第五章：利率進(jìn)階

1、第三部分：債券投資分析：深入理論隨著中國(guó)債券市場(chǎng)的發(fā)展和參與者的逐漸成熟，經(jīng)典的固定收益證券理論已經(jīng)廣為人知。讀者在本書的第二部分已經(jīng)了解了現(xiàn)金流分析的意義、單利和復(fù)利的關(guān)系，對(duì)現(xiàn)金流風(fēng)險(xiǎn)和收益的基本度量方法，以及關(guān)于利率期限結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)單概念。對(duì)于傳統(tǒng)（我們稱之為經(jīng)典的）債券分析理論和方法來說，特別是以到期收益率、久期和凸度等概念作為衡量債券品種的風(fēng)險(xiǎn)收益基本指標(biāo)的方法，可以說是對(duì)現(xiàn)金流固定的投資品種進(jìn)行分析的基礎(chǔ)。但是，到期收益率和敏感度分析的重要問題是它們的隱含假設(shè)：收益率曲線是水平的。這雖然簡(jiǎn)化了整個(gè)理論框架，但也帶來很多問題。此外，雖然傳統(tǒng)理論是非常簡(jiǎn)潔而且實(shí)用的，但我們卻無法基于它來獲

2、知一些更深入的問題。比如，如何去準(zhǔn)確定價(jià)浮息國(guó)債？如何去定價(jià)一個(gè)帶有發(fā)行人贖回條款的債券（例如2002年國(guó)開行發(fā)行的第15期金融債）？如何去度量當(dāng)前的市場(chǎng)價(jià)格下這些債券品種的風(fēng)險(xiǎn)？怎樣能夠使債券投資組合保證穩(wěn)定的收益并規(guī)避利率風(fēng)險(xiǎn)？如何針對(duì)市場(chǎng)的實(shí)際情況制定有效的債券投資策略？以上的問題，都是在本書的第三部分將要回答的。從本部分開始，本書將開始介紹債券分析的深入理論和一些相關(guān)的實(shí)務(wù)方法。我們也將力求將國(guó)外已經(jīng)成熟的理論和中國(guó)債券市場(chǎng)的實(shí)際情況結(jié)合，來提供一些具體的應(yīng)用實(shí)例和練習(xí)。首先，我們將介紹利率期限結(jié)構(gòu)的進(jìn)階理論，包括利率期限結(jié)構(gòu)參數(shù)模型和擬合方法、收益率曲線的結(jié)構(gòu)分解與動(dòng)力學(xué)、影響收益率

3、曲線的因素、和利率衍生品有關(guān)的定價(jià)理論和數(shù)學(xué)方法等內(nèi)容，特別地，我們將著重介紹通過短期利率模型，使讀者了解實(shí)用的內(nèi)置期權(quán)債券的定價(jià)原理。此外，對(duì)于作為債券金融創(chuàng)新品種的利率互換/浮息債、債券期貨、本息剝離券等問題，在第三部分的最后也將作為重點(diǎn)討論。而后，我們將基于實(shí)際應(yīng)用的原則，介紹債券投資策略，包括積極投資策略和指數(shù)化策略；債券組合管理技術(shù)，包括各種債券免疫技術(shù)，而本部分的最后，我們將介紹流行的var體系下的債券風(fēng)險(xiǎn)管理技術(shù)。我們希望讀者在閱讀此部分時(shí)，能夠具備一定的高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，特別是從第六章開始，我們將大量使用到數(shù)理統(tǒng)計(jì)、矩陣論和微積分知識(shí)。但對(duì)于基礎(chǔ)略微薄弱的讀者來說，也可以直接閱讀我

4、們的一些定性理論的介紹文字和實(shí)證研究結(jié)論，相信也會(huì)頗有收獲。第五章 利率進(jìn)階讀者在本書的上一部分已經(jīng)了解了關(guān)于利率、即期利率曲線和利率期限結(jié)構(gòu)的一些基本的概念。在現(xiàn)代債券分析理論中，關(guān)于收益率曲線和利率期限結(jié)構(gòu)的理論已經(jīng)在整個(gè)研究體系中處于最核心的地位。幾乎所有的實(shí)務(wù)方法都會(huì)涉及到市場(chǎng)的收益率曲線數(shù)據(jù)。在本章中，我們將從遠(yuǎn)期利率和即期利率的關(guān)系開始，詳細(xì)地介紹與整個(gè)利率期限結(jié)構(gòu)相關(guān)的一些不同種類的收益率曲線，同時(shí)具體介紹它們的相互換算方法、特性和在實(shí)際應(yīng)用中的意義。在本章的后兩節(jié)，我們將會(huì)把以前章節(jié)提到的“復(fù)利”概念在本章加以擴(kuò)展，闡述連續(xù)復(fù)利框架下的收益率曲線的一些有關(guān)內(nèi)容。5-1遠(yuǎn)期利率關(guān)

5、于兩種回購品種的一個(gè)例子我們觀察一下2001年12月31日上海證券交易所國(guó)債回購的利率變動(dòng)狀況。在收盤時(shí)，28天回購的價(jià)格（換算成年計(jì)復(fù)利率）是2.60%，而同日14天回購的收盤價(jià)格是2.50%，這中間隱含了什么樣的信息呢？如果我們賬面上有一筆1000萬元的現(xiàn)金并且準(zhǔn)備拆出28天，我們可以有如下兩種選擇：a. 進(jìn)行28天逆回購拆出資金，到期收回。b. 分兩次14天拆出，第一次到期收回。（注*：此處s的下標(biāo)（t-t）表示由t日起息的到t日付息的即期利率水平，例如s0,14表示當(dāng)日起息的14日后付息的即期利率水平）。我們注意第二種方法，當(dāng)?shù)谝淮?4天回購到期時(shí)，還需要第二次進(jìn)行14天逆回購，如果希

6、望第二種方法也獲得和地一種方法相同的收益，則此時(shí)需要14天回購利率上升到。遠(yuǎn)期利率在這里的s14,28 = 2.7%，代表一個(gè)“收支相抵”的收益率，在這個(gè)收益率水平下，我們可以當(dāng)前的即期利率水平連續(xù)拆出兩筆較短期限（14天回購）的資金，而獲得和一次性進(jìn)行28天逆回購相同的收益。而實(shí)際上的14天回購當(dāng)然往往不會(huì)上漲到這一水平，然而這個(gè)“收支相抵”的收益率s14,28卻不僅僅停留在理論上，它是可以由我們已知的即期回購利率水平計(jì)算出來的?？梢赃@樣理解，它是一個(gè)隱含于當(dāng)前即期利率中的、表示未來某一時(shí)點(diǎn)即期利率水平的利率，我們稱之為隱含的遠(yuǎn)期利率（implied forward rate）。出于簡(jiǎn)便，我

7、們也稱之為遠(yuǎn)期利率（forward rate），并在以下章節(jié)沿用這一說法，但請(qǐng)讀者務(wù)必把本書中的“遠(yuǎn)期利率”一詞和“遠(yuǎn)期實(shí)際發(fā)生的（或預(yù)期會(huì)發(fā)生的）即期利率水平”相區(qū)別。我們所提到的遠(yuǎn)期利率，并不表示未來實(shí)際即期利率被預(yù)期會(huì)移動(dòng)到這一水平（注*：隱含遠(yuǎn)期利率和未來的即期利率的預(yù)期水平之間的確存在關(guān)系，但并非完全直接的關(guān)系，我們會(huì)在后面討論預(yù)期和收益率曲線以及遠(yuǎn)期利率的關(guān)系）。我們看另外一個(gè)例子：假設(shè)債券市場(chǎng)上有兩只零息國(guó)債（分別記做a和b），剩余期限和分別是一年和兩年。價(jià)格分別為95.29元和89.00元。我們顯然可以算出，它們對(duì)應(yīng)的到期收益率分別為5.00%和6.00%。如果債券市場(chǎng)在12年

8、的短期品種只有這兩只債券，那么，這兩只債券的收益率就分別對(duì)應(yīng)市場(chǎng)一年和兩年的即期利率水平，我們記做s0,1 = 5.00%和s0,2 = 6.00%。根據(jù)我們上述對(duì)遠(yuǎn)期利率的定義，那么由即期利率水平隱含的遠(yuǎn)期利率，即表示隱含的一年后“收支相抵”的即期利率水平的遠(yuǎn)期利率，我們記作f1,2，可以得出： （5-1）如圖5-1，遠(yuǎn)期利率和即期利率在時(shí)間軸上存在換算關(guān)系。圖5-10年 1年 2年如果我們期望：無論我們?cè)鯓訕?gòu)建自己的投資組合，即無論在市場(chǎng)上的所有投資品種怎樣搭配，都能使得我們的資產(chǎn)在兩年之后獲得同樣的收益，則需要一年后的一年期利率水平如何變化呢？換句話說，一年后剩余的這只零息債b（存續(xù)期在

9、那時(shí)恰好為一年）定價(jià)應(yīng)當(dāng)是多少呢？顯然，這實(shí)際上要求一年后的即期利率r1,2和我們上面f1,2結(jié)果一致。也就是說，一年后，零息債b的價(jià)格應(yīng)該是。這樣，我們以初始89.00元，采取下列兩種投資策略，結(jié)果都是一樣的：表5-1初始資金初始策略一年后兩年后策略一￥89.00買入零息券b（價(jià)格89元），持有1份零息券b價(jià)格93.37元零息券b到期，獲得100元現(xiàn)金策略二￥89.00買入零息券a（價(jià)格95.21元），持有0.9337份零息券a到期，償還資金93.37元恰好可買入1份零息券b零息券b到期，獲得100元現(xiàn)金我們可以將表5-1的例子擴(kuò)展到n種零息債市場(chǎng)。而關(guān)于遠(yuǎn)期利率的一個(gè)重要性質(zhì)是：如果未來的

10、即期利率變化始終都是和相應(yīng)時(shí)間段的遠(yuǎn)期利率一致的話，那么無論投資者持有市場(chǎng)上的任何一個(gè)債券品種或者其組合（注*：我們?cè)谇懊娴恼鹿?jié)提到過，按期支付息票的債券可以視作一組零息債，所以這個(gè)性質(zhì)對(duì)息票債券組合同樣適用），最終都將獲得同樣的收益。這也是對(duì)“遠(yuǎn)期利率是收支相抵的未來即期利率”的一種一般化的理解。另外，數(shù)學(xué)意義上的遠(yuǎn)期利率和即期利率并無不同，因?yàn)檫h(yuǎn)期利率就是“發(fā)生在遠(yuǎn)期的即期利率”而已。我們?cè)诒拘」?jié)中，對(duì)遠(yuǎn)期利率的規(guī)定是它被當(dāng)前的即期利率所隱含。而在本書后面的一些章節(jié)中，為了一些數(shù)學(xué)推導(dǎo)的清晰表示，我們有時(shí)將不去具體區(qū)分即期利率和遠(yuǎn)期利率，而僅僅考慮發(fā)生在某一計(jì)息期間內(nèi)的即期利率。如果這個(gè)即

11、期利率的計(jì)息期間的發(fā)生時(shí)間在未來，那么也可以說它是一種遠(yuǎn)期利率，但這個(gè)遠(yuǎn)期利率和我們當(dāng)前所觀測(cè)到的即期利率并不一定存在關(guān)系。5-2即期利率、遠(yuǎn)期利率和平價(jià)息票收益率由即期利率曲線推導(dǎo)遠(yuǎn)期利率曲線如果將我們?cè)谏弦还?jié)所提到的即期利率與遠(yuǎn)期利率的關(guān)系擴(kuò)展到一般情況，我們可以從當(dāng)前的即期利率曲線推出整條遠(yuǎn)期利率曲線。我們定義，由當(dāng)前時(shí)點(diǎn)到未來時(shí)點(diǎn)t和未來時(shí)點(diǎn)t的即期利率分別為st和st，而在未來時(shí)間段t到t內(nèi)的隱含遠(yuǎn)期利率ft,t與st和st有如下關(guān)系：，（5-2）也就是 （5-3）這樣我們推出的遠(yuǎn)期利率曲線，實(shí)際上由于其時(shí)間點(diǎn)t和t的選取不同，其結(jié)果也都不同。如果我們考慮的是隱含未來每一年即期利率的

12、遠(yuǎn)期利率，我們有 （5-4）對(duì)于這里的fn-1,n所組成的遠(yuǎn)期利率曲線，我們稱其為一年期遠(yuǎn)期利率（one-year forward rate）。在時(shí)間軸上每一年的一年期遠(yuǎn)期利率數(shù)值，實(shí)際上代表了被當(dāng)前即期利率隱含的，未來每一年的一年期的即期利率。而式（5-4）也表明了這樣一點(diǎn)：當(dāng)前的即期利率曲線上，某一到期期限所對(duì)應(yīng)的貼現(xiàn)率實(shí)際上是這一期限內(nèi)所有一年期遠(yuǎn)期利率對(duì)應(yīng)的貼現(xiàn)率的幾何平均數(shù)。也許上述這個(gè)定義有點(diǎn)拗口，不過我們希望讀者能夠理解上述這種遠(yuǎn)期利率和另外一種遠(yuǎn)期利率的區(qū)別。因?yàn)榱碛幸环N常用的遠(yuǎn)期利率，即隱含一年后即期利率曲線的遠(yuǎn)期利率（implied spot rate curve one

13、year forward，我們以下簡(jiǎn)稱為“一年隱含遠(yuǎn)期利率”）。我們定義 或 （5-5）即期利率，一年期遠(yuǎn)期利率和隱含一年后即期利率曲線的遠(yuǎn)期利率在時(shí)間軸上的直觀關(guān)系可以通過圖5-2來表示得很清楚圖5-20 1 2 3 4 5 到期期限時(shí)間軸表5-2給出了2002年12月31日的1-10年中國(guó)國(guó)債交易所市場(chǎng)的即期利率、一年期遠(yuǎn)期利率和一年隱含遠(yuǎn)期利率數(shù)值，后兩者分別按照公式（5-4）和公式（5-5）從即期利率中推導(dǎo)出來，有興趣的讀者也可以自己嘗試在excel中體會(huì)一下三者之間的換算關(guān)系。表5-2中國(guó)國(guó)債交易所市場(chǎng)的即期利率和遠(yuǎn)期利率（2002-12-31）到期期限12345678910即期利率

14、1.599%2.204%2.537%2.697%2.755%2.757%2.735%2.711%2.696%2.697%一年期遠(yuǎn)期利率2.811%3.206%3.181%2.985%2.767%2.606%2.539%2.575%2.710%一年隱含遠(yuǎn)期利率2.811%3.009%3.066%3.046%2.990%2.926%2.871%2.834%2.820%即期利率曲線的隱含變化0.608%0.472%0.369%0.291%0.233%0.191%0.160%0.138%0.123%圖5-3給出了給出了2002年12月31日的1-15年期限的中國(guó)國(guó)債交易所市場(chǎng)的即期利率、一年期遠(yuǎn)期利率

15、和一年隱含遠(yuǎn)期利率曲線的遠(yuǎn)期利率曲線圖。我們可以從圖中看出，一年期遠(yuǎn)期利率曲線比一年隱含遠(yuǎn)期利率曲線的波動(dòng)要大得多，前者對(duì)即期利率的變動(dòng)也更加敏感。圖5-3中國(guó)國(guó)債交易所市場(chǎng)的即期利率和遠(yuǎn)期利率（2002-12-31）我們?cè)俅巫⒁獗?-2的最后一行：即期利率的隱含變化。我們?cè)谟?jì)算這一行的時(shí)候，取它的數(shù)值為一年隱含遠(yuǎn)期利率和即期利率的差值。回憶起我們?cè)诒菊碌牡谝还?jié)提到遠(yuǎn)期利率是使任意市場(chǎng)品種的組合“收支相抵的”未來即期利率水平。在這里我們給出的是一個(gè)一般的例子，即針對(duì)整條即期利率曲線的變化來說，如果要使任意市場(chǎng)品種的組合在未來一年的持有期中都獲得同樣的收益，則一年后的即期利率曲線應(yīng)該移動(dòng)到目前的

16、一年隱含遠(yuǎn)期利率的水平。而具體到當(dāng)前即期利率曲線上每一點(diǎn)的變化，則就是我們?cè)诒?-2的最后一行所列的即期利率的隱含變化。從另一個(gè)角度去理解這個(gè)問題，我們看到，圖5-3中的即期利率曲線有一個(gè)正的斜率，也就是說，長(zhǎng)期限的零息國(guó)債比短期限的零息國(guó)債有更高的到期收益率，當(dāng)然，對(duì)于按期付息的國(guó)債也是同樣的。顯然，與具有斜率為正的即期利率曲線對(duì)應(yīng)，我們可以推出的是一條斜率同樣為正的一年隱含遠(yuǎn)期利率曲線，并且其位置處在即期利率曲線的上方。反之，如果即期利率曲線是向下傾斜的，則一年隱含遠(yuǎn)期利率曲線也是向下傾斜的，并且其位置在即期利率曲線下方。請(qǐng)分別參見圖5-4和圖5-5。圖5-4 向上傾斜的即期利率曲線和對(duì)應(yīng)

17、的遠(yuǎn)期利率圖5-5 “倒掛”的即期利率曲線和對(duì)應(yīng)的遠(yuǎn)期利率對(duì)于傳統(tǒng)債券分析理論中經(jīng)常用到的水平收益率假設(shè)，我們顯然可以由式（5-2）推出，如果即期利率曲線是完全水平的，那么無論我們選取怎樣的遠(yuǎn)期利率，遠(yuǎn)期利率曲線將是和即期利率曲線完全重合的。此外，在前一章關(guān)于債券全回報(bào)的理論介紹中，我們介紹了債券的回報(bào)來自利息回報(bào)和價(jià)格回報(bào)（資本利得）兩部分。長(zhǎng)期券相對(duì)于短期券在息票上更高，如果即期利率曲線的變化要始終讓市場(chǎng)上所有品種都獲得相同的持有期回報(bào)，則長(zhǎng)期券在持有期中的價(jià)格回報(bào)應(yīng)該低于短期券，由此來沖抵其利息回報(bào)的多出部分。即期利率曲線和零息債的定價(jià)（續(xù)相對(duì)價(jià)值分析）我們已經(jīng)知道，將一組不同期限的同質(zhì)

18、零息債券貼現(xiàn)率換算成年利率的方式，就可以獲得相應(yīng)的即期利率曲線。在應(yīng)用中，由于即期利率曲線的數(shù)據(jù)是來自市場(chǎng)上現(xiàn)有的債券品種（注*：關(guān)于從市場(chǎng)數(shù)據(jù)中“提取”即期利率曲線的方法，涉及到一些的具體的參數(shù)模型設(shè)定和數(shù)學(xué)方法，我們將在下一章會(huì)詳細(xì)介紹。在本章，讀者只需要理解即期利率曲線和市場(chǎng)數(shù)據(jù)的關(guān)系即可），因此，我們可以將即期利率曲線視為債券市場(chǎng)的市場(chǎng)組合曲線，它提供了類似資本資產(chǎn)定價(jià)模型（capm）的證券市場(chǎng)線（sml）的收益-風(fēng)險(xiǎn)對(duì)應(yīng)關(guān)系。從理論上來說，我們可以認(rèn)為到期期限是債券的一個(gè)重要風(fēng)險(xiǎn)因子，而某一期限零息債券的（均衡的）市場(chǎng)收益率可以直接在即期利率曲線上找到對(duì)應(yīng)的數(shù)值。換句話說，我們可以把

19、即期利率曲線看作是債券市場(chǎng)的證券市場(chǎng)線。這個(gè)方法的意義在于：我們可以通過比較市場(chǎng)上某一零息債券品種與即期利率曲線的相對(duì)位置，來評(píng)價(jià)其投資價(jià)值是否高于（或低于）市場(chǎng)水平。如圖5-6中的例子，我們看到，高于即期利率曲線的零息債品種具有較高的投資價(jià)值，因?yàn)橄鄬?duì)來看，它們擁有比同期限市場(chǎng)組合更高的回報(bào)。反之，低于即期利率曲線的零息債品種被認(rèn)為具有低于市場(chǎng)組合的投資價(jià)值。圖5-6通過與收益率曲線的相對(duì)位置判斷零息債券的投資價(jià)值上述的分析在方法論上顯然和capm的方法：通過股票的值和期望收益與證券市場(chǎng)線的比較來判斷其投資價(jià)值有類似之處。但對(duì)于現(xiàn)金流確定的零息債來說，其相對(duì)位置的確定要簡(jiǎn)單得多，也準(zhǔn)確得多。

20、另外，影響債券的風(fēng)險(xiǎn)因素也比股票簡(jiǎn)單得多，因此我們進(jìn)行相對(duì)價(jià)值判斷的結(jié)論往往相當(dāng)直接而且有效。對(duì)于期限越長(zhǎng)的債券要求越高的回報(bào)，這個(gè)邏輯與理性人假設(shè)（rational person hypothesis）在即期利率曲線始終單調(diào)上升的情況下顯然是沒有矛盾的，但收益率曲線往往有時(shí)出現(xiàn)“倒掛”的向下傾斜的情況，例如我們前面提到過的圖5-5。雖然具有圖5-5這種整體形態(tài)的收益率曲線并不常見，但很多時(shí)候即期利率曲線在局部卻會(huì)出現(xiàn)下斜的情況。導(dǎo)致這類情況的原因在現(xiàn)實(shí)中往往很復(fù)雜，可能包括：預(yù)期利率變化、市場(chǎng)的投機(jī)行為以及凸度的影響等等。這并不影響我們通過即期利率曲線進(jìn)行相對(duì)價(jià)值分析，因?yàn)槲覀兗词故找媛是€

21、是倒掛的，高于即期利率曲線的零息債仍比同期限市場(chǎng)組合具有更大投資價(jià)值（注*：但這并不是說，即期利率曲線上方的零息債在整個(gè)市場(chǎng)所有可選擇的品種中具有高于平均水平的投資價(jià)值，特別是在收益率曲線“倒掛”的區(qū)域）。平價(jià)息票收益率通過即期利率曲線進(jìn)行相對(duì)價(jià)值分析是一個(gè)行之有效的辦法。然而在中國(guó)債券市場(chǎng)上，特別是在主導(dǎo)市場(chǎng)的國(guó)債品種中，大多數(shù)品種都是按期支付息票，到期還本付息的固定息票債券。我們?nèi)绾慰疾爝@些品種和即期利率曲線之間的關(guān)系呢？間接的方法是采用第三章中的方法，把固定息票債券內(nèi)含的現(xiàn)金流全部按即期利率曲線貼現(xiàn)，然后考察其現(xiàn)值加總后的理論價(jià)格和市場(chǎng)價(jià)格的高低。此外，如果我們考慮將固定息票債券內(nèi)含的多

22、個(gè)現(xiàn)金流加權(quán)平均到一個(gè)發(fā)生時(shí)點(diǎn)（即取得馬考勒久期），之后將其到期收益率-久期與即期利率曲線進(jìn)行對(duì)照是一種可行的方法。當(dāng)然，我們也有另一種更為直觀的方法，即由即期利率曲線推導(dǎo)出另一條收益率曲線，使其可以體現(xiàn)一組現(xiàn)金流的貼現(xiàn)率。特別地，當(dāng)我們確定這條收益率曲線時(shí)，按照固定息票債券得現(xiàn)金流發(fā)生規(guī)則（按期支付息票利率，到期支付本金），使曲線上每一點(diǎn)的收益率水平代表了相應(yīng)到期期限的固定息票債券的息票金額，而同時(shí)該息票債券的全部?jī)?nèi)含現(xiàn)金流按照我們已知的即期利率貼現(xiàn)之后，剛好使其現(xiàn)價(jià)等與其即期發(fā)行平價(jià)（即票面價(jià)格），則我們稱這條收益率曲線為平價(jià)息票收益率曲線（par rate）。例如，我們已知當(dāng)前的1年期和

23、2年期即期利率分別為s0,1 = 5.00%和s0,2 = 6.00%。那么，若我們考慮即刻發(fā)行一只按年付息，面值100元的固定息票國(guó)債，其票息（我們?cè)O(shè)為pr2）應(yīng)該是多少，才能使得其按照當(dāng)前的即期利率水平折算的內(nèi)在價(jià)值恰好其面值呢？顯然，pr2使下式（5-6）成立 （5-6）求解此方程，我們可以得出pr2 = 5.971%。這個(gè)結(jié)果實(shí)際上就是對(duì)應(yīng)當(dāng)前即期利率水平的兩年期平價(jià)息票收益率數(shù)值。在這個(gè)息票率水平下發(fā)行的固息債券，剛好可以使其內(nèi)在價(jià)值等于現(xiàn)值。我們將式（5-6）擴(kuò)展到更一般的形式，以prn 表示期限為n年的年付息平價(jià)息票收益率，par表示債券面值，那么有 （5-7）顯然，（5-7）中

24、的債券面值par可以約去，也就是說，prn 只與1 n年的即期利率水平r1 rn有關(guān)。我們由式（5-7）推出 （5-8）根據(jù)式5-8，我們就可以從即期利率曲線推導(dǎo)出整條平價(jià)息票收益率曲線，圖5-7是中國(guó)國(guó)債交易所市場(chǎng)2002年12月18日的平價(jià)息票收益率和即期利率曲線，表5-3給出了兩條曲線1 10年的具體數(shù)值，讀者可以根據(jù)式（5-8）自己用excel進(jìn)行換算。圖5-7中國(guó)國(guó)債交易所市場(chǎng)的即期利率與平價(jià)息票收益率（2002-12-18）表5-3中國(guó)國(guó)債交易所市場(chǎng)的即期利率與平價(jià)息票收益率（2002-12-18）到期期限12345678910即期利率1.891%2.321%2.579%2.723

25、%2.793%2.819%2.822%2.818%2.815%2.821%平價(jià)息票收益率1.891%2.316%2.569%2.709%2.778%2.804%2.809%2.806%2.805%2.811%我們注意到，由于我們選取的計(jì)息期間和即期利率數(shù)據(jù)的時(shí)間跨度時(shí)一致的，在表5-3中都為一年，顯然第一年的平價(jià)息票收益率就是第一年的即期利率。如果即期利率是單調(diào)遞增的，之后的平價(jià)息票收益率曲線總是會(huì)處在即期利率曲線的下方。要解釋這一點(diǎn)，我們可以這樣理解：到期一次還本付息的n年期息票債券，其票息率以年利率計(jì)算，就是期限為n年的即期利率sn。顯然，單調(diào)遞增的即期利率曲線表示較長(zhǎng)期限的現(xiàn)金流要求比較

26、短期限現(xiàn)金流更高的回報(bào)率，作為期限同為n年的息票債券，到期一次還本付息的票息率sn 顯然要求比按年付息的票息率prn更高一些。反之，若如果即期利率是單調(diào)遞減的，則平價(jià)息票收益率曲線總是會(huì)處在即期利率曲線的上方。而如果即期利率曲線是水平的，即期利率、遠(yuǎn)期利率和平價(jià)息票收益率是完全重合的。發(fā)行債券時(shí)發(fā)行人會(huì)非常重視相應(yīng)的平價(jià)息票收益率。在較為成熟和理性的市場(chǎng)上進(jìn)行利率招標(biāo)的固息債券，其票息一般都會(huì)穩(wěn)定在平價(jià)息票收益率附近。而我們注意到，中國(guó)的固息國(guó)債發(fā)行時(shí)，往往票息率會(huì)與當(dāng)時(shí)的平價(jià)息票收益率水平的略有差別，從而使得市場(chǎng)對(duì)各期國(guó)債認(rèn)同度不一，而這往往也是出于政策上的考慮。例如2002年底發(fā)行的02國(guó)

27、債15，其采取固定利率招標(biāo)的票息為2.93%，而當(dāng)時(shí)的國(guó)債平價(jià)息票收益率在2.80%左右，這就造成了發(fā)行時(shí)承銷團(tuán)成員大多投滿額度上限，最終達(dá)到23倍超額認(rèn)購比例的火爆場(chǎng)面。那么，我們可不可以用類似度量零息債的相對(duì)投資價(jià)值的方式，將固息債券的到期收益率和平價(jià)息票收益率曲線進(jìn)行比較，來確定固息債券在當(dāng)前市場(chǎng)價(jià)格下的投資價(jià)值呢？答案是不確定的。如果固息債券的到期收益率在其息票附近，那么平價(jià)息票收益率曲線與其到期收益率的比較是有意義的，而如果固息債券的到期收益率和其息票相差甚遠(yuǎn)，那么這種比較就會(huì)失去意義。例如，中國(guó)國(guó)債交易所市場(chǎng)的96國(guó)債（6）品種，由于發(fā)行時(shí)利率水平較高，其票息率達(dá)11.83%，而其

28、到期收益率在2002年底在2.5%左右，根據(jù)我們?cè)谇懊嬲鹿?jié)所介紹的到期收益率和回報(bào)的關(guān)系，我們可以了解到，其較高的息票回報(bào)已經(jīng)體現(xiàn)在它的高溢價(jià)中（其凈價(jià)在2002年底為130元左右）。也就是說，在它剩余的存續(xù)期限內(nèi)，將有23%左右的負(fù)價(jià)格回報(bào)，來沖抵其較高的利息回報(bào)。對(duì)于這類債券，因?yàn)槠鋬r(jià)格已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離了“平價(jià)水平”。平價(jià)息票收益率曲線對(duì)其定價(jià)僅具有參考意義，同時(shí)必須考慮其現(xiàn)金流的現(xiàn)值（內(nèi)在價(jià)值）與其現(xiàn)價(jià)的高低關(guān)系。5-3連續(xù)復(fù)利基本概念我們?cè)诘诙轮幸呀?jīng)了解了復(fù)利的概念，并且知道單利（名義利率）與復(fù)利（有效利率）之間的基本關(guān)系。在本小節(jié)中，我們將介紹一種重要的復(fù)利形式：連續(xù)復(fù)利（contin

29、uous compounding rate）。了解連續(xù)復(fù)利對(duì)于讀者掌握本書后面章節(jié)的內(nèi)容是非常重要的，復(fù)習(xí)以前的概念，如果把名義的即期利率s每年復(fù)利m次，那么，計(jì)算有效年即期利率的計(jì)算公式應(yīng)該是如果復(fù)利的次數(shù)趨近于無窮，即復(fù)利的期間無限小，我們有（5-9）我們知道，極限，e為自然對(duì)數(shù)底（e 2.71828）。代入式（5-9），我們可知連續(xù)復(fù)利后的有效年利率為 （5-10） 。表5-4給出了一個(gè)連續(xù)復(fù)利的例子，對(duì)應(yīng)不同名義利率的年計(jì)連續(xù)復(fù)利，即復(fù)利無窮次的有效年利率。（注*：為了清楚地表示公式以便于閱讀，我們?cè)诒緯暮罄m(xù)章節(jié)有時(shí)也會(huì)使用exp()來表示自然對(duì)數(shù)底的冪）表5-4名義利率s5%6%7

30、%8%9%10%連續(xù)復(fù)利的有效年利率5.127%6.184%7.251%8.329%9.417%10.517%連續(xù)復(fù)利的性質(zhì)如果資產(chǎn)以某一名義的利率水平s持續(xù)增長(zhǎng)了t個(gè)時(shí)間期間，則我們可以用來表示現(xiàn)值為v0 的資產(chǎn)在時(shí)間t后的遠(yuǎn)期價(jià)值fvt。而對(duì)于以連續(xù)復(fù)利形式增值的資產(chǎn)，由式（5-10）我們可以推出，其遠(yuǎn)期價(jià)值fvt為 （5-11）對(duì)于，我們稱之為連續(xù)復(fù)利因子。隨著時(shí)間t的增長(zhǎng)，復(fù)利因子是呈幾何形式增長(zhǎng)的。而相比之下，資產(chǎn)以單利形式增值的因子是線性增長(zhǎng)的。圖5-8比較了連續(xù)復(fù)利因子和單利因子的增長(zhǎng)。圖5-8 連續(xù)復(fù)利與單利的增長(zhǎng)（名義即期利率s = 6%）連續(xù)復(fù)利的一個(gè)重要優(yōu)點(diǎn)在于其復(fù)利因子

31、的形式很簡(jiǎn)單，針對(duì)不同期限的復(fù)利因子，我們只需要考慮連續(xù)復(fù)利因子中t的變化，可以很容易得出連續(xù)復(fù)利因子的數(shù)值。表面上看來，連續(xù)復(fù)利因子和離散復(fù)利因子(1+s)t在計(jì)算上的繁復(fù)程度并無太大區(qū)別。但如果我們考慮利率的動(dòng)態(tài)變化，則兩者在表達(dá)式上就有很大區(qū)別。例如我們?cè)谝阎磥? n年即期利率s1 sn的情況下，資產(chǎn)以年計(jì)單利計(jì)算的遠(yuǎn)期價(jià)值為 （5-12）而以年計(jì)連續(xù)復(fù)利計(jì)算的遠(yuǎn)期價(jià)值為 （5-13）顯然，后者在計(jì)算上更為簡(jiǎn)單。在有時(shí)候，證券分析師需要通過excel軟件進(jìn)行類似的計(jì)算，此時(shí)采用年計(jì)連續(xù)復(fù)利更加精確，也更為簡(jiǎn)單。除此之外，在當(dāng)代金融工程領(lǐng)域的理論和實(shí)際操作中，我們經(jīng)常要考慮金融資產(chǎn)在未來

32、的遠(yuǎn)期價(jià)值fvt的概率分布。通常，我們可以假設(shè)金融資產(chǎn)在一定時(shí)間區(qū)間內(nèi)的收益率r的分布，然而對(duì)于離散復(fù)利的資產(chǎn)遠(yuǎn)期價(jià)值，我們是很難通過r的分布來直接求得fvt的分布的。然而在連續(xù)復(fù)利的情況下，我們?nèi)绻阎猺服從某一分布，則很容易求得的分布，而且我們還可以避免遠(yuǎn)期資產(chǎn)的分布中出現(xiàn)負(fù)值的可能。特別是，如果r服從正態(tài)分布，則連續(xù)復(fù)利因子和資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)值fvt都是符合對(duì)數(shù)正態(tài)分布的（注*：關(guān)于對(duì)數(shù)正態(tài)分布及其性質(zhì)，我們會(huì)在本章的附錄中具體介紹），這是一個(gè)非常重要的結(jié)論，因?yàn)榘╞lack-scholes方程在內(nèi)的一系列衍生證券的定價(jià)模型都是基于r服從正態(tài)分布（或資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)值服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布）的假設(shè)而

33、得出的。5-4連續(xù)復(fù)利框架下的即期利率和遠(yuǎn)期利率連續(xù)復(fù)利的即期利率由單利的即期利率過渡到連續(xù)復(fù)利的即期利率并無太多困難。我們考慮現(xiàn)價(jià)為v0，未來時(shí)間t后到期，支付現(xiàn)金流fvt的零息債券，我們已知它所對(duì)應(yīng)的名義即期利率為 （5-14）而對(duì)應(yīng)的年計(jì)連續(xù)復(fù)利的有效利率為 （5-15）實(shí)際上，對(duì)于未來某一時(shí)點(diǎn)到期零息票債券來說，它的現(xiàn)價(jià)所對(duì)應(yīng)的到期收益率就是上述的這一年計(jì)連續(xù)復(fù)利的即期利率。而從即刻起到未來時(shí)點(diǎn)t的每一時(shí)點(diǎn)年計(jì)連續(xù)復(fù)利的即期利率構(gòu)成的連續(xù)曲線，就是連續(xù)復(fù)利框架下的有效即期利率曲線。如果我們以即期利率曲線的形式來表示，年計(jì)連續(xù)復(fù)利的有效利率的收益率曲線高度總是會(huì)高于名義年利率的收益率曲線

34、的。顯然，相同期限下連續(xù)復(fù)利是要大于名義利率的。在通常的應(yīng)用時(shí)，特別是在下一章我們所談到的對(duì)收益率曲線的擬合方法中，我們所提到的“即期利率”一般都是年計(jì)連續(xù)復(fù)利的即期利率。這樣，我們也可以給出對(duì)內(nèi)含多個(gè)現(xiàn)金流cf1 cfn息票債券在連續(xù)復(fù)利框架下進(jìn)行定價(jià)。我們?cè)O(shè)現(xiàn)金流的發(fā)生時(shí)間為t1 tn，連續(xù)復(fù)利的貼現(xiàn)因子為復(fù)利因子的倒數(shù)，則第i期現(xiàn)金流的貼現(xiàn)因子為 （5-16）我們可以得出，息票債券（即遠(yuǎn)期的一組現(xiàn)金流）在已知的即期利率下的現(xiàn)值（或理論價(jià)格）為 （5-17）式（5-17）實(shí)際上就是將本書前面章節(jié)已經(jīng)介紹過的方法的擴(kuò)展：將債券內(nèi)含的所有未來現(xiàn)金流束按相應(yīng)期限得即期利率貼現(xiàn)后的凈現(xiàn)值，就是債券

35、的內(nèi)在價(jià)值，也就是債券的理論價(jià)格。不過，當(dāng)我們引入了連續(xù)復(fù)利的概念之后，貼現(xiàn)因子bt 則略有不同。在連續(xù)復(fù)利的框架下，我們用連續(xù)復(fù)利的貼現(xiàn)因子來代替每年復(fù)利一次的貼現(xiàn)因子(1+s)-t。雖然連續(xù)復(fù)利的貼現(xiàn)因子和每年復(fù)利一次的貼現(xiàn)因子在表現(xiàn)形式上略有不同，不過當(dāng)我們?cè)谟?jì)算每年復(fù)利一次的貼現(xiàn)因子b的時(shí)候，如果對(duì)年利率的數(shù)值使用年計(jì)連續(xù)復(fù)利的實(shí)際利率，即，其中，s為名義的年利率，這時(shí)候，上述的兩種貼現(xiàn)因子是等價(jià)的。瞬間遠(yuǎn)期利率在前述部分對(duì)連續(xù)復(fù)利的研究中，我們考慮的連續(xù)復(fù)利都是從“即刻”開始即息的情況，所以相應(yīng)地，我們得到的就是連續(xù)復(fù)利下的即期利率。類似地，我們也可以對(duì)遠(yuǎn)期利率進(jìn)行如式（5-10）的

36、轉(zhuǎn)換，獲得連續(xù)復(fù)利框架下的遠(yuǎn)期利率。如果我們已知了從時(shí)點(diǎn)t到時(shí)點(diǎn)t的名義遠(yuǎn)期利率水平f (t,t)，則我們可以得出，有效的遠(yuǎn)期利率水平，即年計(jì)連續(xù)復(fù)利的有效遠(yuǎn)期利率水平為 （5-18）我們將式（5-18）擴(kuò)展到更為一般的形式，假設(shè)我們已知在時(shí)間t計(jì)算的，名義的即期利率水平s (t, t) 和s (t,)（注*：在最一般的表示方法下，我們對(duì)即期利率和遠(yuǎn)期利率不做區(qū)分。實(shí)際上，在時(shí)點(diǎn)t的s(t,t)就是時(shí)點(diǎn)t對(duì)應(yīng)的名義即期利率）。那么，讓我們研究一下如何計(jì)算在時(shí)點(diǎn)t計(jì)算的，由名義的年利率水平隱含的，由時(shí)點(diǎn)到t的連續(xù)復(fù)利的遠(yuǎn)期利率水平。首先，我們可以知道對(duì)應(yīng)名義年利率的連續(xù)復(fù)利有效利率水平，我們分別

37、設(shè)為 和 。那么為了獲得“收支相抵”的隱含遠(yuǎn)期利率，我們有 （5-19）我們對(duì)式（5-19）兩邊取自然對(duì)數(shù)形式，有 （5-20） 我們由式（5-18）可以將式（5-20）轉(zhuǎn)化為全部以名義的年利率表示的形式，從而化簡(jiǎn)（5-20）為 （5-21）其中為由時(shí)點(diǎn)到t的名義的年遠(yuǎn)期利率水平。(注*：實(shí)際上，如果我們?nèi)?，再取?duì)數(shù)可以直接得出式（5-21），正文中的推導(dǎo)略為繁瑣，其目的是為了更清楚地表達(dá)連續(xù)復(fù)利框架下有效利率和名義利率的內(nèi)在關(guān)系)我們可以對(duì)（5-21）進(jìn)一步推導(dǎo)，有 （5-22）注意一點(diǎn)，如果我們令無限趨近于t ，此時(shí)的連續(xù)復(fù)利的遠(yuǎn)期利率水平和名義的年遠(yuǎn)期利率水平是相等的。那么， 我們可以取

38、（5-22）的極限形式，并繼續(xù)推導(dǎo)，有 （5-23）式（5-23）表示的極限形式的遠(yuǎn)期利率是一個(gè)非常重要的概念，我們稱其為瞬間遠(yuǎn)期利率（instantaneous forward rate），以finst (t, t) 來表示。瞬間遠(yuǎn)期利率在理論上表示的是在時(shí)間t計(jì)算的，在未來時(shí)間t發(fā)生的計(jì)息期間為無限短的（即瞬間）的利率水平。當(dāng)然，因?yàn)榘凑沼?jì)息期間計(jì)算的finst (t, t)是一個(gè)無窮小量，所以我們也同樣要把它換算成年計(jì)利率的形式。在一些成熟市場(chǎng)上，瞬間遠(yuǎn)期利率的理論值往往會(huì)體現(xiàn)在隔夜回購或者類似的發(fā)生時(shí)間非常短的信用拆借活動(dòng)中（注*：相對(duì)于一年的時(shí)間段來說，隔夜回購的計(jì)息期間可以被理解為

39、非常短的“瞬間”。但對(duì)于中國(guó)貨幣市場(chǎng)上的一些類似品種，如交易所的回購品種r001來說，其利率變化還受到很多其他因素影響，并不一定和瞬間遠(yuǎn)期利率的理論值總是很接近）。在本書后續(xù)的章節(jié)中，將會(huì)經(jīng)常地使用瞬間遠(yuǎn)期利率這個(gè)重要的概念，它是描述利率動(dòng)態(tài)變化（也就是數(shù)理金融學(xué)中常用的利率動(dòng)態(tài)變化的時(shí)間序列模型）的理論基礎(chǔ)。請(qǐng)讀者注意，瞬間遠(yuǎn)期利率和本章開始部分所述的一般意義上的“遠(yuǎn)期利率”有所不同，它的數(shù)學(xué)意義實(shí)際上是即期利率曲線的微分。當(dāng)然，瞬間遠(yuǎn)期利率也是遠(yuǎn)期利率的一種。既然瞬間遠(yuǎn)期利率是即期利率曲線的微分，我們可以將前面提到的時(shí)點(diǎn)t到時(shí)點(diǎn)t的即期利率s(t, t) 表示為瞬間遠(yuǎn)期利率的積分均值形式。

40、利用積分中值定理，我們有 （5-24）而相應(yīng)期間的貼現(xiàn)因子為 （5-25）顯然，對(duì)于給定的即期利率水平和按期付息的債券，我們可以計(jì)算它在時(shí)點(diǎn)t的現(xiàn)值（即理論價(jià)格）為 （5-26）其中，對(duì)每一筆單獨(dú)地在時(shí)間ti發(fā)生的現(xiàn)金流cfi ，我們有 （5-27）（5-27）式也是我們對(duì)確定性現(xiàn)金流定價(jià)的最一般的表述形式。即根據(jù)連續(xù)的即期利率曲線（其每一點(diǎn)上的微分體現(xiàn)為瞬間遠(yuǎn)期利率）來確定現(xiàn)金流在某一時(shí)點(diǎn)的現(xiàn)值。利用（5-26）和（5-27）的推導(dǎo)過程和結(jié)論，我們?cè)谟?jì)算遠(yuǎn)期現(xiàn)金流在未來某一時(shí)點(diǎn)t的現(xiàn)值時(shí)，可以簡(jiǎn)化一些區(qū)分“即期利率”和“遠(yuǎn)期利率”的思考方法，而僅需考慮當(dāng)前的即期利率曲線數(shù)據(jù)即可。附錄：連續(xù)復(fù)利與對(duì)數(shù)正態(tài)分布在第五章的正文部分，我們提到過連續(xù)復(fù)利的一個(gè)良好性質(zhì)，即可以簡(jiǎn)化對(duì)金融資產(chǎn)遠(yuǎn)期價(jià)值概率分布的計(jì)算。而很多現(xiàn)代數(shù)理金融學(xué)理論和金融工程應(yīng)用