2020-2021學(xué)年數(shù)學(xué)第二冊(cè)教案：第4章4.34.3.1　第1課時(shí)　相關(guān)關(guān)系與回歸直線方程含解析

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年新教材數(shù)學(xué)人教b版選擇性必修第二冊(cè)教案：第4章 4.3 4.3.1第1課時(shí)相關(guān)關(guān)系與回歸直線方程含解析4.3統(tǒng)計(jì)模型4.3.1一元線性回歸模型第1課時(shí)相關(guān)關(guān)系與回歸直線方程學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1了解變量間的相關(guān)關(guān)系(易混點(diǎn))2會(huì)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷數(shù)據(jù)是否具有相關(guān)關(guān)系(重點(diǎn))3了解最小二乘法的思想,會(huì)求回歸直線方程,掌握回歸方程的性質(zhì)(重點(diǎn)、難點(diǎn))1通過(guò)回歸直線方程及相關(guān)關(guān)系的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)建模與直觀想象的素養(yǎng)2借助回歸直線方程的求法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)。你知道“名師出高徒”的意思嗎?高明的師傅一定能教出技藝高的徒弟，比喻學(xué)識(shí)豐富的人對(duì)于培養(yǎng)人

2、才的重要也就是說(shuō),高水平的老師往往能教出高水平的學(xué)生問(wèn)題：那么老師的水平與學(xué)生的水平之間具有怎樣的關(guān)系呢?這種關(guān)系是確定的嗎？該關(guān)系與函數(shù)關(guān)系相同嗎？1相關(guān)關(guān)系如果兩個(gè)變量之間確實(shí)有一定的關(guān)系，但沒(méi)有達(dá)到可以互相決定的程度，它們之間的關(guān)系帶有一定的隨機(jī)性，像這樣兩個(gè)變量之間的關(guān)系,統(tǒng)計(jì)學(xué)上都稱為相關(guān)關(guān)系思考1：函數(shù)關(guān)系是相關(guān)關(guān)系嗎？提示不是函數(shù)關(guān)系中兩個(gè)變量之間是一種確定關(guān)系2線性相關(guān)(1)散點(diǎn)圖一般地,如果收集到了變量x和變量y的n對(duì)數(shù)據(jù)(簡(jiǎn)稱為成對(duì)數(shù)據(jù)），如下表所示序號(hào)i123n變量xx1x2x3xn變量yy1y2y3yn則在平面直角坐標(biāo)系xoy中描出點(diǎn)(xi，yi)，i1,2，3，n，就

3、可以得到這n對(duì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖（2)線性相關(guān):如果由變量的成對(duì)數(shù)據(jù)、散點(diǎn)圖或直觀經(jīng)驗(yàn)可知,變量x與變量y之間的關(guān)系可以近似地用一次函數(shù)來(lái)刻畫(huà)，則稱x與y線性相關(guān)（3)正相關(guān)和負(fù)相關(guān)若x與y線性相關(guān),如果一個(gè)變量增大，另一個(gè)變量大體上也增大，則稱這兩個(gè)變量正相關(guān)；如果一個(gè)變量增大，另一個(gè)變量大體上減少，則稱這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)3回歸直線方程（1)一般地，已知變量x與y的n對(duì)成對(duì)數(shù)據(jù)(xi,yi）,i1，2，3,，n。任意給定一個(gè)一次函數(shù)ybxa，對(duì)每一個(gè)已知的xi，由直線方程可以得到一個(gè)估計(jì)值ibxia，如果一次函數(shù)x能使取得最小值，則x稱為y關(guān)于x的回歸直線方程(對(duì)應(yīng)的直線稱為回歸直線)因?yàn)槭鞘沟闷椒?/p>

4、和最小，所以其中涉及的方法稱為最小二乘法其中，回歸系數(shù)，.（x1x2xn)xi;(y1y2yn）yi。4回歸直線方程：x的性質(zhì)(1）回歸直線一定過(guò)點(diǎn)(，）(2)回歸系數(shù)的實(shí)際意義是回歸方程的斜率；當(dāng)x增大一個(gè)單位時(shí)，增大個(gè)單位思考2:y與x正負(fù)相關(guān)的充要條件分別是什么？提示當(dāng)0時(shí)，y與x正相關(guān)，反之也成立，同理0是y與x負(fù)相關(guān)的充要條件1思考辨析(正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”)(1）相關(guān)關(guān)系是兩個(gè)變量之間的一種確定的關(guān)系. (）（2)回歸直線方程一定過(guò)樣本中心點(diǎn)（）(3）選取一組數(shù)據(jù)的部分點(diǎn)得到的回歸方程與由整組數(shù)據(jù)得到的回歸方程一定相同(）(4)根據(jù)回歸直線方程得到的結(jié)論一定是可靠的()答案(

5、1）（2)(3)(4)2下列兩個(gè)變量具有正相關(guān)關(guān)系的是()a正方形的面積與邊長(zhǎng)b吸煙與健康c數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)d汽車的重量與汽車每消耗1 l汽油所行駛的平均路程c正方形的面積與邊長(zhǎng)是函數(shù)關(guān)系，a錯(cuò)誤；吸煙與健康具有負(fù)相關(guān)關(guān)系,b錯(cuò)誤；汽車越重，每消耗1 l汽油所行駛的平均路程越短，所以汽車的重量與汽車每消耗1 l汽油所行駛的平均路程具有負(fù)相關(guān)關(guān)系，d錯(cuò)誤；數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)胶茫锢沓煽?jī)也會(huì)越好，所以數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)具有正相關(guān)關(guān)系，c正確3已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)x0123y1357若y與x線性相關(guān)，則y與x的回歸直線x必過(guò)點(diǎn)()a(2，2）b（1.5,0)c(1，2)d(1.5，4）d1.5，4，回

6、歸直線必過(guò)點(diǎn)（1。5，4)故選d.4已知回歸直線的斜率的估計(jì)值是1.23，且過(guò)定點(diǎn)(4,5），則線性回歸方程是_1.23x0.08回歸直線的斜率的估計(jì)值為1.23，即1。23，又回歸直線過(guò)定點(diǎn)(4,5），51.2340.08,1。23x0.08.變量間相關(guān)關(guān)系的判斷【例1】(1)下列關(guān)系中，屬于相關(guān)關(guān)系的是_(填序號(hào)）扇形的半徑與面積之間的關(guān)系；農(nóng)作物的產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系；出租車費(fèi)與行駛的里程；降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系（2)某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x與銷售額y之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)（單位：百萬(wàn)元)x24568y3040605070畫(huà)出散點(diǎn)圖；從散點(diǎn)圖中判斷銷售金額與廣告費(fèi)支出成什么樣的關(guān)

7、系?(1）在中，扇形的半徑與面積之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系；在中，農(nóng)作物的產(chǎn)量與施肥量之間不具有嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系,但具有相關(guān)關(guān)系;為確定的函數(shù)關(guān)系；在中，降雪量與交通事故的發(fā)生率之間具有相關(guān)關(guān)系（2)解以x對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)為橫坐標(biāo)，以y對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)為縱坐標(biāo)，所作的散點(diǎn)圖如圖所示從圖中可以發(fā)現(xiàn)廣告費(fèi)支出與銷售金額之間具有相關(guān)關(guān)系,并且當(dāng)廣告費(fèi)支出由小變大時(shí)，銷售金額也大多由小變大，圖中的數(shù)據(jù)大致分布在某條直線的附近，即x與y成正相關(guān)關(guān)系兩個(gè)變量是否相關(guān)的兩種判斷方法1根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn):借助積累的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分析判斷2利用散點(diǎn)圖：通過(guò)散點(diǎn)圖，觀察它們的分布是否存在一定的規(guī)律，直觀地進(jìn)行判斷如果發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的分布從整體上看大致在

8、一條直線附近，那么這兩個(gè)變量就是線性相關(guān)的，注意不要受個(gè)別點(diǎn)的位置的影響1. 在下列所示的四個(gè)圖中，每個(gè)圖的兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系的圖是()(1)（2)(3)(4）a（1）（2）b（1)(3）c（2）（4)d（2）(3）d圖（1)的兩個(gè)變量具有函數(shù)關(guān)系；圖（2）(3)的兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系；圖（4)的兩個(gè)變量之間既不是函數(shù)關(guān)系，也不是相關(guān)關(guān)系求回歸直線方程【例2】下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)x3456y2.5344.5（1）請(qǐng)畫(huà)出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；（2）請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程x

9、；(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤，試根據(jù)（2)求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？(參考數(shù)值：32。5435464.566。5）解（1)由題設(shè)所給數(shù)據(jù)，可得散點(diǎn)圖如圖（2）由對(duì)照數(shù)據(jù)，計(jì)算得： x86,4.5，3.5，已知xiyi66。5，所以,由最小二乘法確定的回歸方程的系數(shù)為0.7，b3。50。74.50.35。因此，所求的線性回歸方程為0.7x0.35。(3）由（2）的回歸方程及技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗，得降低的生產(chǎn)能耗為90（0.71000。35)19.65(噸標(biāo)準(zhǔn)煤）求回歸方程的一般步驟（1)收集樣本數(shù)據(jù)

10、,設(shè)為（xi，yi)(i1,2,n)（2）作出散點(diǎn)圖，確定x,y具有線性相關(guān)關(guān)系（3)計(jì)算，x，xiyi。(4)代入公式計(jì)算,公式為(5）寫(xiě)出回歸方程 x。2已知變量x，y有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)x1234y1345（1)作出散點(diǎn)圖；（2）用最小二乘法求關(guān)于x,y的回歸方程解(1)散點(diǎn)圖如圖所示（2)，xiyi16122039， x1491630,0，所以x即為所求的回歸方程.回歸直線方程的性質(zhì)及應(yīng)用探究問(wèn)題假設(shè)y與x具有相關(guān)關(guān)系，而且回歸直線方程為x。1回歸直線方程的單調(diào)性由哪個(gè)參數(shù)決定?提示。2該方程必過(guò)哪個(gè)定點(diǎn)？提示(，）【例3】（多選題）設(shè)某大學(xué)的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具

11、有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i1，2，n),用最小二乘法建立的回歸方程為0。85x85.71,則下列結(jié)論中正確的是()ay與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系b回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)中心（，)c若該大學(xué)某女生身高增加1 cm，則其體重約增加0.85 kgd若該大學(xué)某女生身高為170 cm,則可斷定其體重必為58.79 kgabc當(dāng)x170時(shí)，0.8517085。7158.79，體重的估計(jì)值為58.79 kg，故d錯(cuò)誤，abc均正確1相關(guān)關(guān)系的正、負(fù)相關(guān)類同于函數(shù)的增、減性,與其斜率有關(guān)，必要時(shí)可畫(huà)散點(diǎn)圖以增強(qiáng)直觀性2由回歸方程得出的函數(shù)值不一定是準(zhǔn)確值,只是個(gè)估計(jì)值3(1）根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)得

12、到的回歸方程為x，則(）x345678y4.02.50.50。52。03.0a。0，0b.0,0c。0，0 d.0，0(2)某單位為了了解用電量y度與氣溫x 之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對(duì)照表氣溫(）1813101用電量（度）24343864由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程x中2，預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫為4 時(shí)，用電量的度數(shù)約為_(kāi)度（1）b（2）68（1)畫(huà)出散點(diǎn)圖，知0,0。（2)10，40,回歸方程過(guò)點(diǎn)(，），40210.60。2x60.令x4，(2)（4)6068。1相關(guān)關(guān)系和函數(shù)關(guān)系的異同點(diǎn)(1）相同點(diǎn)：兩者均是指兩個(gè)變量的關(guān)系（2)不同點(diǎn)：函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系,而相關(guān)關(guān)系

13、是一種非確定的關(guān)系2判斷變量之間有無(wú)相關(guān)關(guān)系，一種簡(jiǎn)便可行的方法就是繪制散點(diǎn)圖根據(jù)散點(diǎn)圖，可以很容易看出兩個(gè)變量是否具有相關(guān)關(guān)系，是不是線性相關(guān)，是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)3回歸方程必過(guò)點(diǎn)(，）利用回歸方程，我們可以進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)，若回歸方程為x，則在xx0處的估計(jì)值為0x0。1以下四個(gè)散點(diǎn)圖中，兩個(gè)變量的關(guān)系適合用線性回歸模型刻畫(huà)的是()abcdb中的點(diǎn)分布在一條直線附近，適合線性回歸模型2由變量x與y相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)(1，y1)，（5，y2),(7，y3)，(13，y4）,(19，y5）得到的線性回歸方程為2x45，則（）a135b90 c67 d63d（1571319）9，245,294563，

14、故選d。3工人工資y（元）與勞動(dòng)生產(chǎn)率x(千元）的相關(guān)關(guān)系的回歸方程為5080x，下列判斷正確的是(）a勞動(dòng)生產(chǎn)率為1 000元時(shí),工人工資為130元b勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1 000元時(shí)，工人工資平均提高80元c勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1 000元時(shí)，工人工資平均提高130元d當(dāng)月工資為250元時(shí)，勞動(dòng)生產(chǎn)率為2 000元b因?yàn)榛貧w直線的斜率為80,所以x每增加1，y平均增加80，即勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1 000元時(shí),工人工資平均提高80元4某地區(qū)近10年居民的年收入x與年支出y之間的關(guān)系大致符合0。8x0。1(單位:億元),預(yù)計(jì)今年該地區(qū)居民收入為15億元，則今年支出估計(jì)是_億元12。1將x15代入0.8x0.1，得12。1。5由某種設(shè)備的使用年限xi(年）與所支出的維修費(fèi)yi(萬(wàn)元)的數(shù)據(jù)資料算得如下結(jié)果,x90,xiyi112，xi20，yi25.（1）求所支出的維修費(fèi)y對(duì)使用年限x的線性回歸方程x；（2)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān);