第五章：利率進階

1、第三部分：債券投資分析：深入理論隨著中國債券市場的發(fā)展和參與者的逐漸成熟，經(jīng)典的固定收益證券理論已經(jīng)廣為人知。讀者在本書的第二部分已經(jīng)了解了現(xiàn)金流分析的意義、單利和復利的關系，對現(xiàn)金流風險和收益的基本度量方法，以及關于利率期限結構的簡單概念。對于傳統(tǒng)（我們稱之為經(jīng)典的）債券分析理論和方法來說，特別是以到期收益率、久期和凸度等概念作為衡量債券品種的風險收益基本指標的方法，可以說是對現(xiàn)金流固定的投資品種進行分析的基礎。但是，到期收益率和敏感度分析的重要問題是它們的隱含假設：收益率曲線是水平的。這雖然簡化了整個理論框架，但也帶來很多問題。此外，雖然傳統(tǒng)理論是非常簡潔而且實用的，但我們卻無法基于它來獲

2、知一些更深入的問題。比如，如何去準確定價浮息國債？如何去定價一個帶有發(fā)行人贖回條款的債券（例如2002年國開行發(fā)行的第15期金融債）？如何去度量當前的市場價格下這些債券品種的風險？怎樣能夠使債券投資組合保證穩(wěn)定的收益并規(guī)避利率風險？如何針對市場的實際情況制定有效的債券投資策略？以上的問題，都是在本書的第三部分將要回答的。從本部分開始，本書將開始介紹債券分析的深入理論和一些相關的實務方法。我們也將力求將國外已經(jīng)成熟的理論和中國債券市場的實際情況結合，來提供一些具體的應用實例和練習。首先，我們將介紹利率期限結構的進階理論，包括利率期限結構參數(shù)模型和擬合方法、收益率曲線的結構分解與動力學、影響收益率

3、曲線的因素、和利率衍生品有關的定價理論和數(shù)學方法等內(nèi)容，特別地，我們將著重介紹通過短期利率模型，使讀者了解實用的內(nèi)置期權債券的定價原理。此外，對于作為債券金融創(chuàng)新品種的利率互換/浮息債、債券期貨、本息剝離券等問題，在第三部分的最后也將作為重點討論。而后，我們將基于實際應用的原則，介紹債券投資策略，包括積極投資策略和指數(shù)化策略；債券組合管理技術，包括各種債券免疫技術，而本部分的最后，我們將介紹流行的var體系下的債券風險管理技術。我們希望讀者在閱讀此部分時，能夠具備一定的高等數(shù)學基礎，特別是從第六章開始，我們將大量使用到數(shù)理統(tǒng)計、矩陣論和微積分知識。但對于基礎略微薄弱的讀者來說，也可以直接閱讀我

4、們的一些定性理論的介紹文字和實證研究結論，相信也會頗有收獲。第五章 利率進階讀者在本書的上一部分已經(jīng)了解了關于利率、即期利率曲線和利率期限結構的一些基本的概念。在現(xiàn)代債券分析理論中，關于收益率曲線和利率期限結構的理論已經(jīng)在整個研究體系中處于最核心的地位。幾乎所有的實務方法都會涉及到市場的收益率曲線數(shù)據(jù)。在本章中，我們將從遠期利率和即期利率的關系開始，詳細地介紹與整個利率期限結構相關的一些不同種類的收益率曲線，同時具體介紹它們的相互換算方法、特性和在實際應用中的意義。在本章的后兩節(jié)，我們將會把以前章節(jié)提到的“復利”概念在本章加以擴展，闡述連續(xù)復利框架下的收益率曲線的一些有關內(nèi)容。5-1遠期利率關

5、于兩種回購品種的一個例子我們觀察一下2001年12月31日上海證券交易所國債回購的利率變動狀況。在收盤時，28天回購的價格（換算成年計復利率）是2.60%，而同日14天回購的收盤價格是2.50%，這中間隱含了什么樣的信息呢？如果我們賬面上有一筆1000萬元的現(xiàn)金并且準備拆出28天，我們可以有如下兩種選擇：a. 進行28天逆回購拆出資金，到期收回。b. 分兩次14天拆出，第一次到期收回。（注*：此處s的下標（t-t）表示由t日起息的到t日付息的即期利率水平，例如s0,14表示當日起息的14日后付息的即期利率水平）。我們注意第二種方法，當?shù)谝淮?4天回購到期時，還需要第二次進行14天逆回購，如果希

6、望第二種方法也獲得和地一種方法相同的收益，則此時需要14天回購利率上升到。遠期利率在這里的s14,28 = 2.7%，代表一個“收支相抵”的收益率，在這個收益率水平下，我們可以當前的即期利率水平連續(xù)拆出兩筆較短期限（14天回購）的資金，而獲得和一次性進行28天逆回購相同的收益。而實際上的14天回購當然往往不會上漲到這一水平，然而這個“收支相抵”的收益率s14,28卻不僅僅停留在理論上，它是可以由我們已知的即期回購利率水平計算出來的?？梢赃@樣理解，它是一個隱含于當前即期利率中的、表示未來某一時點即期利率水平的利率，我們稱之為隱含的遠期利率（implied forward rate）。出于簡便，我

7、們也稱之為遠期利率（forward rate），并在以下章節(jié)沿用這一說法，但請讀者務必把本書中的“遠期利率”一詞和“遠期實際發(fā)生的（或預期會發(fā)生的）即期利率水平”相區(qū)別。我們所提到的遠期利率，并不表示未來實際即期利率被預期會移動到這一水平（注*：隱含遠期利率和未來的即期利率的預期水平之間的確存在關系，但并非完全直接的關系，我們會在后面討論預期和收益率曲線以及遠期利率的關系）。我們看另外一個例子：假設債券市場上有兩只零息國債（分別記做a和b），剩余期限和分別是一年和兩年。價格分別為95.29元和89.00元。我們顯然可以算出，它們對應的到期收益率分別為5.00%和6.00%。如果債券市場在12年

8、的短期品種只有這兩只債券，那么，這兩只債券的收益率就分別對應市場一年和兩年的即期利率水平，我們記做s0,1 = 5.00%和s0,2 = 6.00%。根據(jù)我們上述對遠期利率的定義，那么由即期利率水平隱含的遠期利率，即表示隱含的一年后“收支相抵”的即期利率水平的遠期利率，我們記作f1,2，可以得出： （5-1）如圖5-1，遠期利率和即期利率在時間軸上存在換算關系。圖5-10年 1年 2年如果我們期望：無論我們怎樣構建自己的投資組合，即無論在市場上的所有投資品種怎樣搭配，都能使得我們的資產(chǎn)在兩年之后獲得同樣的收益，則需要一年后的一年期利率水平如何變化呢？換句話說，一年后剩余的這只零息債b（存續(xù)期在

9、那時恰好為一年）定價應當是多少呢？顯然，這實際上要求一年后的即期利率r1,2和我們上面f1,2結果一致。也就是說，一年后，零息債b的價格應該是。這樣，我們以初始89.00元，采取下列兩種投資策略，結果都是一樣的：表5-1初始資金初始策略一年后兩年后策略一￥89.00買入零息券b（價格89元），持有1份零息券b價格93.37元零息券b到期，獲得100元現(xiàn)金策略二￥89.00買入零息券a（價格95.21元），持有0.9337份零息券a到期，償還資金93.37元恰好可買入1份零息券b零息券b到期，獲得100元現(xiàn)金我們可以將表5-1的例子擴展到n種零息債市場。而關于遠期利率的一個重要性質(zhì)是：如果未來的

10、即期利率變化始終都是和相應時間段的遠期利率一致的話，那么無論投資者持有市場上的任何一個債券品種或者其組合（注*：我們在前面的章節(jié)提到過，按期支付息票的債券可以視作一組零息債，所以這個性質(zhì)對息票債券組合同樣適用），最終都將獲得同樣的收益。這也是對“遠期利率是收支相抵的未來即期利率”的一種一般化的理解。另外，數(shù)學意義上的遠期利率和即期利率并無不同，因為遠期利率就是“發(fā)生在遠期的即期利率”而已。我們在本小節(jié)中，對遠期利率的規(guī)定是它被當前的即期利率所隱含。而在本書后面的一些章節(jié)中，為了一些數(shù)學推導的清晰表示，我們有時將不去具體區(qū)分即期利率和遠期利率，而僅僅考慮發(fā)生在某一計息期間內(nèi)的即期利率。如果這個即

11、期利率的計息期間的發(fā)生時間在未來，那么也可以說它是一種遠期利率，但這個遠期利率和我們當前所觀測到的即期利率并不一定存在關系。5-2即期利率、遠期利率和平價息票收益率由即期利率曲線推導遠期利率曲線如果將我們在上一節(jié)所提到的即期利率與遠期利率的關系擴展到一般情況，我們可以從當前的即期利率曲線推出整條遠期利率曲線。我們定義，由當前時點到未來時點t和未來時點t的即期利率分別為st和st，而在未來時間段t到t內(nèi)的隱含遠期利率ft,t與st和st有如下關系：，（5-2）也就是 （5-3）這樣我們推出的遠期利率曲線，實際上由于其時間點t和t的選取不同，其結果也都不同。如果我們考慮的是隱含未來每一年即期利率的

12、遠期利率，我們有 （5-4）對于這里的fn-1,n所組成的遠期利率曲線，我們稱其為一年期遠期利率（one-year forward rate）。在時間軸上每一年的一年期遠期利率數(shù)值，實際上代表了被當前即期利率隱含的，未來每一年的一年期的即期利率。而式（5-4）也表明了這樣一點：當前的即期利率曲線上，某一到期期限所對應的貼現(xiàn)率實際上是這一期限內(nèi)所有一年期遠期利率對應的貼現(xiàn)率的幾何平均數(shù)。也許上述這個定義有點拗口，不過我們希望讀者能夠理解上述這種遠期利率和另外一種遠期利率的區(qū)別。因為另有一種常用的遠期利率，即隱含一年后即期利率曲線的遠期利率（implied spot rate curve one

13、year forward，我們以下簡稱為“一年隱含遠期利率”）。我們定義 或 （5-5）即期利率，一年期遠期利率和隱含一年后即期利率曲線的遠期利率在時間軸上的直觀關系可以通過圖5-2來表示得很清楚圖5-20 1 2 3 4 5 到期期限時間軸表5-2給出了2002年12月31日的1-10年中國國債交易所市場的即期利率、一年期遠期利率和一年隱含遠期利率數(shù)值，后兩者分別按照公式（5-4）和公式（5-5）從即期利率中推導出來，有興趣的讀者也可以自己嘗試在excel中體會一下三者之間的換算關系。表5-2中國國債交易所市場的即期利率和遠期利率（2002-12-31）到期期限12345678910即期利率

14、1.599%2.204%2.537%2.697%2.755%2.757%2.735%2.711%2.696%2.697%一年期遠期利率2.811%3.206%3.181%2.985%2.767%2.606%2.539%2.575%2.710%一年隱含遠期利率2.811%3.009%3.066%3.046%2.990%2.926%2.871%2.834%2.820%即期利率曲線的隱含變化0.608%0.472%0.369%0.291%0.233%0.191%0.160%0.138%0.123%圖5-3給出了給出了2002年12月31日的1-15年期限的中國國債交易所市場的即期利率、一年期遠期利率

15、和一年隱含遠期利率曲線的遠期利率曲線圖。我們可以從圖中看出，一年期遠期利率曲線比一年隱含遠期利率曲線的波動要大得多，前者對即期利率的變動也更加敏感。圖5-3中國國債交易所市場的即期利率和遠期利率（2002-12-31）我們再次注意表5-2的最后一行：即期利率的隱含變化。我們在計算這一行的時候，取它的數(shù)值為一年隱含遠期利率和即期利率的差值?；貞浧鹞覀冊诒菊碌牡谝还?jié)提到遠期利率是使任意市場品種的組合“收支相抵的”未來即期利率水平。在這里我們給出的是一個一般的例子，即針對整條即期利率曲線的變化來說，如果要使任意市場品種的組合在未來一年的持有期中都獲得同樣的收益，則一年后的即期利率曲線應該移動到目前的

16、一年隱含遠期利率的水平。而具體到當前即期利率曲線上每一點的變化，則就是我們在表5-2的最后一行所列的即期利率的隱含變化。從另一個角度去理解這個問題，我們看到，圖5-3中的即期利率曲線有一個正的斜率，也就是說，長期限的零息國債比短期限的零息國債有更高的到期收益率，當然，對于按期付息的國債也是同樣的。顯然，與具有斜率為正的即期利率曲線對應，我們可以推出的是一條斜率同樣為正的一年隱含遠期利率曲線，并且其位置處在即期利率曲線的上方。反之，如果即期利率曲線是向下傾斜的，則一年隱含遠期利率曲線也是向下傾斜的，并且其位置在即期利率曲線下方。請分別參見圖5-4和圖5-5。圖5-4 向上傾斜的即期利率曲線和對應

17、的遠期利率圖5-5 “倒掛”的即期利率曲線和對應的遠期利率對于傳統(tǒng)債券分析理論中經(jīng)常用到的水平收益率假設，我們顯然可以由式（5-2）推出，如果即期利率曲線是完全水平的，那么無論我們選取怎樣的遠期利率，遠期利率曲線將是和即期利率曲線完全重合的。此外，在前一章關于債券全回報的理論介紹中，我們介紹了債券的回報來自利息回報和價格回報（資本利得）兩部分。長期券相對于短期券在息票上更高，如果即期利率曲線的變化要始終讓市場上所有品種都獲得相同的持有期回報，則長期券在持有期中的價格回報應該低于短期券，由此來沖抵其利息回報的多出部分。即期利率曲線和零息債的定價（續(xù)相對價值分析）我們已經(jīng)知道，將一組不同期限的同質(zhì)

18、零息債券貼現(xiàn)率換算成年利率的方式，就可以獲得相應的即期利率曲線。在應用中，由于即期利率曲線的數(shù)據(jù)是來自市場上現(xiàn)有的債券品種（注*：關于從市場數(shù)據(jù)中“提取”即期利率曲線的方法，涉及到一些的具體的參數(shù)模型設定和數(shù)學方法，我們將在下一章會詳細介紹。在本章，讀者只需要理解即期利率曲線和市場數(shù)據(jù)的關系即可），因此，我們可以將即期利率曲線視為債券市場的市場組合曲線，它提供了類似資本資產(chǎn)定價模型（capm）的證券市場線（sml）的收益-風險對應關系。從理論上來說，我們可以認為到期期限是債券的一個重要風險因子，而某一期限零息債券的（均衡的）市場收益率可以直接在即期利率曲線上找到對應的數(shù)值。換句話說，我們可以把

19、即期利率曲線看作是債券市場的證券市場線。這個方法的意義在于：我們可以通過比較市場上某一零息債券品種與即期利率曲線的相對位置，來評價其投資價值是否高于（或低于）市場水平。如圖5-6中的例子，我們看到，高于即期利率曲線的零息債品種具有較高的投資價值，因為相對來看，它們擁有比同期限市場組合更高的回報。反之，低于即期利率曲線的零息債品種被認為具有低于市場組合的投資價值。圖5-6通過與收益率曲線的相對位置判斷零息債券的投資價值上述的分析在方法論上顯然和capm的方法：通過股票的值和期望收益與證券市場線的比較來判斷其投資價值有類似之處。但對于現(xiàn)金流確定的零息債來說，其相對位置的確定要簡單得多，也準確得多。

20、另外，影響債券的風險因素也比股票簡單得多，因此我們進行相對價值判斷的結論往往相當直接而且有效。對于期限越長的債券要求越高的回報，這個邏輯與理性人假設（rational person hypothesis）在即期利率曲線始終單調(diào)上升的情況下顯然是沒有矛盾的，但收益率曲線往往有時出現(xiàn)“倒掛”的向下傾斜的情況，例如我們前面提到過的圖5-5。雖然具有圖5-5這種整體形態(tài)的收益率曲線并不常見，但很多時候即期利率曲線在局部卻會出現(xiàn)下斜的情況。導致這類情況的原因在現(xiàn)實中往往很復雜，可能包括：預期利率變化、市場的投機行為以及凸度的影響等等。這并不影響我們通過即期利率曲線進行相對價值分析，因為我們即使收益率曲線

21、是倒掛的，高于即期利率曲線的零息債仍比同期限市場組合具有更大投資價值（注*：但這并不是說，即期利率曲線上方的零息債在整個市場所有可選擇的品種中具有高于平均水平的投資價值，特別是在收益率曲線“倒掛”的區(qū)域）。平價息票收益率通過即期利率曲線進行相對價值分析是一個行之有效的辦法。然而在中國債券市場上，特別是在主導市場的國債品種中，大多數(shù)品種都是按期支付息票，到期還本付息的固定息票債券。我們?nèi)绾慰疾爝@些品種和即期利率曲線之間的關系呢？間接的方法是采用第三章中的方法，把固定息票債券內(nèi)含的現(xiàn)金流全部按即期利率曲線貼現(xiàn)，然后考察其現(xiàn)值加總后的理論價格和市場價格的高低。此外，如果我們考慮將固定息票債券內(nèi)含的多

22、個現(xiàn)金流加權平均到一個發(fā)生時點（即取得馬考勒久期），之后將其到期收益率-久期與即期利率曲線進行對照是一種可行的方法。當然，我們也有另一種更為直觀的方法，即由即期利率曲線推導出另一條收益率曲線，使其可以體現(xiàn)一組現(xiàn)金流的貼現(xiàn)率。特別地，當我們確定這條收益率曲線時，按照固定息票債券得現(xiàn)金流發(fā)生規(guī)則（按期支付息票利率，到期支付本金），使曲線上每一點的收益率水平代表了相應到期期限的固定息票債券的息票金額，而同時該息票債券的全部內(nèi)含現(xiàn)金流按照我們已知的即期利率貼現(xiàn)之后，剛好使其現(xiàn)價等與其即期發(fā)行平價（即票面價格），則我們稱這條收益率曲線為平價息票收益率曲線（par rate）。例如，我們已知當前的1年期和

23、2年期即期利率分別為s0,1 = 5.00%和s0,2 = 6.00%。那么，若我們考慮即刻發(fā)行一只按年付息，面值100元的固定息票國債，其票息（我們設為pr2）應該是多少，才能使得其按照當前的即期利率水平折算的內(nèi)在價值恰好其面值呢？顯然，pr2使下式（5-6）成立 （5-6）求解此方程，我們可以得出pr2 = 5.971%。這個結果實際上就是對應當前即期利率水平的兩年期平價息票收益率數(shù)值。在這個息票率水平下發(fā)行的固息債券，剛好可以使其內(nèi)在價值等于現(xiàn)值。我們將式（5-6）擴展到更一般的形式，以prn 表示期限為n年的年付息平價息票收益率，par表示債券面值，那么有 （5-7）顯然，（5-7）中

24、的債券面值par可以約去，也就是說，prn 只與1 n年的即期利率水平r1 rn有關。我們由式（5-7）推出 （5-8）根據(jù)式5-8，我們就可以從即期利率曲線推導出整條平價息票收益率曲線，圖5-7是中國國債交易所市場2002年12月18日的平價息票收益率和即期利率曲線，表5-3給出了兩條曲線1 10年的具體數(shù)值，讀者可以根據(jù)式（5-8）自己用excel進行換算。圖5-7中國國債交易所市場的即期利率與平價息票收益率（2002-12-18）表5-3中國國債交易所市場的即期利率與平價息票收益率（2002-12-18）到期期限12345678910即期利率1.891%2.321%2.579%2.723

25、%2.793%2.819%2.822%2.818%2.815%2.821%平價息票收益率1.891%2.316%2.569%2.709%2.778%2.804%2.809%2.806%2.805%2.811%我們注意到，由于我們選取的計息期間和即期利率數(shù)據(jù)的時間跨度時一致的，在表5-3中都為一年，顯然第一年的平價息票收益率就是第一年的即期利率。如果即期利率是單調(diào)遞增的，之后的平價息票收益率曲線總是會處在即期利率曲線的下方。要解釋這一點，我們可以這樣理解：到期一次還本付息的n年期息票債券，其票息率以年利率計算，就是期限為n年的即期利率sn。顯然，單調(diào)遞增的即期利率曲線表示較長期限的現(xiàn)金流要求比較

26、短期限現(xiàn)金流更高的回報率，作為期限同為n年的息票債券，到期一次還本付息的票息率sn 顯然要求比按年付息的票息率prn更高一些。反之，若如果即期利率是單調(diào)遞減的，則平價息票收益率曲線總是會處在即期利率曲線的上方。而如果即期利率曲線是水平的，即期利率、遠期利率和平價息票收益率是完全重合的。發(fā)行債券時發(fā)行人會非常重視相應的平價息票收益率。在較為成熟和理性的市場上進行利率招標的固息債券，其票息一般都會穩(wěn)定在平價息票收益率附近。而我們注意到，中國的固息國債發(fā)行時，往往票息率會與當時的平價息票收益率水平的略有差別，從而使得市場對各期國債認同度不一，而這往往也是出于政策上的考慮。例如2002年底發(fā)行的02國

27、債15，其采取固定利率招標的票息為2.93%，而當時的國債平價息票收益率在2.80%左右，這就造成了發(fā)行時承銷團成員大多投滿額度上限，最終達到23倍超額認購比例的火爆場面。那么，我們可不可以用類似度量零息債的相對投資價值的方式，將固息債券的到期收益率和平價息票收益率曲線進行比較，來確定固息債券在當前市場價格下的投資價值呢？答案是不確定的。如果固息債券的到期收益率在其息票附近，那么平價息票收益率曲線與其到期收益率的比較是有意義的，而如果固息債券的到期收益率和其息票相差甚遠，那么這種比較就會失去意義。例如，中國國債交易所市場的96國債（6）品種，由于發(fā)行時利率水平較高，其票息率達11.83%，而其

28、到期收益率在2002年底在2.5%左右，根據(jù)我們在前面章節(jié)所介紹的到期收益率和回報的關系，我們可以了解到，其較高的息票回報已經(jīng)體現(xiàn)在它的高溢價中（其凈價在2002年底為130元左右）。也就是說，在它剩余的存續(xù)期限內(nèi)，將有23%左右的負價格回報，來沖抵其較高的利息回報。對于這類債券，因為其價格已經(jīng)遠遠偏離了“平價水平”。平價息票收益率曲線對其定價僅具有參考意義，同時必須考慮其現(xiàn)金流的現(xiàn)值（內(nèi)在價值）與其現(xiàn)價的高低關系。5-3連續(xù)復利基本概念我們在第二章中已經(jīng)了解了復利的概念，并且知道單利（名義利率）與復利（有效利率）之間的基本關系。在本小節(jié)中，我們將介紹一種重要的復利形式：連續(xù)復利（contin

29、uous compounding rate）。了解連續(xù)復利對于讀者掌握本書后面章節(jié)的內(nèi)容是非常重要的，復習以前的概念，如果把名義的即期利率s每年復利m次，那么，計算有效年即期利率的計算公式應該是如果復利的次數(shù)趨近于無窮，即復利的期間無限小，我們有（5-9）我們知道，極限，e為自然對數(shù)底（e 2.71828）。代入式（5-9），我們可知連續(xù)復利后的有效年利率為 （5-10） 。表5-4給出了一個連續(xù)復利的例子，對應不同名義利率的年計連續(xù)復利，即復利無窮次的有效年利率。（注*：為了清楚地表示公式以便于閱讀，我們在本書的后續(xù)章節(jié)有時也會使用exp()來表示自然對數(shù)底的冪）表5-4名義利率s5%6%7

30、%8%9%10%連續(xù)復利的有效年利率5.127%6.184%7.251%8.329%9.417%10.517%連續(xù)復利的性質(zhì)如果資產(chǎn)以某一名義的利率水平s持續(xù)增長了t個時間期間，則我們可以用來表示現(xiàn)值為v0 的資產(chǎn)在時間t后的遠期價值fvt。而對于以連續(xù)復利形式增值的資產(chǎn)，由式（5-10）我們可以推出，其遠期價值fvt為 （5-11）對于，我們稱之為連續(xù)復利因子。隨著時間t的增長，復利因子是呈幾何形式增長的。而相比之下，資產(chǎn)以單利形式增值的因子是線性增長的。圖5-8比較了連續(xù)復利因子和單利因子的增長。圖5-8 連續(xù)復利與單利的增長（名義即期利率s = 6%）連續(xù)復利的一個重要優(yōu)點在于其復利因子

31、的形式很簡單，針對不同期限的復利因子，我們只需要考慮連續(xù)復利因子中t的變化，可以很容易得出連續(xù)復利因子的數(shù)值。表面上看來，連續(xù)復利因子和離散復利因子(1+s)t在計算上的繁復程度并無太大區(qū)別。但如果我們考慮利率的動態(tài)變化，則兩者在表達式上就有很大區(qū)別。例如我們在已知未來1 n年即期利率s1 sn的情況下，資產(chǎn)以年計單利計算的遠期價值為 （5-12）而以年計連續(xù)復利計算的遠期價值為 （5-13）顯然，后者在計算上更為簡單。在有時候，證券分析師需要通過excel軟件進行類似的計算，此時采用年計連續(xù)復利更加精確，也更為簡單。除此之外，在當代金融工程領域的理論和實際操作中，我們經(jīng)常要考慮金融資產(chǎn)在未來

32、的遠期價值fvt的概率分布。通常，我們可以假設金融資產(chǎn)在一定時間區(qū)間內(nèi)的收益率r的分布，然而對于離散復利的資產(chǎn)遠期價值，我們是很難通過r的分布來直接求得fvt的分布的。然而在連續(xù)復利的情況下，我們?nèi)绻阎猺服從某一分布，則很容易求得的分布，而且我們還可以避免遠期資產(chǎn)的分布中出現(xiàn)負值的可能。特別是，如果r服從正態(tài)分布，則連續(xù)復利因子和資產(chǎn)的遠期價值fvt都是符合對數(shù)正態(tài)分布的（注*：關于對數(shù)正態(tài)分布及其性質(zhì)，我們會在本章的附錄中具體介紹），這是一個非常重要的結論，因為包括black-scholes方程在內(nèi)的一系列衍生證券的定價模型都是基于r服從正態(tài)分布（或資產(chǎn)的遠期價值服從對數(shù)正態(tài)分布）的假設而

33、得出的。5-4連續(xù)復利框架下的即期利率和遠期利率連續(xù)復利的即期利率由單利的即期利率過渡到連續(xù)復利的即期利率并無太多困難。我們考慮現(xiàn)價為v0，未來時間t后到期，支付現(xiàn)金流fvt的零息債券，我們已知它所對應的名義即期利率為 （5-14）而對應的年計連續(xù)復利的有效利率為 （5-15）實際上，對于未來某一時點到期零息票債券來說，它的現(xiàn)價所對應的到期收益率就是上述的這一年計連續(xù)復利的即期利率。而從即刻起到未來時點t的每一時點年計連續(xù)復利的即期利率構成的連續(xù)曲線，就是連續(xù)復利框架下的有效即期利率曲線。如果我們以即期利率曲線的形式來表示，年計連續(xù)復利的有效利率的收益率曲線高度總是會高于名義年利率的收益率曲線

34、的。顯然，相同期限下連續(xù)復利是要大于名義利率的。在通常的應用時，特別是在下一章我們所談到的對收益率曲線的擬合方法中，我們所提到的“即期利率”一般都是年計連續(xù)復利的即期利率。這樣，我們也可以給出對內(nèi)含多個現(xiàn)金流cf1 cfn息票債券在連續(xù)復利框架下進行定價。我們設現(xiàn)金流的發(fā)生時間為t1 tn，連續(xù)復利的貼現(xiàn)因子為復利因子的倒數(shù)，則第i期現(xiàn)金流的貼現(xiàn)因子為 （5-16）我們可以得出，息票債券（即遠期的一組現(xiàn)金流）在已知的即期利率下的現(xiàn)值（或理論價格）為 （5-17）式（5-17）實際上就是將本書前面章節(jié)已經(jīng)介紹過的方法的擴展：將債券內(nèi)含的所有未來現(xiàn)金流束按相應期限得即期利率貼現(xiàn)后的凈現(xiàn)值，就是債券

35、的內(nèi)在價值，也就是債券的理論價格。不過，當我們引入了連續(xù)復利的概念之后，貼現(xiàn)因子bt 則略有不同。在連續(xù)復利的框架下，我們用連續(xù)復利的貼現(xiàn)因子來代替每年復利一次的貼現(xiàn)因子(1+s)-t。雖然連續(xù)復利的貼現(xiàn)因子和每年復利一次的貼現(xiàn)因子在表現(xiàn)形式上略有不同，不過當我們在計算每年復利一次的貼現(xiàn)因子b的時候，如果對年利率的數(shù)值使用年計連續(xù)復利的實際利率，即，其中，s為名義的年利率，這時候，上述的兩種貼現(xiàn)因子是等價的。瞬間遠期利率在前述部分對連續(xù)復利的研究中，我們考慮的連續(xù)復利都是從“即刻”開始即息的情況，所以相應地，我們得到的就是連續(xù)復利下的即期利率。類似地，我們也可以對遠期利率進行如式（5-10）的

36、轉換，獲得連續(xù)復利框架下的遠期利率。如果我們已知了從時點t到時點t的名義遠期利率水平f (t,t)，則我們可以得出，有效的遠期利率水平，即年計連續(xù)復利的有效遠期利率水平為 （5-18）我們將式（5-18）擴展到更為一般的形式，假設我們已知在時間t計算的，名義的即期利率水平s (t, t) 和s (t,)（注*：在最一般的表示方法下，我們對即期利率和遠期利率不做區(qū)分。實際上，在時點t的s(t,t)就是時點t對應的名義即期利率）。那么，讓我們研究一下如何計算在時點t計算的，由名義的年利率水平隱含的，由時點到t的連續(xù)復利的遠期利率水平。首先，我們可以知道對應名義年利率的連續(xù)復利有效利率水平，我們分別

37、設為 和 。那么為了獲得“收支相抵”的隱含遠期利率，我們有 （5-19）我們對式（5-19）兩邊取自然對數(shù)形式，有 （5-20） 我們由式（5-18）可以將式（5-20）轉化為全部以名義的年利率表示的形式，從而化簡（5-20）為 （5-21）其中為由時點到t的名義的年遠期利率水平。(注*：實際上，如果我們?nèi)?，再取對?shù)可以直接得出式（5-21），正文中的推導略為繁瑣，其目的是為了更清楚地表達連續(xù)復利框架下有效利率和名義利率的內(nèi)在關系)我們可以對（5-21）進一步推導，有 （5-22）注意一點，如果我們令無限趨近于t ，此時的連續(xù)復利的遠期利率水平和名義的年遠期利率水平是相等的。那么， 我們可以取

38、（5-22）的極限形式，并繼續(xù)推導，有 （5-23）式（5-23）表示的極限形式的遠期利率是一個非常重要的概念，我們稱其為瞬間遠期利率（instantaneous forward rate），以finst (t, t) 來表示。瞬間遠期利率在理論上表示的是在時間t計算的，在未來時間t發(fā)生的計息期間為無限短的（即瞬間）的利率水平。當然，因為按照計息期間計算的finst (t, t)是一個無窮小量，所以我們也同樣要把它換算成年計利率的形式。在一些成熟市場上，瞬間遠期利率的理論值往往會體現(xiàn)在隔夜回購或者類似的發(fā)生時間非常短的信用拆借活動中（注*：相對于一年的時間段來說，隔夜回購的計息期間可以被理解為

39、非常短的“瞬間”。但對于中國貨幣市場上的一些類似品種，如交易所的回購品種r001來說，其利率變化還受到很多其他因素影響，并不一定和瞬間遠期利率的理論值總是很接近）。在本書后續(xù)的章節(jié)中，將會經(jīng)常地使用瞬間遠期利率這個重要的概念，它是描述利率動態(tài)變化（也就是數(shù)理金融學中常用的利率動態(tài)變化的時間序列模型）的理論基礎。請讀者注意，瞬間遠期利率和本章開始部分所述的一般意義上的“遠期利率”有所不同，它的數(shù)學意義實際上是即期利率曲線的微分。當然，瞬間遠期利率也是遠期利率的一種。既然瞬間遠期利率是即期利率曲線的微分，我們可以將前面提到的時點t到時點t的即期利率s(t, t) 表示為瞬間遠期利率的積分均值形式。

40、利用積分中值定理，我們有 （5-24）而相應期間的貼現(xiàn)因子為 （5-25）顯然，對于給定的即期利率水平和按期付息的債券，我們可以計算它在時點t的現(xiàn)值（即理論價格）為 （5-26）其中，對每一筆單獨地在時間ti發(fā)生的現(xiàn)金流cfi ，我們有 （5-27）（5-27）式也是我們對確定性現(xiàn)金流定價的最一般的表述形式。即根據(jù)連續(xù)的即期利率曲線（其每一點上的微分體現(xiàn)為瞬間遠期利率）來確定現(xiàn)金流在某一時點的現(xiàn)值。利用（5-26）和（5-27）的推導過程和結論，我們在計算遠期現(xiàn)金流在未來某一時點t的現(xiàn)值時，可以簡化一些區(qū)分“即期利率”和“遠期利率”的思考方法，而僅需考慮當前的即期利率曲線數(shù)據(jù)即可。附錄：連續(xù)復利與對數(shù)正態(tài)分布在第五章的正文部分，我們提到過連續(xù)復利的一個良好性質(zhì)，即可以簡化對金融資產(chǎn)遠期價值概率分布的計算。而很多現(xiàn)代數(shù)理金融學理論和金融工程應用