第2章 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)-20121231

1、第2章 多自由度系統(tǒng)振動(dòng) 2.1 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 2.2 動(dòng)力減振器 2.3 多自由度系統(tǒng)的模態(tài)分析方法 2.4 確定系統(tǒng)固有頻率與主振型的方法 本章目的：本章目的： 掌握多自由度系統(tǒng)建模方法，重點(diǎn)是剛度系數(shù)法 掌握多自由度振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率、主振型概念 掌握矩陣迭代法、傳遞矩陣法 掌握多自由度振動(dòng)系統(tǒng)的模態(tài)分析方法 了解動(dòng)力減振器的基本原理 2.1 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 1.振動(dòng)微分方程的建立振動(dòng)微分方程的建立 2.多自由度系統(tǒng)的多自由度系統(tǒng)的固有頻率固有頻率與與主振型主振型 3.初始條件和系統(tǒng)響應(yīng)初始條件和系統(tǒng)響應(yīng)（模態(tài)疊加）（模態(tài)疊加） （一）多自由度振動(dòng)微分方程的建立（一）多

2、自由度振動(dòng)微分方程的建立 牛頓運(yùn)動(dòng)方程（或達(dá)朗伯爾原理） 拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程 影響系數(shù)法 哈密爾頓原理 有限單元法（第9章） 1.用牛頓定律建立微分方程 G x G t T Fx lklklklk lklkkkx J m G G G G sin 0 0 2 22 2 111122 112221 F x K x M G G G G J m M 0 0 2 22 2 111122 112221 lklklklk lklkkk K 例題1（P24）：在不平路面上行駛的車輛的二自由度系統(tǒng)（圖）。設(shè)剛性桿的質(zhì) 量為m，兩端的支承剛度分別為k1、k2 ，桿繞質(zhì)心G點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J。假設(shè)作用 在質(zhì)心G點(diǎn)的激勵(lì)

3、力為簡諧力F和簡諧轉(zhuǎn)矩T，則剛性桿不僅沿x方向振動(dòng)，而且繞 其質(zhì)心扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。 解取剛性桿的廣義坐標(biāo)為 由牛頓定律，系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程為 和 寫成矩陣表達(dá)式： 即 質(zhì)量矩陣剛度矩陣 sin F Ft T 力列陣 122 21 1 sin()() GGG mxFtkkxk lk l 22 2 21 11 12 2 sin()() GGG JTtk lk l xk lk l ), 2 , 1(,)(kiF q U q T q T dt d i iii N j i j jz i j jy i j jxi q z F q y F q x FF 1 )( T 為系統(tǒng)的動(dòng)能 U為系統(tǒng)的勢能 qi 為廣義坐標(biāo)

4、 Fi為非有勢廣義力 拉格朗日方程 t T Fx lklklklk lklkkkx J m G G G G sin 0 0 2 22 2 111122 112221 討論：質(zhì)量矩陣、剛度矩陣的特性與廣義坐標(biāo)的關(guān)系?。ㄓ懻摚嘿|(zhì)量矩陣、剛度矩陣的特性與廣義坐標(biāo)的關(guān)系?。≒25） G x G 和在兩個(gè)方程中出現(xiàn)，稱為靜力參數(shù)耦合或彈性耦合。 例題2（P25）：用拉格朗日方程方法，列出車輛二自由 度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)微分方程（右圖）。 22 3 )( 2 1 )( 2 1 ccc JlxmT 2 52 2 41 )( 2 1 )( 2 1 cccc lxklxkU tFxkxkmlxm cccc sin 2

5、13 tTlklkmlJxml ccccc sin 2 52 2 41 2 33 c c c c c c T Fx lklk kkx mlJml mlm 2 52 2 41 21 2 33 3 0 0 解廣義坐標(biāo)：取C點(diǎn)（G點(diǎn)為質(zhì)心）的直線位移為 xc 為q1， 轉(zhuǎn)角為c為q2 ，此時(shí)外力 Fc 和轉(zhuǎn)矩 Tc作用在C點(diǎn)。 5241 lklk另設(shè)： 系統(tǒng)的動(dòng)能： 系統(tǒng)的勢能： 利用拉格朗日方程，得 寫出矩陣 12 22 1 42 5 0 0 kk K k lk l 質(zhì)量矩陣 討論：質(zhì)量矩陣、剛度矩陣的特性與廣義坐標(biāo)的關(guān)系?。ㄓ懻摚嘿|(zhì)量矩陣、剛度矩陣的特性與廣義坐標(biāo)的關(guān)系?。≒26） 3 2 33

6、 mml M mlJml 為對(duì)稱陣 剛度矩陣 為對(duì)角陣 c c c c c c T Fx lklk kkx mlJml mlm 2 52 2 41 21 2 33 3 0 0 G x G 和在兩個(gè)方程中出現(xiàn)，稱為慣性耦合。 3.影響系數(shù)法 n剛度影響系數(shù)法 n柔度影響系數(shù)法 剛度影響系數(shù)剛度影響系數(shù)kij ：在系統(tǒng)的 j 點(diǎn)產(chǎn)生單位位移（即 xj=1 ），而其余 各點(diǎn)的位移均為零時(shí)，在系統(tǒng)的 i點(diǎn)所需要加的力。 剛度影響系數(shù)法剛度影響系數(shù)法又成為單位又成為單位位移法位移法 例如，上圖中k11表示在質(zhì)量 m1 產(chǎn)生單位位移 xl=1，而其它各質(zhì)量位移均為0 時(shí)，在質(zhì)量m1所施加的力。此時(shí) 111

7、212 () 1kkkkk 0XKXM 3 2 1 00 00 00 m m m M 433 3322 221 333231 232221 131211 0 0 kkk kkkk kkk kkk kkk kkk K 例（P26）：質(zhì)量 m1、m2 、m3 的位移為 x1 、x2 、x3 。列出三自由度系統(tǒng) 的動(dòng)力學(xué)微分方程。 解剛度影響系數(shù)kij ： 111212 () 1kkkkk 122 kk 13 0k 212 kk 2223 kkk 233 kk 31 0k 323 kk 3334 kkk 動(dòng)力學(xué)微分方程為 則 討論：（討論：（1）如果直接用牛頓定律，可否列出上述方程？！）如果直接用牛

8、頓定律，可否列出上述方程？！ （2）剛度影響系數(shù)）剛度影響系數(shù)kij = kji 與剛度矩陣的對(duì)稱性?。ㄅc剛度矩陣的對(duì)稱性?。≒27） 11表示在 m1上作用一個(gè)單位力 Fj =1 ，而質(zhì)量m2、 m3 上無作用力時(shí)，梁上 m1 處所產(chǎn)生得位移，由材 料力學(xué)，得 EI l 768 9 3 11 柔度影響系數(shù)法柔度影響系數(shù)法又稱為單位又稱為單位力法力法 柔度影響系數(shù)ij ：在系統(tǒng)的 j 點(diǎn)作用一個(gè)單位力（即Fj =1 ），而其余 各點(diǎn)均無作用力時(shí)，在系統(tǒng)的i點(diǎn)產(chǎn)生的位移。 例（P27）：圖2-3所示，簡支梁上有質(zhì)量 m1、m2 、m3，不計(jì)梁的自重。 的 位移為 x1 、x2 、x3 。列出三自

9、由度鉛垂方向振動(dòng)微分方程。 解柔度影響系數(shù) ij ： 21表示在m1上作用一個(gè)單位力Fj =1 ，而質(zhì)量m2、m3 上無作用力時(shí)，梁上m2處所產(chǎn) 生得位移，由材料力學(xué)，得 3 21 11 768 l EI 同理，可以求出其他柔度系數(shù)。 11 , KK 0 1 XXM EI l 768 9117 111611 7119 3 333231 232221 131211 最后得出總?cè)岫认禂?shù)矩陣 可以證明，柔度影響系數(shù)矩陣與剛度影響系數(shù)矩陣互為逆陣柔度影響系數(shù)矩陣與剛度影響系數(shù)矩陣互為逆陣，即 三自由度鉛垂方向振動(dòng)微分方程為 討論：討論：（1）如果直接用牛頓定律，可否列出上述方程？！難度多大？）如果直接

10、用牛頓定律，可否列出上述方程？！難度多大？ （2）上述方程為什么不用剛度影響系數(shù)法？難度多大？用拉格朗日方程方法？）上述方程為什么不用剛度影響系數(shù)法？難度多大？用拉格朗日方程方法？ （3）什么時(shí)候用柔度影響系數(shù)法？什么時(shí)候用剛度影響系數(shù)法？（）什么時(shí)候用柔度影響系數(shù)法？什么時(shí)候用剛度影響系數(shù)法？（P28） 結(jié)論：結(jié)論：（1）對(duì)于質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，應(yīng)用剛度影響系數(shù)法較容易）對(duì)于質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，應(yīng)用剛度影響系數(shù)法較容易 （2）對(duì)于梁、多重?cái)[系統(tǒng)則用柔度影響系數(shù)法容易）對(duì)于梁、多重?cái)[系統(tǒng)則用柔度影響系數(shù)法容易 （3）對(duì)于桿件機(jī)構(gòu)，應(yīng)）對(duì)于桿件機(jī)構(gòu)，應(yīng)用拉格朗日方程方法用拉格朗日方程方法較容易較容易 （二）

11、多自由度系統(tǒng)的固有頻率與主振型（二）多自由度系統(tǒng)的固有頻率與主振型 0XKXM )sin( )sin( 22 11 tAx tAx n n 0)sin()( 2 1 2 12 t A A K A A M nn 0)( 2 uKM n 2 1 A A u 對(duì)于一個(gè)多自由度多自由度的自由振動(dòng)系統(tǒng)自由振動(dòng)系統(tǒng)（以二自由度系統(tǒng)為例）（以二自由度系統(tǒng)為例） 設(shè)質(zhì)量塊作簡諧振動(dòng)，即 （2-5） 帶入（2-5）式，則 上式對(duì)于任意時(shí)間t 成立，則 振幅列陣 特征方程特征方程 （2-6） 即為振型 求解二自由度系統(tǒng)的固有頻率與主振型 0)()( 0)()( 2 2 22221 2 2121 2 2 12121

12、 2 1111 AmkAmk AmkAmk nn nn 0 2 2222 2 2121 2 1111 2 1111 nn nn mkmk mkmk 0 2 MK n 2 1,2 1122 112222 11 2 112212 4 2 () n bbac a am m bm km k ck kk 二自由度系統(tǒng)特征矩陣方程的展開式為 （2-7） （2-8） 該方程具有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式等于零 也可表示為 易解出 得出兩個(gè)固有頻率下的振幅比值 21nn 為一階固有頻率（或第一階主頻率） 為二階固有頻率（或第二階主頻率） 1n 2n 固有頻率的大小僅取決于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)。固有頻率的大

13、小僅取決于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)。 將所求得的固有頻率 1n 2n 和代入系統(tǒng)特征矩陣方程 12 2 21111 )2( 1 )2( 2)2( 12 2 11111 )1( 1 )1( 2)1( k mk A A k mk A A n n 因此，振型可表示為 )1( )1( 1 u )2( )2( 1 u , )2()1 ( uuu 第一主振型 第二主振型 22方陣方陣 , )()2()1 (n uuuu n1 nn 對(duì)于 n 個(gè)自由度振動(dòng)系統(tǒng) 0XKXM 由特征方程，可求出 n 個(gè)固有頻率 其振型可表示為 nn方陣方陣 （三）初始條件和系統(tǒng)響應(yīng)（模態(tài)疊加）（三）初始條件和系統(tǒng)響應(yīng)（模態(tài)疊加） (

14、1) u )2( 2 )1( 22 )2( 1 )1( 11 xxx xxx )sin()sin( )sin()sin( 22 )2( 1 )2( 11 )1( 1 )1( 2 22 )2( 111 )1( 11 tAutAux tAtAx nn nn 101 xx )sin()sin( )sin()sin( 22 )2( 211 )1 ( 22 22 )2( 111 )1 ( 11 tAtAx tAtAx nn nn 202 xx 101 xx 202 xx 2 2 2010 )1( 2 2010 )1( )2()1( )2( 1 2 1 2010 )2( 2 2010 )2( )2()1(

15、 )1( 1 )()( 1 )()( 1 n n xxu xxu uu A xxu xxu uu A ) )( tan( ) )( tan( 2010 )1( 2010 )1( 2 2 2010 )2( 2010 )2( 1 1 xxu xxu a xxu xxu a n n 以二自由度系統(tǒng)為例，質(zhì)量塊 m1、m2 組成的二自由度振動(dòng)系統(tǒng)有兩組解，而其 全解由這兩組解疊加而成，即 系統(tǒng)的響應(yīng)響應(yīng)為 引入振型 設(shè)初始條件初始條件：t=0 時(shí)， 推導(dǎo)出 2n 1n (2) u (2) 1 A 已知已知： 求求： (1) 1 A 1 2 （2-14） 2.2 動(dòng)力減振器 t F x x kk kkk

16、 x x cc cc x x m m sin 00 0 0 2 1 22 221 2 1 2 1 2 1 ti eBx 222 111 xieBix xieBix ti ti 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 xeBx xeBx ti ti 在工程中，為減少振動(dòng)帶來的危害，可以在主系統(tǒng)主系統(tǒng)上裝 設(shè)一個(gè)輔助的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)。該輔助裝置與主系統(tǒng)主系統(tǒng)構(gòu)成一 個(gè)二自由度系統(tǒng)二自由度系統(tǒng)。該輔助裝置能使主系統(tǒng)避開共振區(qū)，并 有減振效果，故稱為動(dòng)力減振器動(dòng)力減振器。 動(dòng)力減振器動(dòng)力減振器與隔振器是本質(zhì)不同的。 該二自由度系統(tǒng)二自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)微分方程為 采用復(fù)數(shù)法求解微分方程（參見第1.9節(jié)，P

17、20） ti e FF 0 sin 0 00 （2-18） 帶入（218）式，得 為了比較安裝動(dòng)力減振器前后的減振效果，用減振后主系統(tǒng)的振幅與主 系統(tǒng)在激振力幅值 作用下產(chǎn)生的靜位移 之比來評(píng)價(jià)。 0 ) 0 0 ( 0 2 1 22 221 2 12 F B B kk kkk cc cc i m m 22 2 2 11 2222 22 2 22 2 11 2222 220 1 )()( )( mmkcmkmkmk cmkF B （2-20） 展開后，求出 B1 ，再將B1的復(fù)數(shù)值求模，得 靜位移為 0 F 0 F st 10 /kF st 1n 1 2 n n 1 1 1 m k n 2 2

18、 2 m k n 1 2 m m 22 22 22mk c m c c c nc 設(shè) 帶入（220）式，得 注意希臘字母 (ksi) 原機(jī)械固有頻率原機(jī)械固有頻率 減振器固有頻率減振器固有頻率 注意：為了工程設(shè)計(jì)方 便，與二自由度系統(tǒng)兩 階固有頻率概念有別。 22222222222 22222 2 1 )1 (4)(1( 4)( )( st B 0 22222 22 1 )(1 ( st B 1 . 0/ 12 mm 注意希臘字母 (ksi) 如果 （2-22） 則 無阻尼動(dòng)力減振器的設(shè)計(jì)無阻尼動(dòng)力減振器的設(shè)計(jì)討論討論 當(dāng)減振器的固有頻率等于激振頻率時(shí)，即 2n 則 （2-23） 1 0 st

19、 B 達(dá)到了消振目的 然而，減振器的引入，卻出現(xiàn)了兩個(gè)新的共振點(diǎn) ：1 2 和 取式（2-23）分母為零（意味著共振），并令 1 2 2 1,2 1 24 則 即：新的共振頻率僅由減振器與主系統(tǒng)質(zhì)量之比 為使主系統(tǒng)能遠(yuǎn)離新的共振點(diǎn)的范圍內(nèi)，希望 1 2 與相差較大 一般在設(shè)計(jì)無阻尼動(dòng)力減振器設(shè)計(jì)無阻尼動(dòng)力減振器時(shí)，取 （2-24） 理想情況理想情況 2.3 多自由度系統(tǒng)的模態(tài)分析方法 1.方程的耦合與坐標(biāo)變換 2.主振型的正交性 3.模態(tài)矩陣和模態(tài)坐標(biāo) 4.多自由度系統(tǒng)的模態(tài)分析方法 5.模態(tài)矩陣正則化 6.振型截?cái)喾ǎ–ut Off） 1.方程的耦合與坐標(biāo)變換方程的耦合與坐標(biāo)變換 t T F

20、x lklklklk lklkkkx J m G G G G sin 0 0 2 22 2 111122 112221 c c c c c c T Fx lklk kkx mlJml mlm 2 52 2 41 21 2 33 3 0 0 回顧回顧（第（第2.1節(jié)節(jié)P24、P25） （G點(diǎn)為質(zhì)心）為剛性桿的廣義坐標(biāo)時(shí)，有 G x G 和針對(duì)行駛車輛的二自由度系統(tǒng)，用牛頓定律，以 用拉格朗日方程，以 G x G 和為剛性桿的廣義坐標(biāo)時(shí)，有 稱謂彈性耦合 稱謂慣性耦合 n對(duì)于同一系統(tǒng)，采用的坐標(biāo)系統(tǒng)不同，微分方程的 形式和耦合情況就不同。即微分方程的耦合狀態(tài)是 由所選的坐標(biāo)系統(tǒng)決定的。 n如果振動(dòng)

21、微分方程組的各系數(shù)矩陣均為對(duì)角陣， 各方程間不存在任何耦合，各分別求解，與單自 由度求解完全相同。 n適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換，可以使相互耦合的方程解除耦 合，即解耦。 結(jié)論結(jié)論 問題問題 如何進(jìn)行坐標(biāo)變換？ GC CGC lxx 3 G G C C xlx 10 1 3 YuX 仍然采用行駛車輛的二自由度系統(tǒng)圖，有如下關(guān)系 寫成矩陣 對(duì)于任意的線性變換可表達(dá)為 u 為變換矩陣 遺憾：遺憾：前面這個(gè)變換矩陣不能達(dá)到解耦目的 要做的工作：要做的工作： 尋找一個(gè)合適的變換矩陣，使原來方程解耦 結(jié)論：結(jié)論： u 這個(gè)變換矩陣就是主振型矩陣 2.主振型的正交性主振型的正交性 與第一式相減，有 0)( 2 uKM

22、 n uMuK n 2 )2(2 2 )2( )1 (2 1 )1 ( uMuK uMuK n n (2)(1)(2)2(1) 1 (1)(2)(1)2(2) 2 TT n TT n uKuuMu uKuuMu T u )2( T u ) 1 ( ) 1 (2 2 )2() 1 ()2( uMuuKu n TT 0)( ) 1 ()2(2 1 2 2 uMu T nn 以二自由度系統(tǒng)為例 特征方程 或 將兩個(gè)固有頻率和相應(yīng)振型代入，得 將上式兩邊分別前乘以和 將第二式轉(zhuǎn)置，有 0)( 2 1 2 2 nn 0 ) 1 ()2( uMu T 0 )1 ()2( uKu T 主振型的正交性的物理意

23、義：主振型的正交性的物理意義：各階主振型之間的能量不 能傳遞，保持各自的獨(dú)立性，但每個(gè)主振型內(nèi) 部的動(dòng)能和勢能是可以相互轉(zhuǎn)化的（P33） 當(dāng) 時(shí)，有 主振型對(duì)主振型對(duì)質(zhì)量矩陣質(zhì)量矩陣的正交性的正交性 同理可得 主振型對(duì)主振型對(duì)剛度矩陣剛度矩陣的正交性的正交性 條件：條件：主振型的正交性只有在質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為對(duì) 稱矩陣時(shí)才成立 推論：推論： ( )( )( )( ) 0,0, TT ijij uMuuKuij 3.模態(tài)矩陣和模態(tài)坐標(biāo)模態(tài)矩陣和模態(tài)坐標(biāo) , )2() 1 ( uuu 由主振型對(duì)質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正交性 K 可使M、K 變?yōu)閷?duì)角矩陣。 以主振型 u 線性變換矩陣，對(duì)系統(tǒng)的原方程

24、進(jìn)行坐標(biāo)變換 設(shè)系統(tǒng)原方程為（仍以二自由度為例） FXKXM 主振型稱為模態(tài)矩陣或振型矩陣 坐標(biāo)變換 YuX YuX 線性變換矩陣， uM Y為模態(tài)坐標(biāo) （2-35） 代入原方程，并在等號(hào)兩邊分別前乘以 Tu，得 （2-35） 2 1 2 1 0 2 1 0 00 0 0 0 0 Q Q FuQ K K uKuK M M uMuM QYKYM T T T 0 M 0 K 1 M為模態(tài)質(zhì)量矩陣 2 M 為模態(tài)剛度矩陣 1 K 2 K 為第一、二階模態(tài)質(zhì)量或主質(zhì)量 為第一、二階模態(tài)剛度或主剛度 Q為模態(tài)力列陣 理解：理解： 0 ) 1 ()2( uMu T 0 ) 1 ()2( uKu T 運(yùn)用主

25、振型的正交性運(yùn)用主振型的正交性 4.多自由度系統(tǒng)的模態(tài)分析方法多自由度系統(tǒng)的模態(tài)分析方法 FXKXM )()2()1 ( )( 2 )2( 2 )1 ( 2 )( 1 )2( 1 )1 ( 1 )()2()1 ( , n nnn n n n uuu uuu uuu uuuu YuX YuX QYKYM 00 FuQ uKuK uMuM T T T 0 0 在二自由度系統(tǒng)模態(tài)分析基礎(chǔ)上擴(kuò)展 多自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程為 坐標(biāo)變換 有 （2-38） （2-40） 系統(tǒng)的模態(tài)方程 是一組不耦合的方程組 理解：理解： 運(yùn)用主振型的正交性運(yùn)用主振型的正交性 ( )( )( )( ) 0,0, TT iji

26、j uMuuKuij （4）把模態(tài)坐標(biāo)響應(yīng)變換成廣義坐標(biāo)響應(yīng)，即為系統(tǒng)的響應(yīng) 小結(jié)：小結(jié)：多自由度系統(tǒng)模態(tài)分析的基本步驟（多自由度系統(tǒng)模態(tài)分析的基本步驟（P34） （1）求系統(tǒng)的固有頻率與主振型，構(gòu)成主振型矩陣 u YuX YuX （2）坐標(biāo)變換 QYKYM 00 FuQ uKuK uMuM T T T 0 0 得 （3）求模態(tài)方程的解。一般可由杜哈美積分杜哈美積分，或待定系數(shù)法待定系數(shù)法求微分 方程的特解。將廣義坐標(biāo)表示的初始條件，變換為用模態(tài)坐標(biāo)表 示，并代入模態(tài)方程，求出各積分常數(shù)。注意：此時(shí)的變量為Y！ XuY即 理解：通過坐標(biāo)變換后，模態(tài)方程中各參量均無任何物理含義！ 5.模態(tài)矩陣正

27、則化模態(tài)矩陣正則化（P35）（本科生略）（本科生略） IM N 1 )()( i N T i NNi uMuM )()(i i i N uu )(i u )(i N u i i i T i i M uMu 11 )()( 將模態(tài)方程的模態(tài)質(zhì)量矩陣變?yōu)閱挝痪仃?，該坐?biāo)變換 稱為模態(tài)矩陣正則化，即 第 i 階模態(tài)質(zhì)量為 為系統(tǒng)的 i 階振型； 為系統(tǒng)的 i正則階振型 所以，必須對(duì)系統(tǒng)主振型加以修正： 為正則化因子 （2-41） （2-42） 將（2-42）代入（2-41），得 i M為 i階模態(tài)質(zhì)量 理解：正則模態(tài)質(zhì)量矩 陣為單位矩陣；正則模 態(tài)剛度矩陣為對(duì)角陣 用正則模態(tài)矩陣進(jìn)行坐標(biāo)變換，有 n

28、 000 000 000 000 2 1 uuN , NNNN XuYXuY 2 2 1 NNNNNNnNN T NNN T NNN T NN NiNi niNi Ni MYKYQYYQ MuMu KuKu QuF kk k m 或 將正則化因子排成一個(gè)對(duì)角矩陣 正則模態(tài)矩陣為 （2-44） （2-45） （2-47） 6.振型截?cái)喾ǎㄕ裥徒財(cái)喾ǎ–ut Off） nn 1 1 n ) 1()2() 1 ( ) 1( 2 )2( 2 ) 1 ( 2 ) 1( 1 )2( 1 ) 1 ( 1 ) 1()2() 1 ( , n nnn n n n p uuu uuu uuu uuuu pp pp

29、YuX YuX FuQ uKuK uMuM QYKYM T pp p T pp p T pp ppppp 適用于：（1）對(duì)于自由度很大的系統(tǒng)，可以進(jìn)行自由度縮減，求解大 模型的少數(shù)階（前幾階）模態(tài)。（2）對(duì)于外力隨時(shí)間變化較慢，系統(tǒng) 初始條件中包含高階主振型分量較少的情況。 在 n 個(gè)主振型中，取個(gè)主振型，且 進(jìn)行坐標(biāo)變換，有 nn1矩陣，無逆陣正 n1個(gè)方程，即自由度縮減 pp YuX pppp T p T p YMYuMuXMu XMuMY T ppp 1 問題問題 p u pp pp pp YuX YuX YuX 由于無逆陣，運(yùn)用不能直接求出模態(tài)坐標(biāo)的初始條件 方法方法利用 則 （2-5

30、1） 則可求出模態(tài)坐標(biāo)的初始條件 討論：討論：振型截?cái)喾ū厝粫?huì)帶來計(jì)算精度的降低。但計(jì)算效率多大提高，在工程 實(shí)際中得到廣泛應(yīng)用。 振型截?cái)嗟恼齽t化振型截?cái)嗟恼齽t化（P36）（本科生略）（本科生略） pN MI 1 2 1 000 000 000 000 p p p pn pNpp uu ( )( ) 11 ii pi T pi ppp M uMu ( ) ( ) i i pNpip uu 2 1 2 2 2 1 00 00 00 nn n n pN K XMuXMuMY T pN T pNpNpN 1 , pNpNpNpN XuYXuY 2 pNpNpNpNpNpNnpNpN MYKYQYY

31、Q 或 坐標(biāo)變換 振型截?cái)嗾齽t模態(tài)矩陣為 模態(tài)方程 模態(tài)坐標(biāo)的初始條件（2-54） 2.4 確定系統(tǒng)固有頻率與主振型的方法 1.矩陣迭代法 2.瑞雷(Rayleigh)法 3.鄧克萊(Dunkerley)法 4.傳遞矩陣(Transfer Matrix)法 1.矩陣迭代法矩陣迭代法（P36） AMpAK 2 A p AMK 2 1 1 AKMAp 12 MKD 1 A p AD 2 1 ,1kkn kk BDABA k kn k B B A , 1 1 基本方法：基于數(shù)值計(jì)算方法的迭代計(jì)算方法 0)( 2 uKM n 特征方程特征方程 改寫為改寫為 或或 （2-56） （2-57） 依次從最低

32、階固有頻 率和主振型開始計(jì)算 依次從最高階固有頻 率和主振型開始計(jì)算 動(dòng)力矩陣動(dòng)力矩陣 引入一個(gè)迭代初始列陣 1A，進(jìn)行迭代計(jì)算迭代計(jì)算： 得到下一步迭代初始列陣 是 ,n k B 中的最后一個(gè)元素（最好是絕對(duì)值最大的元素） k B A u 2 p 2 n n為固有特性階數(shù) k 為迭代次數(shù) （2-60） 2 )( 2 )1( 2 )( / kkk ppp 1k A 注意：請(qǐng)比較 A p AD 2 1 ,1kkn kk BDABA 容易看出：每次迭代中計(jì)算 kn k B p , 2 )( 1 精度設(shè)置：若滿足（也可以對(duì)其他值進(jìn)行精度設(shè)置） 迭代過程終止，則 第一階主振型 2 )( 2 1 k p

33、f 第一階固有頻率（Hz） 過程示范： 111,11 1 BDABA 21 1,1 1 AB B 1A 初選 2 (1) 1,1 1 p B 221,22 1 BDABA 32 1,2 1 AB B 2 (2) 1,2 1 p B 1,1kkkk BDABA 1 1, 1 kk k AB B 2 ( ) 1, 1 k k p B 注意：到此，只求出第一階主振型、第一階固有頻率！ * 2(1)(1) 1( ) 1T kk k DDAAM M p ) 1() 1(1 k T k AMAM ) 1( k A 2 )(k p 下一步目的：用矩陣迭代法矩陣迭代法求出二階及所有固有頻率和主振型 方法：用清

34、除法清除法從動(dòng)力矩陣D中清除與上一階算出的主振型有關(guān)的部分 清除法清除法 清除（矩陣）部分 上一階算出的主振 型固有頻率和 D * D 上一階用于迭代計(jì)算的 動(dòng)力矩陣。如果上一階 計(jì)算的是第一階，即為 原始動(dòng)力矩陣 將 D ，應(yīng)用前面的迭代式，即可求解下一階固有特性 說明：固有特性就是指固有頻率和主振型 AMpAMK)()( 2 )(MK MMKD 1 )( A p AD 2 1 問題：有剛體運(yùn)動(dòng)的機(jī)械系統(tǒng)剛體運(yùn)動(dòng)的機(jī)械系統(tǒng)，剛度矩陣K是半正定半正定的，無法求逆，也就 無法直接形成動(dòng)力矩陣 D，不能直接使用上述算法 方法： 改寫為 AMpAK 2 是任意正數(shù) 是正定矩陣正定矩陣 令 原問題改變

35、為 利用前面的計(jì)算方法，得到固有頻率與主振型 提問：請(qǐng)列舉有剛體運(yùn)動(dòng)的機(jī)械系統(tǒng)？剛體運(yùn)動(dòng)的機(jī)械系統(tǒng)？ 例如：空中的飛行器；齒輪減速器中的齒輪軸扭轉(zhuǎn)（不計(jì)摩擦力） （2-66） （2-64） （2-65） 2 p 2 p 討論（P37） （1）采用（2-64）式后，系統(tǒng)的主振型（特征失量）不變，只是 2 p變?yōu)?2 p原系統(tǒng)的固有頻率（特征值）變了， （2）一般取比系統(tǒng)估計(jì)的最低固有頻率的平方 2 p 略小一些為宜。 對(duì)經(jīng)驗(yàn)不足者，這一點(diǎn)難以把握。可以隨意取一個(gè)正數(shù)，試 算之后調(diào)整。 課后練習(xí)（P37） 課后，請(qǐng)對(duì)圖2-8所示的3自由度水平振動(dòng)系統(tǒng)、圖2-9所示的13自由度扭 轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)，運(yùn)用M

36、ATLAB或自己熟悉的計(jì)算機(jī)語言，求出所有各階固有 頻率與主振型。要求：編寫程序、打印計(jì)算結(jié)果，最好是圖形顯示結(jié)果。 2.瑞雷瑞雷（Rayleigh）法法（P42） 下一小結(jié)之引言：人們早就認(rèn)識(shí)到多自由度系統(tǒng)有多個(gè)固有頻率與振型。 但是，一方面由于微分方程組精確求解困難，另一方面，工程實(shí)際中最 關(guān)心的是低階固有特性，尤其是第一階固有頻率。在電子計(jì)算機(jī)問世之 前，瑞雷法、鄧克萊法等具有一定的實(shí)用價(jià)值。 采用系統(tǒng)的機(jī)械能守恒原理機(jī)械能守恒原理求系統(tǒng)的固有頻率。 基本思想：先根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和理論分析，假定一個(gè)振型，然后用能量法求出與這 個(gè)假定振型相應(yīng)的系統(tǒng)固有頻率。 局限性：只能求一階固有頻率（基頻） )

37、( 2 1 332211max gymgymgymU )( 2 1 2 33 2 22 2 11max ymymymT 332211 ,yyyyyy nnn )( 2 2 33 2 22 2 11 2 max ymymymT n maxmax UT n i i i n i ii n ym ymg 1 2 12 1 )( )( 2 33 2 22 2 11 332211 2 1 ymymym gymymym n 例（P42）：右圖所示的三自由度橫向振動(dòng) 系統(tǒng)，在一根無質(zhì)量彈性梁上，固定三個(gè)集中 質(zhì)量，用瑞雷法求其基率。 解：（1）假定一階振型 根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和理論分析，這個(gè)系統(tǒng)的一階振型十分接近它的靜

38、繞度曲線。 因此，其振型可用各點(diǎn)靜繞度（由材料力學(xué)）來表示。123 ,y yy （2）梁振動(dòng)至極限位置的變形能 （3）梁恢復(fù)到平衡位置的動(dòng)能 由于則 （4）機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒 對(duì)于保守系統(tǒng)（系統(tǒng)作自由振動(dòng)，且忽略系統(tǒng)的阻尼時(shí)） （5）推廣到 n 個(gè)自由度 3.鄧克萊鄧克萊(Dunkerley)法法（P43） kk k m kkk nkk 2 22 33 2 22 2 11 2 1 11111 nkknnnn 1n 2 11n 22 22 nnkk 19世紀(jì)鄧克萊在通過試驗(yàn)方法確定多圓盤軸的 橫向振動(dòng)固有頻率時(shí)，發(fā)現(xiàn)了這樣一個(gè)關(guān)系： 系統(tǒng)的基頻 當(dāng)軸上只有圓盤1，而其余圓盤都不存在時(shí)，單圓盤軸

39、系統(tǒng)的固有頻率 依此類推 22 11 nnkk 的計(jì)算是一個(gè)單自由度問題。 可以利用材料力學(xué)公式（可查表），先計(jì)算相應(yīng)點(diǎn)的撓度， ，再計(jì)算 然后計(jì)算相應(yīng)點(diǎn)的剛度 4.傳遞矩陣傳遞矩陣(Transfer Matrix)法法 傳遞矩陣法的優(yōu)點(diǎn)： （1）所使用的矩陣階次不隨系統(tǒng)的自由度多少而變 對(duì)扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)，其矩陣始終為2階（轉(zhuǎn)角和扭矩） 對(duì)橫向振動(dòng)系統(tǒng)，其矩陣始終為4階（2個(gè)位移和2個(gè)力） （2）很容易采用計(jì)算機(jī)計(jì)算，用同一程序可計(jì)算出系統(tǒng)的各階固有 頻率與主振型 鏈狀系統(tǒng)：鏈狀系統(tǒng)：由許多單元一環(huán)連一環(huán)結(jié)合起來的結(jié)構(gòu) 例如：例如：汽輪發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子、內(nèi)燃機(jī)曲軸、齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)等，經(jīng)等效轉(zhuǎn)換后， 可轉(zhuǎn)化成一個(gè)多盤轉(zhuǎn)子式的鏈狀系統(tǒng) 扭轉(zhuǎn)振動(dòng)型（本節(jié)介紹） 連續(xù)梁可離散成若干個(gè)集中質(zhì)量，各集中質(zhì)量之間以無質(zhì)量的彈性梁 相聯(lián)接的鏈狀系統(tǒng) 橫向振動(dòng)（彎曲）型（第八章第三節(jié)介紹） 扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的傳遞矩陣法 L i R iii TTJ ini 2 ini L i R i JTT 2 i L i R i L ii n R i TJT 1 01 2 第i個(gè)圓盤的振動(dòng)方程 圖示一個(gè)多盤扭振系統(tǒng)。根