10.1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)

1、返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄 2021-6-121 高等數(shù)學(xué)多媒體課件 華南農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系 牛頓（牛頓（Newton）萊布尼茲（萊布尼茲（Leibniz） 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄 2021-6-122 對(duì)于有限個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)于有限個(gè)實(shí)數(shù) u1, ,u2,un 相加后還是一個(gè)實(shí)數(shù)，相加后還是一個(gè)實(shí)數(shù)， 這是在中學(xué)就知道的結(jié)果這是在中學(xué)就知道的結(jié)果, ,那么那么“無(wú)限個(gè)實(shí)數(shù)相加無(wú)限個(gè)實(shí)數(shù)相加” 會(huì)有什么結(jié)果呢？請(qǐng)看下面的幾個(gè)例子會(huì)有什么結(jié)果呢？請(qǐng)看下面的幾個(gè)例子. . 如在第二如在第二 章提到章提到莊子莊子天下篇天下篇“一尺之棰一尺之棰, ,日取其半日取其半, ,萬(wàn)萬(wàn) 世不竭世不竭”

2、的例中的例中, ,將每天截下那一部分的長(zhǎng)度將每天截下那一部分的長(zhǎng)度“加加” 起來(lái)是起來(lái)是: : 23 1111 , 2222 n 由于前由于前 n 項(xiàng)相加的和是項(xiàng)相加的和是 1 1 2n ，可以推測(cè)這，可以推測(cè)這“無(wú)限無(wú)限 個(gè)數(shù)相加個(gè)數(shù)相加”的結(jié)果應(yīng)該是的結(jié)果應(yīng)該是1.1. 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄 2021-6-123 又如下面由又如下面由“無(wú)限個(gè)數(shù)相加無(wú)限個(gè)數(shù)相加”的表達(dá)式的表達(dá)式 1( 1)1( 1) 中，如果將其寫作中，如果將其寫作 (11)(11)(11)000, 結(jié)果肯定是結(jié)果肯定是0，而寫作，而寫作 1( 1)1( 1)11000, 則結(jié)果是則結(jié)果是1.1. 返回返回上頁(yè)

3、上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄 2021-6-124 兩個(gè)結(jié)果的不同向我們提出了兩個(gè)結(jié)果的不同向我們提出了兩個(gè)基本問題兩個(gè)基本問題: : “無(wú)限個(gè)數(shù)相加無(wú)限個(gè)數(shù)相加”是否存在是否存在“和和”;如果存在如果存在, , “和和”等于什么等于什么? ? 由此可見由此可見,“無(wú)限個(gè)數(shù)相加無(wú)限個(gè)數(shù)相加”不能不能 簡(jiǎn)單地與有限個(gè)數(shù)相加作簡(jiǎn)單的類比簡(jiǎn)單地與有限個(gè)數(shù)相加作簡(jiǎn)單的類比, ,需要建立新需要建立新 的理論的理論. . 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄 2021-6-125 第十章第十章 無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)（ （Infinite Series） 第一節(jié)第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì) 第二節(jié)第

4、二節(jié) 正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 第三節(jié)第三節(jié) 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 第四節(jié)第四節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 第五節(jié)第五節(jié) 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù) 第七節(jié)第七節(jié) 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù) 第八節(jié)第八節(jié) 一般周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)一般周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 主主 要要 內(nèi)內(nèi) 容容 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄 2021-6-126 第一節(jié)第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì) 第十章第十章 （Conception and property of constant term series） 一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念 二、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)二、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)

5、 三、小結(jié)與思考練習(xí)三、小結(jié)與思考練習(xí) 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄 2021-6-127 一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念 定義定義 給定一個(gè)數(shù)列給定一個(gè)數(shù)列, 321n uuuu將各項(xiàng)依將各項(xiàng)依 , 1 n n u即即 1n n u n uuuu 321 稱上式為稱上式為無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)， 其中第其中第 n 項(xiàng)項(xiàng) n u叫做級(jí)數(shù)的叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)一般項(xiàng), 級(jí)數(shù)的前級(jí)數(shù)的前 n 項(xiàng)和項(xiàng)和 n k kn uS 1 n uuuu 321 次相加次相加, 簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為 稱為級(jí)數(shù)的稱為級(jí)數(shù)的部分和部分和. 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄 2021-6-128 1n n uS 并

6、稱并稱 S 為級(jí)數(shù)的為級(jí)數(shù)的和和, 記作記作 當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí), 稱差值稱差值 21nnnn uuSSr 為級(jí)數(shù)的為級(jí)數(shù)的余項(xiàng)余項(xiàng). ,lim不存在若 n n S 則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散發(fā)散 . 顯然顯然 0lim n n r 11 limlim n nkn nn nk uuS ,lim存在若SSn n 收斂收斂 ,則稱級(jí)數(shù)則稱級(jí)數(shù) 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄 2021-6-129 (1) limlim 2 n nn n n s 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄 2021-6-1210 1 1 3 . (1) n n n 例判定級(jí)數(shù)的斂散性 1 11 ) 1( 1 nnnn

7、 un解： 1 1 1) 1 11 () 3 1 2 1 () 2 1 1 ( ) 1( 1 ) 1( 1 32 1 21 1 nnn nnnn sn . 1 1) 1 1 1 (limlim 此級(jí)數(shù)收斂，和為 而 n s n n n 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄 2021-6-1211 解解 )12)(12( 1 nn un ), 12 1 12 1 ( 2 1 nn )12()12( 1 53 1 31 1 nn sn ) 12 1 12 1 ( 2 1 ) 5 1 3 1 ( 2 1 ) 3 1 1( 2 1 nn ), 12 1 1( 2 1 n . 2 1 , 和和為為級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收

8、收斂斂 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄 2021-6-1212 1 1 . 1 nnn 練習(xí)：判定級(jí)數(shù)的斂散性并求和 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄 2021-6-1213 例例4 討論等比級(jí)數(shù)討論等比級(jí)數(shù) (又稱幾何級(jí)數(shù)又稱幾何級(jí)數(shù)) )0( 2 0 aqaqaqaaqa n n n ( q 稱為公比稱為公比 ) 的斂散性的斂散性. 解解: 1) 若若,1q 12 n n qaqaqaaS q qaa n 1 時(shí)，當(dāng)1q, 0lim n n q由于從而從而 q a n n S 1 lim 因此級(jí)數(shù)收斂因此級(jí)數(shù)收斂 , ; 1 q a ,1時(shí)當(dāng)q,lim n n q由于從而從而 ,lim

9、n n S 則部分和則部分和 因此級(jí)數(shù)發(fā)散因此級(jí)數(shù)發(fā)散 . 其和為其和為 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄 2021-6-1214 2) 若若,1q ,1時(shí)當(dāng)qanSn因此級(jí)數(shù)發(fā)散因此級(jí)數(shù)發(fā)散 ; ,1時(shí)當(dāng)q aaaaa n 1 ) 1( 因此因此 n S n 為奇數(shù)為奇數(shù) n 為偶數(shù)為偶數(shù) 從而從而 n n S lim 綜合綜合 1)、2)可知可知,1q時(shí)時(shí), 等比級(jí)數(shù)收斂等比級(jí)數(shù)收斂 ; 1q時(shí)時(shí), 等比級(jí)數(shù)發(fā)散等比級(jí)數(shù)發(fā)散 . 則則 , 級(jí)數(shù)成為級(jí)數(shù)成為 ,a ,0 不存在不存在 , 因此級(jí)數(shù)發(fā)散因此級(jí)數(shù)發(fā)散. 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄 2021-6-1215 解解 nn n u

10、 12 32 , 3 4 4 1 n 已知級(jí)數(shù)為等比級(jí)數(shù)，已知級(jí)數(shù)為等比級(jí)數(shù)， , 3 4 q公比公比 , 1| q .原級(jí)數(shù)發(fā)散原級(jí)數(shù)發(fā)散 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄 2021-6-1216 二、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)二、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1 若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù) 1n n u收斂于收斂于 S , , 1 n n uS則各項(xiàng)則各項(xiàng) 乘以常數(shù)乘以常數(shù) c 所得級(jí)數(shù)所得級(jí)數(shù) 1n n uc也收斂也收斂 , 證證: 令令, 1 n k kn uS則則 n k kn uc 1 , n Sc n n limSc 這說(shuō)明這說(shuō)明 1n n uc收斂收斂 , 其和為其和為 c S . n n Sc li

11、m 說(shuō)明說(shuō)明: 級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)非零常數(shù)后其斂散性不變后其斂散性不變 . 即即 其和為其和為 c S . 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄 2021-6-1217 性質(zhì)性質(zhì)2 設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù) , 1 n n uS 1n n v 則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù))( 1 n n n vu 也收斂也收斂, 其和為其和為.S 證證: 令令, 1 n k kn uS, 1 n k kn v則則 )( 1 k n k kn vu nn S )(nS 這說(shuō)明級(jí)數(shù)這說(shuō)明級(jí)數(shù))( 1 n n n vu 也收斂也收斂, 其和為其和為.S 性質(zhì)性質(zhì)2 表明收斂級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)相加或減表明收斂級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)相加

12、或減 .說(shuō)明說(shuō)明: 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄 2021-6-1218 答答:（1）若二級(jí)數(shù)都發(fā)散若二級(jí)數(shù)都發(fā)散 ,)( 1 n n n vu 不一定發(fā)散不一定發(fā)散. 例如例如, ,) 1( 2n n u取 ,) 1( 12 n n v0 nn vu而 （2） 若兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散若兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散 , 則必發(fā)散則必發(fā)散 . (用反證法可證用反證法可證) 思考題思考題 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄 2021-6-1219 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄 2021-6-1220 解解 1 2 1 )1( 5 n n nn 1 )1( 5 n nn 1 2 1 n n 1

13、1 1 11 5 )1( 5 nn nnnn n k n kk g 1 1 11 5令令), 1 1 1(5 n 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄 2021-6-1221 , 5) 1 1 1(lim5lim n g n n n , 2 1 1 是是等等比比級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) n n ，首首項(xiàng)項(xiàng)是是公公比比 2 1 , 1 2 1 q n n n n h lim 2 1 1 . 615 2 1 )1( 5 1 n n nn 故故 , 1 2 1 1 2 1 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄 2021-6-1222 性質(zhì)性質(zhì)3 在級(jí)數(shù)前面加上或去掉在級(jí)數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng)有限項(xiàng), 不會(huì)影響級(jí)數(shù)不會(huì)影響級(jí)

14、數(shù) 的斂散性的斂散性. 證證: 將級(jí)數(shù)將級(jí)數(shù) 1n n u的前的前 k 項(xiàng)去掉項(xiàng)去掉, 1n nk u 的部分和為的部分和為 n l lkn u 1 knk SS nkn S 與,時(shí)由于n 數(shù)斂散性相同數(shù)斂散性相同. 當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí), 其和的關(guān)系為其和的關(guān)系為. k SS 類似可證前面加上有限項(xiàng)的情況類似可證前面加上有限項(xiàng)的情況 . 極限狀況相同極限狀況相同, 故新舊兩級(jí)故新舊兩級(jí) 所得新級(jí)數(shù)所得新級(jí)數(shù) 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄 2021-6-1223 性質(zhì)性質(zhì)4 收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù) 的和的和. 證證: 設(shè)收斂級(jí)數(shù)

15、設(shè)收斂級(jí)數(shù), 1 n n uS若按某一規(guī)律加括弧若按某一規(guī)律加括弧, )()( 54321 uuuuu 則新級(jí)數(shù)的部分和序列則新級(jí)數(shù)的部分和序列 ), 2 , 1(m m 為原級(jí)數(shù)部分和為原級(jí)數(shù)部分和 序列序列 ),2,1(nSn的一個(gè)子序列的一個(gè)子序列, n n m m S limlimS 推論推論: 若加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散若加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散, 則原級(jí)數(shù)必發(fā)散則原級(jí)數(shù)必發(fā)散. 注意注意: 收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂. ,0) 11 () 11 (但但1111發(fā)散發(fā)散. 因此必有因此必有 例如，例如， 用反證法可證用反證法可證 例如例如 返回返回上

16、頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄 2021-6-1224 證證: 1 nnn SSu 1 limlimlim n n n n n n SSu0SS 可見可見: 若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0 , 則級(jí)數(shù)必發(fā)散則級(jí)數(shù)必發(fā)散 . 例如例如, , 1 ) 1( 5 4 4 3 3 2 2 1 1 n n n 其一般項(xiàng)為其一般項(xiàng)為 1 ) 1( 1 n n u n n 不趨于不趨于0,因此這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散因此這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散. n un,時(shí)當(dāng) 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄 2021-6-1225 注意注意: 0lim n n u并非級(jí)數(shù)收斂的充分條件并非級(jí)數(shù)收斂的充分條件. 例如例如, 調(diào)和級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù)

17、 nn n 1 3 1 2 1 1 1 1 雖然雖然，0 1 limlim n u n n n 但此級(jí)數(shù)發(fā)散但此級(jí)數(shù)發(fā)散 . 事實(shí)上事實(shí)上 , 假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂于假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂于 S , 則則 0)(lim 2 nn n SS n n 2 nnnn2 1 3 1 2 1 1 1 但但 nn SS2 矛盾矛盾! 所以假設(shè)不真所以假設(shè)不真 . 2 1 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄 2021-6-1226 ) 2 1 22 1 12 1 ( ) 16 1 10 1 9 1 () 8 1 7 1 6 1 5 1 () 4 1 3 1 () 2 1 1( 1mmm 8項(xiàng)項(xiàng) 4項(xiàng)項(xiàng) 2項(xiàng)項(xiàng) 2項(xiàng)項(xiàng)

18、項(xiàng)項(xiàng) m 2 2 1 每每項(xiàng)項(xiàng)均均大大于于 2 1 )1(1 mm項(xiàng)大于項(xiàng)大于即前即前.加括號(hào)后的級(jí)數(shù)發(fā)散 由性質(zhì)由性質(zhì)4 4知知, ,調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散. . 例例7 7 證明調(diào)和級(jí)數(shù)證明調(diào)和級(jí)數(shù) 111 1 23n 是發(fā)散的是發(fā)散的. . 證明證明: :按順序把級(jí)數(shù)的兩項(xiàng)按順序把級(jí)數(shù)的兩項(xiàng), ,兩項(xiàng)兩項(xiàng), ,四項(xiàng)四項(xiàng), ,八項(xiàng)八項(xiàng), , 加括號(hào)得級(jí)數(shù)加括號(hào)得級(jí)數(shù) 2m項(xiàng) 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄 2021-6-1227 例例8 判斷級(jí)數(shù)的斂散性判斷級(jí)數(shù)的斂散性: 14 1 14 1 13 1 13 1 12 1 12 1 解解: 考慮加括號(hào)后的級(jí)數(shù)考慮加括號(hào)后的級(jí)數(shù) )()()( 14 1 14 1 13 1 13 1 12 1 12 1 1 1 1 1 nn an 1 2 n n n a 2 發(fā)散發(fā)散 , 從而原級(jí)數(shù)發(fā)散從而原級(jí)數(shù)發(fā)散 . n n 1 2 1 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄 2021-6-1228 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念: 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、 收斂、發(fā)散、等比級(jí)數(shù)、調(diào)和