分數(shù)階微積分的產(chǎn)生及演變

1、分數(shù)階微積分的產(chǎn) 生及演變 分數(shù)階微積分是一個古老而新鮮的概念。 早在整數(shù)階微積分創(chuàng)立的初期，就有一些數(shù) 學家，如Lhospital、Leibniz等開始考慮它 的含義。然而，由于缺乏應用背景支撐等多 方面的原因，它長期以來并沒有得到較多的 關注和研究。隨著自然科學和社會科學的發(fā) 展、復雜工程應用需求的增加，尤其是20世 紀七八十年代以來對分形和各種復雜系統(tǒng)的 深入研究，分數(shù)階微積分理論及其應用開始 受到廣泛關注。 進入21世紀以來，分數(shù)階微積分建模方法 和理論在高能物理、反常擴散、復雜粘彈性材 料力學本構關系、系統(tǒng)控制、流變性、地球物 理、生物醫(yī)學工程、經(jīng)濟學等諸多領域有了若 干非常成功的應

2、用，凸顯了其獨特優(yōu)勢和不可 代替性，其理論和應用研究在國際上已成為一 個熱點。 另外，分數(shù)階微積分的非局域性質，導致 分數(shù)階導數(shù)控制方程數(shù)值模擬的計算量和存儲 量隨問題規(guī)模的增大而增加得比相應整數(shù)階方 程快得多，一些計算整數(shù)階方程十分有效的數(shù) 值方法對分數(shù)階方程也完全失效。而且，目前 大多數(shù)的分數(shù)階微積分方程模型還是唯象模型， 其內在的物理和力學機理還不是很清楚，有待 進一步的深入研究。 現(xiàn)在，基礎數(shù)學研究和工程應用研究中最 常用的有以下四種分數(shù)階微積分的定義： Grunwald-Letnikov分數(shù)階微積分， Riemann- Liouville分數(shù)階微積分，Caputo型分數(shù)階導數(shù)和 Ri

3、esz分數(shù)階微積分。 Grunwald-Letnikov定義是 差分格式定義，與Riemann-Liouville等定義比較， 該定義較少地被用于數(shù)學理論分析。然而，它 在微積分方程理論和數(shù)值計算方面使用較多。 Riemann-Liouville定義采用微分積分形式，避 免了極限求解，在數(shù)學理論研究中起著重要作 用。 為了方便實際問題的建模，在黏彈性材料 的研究中引入了另一種分手階微積分的定義， 即Caputo微分。Caputo定義在建模應用及積分 變換中滿足的初始條件以整數(shù)階微積分的形式 給出，現(xiàn)在實際問題建模過程中廣泛應用 Caputo定義。 分數(shù)階微積分的理論主要的研究內容包括： (1)

4、分數(shù)階微積分定義的修正與完善?，F(xiàn)在分數(shù) 階微積分的定義有十幾種，而這些定義之間又 存在密切的聯(lián)系。但是，由于定義的使用范圍、 涉及的初值條件等不相同，所以在應用方面存 在一些不確定性，因此分數(shù)階微積分定義的分 類與統(tǒng)一是一項非常有意義的開創(chuàng)性工作。 (2)分數(shù)階微積分的數(shù)值求解、分數(shù)階微積分定 義的擴展與延伸(如分形導數(shù)的一些性質與分析； 正定分數(shù)階微積分的性質與應用)。 (3)分數(shù)階微積分不同于整數(shù)階微積分的性質研 究，分數(shù)階微積分的積分變換，如傅里葉變換、 拉普拉斯變換、z變換等。以上都是分數(shù)階微積 分理論研究的重要方向。 現(xiàn)在，雖然分數(shù)階微積分的定義已被提出， 但是分數(shù)階微積分的理論體系還有待進一步的 擴充與完善，如時間分數(shù)階微積分定義的統(tǒng)一 問題。空間分數(shù)階導數(shù)的定義問題更為嚴重， 在現(xiàn)階段，空間分數(shù)階微積分的定義在數(shù)值計 算中較為使用的是Grunwald-Letnikov定義與 Riesz-Feller定義，其次是Riemann-Liouville定義。 多維空間分數(shù)階定義方面，比較成功的是分數(shù) 階拉普拉斯定義，但是該定義也比較繁瑣，現(xiàn) 階段還未見應用到微分方程的求解中。 只有在分數(shù)階微積分的定義比較完善的情 況下，分數(shù)階微積分才能更廣泛地應用于自然 學