2021全國高考乙卷文科數(shù)學(xué)試題（及答案）

1、絕密啟用前河南省2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)注意事項:1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上2回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上寫在本試卷上無效3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回一、選擇題:本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1. 已知全集，集合，則（ ）A. B. C. D. 2. 設(shè)，則（ ）A. B. C. D. 3. 已知命題命題，則下列命題中為真命題的是（ ）A. B. C. D. 4

2、. 函數(shù)的最小正周期和最大值分別是（ ）A. 和B. 和2C. 和D. 和25. 若滿足約束條件則的最小值為（ ）A. 18B. 10C. 6D. 46. （ ）A. B. C. D. 7. 在區(qū)間隨機取1個數(shù)，則取到的數(shù)小于的概率為（ ）A. B. C. D. 8. 下列函數(shù)中最小值為4是（ ）A. B. C. D. 9. 設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ）A. B. C. D. 10. 在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（ ）A. B. C. D. 11. 設(shè)B是橢圓的上頂點，點P在C上，則的最大值為（ ）A. B. C. D. 212. 設(shè)，若為函數(shù)的極大值點，則（ ）A.

3、B. C. D. 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13. 已知向量，若，則_14. 雙曲線的右焦點到直線的距離為_15. 記內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，則_16. 以圖為正視圖，在圖中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為_（寫出符合要求的一組答案即可）三、解答題共70分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答（一）必考題：共60分17. 某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新

4、設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.297新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和（1）求，；（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品該項指標的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果，則認為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認為有顯著提高）18. 如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點，且（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積19. 設(shè)是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足已知，成等差數(shù)

5、列（1）求和的通項公式；（2）記和分別為和的前n項和證明：20. 已知拋物線的焦點F到準線的距離為2（1）求C的方程;（2）已知O為坐標原點，點P在C上，點Q滿足，求直線斜率的最大值.21. 已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）求曲線過坐標原點的切線與曲線的公共點的坐標（二）選考題:共10分請考生在第22、23題中任選一題作答如果多做則按所做的第一題計分選修4-4:坐標系與參數(shù)方程22. 在直角坐標系中，的圓心為，半徑為1（1）寫出的一個參數(shù)方程;（2）過點作的兩條切線以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求這兩條切線的極坐標方程選修45:不等式選講23. 已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求不等式

6、的解集;（2）若，求a的取值范圍絕密啟用前河南省2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)注意事項:1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上2回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上寫在本試卷上無效3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回一、選擇題:本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1. 已知全集，集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A2. 設(shè)，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C3. 已知命題命題，則下

7、列命題中為真命題的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A4. 函數(shù)的最小正周期和最大值分別是（ ）A. 和B. 和2C. 和D. 和2【答案】C5. 若滿足約束條件則的最小值為（ ）A. 18B. 10C. 6D. 4【答案】C6. （ ）A. B. C. D. 【答案】D7. 在區(qū)間隨機取1個數(shù)，則取到的數(shù)小于的概率為（ ）A. B. C. D. 【答案】B8. 下列函數(shù)中最小值為4的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C9. 設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B10. 在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（ ）A. B. C. D. 【答案

8、】D11. 設(shè)B是橢圓上頂點，點P在C上，則的最大值為（ ）A. B. C. D. 2【答案】A12. 設(shè)，若為函數(shù)的極大值點，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【點睛】本小題主要考查三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法可以快速解答.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13. 已知向量，若，則_【答案】14. 雙曲線右焦點到直線的距離為_【答案】15. 記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，則_【答案】16. 以圖為正視圖，在圖中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為_（寫出符合要求的一組答案即可）【答案

9、】（答案不唯一）三、解答題共70分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答（一）必考題：共60分17. 某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和（1）求，；（2）判斷新設(shè)

10、備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果，則認為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認為有顯著提高）【答案】（1）；（2）新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備有顯著提高.【解析】【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和方差的計算方法，計算出平均數(shù)和方差.（2）根據(jù)題目所給判斷依據(jù)，結(jié)合（1）的結(jié)論進行判斷.【詳解】（1），.（2）依題意，所以新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備有顯著提高.18. 如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點，且（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）由底面可得，又，由線面垂直的判

11、定定理可得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證出平面平面；（2）由（1）可知，由平面知識可知，由相似比可求出，再根據(jù)四棱錐的體積公式即可求出【詳解】（1）因為底面，平面，所以，又，所以平面，而平面，所以平面平面（2）由（1）可知，平面，所以，從而，設(shè)，則，即，解得，所以因為底面，故四棱錐的體積為【點睛】本題第一問解題關(guān)鍵是找到平面或平面的垂線，結(jié)合題目條件，所以垂線可以從中產(chǎn)生，稍加分析即可判斷出平面，從而證出；第二問關(guān)鍵是底面矩形面積的計算，利用第一問的結(jié)論結(jié)合平面幾何知識可得出，從而求出矩形的另一個邊長，從而求得該四棱錐的體積19. 設(shè)是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足已知，成等差數(shù)列（1）求

12、和的通項公式；（2）記和分別為和的前n項和證明：【答案】（1），；（2）證明見解析.【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)及得到，解方程即可；利用公式法、錯位相減法分別求出，再作差比較即可.【詳解】因為是首項為1的等比數(shù)列且，成等差數(shù)列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）證明：由（1）可得，得 ，所以，所以，所以.【點晴】本題主要考查數(shù)列的求和，涉及到等差數(shù)列的性質(zhì)，錯位相減法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，是一道中檔題，其中證明不等式時采用作差法，或者作商法要根據(jù)式子得結(jié)構(gòu)類型靈活選擇，關(guān)鍵是要看如何消項化簡的更為簡潔.20. 已知拋物線的焦點F到準線的距離為2（1）求C的方程;（2）

13、已知O為坐標原點，點P在C上，點Q滿足，求直線斜率的最大值.【答案】（1）；（2）最大值為.【解析】【分析】（1）由拋物線焦點與準線的距離即可得解；（2）設(shè)，由平面向量的知識可得，進而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【詳解】（1）拋物線的焦點，準線方程為，由題意，該拋物線焦點到準線的距離為，所以該拋物線的方程為；（2）設(shè)，則，所以，由在拋物線上可得，即，所以直線的斜率，當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)時，因為，此時，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立；當(dāng)時，；綜上，直線的斜率的最大值為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用平面向量的知識求得點坐標的關(guān)系，在求斜率的最值時要注意對取值范圍的討論.21. 已知函

14、數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）求曲線過坐標原點的切線與曲線的公共點的坐標【答案】(1)答案見解析；(2) 和.【解析】【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論導(dǎo)函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調(diào)性；(2)首先求得導(dǎo)數(shù)過坐標原點的切線方程，然后將原問題轉(zhuǎn)化為方程求解的問題，據(jù)此即可求得公共點坐標.【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，導(dǎo)函數(shù)的判別式，當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時，的解為：，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增；綜上可得：當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. (2)由題意可得：，則切線方程為：，切線過坐標原點，則：,整理可得：，即：，解得：，則，切線

15、方程為：,與聯(lián)立得，化簡得,由于切點的橫坐標1必然是該方程的一個根，是的一個因式，該方程可以分解因式為解得,，綜上，曲線過坐標原點的切線與曲線的公共點的坐標為和.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問題，和過曲線外一點所做曲線的切線問題，注意單調(diào)性研究中對導(dǎo)函數(shù)，要依據(jù)其零點的不同情況進行分類討論；再求切線與函數(shù)曲線的公共點坐標時，要注意除了已經(jīng)求出的切點，還可能有另外的公共點(交點),要通過聯(lián)立方程求解，其中得到三次方程求解時要注意其中有一個實數(shù)根是求出的切點的橫坐標，這樣就容易通過分解因式求另一個根.三次方程時高考壓軸題中的常見問題，不必恐懼，一般都能容易找到其中一個根，然后

16、在通過分解因式的方法求其余的根.（二）選考題:共10分請考生在第22、23題中任選一題作答如果多做則按所做的第一題計分選修4-4:坐標系與參數(shù)方程22. 在直角坐標系中，的圓心為，半徑為1（1）寫出的一個參數(shù)方程;（2）過點作的兩條切線以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求這兩條切線的極坐標方程【答案】（1），（為參數(shù)）；（2）或.【解析】【分析】（1）直接利用圓心及半徑可得的圓的參數(shù)方程；（2）先求得過（4，1）的圓的切線方程，再利用極坐標與直角坐標互化公式化簡即可.【詳解】（1）由題意，的普通方程為，所以的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）（2）由題意，切線的斜率一定存在，設(shè)切線方程為，即，由圓心到直線的距離等于1可得，解得，所以切線方程為或，將，代入化簡得或【點晴】本題主要考查直角坐標方程與極坐標方程的互化，涉及到直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，是一道基礎(chǔ)題.選修45