高考數(shù)學(xué)試卷解析版湖南卷文理兩份

1、2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖南卷）文史類 解析版 本試題包括選擇題、填空題和解答題三部分，共6頁時量120分鐘，滿分150分參考公式（1）柱體體積公式，其中為底面面積，為高 （2）球的體積公式，其中為球的半徑一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1設(shè)全集則（ ）a b 答案：b解析：畫出韋恩圖，可知。若為虛數(shù)單位，且，則答案：c332正視圖側(cè)視圖俯視圖圖1解析：因，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件可知。的a充分不必要條件必要不充分條件c充分必要條件 d既不充分又不必要條件答案：a解析：因，反之，不一定有。設(shè)圖是某幾何體的三視圖，則該幾

2、何體的體積為a答案：d解析：有三視圖可知該幾何體是一個長方體和球構(gòu)成的組合體，其體積。5通過隨機詢問110名不同的大學(xué)生是否愛好某項運動，得到如下的列聯(lián)表：男女總計愛好402060不愛好203050總計6050110由附表：0050001000013841663510828參照附表，得到的正確結(jié)論是（ ）a 有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”b 有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關(guān)”c 在犯錯誤的概率不超過01%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”d 在犯錯誤的概率不超過01%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關(guān)”答案：a解析：由，而，故由獨立性檢驗的意義可知選a

3、.6設(shè)雙曲線的漸近線方程為則的值為（ ）a4 b3 c2 d1答案：c解析：由雙曲線方程可知漸近線方程為，故可知。7曲線在點處的切線的斜率為（ ）a b c d答案：b解析：，所以。8已知函數(shù)若有則的取值范圍為a b c d答案：b解析：由題可知，若有則，即，解得。二、填空題：本大題共8小題，考生作答7小題，每小題解分，共青團員5分，把答案填在答題卡中對應(yīng)題號后的橫線上（一）選做題（請考生在第9，10兩題中任選一題作答，如果全做，則按前一題記分）9在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系取相同的長度單位，且以原點為極點，以軸正半軸為極軸）中，曲線的方程為則與的交點個數(shù)為 答案：

4、2解析：曲線，曲線，聯(lián)立方程消得，易得，故有2個交點。10已知某試驗范圍為10，90，若用分數(shù)法進行4次優(yōu)選試驗，則第二次試點可以是 開始輸入開始開始否是結(jié)束輸出開始圖2答案：40或60（只填一個也正確）解析：有區(qū)間長度為80，可以將其等分8段，利用分數(shù)法選取試點：，由對稱性可知，第二次試點可以是40或60。(二)必做題（11-16題）11若執(zhí)行如圖2所示的框圖，輸入則輸出的數(shù)等于 答案：解析：由框圖功能可知，輸出的數(shù)等于。12已知為奇函數(shù)， 答案：6解析：，又為奇函數(shù)，所以。13設(shè)向量滿足且的方向相反，則的坐標(biāo)為 答案：解析：由題，所以14設(shè)在約束條件下，目標(biāo)函數(shù)的最大值為4，則的值為 答案

5、：3解析：畫出可行域，可知在點取最大值為4，解得。15已知圓直線（1）圓的圓心到直線的距離為 (2) 圓上任意一點到直線的距離小于2的概率為 答案：5，解析：（1）由點到直線的距離公式可得；（2）由（1）可知圓心到直線的距離為5，要使圓上點到直線的距離小于2，即與圓相交所得劣弧上，由半徑為，圓心到直線的距離為3可知劣弧所對圓心角為，故所求概率為.16、給定，設(shè)函數(shù)滿足：對于任意大于的正整數(shù)，（1）設(shè)，則其中一個函數(shù)在處的函數(shù)值為 ；（2）設(shè)，且當(dāng)時，則不同的函數(shù)的個數(shù)為 。答案：（1），（2）16解析：（1）由題可知，而時，則，故只須，故。（2）由題可知，則，而時，即，即，由乘法原理可知，不同

6、的函數(shù)的個數(shù)為。三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17（本小題滿分12分）在中，角所對的邊分別為且滿足（i）求角的大??；（ii）求的最大值，并求取得最大值時角的大小解析：（i）由正弦定理得因為所以（ii）由（i）知于是 取最大值2綜上所述，的最大值為2，此時18（本題滿分12分）某河流上的一座水力發(fā)電站，每年六月份的發(fā)電量y（單位：萬千瓦時）與該河上游在六月份的降雨量x（單位：毫米）有關(guān)據(jù)統(tǒng)計，當(dāng)x=70時，y=460；x每增加10，y增加5；已知近20年x的值為：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，1

7、60，160，200，140，110，160，220，140，160（i）完成如下的頻率分布表： 近20年六月份降雨量頻率分布表降雨量70110140160200220頻率（ii）假定今年六月份的降雨量與近20年六月份的降雨量的分布規(guī)律相同，并將頻率視為概率，求今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490（萬千瓦時）或超過530（萬千瓦時）的概率解：（i）在所給數(shù)據(jù)中，降雨量為110毫米的有3個，為160毫米的有7個，為200毫米的有3個，故近20年六月份降雨量頻率分布表為降雨量70110140160200220頻率（ii）故今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490（萬千瓦時）或超過530（萬千瓦

8、時）的概率為19（本題滿分12分）如圖3，在圓錐中，已知的直徑的中點（i）證明：（ii）求直線和平面所成角的正弦值解析：（i）因為又內(nèi)的兩條相交直線，所以（ii）由（i）知，又所以平面在平面中，過作則連結(jié)，則是上的射影，所以是直線和平面所成的角在在20（本題滿分13分）某企業(yè)在第1年初購買一臺價值為120萬元的設(shè)備m，m的價值在使用過程中逐年減少，從第2年到第6年，每年初m的價值比上年初減少10萬元；從第7年開始，每年初m的價值為上年初的75%（i）求第n年初m的價值的表達式；（ii）設(shè)若大于80萬元，則m繼續(xù)使用，否則須在第n年初對m更新，證明：須在第9年初對m更新解析：（i）當(dāng)時，數(shù)列是首

9、項為120，公差為的等差數(shù)列 當(dāng)時，數(shù)列是以為首項，公比為為等比數(shù)列，又，所以 因此，第年初，m的價值的表達式為(ii)設(shè)表示數(shù)列的前項和，由等差及等比數(shù)列的求和公式得當(dāng)時，當(dāng)時，因為是遞減數(shù)列，所以是遞減數(shù)列，又所以須在第9年初對m更新21已知平面內(nèi)一動點到點f（1，0）的距離與點到軸的距離的等等于1（i）求動點的軌跡的方程；（ii）過點作兩條斜率存在且互相垂直的直線，設(shè)與軌跡相交于點，與軌跡相交于點，求的最小值解析：（i）設(shè)動點的坐標(biāo)為，由題意為化簡得當(dāng)、所以動點p的軌跡c的方程為（ii）由題意知，直線的斜率存在且不為0，設(shè)為，則的方程為由，得設(shè)則是上述方程的兩個實根，于是 因為，所以的斜

10、率為設(shè)則同理可得故當(dāng)且僅當(dāng)即時，取最小值1622（本小題13分）設(shè)函數(shù)(i)討論的單調(diào)性；（ii）若有兩個極值點，記過點的直線的斜率為，問：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，請說明理由解析：（i）的定義域為 令(1) 當(dāng)故上單調(diào)遞增(2) 當(dāng)?shù)膬筛夹∮?，在上，故上單調(diào)遞增(3) 當(dāng)?shù)膬筛鶠?，?dāng)時， ；當(dāng)時， ；當(dāng)時， ，故分別在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（ii）由（i）知，因為，所以又由(i)知，于是若存在，使得則即亦即再由（i）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，所以這與式矛盾故不存在，使得2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖南卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）本試題卷包括選擇題、填空題和解答題三

11、部分，共6頁，時量120分鐘，滿分150分。參考公式：（1），其中為兩個事件，且， （2）柱體體積公式，其中為底面面積，為高。 （3）球的體積公式，其中為求的半徑。一選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的。1.若，為虛數(shù)單位，且，則（ ）a b c d 答案：d解析：332正視圖側(cè)視圖俯視圖圖1因，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件可知。2.設(shè)，則“”是“”則（ ）a充分不必要條件 b必要不充分條件 c充分必要條件 d既不充分又不必要條件 答案：a解析：因“”，即，滿足“”，反之“”，則，或，不一定有“”。3.設(shè)圖一是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為

12、（ ）a b c d 答案：b解析：有三視圖可知該幾何體是一個長方體和球構(gòu)成的組合體，其體積。4.通過隨機詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項運動，得到如下的列聯(lián)表：男女總計愛好402060不愛好203050總計6050110由算得附表：0.0500.0100.0013.8416.63510.828參照附表，得到的正確結(jié)論是（ ）a在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”b在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關(guān)”c有以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”d有以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關(guān)” 答案：c解析：由，而，故由獨立性檢驗的意義可知選c

13、.5.設(shè)雙曲線的漸近線方程為，則的值為（ ）a4 b3 c2 d1答案：c解析：由雙曲線方程可知漸近線方程為，故可知。6. 由直線與曲線所圍成的封閉圖形的面積為（ ）a b1 c d答案：d解析：由定積分知識可得，故選d。7. 設(shè)，在約束條件下，目標(biāo)函數(shù)的最大值小于2，則的取值范圍為（ ）a b c d答案：a解析：畫出可行域，可知在點取最大值，由解得。8.設(shè)直線與函數(shù)的圖像分別交于點，則當(dāng)達到最小時的值為（ ）a1 b c d答案：d解析：由題，不妨令，則，令解得，因時，當(dāng)時，所以當(dāng)時，達到最小。即。 二填空題：本大題共8小題，考生作答7小題，每小題5分，共35分，把答案填在答題卡中對應(yīng)題號

14、的橫線上。一、選做題（請考生在第9、10、11三題中任選兩題作答，如果全做，則按前兩題記分）9.在直角坐標(biāo)系中，曲線c1的參數(shù)方程為（為參數(shù)）在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系取相同的長度單位，且以原點o為極點，以軸正半軸為極軸）中，曲線的方程為，則與的交點個數(shù)為 。 答案：2解析：曲線，由圓心到直線的距離，故與的交點個數(shù)為2.10.設(shè),則的最小值為 。答案：9解析：由柯西不等式可知。11.如圖2，是半圓周上的兩個三等分點，直徑，,垂足為d, 與相交與點f，則的長為 。答案：解析：由題可知，,得,，又，所以.二、必做題（1216題）12、設(shè)是等差數(shù)列的前項和，且，則答案：25解析：由可得，所以。13、若

15、執(zhí)行如圖3所示的框圖，輸入，則輸出的數(shù)等于 。答案：解析：由框圖的算法功能可知，輸出的數(shù)為三個數(shù)的方差，則。14、在邊長為1的正三角形中，設(shè)，則。答案：解析：由題，所以。15、如圖4， 是以為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形，將一顆豆子隨機地扔到該圓內(nèi)，用a表示事件“豆子落在正方形內(nèi)”，b表示事件“豆子落在扇形（陰影部分）內(nèi)”，則（1）；（2）答案：（1）；（2）解析：（1）由幾何概型概率計算公式可得；（2）由條件概率的計算公式可得。16、對于，將表示為，當(dāng)時，當(dāng)時，為0或1.記為上述表示中為0的個數(shù)，（例如，：故）則（1） （2）答案：（1）2；（2）解析：（1）因，故；（2）在2進制的位數(shù)中

16、，沒有0的有1個，有1個0的有個，有2個0的有個，有個0的有個，有個0的有個。故對所有2進制為位數(shù)的數(shù)，在所求式中的的和為：。又恰為2進制的最大7位數(shù)，所以。三解答題：本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.（本小題滿分12分）在中，角所對的邊分別為，且滿足.（i）求角的大小；（ii）求的最大值，并求取得最大值時角的大小解析：（i）由正弦定理得因為所以（ii）由（i）知于是 取最大值2綜上所述，的最大值為2，此時18. 某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量（件）0123頻數(shù)1595試銷結(jié)束后（假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變），設(shè)某天開始營業(yè)時有該

17、商品3件，當(dāng)天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存貨少于2件，則當(dāng)天進貨補充至3件，否則不進貨，將頻率視為概率。(）求當(dāng)天商品不進貨的概率；（）記x為第二天開始營業(yè)時該商品的件數(shù)，求x的分布列和數(shù)學(xué)期望。解析：（i）p（“當(dāng)天商店不進貨”）=p（“當(dāng)天商品銷售量為0件”）+p（“當(dāng)天商品銷售量1件”）=。（ii）由題意知，的可能取值為2，3.；故的分布列為23的數(shù)學(xué)期望為。19.（本題滿分12分）如圖5，在圓錐中，已知的直徑的中點（i）證明：（ii）求二面角的余弦值解：（i）連接，因為,為的中點，所以.又因為內(nèi)的兩條相交直線，所以而，所以。（ii）在平面中，過作于，由（i）知，,所以又所以.在平面中，

18、過作連接,則有，從而，所以是二面角的平面角在在在在,所以。故二面角的余弦值為。20. 如圖6，長方形物體e在雨中沿面p（面積為s）的垂直方向作勻速移動，速度為，雨速沿e移動方向的分速度為。e移動時單位時間內(nèi)的淋雨量包括兩部分：（1）p或p的平行面（只有一個面淋雨）的淋雨量，假設(shè)其值與s成正比，比例系數(shù)為；（2）其它面的淋雨量之和，其值為，記為e移動過程中的總淋雨量，當(dāng)移動距離d=100，面積s=時。（）寫出的表達式（）設(shè)0v10,0c5，試根據(jù)c的不同取值范圍，確定移動速度，使總淋雨量最少。解析：（i）由題意知，e移動時單位時間內(nèi)的淋雨量為，故.（ii）由(i)知，當(dāng)時，當(dāng)時，故。(1)當(dāng)時，

19、是關(guān)于的減函數(shù).故當(dāng)時，。(2) 當(dāng)時，在上，是關(guān)于的減函數(shù)；在上，是關(guān)于的增函數(shù)；故當(dāng)時，。a. (本小題滿分13分） 如圖7，橢圓的離心率為，軸被曲線 截得的線段長等于的長半軸長。（）求，的方程；（）設(shè)與軸的交點為m，過坐標(biāo)原點o的直線與相交于點a,b,直線ma,mb分別與相交與d,e.（i）證明：；(ii)記mab,mde的面積分別是.問：是否存在直線,使得=?請說明理由。解析：（i）由題意知，從而，又，解得。故，的方程分別為。（ii）（i）由題意知，直線的斜率存在，設(shè)為，則直線的方程為.由得，設(shè)，則是上述方程的兩個實根，于是。又點的坐標(biāo)為，所以故，即。（ii）設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，