第七章 梁的位移-轉(zhuǎn)角、撓度

1、第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形 1 第七章第七章 梁的位移梁的位移- -轉(zhuǎn)角、撓度轉(zhuǎn)角、撓度 7.1 工程中梁的變形工程中梁的變形 轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 撓度撓度 7.2 梁撓曲線的近似微分方程梁撓曲線的近似微分方程 7.3 利用積分法求梁的位移利用積分法求梁的位移 7.4 利用疊加法求梁的位移利用疊加法求梁的位移 7.5 梁的剛度條件與校核梁的剛度條件與校核 7.6 簡單超靜定梁的計算簡單超靜定梁的計算 7.7 提高抗彎剛度的措施提高抗彎剛度的措施 第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形 2 第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形 3 位移的度量 y撓度 轉(zhuǎn)角 撓曲線撓曲線 梁變形后各截梁變形后

2、各截 面形心的連線面形心的連線 C l F A B C C A B B x y y 撓度向下為正，向上為負撓度向下為正，向上為負. . 轉(zhuǎn)角繞截面中性軸順時針轉(zhuǎn)為正，轉(zhuǎn)角繞截面中性軸順時針轉(zhuǎn)為正， 逆時針轉(zhuǎn)為負。逆時針轉(zhuǎn)為負。 7-2 7-2 撓曲線的近似微分方程撓曲線的近似微分方程 1.1.基本概念基本概念 第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形 4 變形過大 第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形 5 2.2.撓曲線的近似微分方程撓曲線的近似微分方程 推導彎曲正應力時，得到：推導彎曲正應力時，得到： z z EIEI M M 1 1 忽略剪力對變形的影響忽略剪力對變形的影響 z EI xM

3、 x )( )( 1 7-2 7-2 撓曲線的近似微分方程撓曲線的近似微分方程 第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形 6 Z EI xM)(1 3 2 2 2 )(1 1 dx dy dx yd Z EI xM dx dy dx yd )( )(1 3 2 2 2 7-2 7-2 撓曲線的近似微分方程撓曲線的近似微分方程 第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形 7 xo y M M 0 2 2 dx yd Z EI xM dx yd)( 2 2 xo y M M 0 2 2 dx yd Z EI xM dx yd)( 2 2 梁撓曲線近似微分方程 第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形 8

4、1 )( Cdx EI xM dx dy Z 21 )( CxCdxdx EI xM y Z Z EI xM dx yd)( 2 2 C C A B B x y 在小變形情況下，任一截面的轉(zhuǎn)角等于撓曲線 在該截面處的切線斜率。 dx dy tan 第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形 9 通過積分求彎曲位移的特征： u適用于細長梁在線彈性范圍內(nèi)、小變形情況 下的對稱彎曲。 u積分應遍及全梁。在梁的彎矩方程或彎曲剛 度不連續(xù)處，其撓曲線的近似 微分方程應分 段列出，并相應地分段積分。 u積分常數(shù)由位移邊界條件確定。 第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形 10 A A A A A A A A

5、A A A A A A A A A A 0 A y 0 A y 0 A 位移邊界條件位移邊界條件 光滑連續(xù)條件光滑連續(xù)條件 ARAL yy ARAL 積分常數(shù)積分常數(shù)C C1 1、C C2 2由邊界和連續(xù)條件確定由邊界和連續(xù)條件確定 第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形 11 A y 例7-1 求圖所示懸臂梁A端的撓度與轉(zhuǎn)角。 x y x A l A B F FxxM 1 )( Cdx EI xM dx dy Z 1 CFxdx dx dy EI z 21 2 2 CxCdx Fx yEIz 21 3 6 CxC Fx yEI z 1 2 2 C Fx EIz 邊界條件 Lx 0 B z E

6、I FL C 2 2 1 Lx 0 B y z EI FL C 3 3 2 zz EI FL EI Fx 22 22 zzz EI FL x EI FL EI Fx y 326 323 0 x z A EI FL 2 2 z A EI FL y 3 3 第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形 12 例7-2求圖所示懸臂梁B端的撓度與轉(zhuǎn)角。 l A B x y x 2 2 1 xLqxM 2 2 1 xLqxMyEIz 1 3 6 1 CxLqEIyEI zz 21 4 24 1 CxCxLqyEIz 邊界條件 0 x0 z EI qL C 6 3 1 0 x 0y z EI qL C 24 3

7、 2 3 3 6 LxL EI q z 434 4 24 LxLxL EI q y z Lx z B EI qL 6 3 z B EI qL y 8 4 第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形 13 例7-3 求圖示簡支梁在集中荷載F的作用下（F力在右半跨）的最大 撓度。 x x y x l F B A ba C L Fb L Fa x L Fb xM 1 ax 0 axFx L Fb xM 2 Lxa AC段 x L Fb xMyEIz 11 1 2 1 2 Cx L Fb EIz 11 3 1 6 DxCx L Fb yEIz CB段 axFx L Fb xMyEIz 22 2 22 2

8、2 1 2 CaxFx L Fb EIz 22 33 2 6 1 6 DxCaxFx L Fb yEIz 0 x 00 y Lx 0Ly 0 1 D ax ayay 21 aa 21 2 2 2 1 3 2 1 22 CaaFa L Fb Ca L Fb 21 CC 22 3 3 11 3 6 1 66 DaCaaFa L Fb DaCa L Fb 21 DD 0 6 1 6 2 3 3 LCaLFL L Fb LEIZ 22 21 6 bL L Fb CC L bLFb x L Fb EI z 62 22 2 1 x L bLFb x L Fb yEIz 66 22 3 1 L bLFb a

9、xFx L Fb EI z 62 1 2 22 2 2 2 x L bLFb axFx L Fb yEIz 66 1 6 22 33 2 第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形 14 求圖示簡支梁在集中荷載F的作用下（F力在右半跨）的最大撓度。 x x y x l F B A ba C L Fb L Fa L bLFb x L Fb EI z 62 22 2 1 x L bLFb x L Fb yEIz 66 22 3 1 L bLFb axFx L Fb EI z 62 1 2 22 2 2 2 x L bLFb axFx L Fb yEIz 66 1 6 22 33 2 最大轉(zhuǎn)角0 y 0

10、 xM0 xLx LEI bLFb z A 6 22 LEI bLFab z 6 L bLFb aLFL L Fb EI Bz 62 1 2 22 22 LEI aLFab z B 6 力靠近哪個支座，哪邊的轉(zhuǎn)角最大。 最大撓度 0y 令x=a L bLFb a L Fb EI Cz 62 22 2 L baFab C 3 轉(zhuǎn)角為零的點在AC段 0 62 22 2 0 L bLFb x L Fb 3 22 0 bL x Lb 2 1 Lx 2 1 0 0bLx 3 3 0 L577. 0 一般認為梁的最大撓度就發(fā)生在跨中 第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形 15 第七章第七章 梁的彎曲梁的

11、彎曲變變形形 16 討討 論論 積分法求變形有什么優(yōu)缺點？積分法求變形有什么優(yōu)缺點？ 第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形 17 )( 2 2 xMEIy dx yd EI 設梁上有設梁上有n 個載荷同時作用，任意截面上的彎矩為個載荷同時作用，任意截面上的彎矩為 M(x)，轉(zhuǎn)角為，轉(zhuǎn)角為 ，撓度為，撓度為y，則有：，則有： )(xMEIy ii 若梁上只有第若梁上只有第i個載荷單獨作用，截面上彎矩個載荷單獨作用，截面上彎矩 為為 ，轉(zhuǎn)角為，轉(zhuǎn)角為 ，撓度為，撓度為 ，則有：，則有： i i y )(xM i 由彎矩的疊加原理知：由彎矩的疊加原理知：)()( 1 xMxM n i i 所以，所

12、以，)( )( 11 xMyEIyEI n i i n i i 7-4 7-4 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形 第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形 18 故故 )( 1 n i i yy 由于梁的邊界條件不變，因此由于梁的邊界條件不變，因此 , 1 n i i n i i yy 1 重要結論：重要結論： 梁在若干個載荷共同作用時的撓度或轉(zhuǎn)角，等梁在若干個載荷共同作用時的撓度或轉(zhuǎn)角，等 于在各個載荷單獨作用時的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。于在各個載荷單獨作用時的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。 這就是這就是計算彎曲變形的疊加原理計算彎曲變形的疊加原理。 第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形 19 疊加法

13、計算位移的條件：疊加法計算位移的條件： 1、梁在荷載作用下產(chǎn)生的變形是微小的；、梁在荷載作用下產(chǎn)生的變形是微小的； 2、材料在線彈性范圍內(nèi)工作，梁的位移與荷載呈線、材料在線彈性范圍內(nèi)工作，梁的位移與荷載呈線 性關系；性關系； 第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形 20 2l F B A q C 2l z EI 試用疊加原理求圖示彎曲剛度為試用疊加原理求圖示彎曲剛度為EIz的簡支梁的跨的簡支梁的跨 中截面撓度中截面撓度c和梁端截面的轉(zhuǎn)角和梁端截面的轉(zhuǎn)角A， ，B. 2l B A q C 2l z EI 2l F B A C 2l z EI Fcqcc yyy z qc EI qL y 384

14、5 4 z Fc EI FL y 48 3 zz c EI FL EI qL y 48384 5 34 FAqAA z qA EI qL 24 3 z FA EI FL 16 2 zz A EI FL EI qL 1624 23 B 例例 7-4 第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形 21 3 0L q 6 0L q l B A C 0 q Z EI Lq 384 5 4 0 Z C EI Lq 384 5 2 1 4 0 Z EI Lq 768 5 4 0 例例7-5 第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形 22 已知：已知：懸臂梁受力如圖懸臂梁受力如圖 示，示，q q、l、EIEI均為已

15、知。均為已知。求求C C 截面的撓度截面的撓度y yC C和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角 C C 1 1）首先，將梁上的載荷）首先，將梁上的載荷 變成有表可查的情形變成有表可查的情形 為了利用梁全長承受均為了利用梁全長承受均 布載荷的已知結果，先將均布載荷的已知結果，先將均 布載荷延長至梁的全長，為布載荷延長至梁的全長，為 了不改變原來載荷作用的效了不改變原來載荷作用的效 果，在果，在AB AB 段還需再加上集段還需再加上集 度相同、方向相反的均布載度相同、方向相反的均布載 荷。荷。 7-4 7-4 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形 例例7-6 aL2 CA B aL2 q CA B q aL2 CA B

16、aL2 qq 第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形 23 , 8 4 1 EI ql yC , 248128 2 34 222 l EI ql EI ql l yy BBC EI ql C 6 3 1 EI ql C 48 3 2 EI ql yy i CiC 384 41 4 2 1 3 3）將結果疊加）將結果疊加 EI ql i CiC 48 7 3 2 1 2 2）再將處理后的梁分解為簡單）再將處理后的梁分解為簡單 載荷作用的情形，計算各自載荷作用的情形，計算各自C C截截 面的撓度和轉(zhuǎn)角。面的撓度和轉(zhuǎn)角。 7-4 7-4 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形 aL2 CA B aL2

17、 qq CA B q 第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形 24 討討 論論 疊加法求變形有什么優(yōu)缺點？疊加法求變形有什么優(yōu)缺點？ 7-4 7-4 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形 第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形 25 7-5 7-5 梁的剛度條件梁的剛度條件 1.1.剛度條件剛度條件 建筑鋼梁的許可撓度建筑鋼梁的許可撓度： 1000 250 ll 混凝土梁的許可撓度：混凝土梁的許可撓度： 300 l 7-5 l y l y max , maxmax y y 第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形 26 aL2 BA C aL2 q 1.1.按強度選擇按強度選擇 max M W

18、2 3 2 qa 3 6 .140 cm 34 141,1130cmWcmI zz aL2 BA C aL2 qq BA C q 321maxBBB yyyy Z B EI aq y 8 2 4 1 Z EI qa 4 2 CB yy 2 Z EI qa 8 4 ay CB 3 a EI qa Z 6 3 Z EI qa 6 4 Z EI qa 24 41 4 Z EI qa L y 48 41 3 max 500 1 L y E qa IZ 24 25041 3 4 3050cm 34 309,3400cmWcmI zz 例例7-7 第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形 27 A B q

19、l 0 B w q A B FRB R ()() B BB qBF www R ()()0 B B qBF ww 7-67-6 靜不定梁的解法靜不定梁的解法 第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形 28 () B q w R () B BF w q AB 4 () 8 B q ql w EI R 3 R () 3 B B BF F l w EI B A FRB q A B FRB 第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形 29 43 R 0 83 B Flql EIEI R 3 8 B Fql q A B FRB FRA MA R 5 8 B Fql 2 1 8 A Mql () B q w R () B BF w q AB B A FRB 第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形 30 0 A A B q l A B q l MA 第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形 31 Z max max W M 1. 1. 增大增大 WZ 合理設計截面合理設計截面 合理放置截面合理放