xx f x 且以為極限的數(shù)列，極限都存在且相等 0 0 (;)ux 0 x n xlim() n n f x 注 1 有時(shí)歸結(jié)原則也可簡(jiǎn)述為： 對(duì)任何有 0 lim( ) xx f xa 0( ) n xx n lim() n n f xa 注 2 若可以找到一個(gè)以為極限的數(shù)

9、列，使不存在，或找到兩個(gè) 0 x n xlim() n n f x 都以為極限的數(shù)列與，使與都存在而不相等，則 0 x n x n x lim() n n f x lim() n n f x 不存在 0 lim( ) xx f x 有關(guān)函數(shù)極限定理的證明可以借助海涅定理，轉(zhuǎn)換為相應(yīng)數(shù)列的極限定理給予證 明，而且由數(shù)列的收斂判別法還可相應(yīng)的得到函數(shù)極限存在的判別法 例 1 證明不存在lim cos x x 證明對(duì)于，cosx 若取則而2,1,2, n xnnlim n x x lim()limcos21 n nn f xn 若取則而(21) ,1,2, n xnn lim n n x lim()

10、limcos(21)1 n nn f xn 所以，不存在lim( )lim cos nx f xx 例 2 計(jì)算 2 2 11 lim 1 n nn 解 (方法)因?yàn)?22 1 111 222 11111 1111 nnn nn nnn nn nnnnn 由歸結(jié)原則得 11 lim 1lim 1, nx nx e nx 22 11 11 22 11 lim 1lim 1. nx nx nx nx e nx 故 2 11 lim 1 n n e nn (方法 2)考慮 1 2 0 lim(1)x x xx 對(duì)上式取以為底的對(duì)數(shù)，則有e 2 0 1(1) lim 2 0 lim(1) x x x

11、xx x xxe 2 0 1 2 lim (1) x x x x e 1 ee 再取，可得 1 n x n 2 11 lim 1 n n e nn 在微積分中,連續(xù)函數(shù)用不連續(xù)（離散）的函數(shù)來近似逼近，而離散的類型又用常 用連續(xù)函數(shù)來描述，它們往往是成對(duì)出現(xiàn)的 例如，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與無窮積分是離散和連續(xù)的關(guān)系；函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與含參變量的無窮 積分是離散和連續(xù)的關(guān)系；數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)都是離散地求和，由它們發(fā)展起來 的理論都是關(guān)于離散的理論；而無窮積分與含參變量的無窮積分都是連續(xù)的求和，由 它們發(fā)展起來的理論，都是關(guān)于連續(xù)的理論 離散和連續(xù)是辨證統(tǒng)一的，可以相互轉(zhuǎn)化 如“連續(xù)化”問題的定積分與“離散化”

12、問題的有限和（黎曼和）的聯(lián)系，我們 可以利用定積分的計(jì)算方法來求出一些有限和的極限 又如， “連續(xù)化”問題的積分收斂理論（廣義積分、含參量積分）與“離散化”問 題的技術(shù)收斂理論（數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)） ，有很所的性質(zhì)、定理都是相互對(duì)應(yīng)的， 如求離散變量不定式極限的施篤茲定理與求連續(xù)變量不定式極限的洛必達(dá)法則對(duì)應(yīng) 等 例 3 求 2 1 4 2 1 lim(cos) n n en n 解 令，則 1 x n 0 x 2 2 1 44 22 0 11 lim(cos)lim(cos)( ) x n n x enxe nx 由泰勒公式 ， 24 5 cos1() 224 xx xx 2 24 5 2

13、 1() 28 x xx ex 2 4 5 2 cos() 12 x x xex 因而求得 2 45 4 2 4 00 1 () 11 12 lim(cos)( )lim 12 x xx xx xe xx 由歸結(jié)原則 . 2 1 4 2 11 lim(cos) 12 n n en n 3 整體與局部 整體與局部是數(shù)學(xué)分析又一對(duì)重要矛盾整體性質(zhì)和局部性質(zhì)是相輔相成的，把 局部性質(zhì)研究透了，整體性質(zhì)才顯露反之，弄清整體性質(zhì)才能更深刻地理解局部性 質(zhì) 如函數(shù)連續(xù)與一致連續(xù)的關(guān)系 定義 3.1 （函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)的“”定義） 若對(duì)任給的，存在，00 使得當(dāng)時(shí)有 0 xx ， 0 ( )()f xf x 則

14、稱函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)f 0 x 定義 3.2（逐點(diǎn)連續(xù)）設(shè)為定義在區(qū)間上的函數(shù)若任意的,且fi 0 xi 在處連續(xù),則稱函數(shù)在區(qū)間上逐點(diǎn)連續(xù)( )f x 0 xfi 定義 3.3（一致連續(xù)） 設(shè)為定義在區(qū)間上的函數(shù)若對(duì)任給的，存在fi0 ，使得對(duì)任何，只要，就有( )0 x xi xx ，( )()f xf x 則稱函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)fi 同時(shí)可以知道， “連續(xù)”反映的是函數(shù)在一點(diǎn)領(lǐng)域中的變化，因而只是局( )f x 0 x 部性的概念在區(qū)間上一致連續(xù)是的一個(gè)整體性質(zhì)，由它可推出在上每一fiffi 點(diǎn)都連續(xù)的這一局部性質(zhì)（只要在定義 3 中把看作定點(diǎn)，把看作動(dòng)點(diǎn)，即得在 x x f 點(diǎn)連續(xù)） 而由

15、在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)，并不能推出在上一致連續(xù) x fifi 例 4 證明函數(shù)在內(nèi)不一致連續(xù)（盡管它在內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)） 1 y x (0,1)(0,1) 證明 按一致連續(xù)性的定義，為證函數(shù)在某區(qū)間上不一致連續(xù)，只須證明：fi 存在某，對(duì)任何正數(shù)（不論多么?。?，總存在兩點(diǎn)，盡管 0 0 x xi ，但有xx 0 ( )()f xf x 對(duì)于本例中函數(shù)，可取，對(duì)無論多么小的正數(shù)，只要取 1 y x 0 1 1 () 2 與則雖有x 2 x ， 2 xx 但 ， 111 1 xx 所以，在內(nèi)不一致連續(xù) 1 y x (0,1) 然而，對(duì)于定義在閉區(qū)間的函數(shù)來說，由它在每一點(diǎn)都連續(xù)卻可推出在區(qū)間上的 一

16、致連續(xù)性，即有如下重要定理： 定理 3.1 （一致連續(xù)性定理） 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上f , a bf , a b 一致連續(xù) 例 5 證明：在上一致連續(xù)，但在上不一致連續(xù) 2 f xx , a b(,) 證明 先證在上一致連續(xù)，取，則 2 f xx , a b0 2(1)ab 當(dāng)，且時(shí)，有 x , a bxx ( )()()()()2() 2(1) f xf xxxxxxxab ab 故在上一致連續(xù) 2 f xx , a b 取，無論取多少，由知，總要充分大，總可以使 0 10 1 lim0 n n n ， 1 xn n 的距離，但xn 1 xx n 222 0 11 ( )()()2(

17、 )1f xf xnn nn 故在上不一致連續(xù) 2 ( )f xx(,) 又如閉區(qū)間套定理的妙用，就在于把整體性質(zhì)運(yùn)用到某個(gè)局部而有限覆蓋定理 的應(yīng)用，是將涉及無限的問題轉(zhuǎn)化為有限的問題，以便把局部性質(zhì)歸納為整體性質(zhì) 4 一與多 恩格斯指出：“一與多是不能分離的，相互滲透的兩個(gè)概念，而且多包含于一中， 正如一包含于多中一樣 ” “一”與“多”既是對(duì)立的，又是統(tǒng)一的， “一”與“多”的 辯證關(guān)系在數(shù)學(xué)中比比皆是，例如： ， 22 cossin1xx 0 sin lim1 x x x 1 1 1 2n n ( )1x 在數(shù)學(xué)分析中最重要的莫過于一元函數(shù)微積分與多元函數(shù)微積分的辯證統(tǒng)一關(guān) 系沒有一元

18、函數(shù)微積分的許多概念和定理到多元函數(shù)的相應(yīng)推廣，沒有多元函數(shù)微 積分特征研究，沒有多元向一元的轉(zhuǎn)化在多元微積分的學(xué)習(xí)和研究中，必須注意到 一元微積分中許多概念、定理在多元微積分中的相應(yīng)推廣，以及多元微積分中的許多 問題是轉(zhuǎn)化為一元微積分來解決的 例 6 計(jì)算，其中 2 () d xy d 0,1 0,1d 解 2 11 00 ( , )() d f x y ddxxy dy . 3 3 1 0 17 336 xx dx 另一方面，盡管多元函數(shù)與一元函數(shù)有許多共同點(diǎn)，但從“一元”到“多元”決 不是簡(jiǎn)單的重復(fù)和推廣，二者之間也存在著差異 例如，多元函數(shù)極限論中與一元函數(shù)極限論相比較而言的特殊點(diǎn)是累

19、次極限（混 合偏導(dǎo)數(shù)、累次積分） ，從原則上講是一個(gè)新概念，它在一元函數(shù)極限論中是沒有的 例 7 求函數(shù)的累次極限 22 ( , ) xyxy f x y xy 解 累次極限 222 0000 limlimlimlim(1)1 yxyy xyxyyy y xyy 222 0000 limlimlimlim(1)1 xyxx xyxyxx x xyx 例 8 求的所有二階偏導(dǎo)數(shù) 4422 4zxyx y 解 ， 32 48 x zxxy 32 48 y zyx y ， 22 128 xx zxy16 xyyx zzxy 22 128 yy zyx 再如，在一元函數(shù)極限論中有 00 0 lim(

20、)limlim( ) xxxx xx f xaaf x 但在多元（以二元為例）函數(shù)極限論中，即使當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿過定點(diǎn)的任( , )p x y 000 (,)p xy 何射線趨向于時(shí)，二元函數(shù)都趨向于同一極限，也不能斷言 000 (,)p xy( , )f x y 00 , lim( , ) x yxy f x y 存在 又如，在一元函數(shù)理論中“若在點(diǎn)處可導(dǎo)，則在點(diǎn)處連續(xù) ”但( )f x 0 x( )f x 0 x 在多元函數(shù)中無此結(jié)論 再如，在一元函數(shù)微分學(xué)中有在處可導(dǎo)，在處可微但在多( )f x 0 x( )f x 0 x 元函數(shù)微分學(xué)中： 在點(diǎn)處可微存在及( , )f x y 00 (,)xy

21、 成立 成立不 00 (,) x fxy 00 (,) y fxy 例 9 有偏導(dǎo)數(shù)及，但在該點(diǎn) 0 ( , ) 1 f x y ,(0), ,(0), xy xy (0,0)0 x f (0,0)0 y f 連續(xù)，因?yàn)?，?dāng)動(dòng)點(diǎn)沿直線趨近點(diǎn)時(shí)，( , )p x y0y (0,0) ， 00 0 lim( , )lim( ,0)0 xx y f x yf x 而沿直線趨近點(diǎn)時(shí)，yx(0,0) 即在點(diǎn)處極限不存在，當(dāng)然也不連續(xù)(0,0) 5 有限與無限 有限與無限是截然對(duì)立的兩個(gè)概念，然而，從有限中又可以找到無限，無限中包 含著有限這充分體現(xiàn)了有限與無限的對(duì)立統(tǒng)一 極限是學(xué)生在學(xué)習(xí)微積分時(shí)接觸到的

22、第一個(gè)重要概念但是，極限理論上的學(xué)習(xí) 歷來是微積分學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一如果脫離有限與無限的辯證關(guān)系，僅僅以純數(shù)學(xué)的角 度去學(xué)習(xí)極限，勢(shì)必會(huì)造成一定的困難 例如，若 1111 2482n x 這是一個(gè)無窮運(yùn)算，每算一步有一個(gè)得數(shù)，這些得數(shù)構(gòu)成一個(gè)無窮數(shù)列：a ， 1 2 3 4 7 8 15 16 1 (1) 2n 對(duì)于，每運(yùn)算一步，它取數(shù)列中的一個(gè)數(shù)值，當(dāng)它按數(shù)到依次取值時(shí)，容易發(fā)xaa 現(xiàn)它同 1 的差是： ， 1 2 1 4 1 8 1 16 1 2n 而這些數(shù)值越來越小，雖然數(shù)列有無窮多項(xiàng)，無法寫出它的最后一項(xiàng)但是，考察a 上面這串?dāng)?shù)值的變化情況，我們可以得出：當(dāng)按依次取值時(shí)，它“最后”必然轉(zhuǎn)

23、xa 化為 1，這個(gè) 1 就稱為的極限x 極限的得出，就是恩格斯所說的“從有限中找到無限” （自然辯證法第 212 頁(yè)） 的認(rèn)識(shí)方法在數(shù)學(xué)中的表現(xiàn)這里的“有限”是指有限步驟，是我們看得見的變化過 程；“無限”是指無限步驟以后，是“最后”的結(jié)果 從有限到無限的過程，往往包含著一個(gè)從量變到質(zhì)變的過程這個(gè)過程在極限的 運(yùn)算中同樣得到了充分的體現(xiàn) 考察這樣一個(gè)極限 2222 123 lim() n n nnnn 此處研究的數(shù)列共有項(xiàng)，當(dāng)無限增大時(shí)，數(shù)列中的每一項(xiàng)其極限均為零此nn 極限即成為 型000 我們已經(jīng)知道，有限個(gè)零（意指無窮小量）之和仍為零，但無限多個(gè)零之和，是 否仍是零呢？答案當(dāng)然是否定的

24、，此處就等于 1 2 從辯證法的角度解釋：有限個(gè)零相加，其和仍是零但隨著所加零的數(shù)量的增加， 意指變化到無限多個(gè)零相加時(shí)，就會(huì)由量變引起質(zhì)變，其和就不再必然等于零具體 等于什么，要由這個(gè)變化過程本身決定 又如，在微積分中，我們往往通過有限來認(rèn)識(shí)無限，也通過無限確定有限為了 計(jì)算無窮級(jí)數(shù)這個(gè)無限和，先計(jì)算有限項(xiàng)的和：令若 n a 12nn saaa 是個(gè)有限數(shù)，則就定義了無窮級(jí)數(shù)的和，其和是由部分和（有限和）lim n n ss ss 開始，然后求極限而得到的 再如函數(shù)的泰勒展開式： f x 2 ( )( ) ()( )( ) 2! k k fxfx f xhf xfx hhh k 左邊是有限形

25、式，右邊是曲線的形式；左邊是簡(jiǎn)單形式，右邊是整體復(fù)雜形式； 左邊整體位置，右邊每一項(xiàng)都是已知的利用泰勒展開式，由來計(jì)( )f x 算正是通過等式右邊每一個(gè)已知項(xiàng)在無限的過程中來把握左邊()f xh 的函數(shù)沒有冪次，而級(jí)數(shù)展開式中卻包含了所有冪次，這無論在認(rèn)識(shí)()f xh( )f x 函數(shù)性質(zhì)和近似計(jì)算中都有極大地好處 6 曲與直 直與曲的對(duì)立關(guān)系是顯而易見的不論從理論上還是實(shí)踐中，直的問題總是容易 解決的，而對(duì)曲的問題的討論在微積分學(xué)形成以前總是極其困難微積分學(xué)的誕生， 從本質(zhì)上揭示了曲與直之間相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系，而開辟這條研究途徑的重要思想方法是 極限的思想，微元分析的方法微分是在局部上“化曲為

26、直” ，而積分在整體上“積直 為曲” 例如，在微分學(xué)中曲線在上的一小段弧可以用弧微分，即直線( )yf x , a bs 段來近似代替這是在小范圍內(nèi)將弧長(zhǎng)“以直代曲” 222 ()()1dsdxdyy dx 然后把無數(shù)段小弧長(zhǎng)加起來，即將弧微分在上作定積分ds , a b ， 2 1 b a sy dx 又把直線段轉(zhuǎn)化為曲線，就得到了整段曲線的弧長(zhǎng)這是整體上“積直為曲” 且 將近似值轉(zhuǎn)化為精確值在這“曲”與“直”或“直”與“曲”的矛盾轉(zhuǎn)換中，我們 的問題就得到了順利的、圓滿的解決 例 10 按定積分定義證明：() a b kdxk ba 證明 對(duì)于的任一分割，任取， , a b 01 , n

27、tx xx 1 , iiii dxx 相應(yīng)的積分和為( )f xk 111 ( )() nnn iiii iii fk xkxk ba 從而，可取為任何正數(shù)，要使，就有0 t 根據(jù)定積分定義有() a b kdxk ba 此外，我們可用積分中值公式 （其中）( )( )() b a f x dxfba ab 或用近似求積公式 計(jì)算( )() () 2 b a ab f x dxba f 或用公式 1 ( )() ( )( ) 2 b a f x dxbaf af b 或用公式 1 ( ) ( )()( ) 642 b a baab f x dxf aff b 或一般地, 00 ( )()()(

28、 ) mm bb k kkkm aa kk f x dxp f xf xqx dx 其中,是由等式 k m q ， 01 00 ()()() ( ) ()()() k m m kkkm xxxxxx qx xxxxxx (0,1,)km 所有這些求曲邊梯形面積的近似公式，都是用直邊形面積代替了曲邊梯形的面 積可見“曲”與“直”既是矛盾的，又可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)統(tǒng)一體 例 11 求拋物線與直線所圍成平面圖形的面積 2 yx230 xya 解 先求出拋物線與直線的交點(diǎn)與，用把圖形分為左、右(1, 1)p(9,3)q1x 兩部分，分別求得面積為 11 1 00 4 ()2 3 axx dxxdx 9 2

29、1 328 () 23 x axdx 故面積 12 32 3 aaa 7 積分與微分 積分和微分這對(duì)矛盾是數(shù)學(xué)分析中最基本、最核心的矛盾 一般來說，在數(shù)學(xué)中，一種運(yùn)算的出現(xiàn)往往伴隨著它的逆運(yùn)算相應(yīng)出現(xiàn)有加就 有減，有乘就有除，有乘方就有開方，有指數(shù)就有對(duì)數(shù)等等在微積分運(yùn)算就有積分 運(yùn)算 兩個(gè)相互對(duì)立的事物是相輔相成、相互制約的，在一定條件下又可以互相轉(zhuǎn) 化研究和解釋這種關(guān)系是從本質(zhì)上了解事物的關(guān)鍵在數(shù)學(xué)中，對(duì)各種運(yùn)算與逆運(yùn) 算的相互關(guān)需的研究是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)重要的杠桿 微積分學(xué)中最重要的概念是以連續(xù)變量的極限來定義的導(dǎo)數(shù)與積分 在微分學(xué)中，函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)定義為：( )yf xx 00

30、() limlim xx dyyf xx dxxx 只要在此極限存在，從幾何意義上來說，這個(gè)極限值就是曲線在曲線點(diǎn)( )yf x 處的切線的斜率由定義，我們可得出基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法( ,( )x f x 則 在積分學(xué)中，定積分是如下定義的. 設(shè)函數(shù)在上有定義，對(duì)區(qū)間上的任一個(gè)分割( )yf x , a b 01 : n t axxxb 及屬于它的介點(diǎn)集；記 12 , n 1 max i i n tx 若極限 0 1 lim( ) n ii t i fx 存在且分割及介點(diǎn)的取法無關(guān)，則稱極限值為函數(shù)在的定積分記t( )yf x , a b 為 ( ) b a f x dx 將微分與積

31、分聯(lián)系起來的就是微積分學(xué)基本定理： 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，為的在上的一個(gè)原函數(shù)，則( )yf x , a b( )f x( )f x , a b ( )( ) x a d f t dtf x dx , xa b 牛頓 - 萊布尼茲公式( )( )( ) b a f x dxf bf a 微積分基本定理不僅把微分與積分作為互逆運(yùn)算聯(lián)系起來，它也使我們從微分的 法則中得到了積分的法則例如：有導(dǎo)數(shù)的每一公式的逆轉(zhuǎn)得到了相應(yīng)的積分公式： (1) 由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的線性性質(zhì)導(dǎo)出了不定積分的線性性質(zhì)： 定理 7.1 若函數(shù)與在區(qū)間上都存在原函數(shù)，、為兩個(gè)任意常數(shù)，則fgi 1 k 2 k 在也存在原函數(shù)，且 12 k

32、 fk gi 1212 ( )( )( )( )k f xk g x dxkf x dx kg x dx 這是因?yàn)?1212 ( )( )( )( )kf x dx kg x dxkf x dxkg x dx 12 ( )( )k f xk g x （2）由乘積求導(dǎo)法則，得到不定積分的分部積分： 定理 7.2（分部積分法） 若與可導(dǎo)，不定積分存在，( )u x( )v x( ) ( )u x v x dx 則也存在，并有 ( ) ( )u x v x dx ( ) ( )( ) ( )( ) ( )u x v x dxu x v xu x v x dx 由兩邊求不定積分，就得到上式( ) (

33、)( ) ( )( ) ( )u x v xu x v xu x v x （3）由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，得到到了第一、第二換元積分法： 定理 7.3（換元積分法） 設(shè)在上有定義，在上可導(dǎo)，( )g u , ( )ux , a b 且，并記( )x , xa b ，( )( ( )( )f xgxx , xa b （）若在上存在原函數(shù)，則在上也存在原函數(shù)( )g u , ( )g u( )f x , a b ，即( )f x( )( ( )f xgxc ( )( ( ) ( )( )f x dxgxx dxg u du ( )( ( )g ucgxc （）又若，則上述命題（）可逆，即當(dāng)在( )0 x

34、 , xa b( )f x 上存在原函數(shù)時(shí)，在上也存在原函數(shù)，且 , a b( )f x( )g u , ( )g u ，即 1 ( )( )g ufuc ( )( ( ) ( )( )g u dugxx dxf x dx ( )( )f xcf xc 其次，運(yùn)算和逆運(yùn)算在各自領(lǐng)域又有各自的特征在微積分中，不僅僅是有函數(shù) 可積未必可導(dǎo)，而且許多特殊的積分在理論和應(yīng)用中占有十分重要的地位從而成為微 積分學(xué)進(jìn)一步研究的一個(gè)重要內(nèi)容 8 結(jié)束語 數(shù)學(xué)分析中的常量與變量，離散與連續(xù)，整體與局部，有限與無限，一與多，直 與曲，微分與積分等蘊(yùn)含著豐富的辯證關(guān)系，對(duì)從學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中的其他概念也有很 的幫助高等數(shù)學(xué)內(nèi)部處處蘊(yùn)含著辯證思想，數(shù)學(xué)家在哲學(xué)的滄桑巨變中不斷成熟， 哲學(xué)觀點(diǎn)在數(shù)學(xué)成果下不斷進(jìn)步我們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中要融入哲學(xué)觀點(diǎn)，用唯物辯證法 的觀點(diǎn)，全面、聯(lián)系地看待所學(xué)內(nèi)容可