勾股定理導(dǎo)學(xué)案學(xué)案

1、課題名稱(chēng) ：勾股定理 （1）學(xué)習(xí)目標(biāo)：1了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，掌握勾股定理的內(nèi)容，會(huì)用面積法證明勾股定理。 2培養(yǎng)在實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題總結(jié)規(guī)律的意識(shí)和能力。了解我國(guó)古代在勾股定 理研究方面所取得的成就。學(xué)習(xí)目標(biāo)：經(jīng)歷觀察與發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊關(guān)系的過(guò)程，感受勾股定理的應(yīng)用 意識(shí)。學(xué)習(xí)重點(diǎn)：勾股定理的內(nèi)容及證明。學(xué)習(xí)難點(diǎn)：勾股定理的證明。自助探究11、2002 年北京召開(kāi)了被譽(yù)為數(shù)學(xué)界“奧運(yùn)會(huì)”的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，cbc這就是當(dāng)時(shí)采用的會(huì)徽. 你知道這個(gè)圖案的名字嗎？你知道它 的背景嗎？你知道為什么會(huì)用它作為會(huì)徽嗎？a2、相傳 2500 年前，古希臘的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥 拉斯在朋友家做客時(shí)，發(fā)現(xiàn)朋友家用

2、地磚鋪量關(guān)系. 請(qǐng)同學(xué)們也觀察一下，看看能發(fā)現(xiàn)什 么？成的地面中反映了直角三角形三邊的某種數(shù)(1) 引導(dǎo)學(xué)生觀察三個(gè)正方形之間的面積的關(guān)系；(2) 引導(dǎo)學(xué)生把面積的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系.結(jié)論：等腰直角三角形三邊的特殊關(guān)系：斜邊的平方等于兩直角邊的平方和 . 3、等腰直角三角形有上述性質(zhì)，其它直角三角形也有這個(gè)性質(zhì)嗎？4、猜想：命題 1自助提升1、定理證明（1）趙爽利用弦圖證明。顯然 4 個(gè) 的面積中間小正方形的面積該圖案的面積. 1即 4 2c2,化簡(jiǎn)后得到 . 2（2）其他證明方法：教材 72 頁(yè) 思考討論完成cabc2、在 abc 中，c= 90 ,ab=17,bc=8,求 ac 的長(zhǎng) 3、

3、rtabc 和以 ab 為邊的正方形 abef，acb=90，ac=12，bc=5，則正方形的面積是_4、(1) 已知 abc 中，c=90 ，bc=6 ，ac=8，求 ab .(2) 已知 abc 中，a=90 ，ab=5，bc=6，求 ac.acaabb(3) 已知 abc 中，b=90，a，b，c 分別是a，b， c 的對(duì)邊，ca=3 4，b=15，求 a，c 及斜邊高線 h.c bd5、如圖 1-1-4，所有的四邊形都是正方形，所有的三角 形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為 7cm，cd則正方形 a，b，c，d 的面積之和是多少？ 自助檢測(cè)ab1 一個(gè)直角三角形，兩直角邊長(zhǎng)分別

4、為 3 和 4，下列說(shuō)法正確的是 ( )2 斜邊長(zhǎng)為 25 b三角形的周長(zhǎng)為 25 c斜邊長(zhǎng)為 5 d三7cm角形面積為 20 3一直角三角形的斜邊長(zhǎng)比一條直角邊長(zhǎng)多 2，另一直角邊長(zhǎng)為 6，則斜邊長(zhǎng)為（ ）a4 b8 c 10 d124直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別是 5 和 12，則其斜邊上的高的長(zhǎng)為（ ）a6 b8 c80 6013 135、已知，如圖 1-1-5，折疊長(zhǎng)方形（四個(gè)角都是直角，對(duì)邊相等）的一邊 ad 使點(diǎn) d 落在 bc 邊的點(diǎn) f 處，已知 ab=8cm，bc=10cm，求 cf ce小結(jié)與反思這節(jié)課你學(xué)到了一些什么？你想進(jìn)一步探究的問(wèn)題是什么？ 教學(xué)反思ade 18.1

5、勾股定理（2）bfc一、學(xué)習(xí)目標(biāo)圖 1-1-5通過(guò)經(jīng)歷和體驗(yàn)，運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，進(jìn)一步掌握勾股定理。 重點(diǎn)： 勾股定理的應(yīng)用。難點(diǎn)： 實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化。二、自助探究1、一個(gè)門(mén)框的尺寸如圖所示：(1) 若有一塊長(zhǎng) 3 米，寬 0.8 米的薄木板，能否從門(mén)框內(nèi)通過(guò)？ (2) 若有一塊長(zhǎng) 3 米，寬 1.5 米的薄木板，能否從門(mén)框內(nèi)通過(guò)？ (3) 若有一塊長(zhǎng) 3 米，寬 2.2 米的薄木板，能否從門(mén)框內(nèi)通過(guò)？ 分析：(3) 木板的寬 2.2 米大于 1 米，所以橫著不能從門(mén)框內(nèi)通過(guò) 木板的寬 2.2 米大于 2 米，所以豎著不能從門(mén)框內(nèi)通過(guò)d c2m因?yàn)閷?duì)角線 ac 的長(zhǎng)度

6、最大，所以只能試試斜著能否通過(guò) 所以將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題a1m b小結(jié)：此題是將實(shí)際為題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，從中抽象出 abc，并求出斜邊 ac 的 2、例 2、如圖，一個(gè) 3 米長(zhǎng)的梯子 ab ，斜靠在一豎直的墻 ao 上，這時(shí) ao 的距離為 2.5 米如 果梯子的頂端 a 沿墻下滑 0.5 米，那么梯子底端 b 也外移 0.5 米嗎？（計(jì)算結(jié)果保留兩位小數(shù)）分析：要求出梯子的底端 b 是否也外移 0.5 米，實(shí)際就是求 bd 的長(zhǎng)，而 bd=od- obaacobc3、一個(gè)大樹(shù)高 8 米，折斷后大樹(shù)頂端落在離大樹(shù)底端 2 米處，折斷處離地面的高度是多少？ 自助提升1、已知 abc 為等邊

7、三角形，adbc 于 d，ad=6. 求 ac 的長(zhǎng). 2、如果直角三角形的三邊分別為 3，5，a 試求滿足條件 a 的值？ 3、以知正三角形的邊長(zhǎng)為 a，求的面積？自助檢測(cè)a1、若等腰三角形中相等的兩邊長(zhǎng)為 10cm，第三邊長(zhǎng)為 16 cm ，那么第三邊上b d c的高為 ( )a、12 cm b、10 cm c 、8 cm d 、6 cm2、如圖，在abc 中，acb=900，ab=5cm，bc=3cm，cdab 與 d。求：（1 ）ac 的長(zhǎng)； （2）abc 的面積； （3）cd 的長(zhǎng)。3、如圖,一圓柱高 8cm，底面半徑 2cm ，一只螞蟻從點(diǎn) a 爬到點(diǎn)ab 處吃食，要爬行的最短路程

8、( 取 3)是( )a、20cm; b 、10cm; c 、14cm; d 、無(wú)法確定.b4、若等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為2，則它的直角邊的長(zhǎng)為 ，斜邊上的高的長(zhǎng)為 。5、 要登上 8m 高的建筑物，為了安全需要，需使梯子底端離建筑物 6m ，至少需要多長(zhǎng)的梯子？ （畫(huà)出示意圖）5、 小明的叔叔家承包了一個(gè)矩形魚(yú)池，已知其面積為 48m2，其對(duì)角線長(zhǎng)為 10m，為建柵欄， 要計(jì)算這個(gè)矩形魚(yú)池的周長(zhǎng)，你能幫助小明算一算嗎？6、 有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為 10 尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面 1 尺。如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面。誰(shuí)的深度和這根蘆

9、葦?shù)拈L(zhǎng)度分別是多少？小結(jié)與反思教后記 18.1勾股定理（3）學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1、熟練掌握勾股定理的內(nèi)容2、 會(huì)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題3、 利用勾股定理，能在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)的點(diǎn)重點(diǎn)：會(huì)在數(shù)軸上表示 n （n 為正整數(shù)）難點(diǎn)：綜合運(yùn)用自助探究1、勾股定理的內(nèi)容2、如圖，已知長(zhǎng)方形 abcd 中，ab=3cm，a、6cm2b、8cm2ad=9cm，將此長(zhǎng)方形折c、10cm2d、12cm2疊，使點(diǎn) b 與點(diǎn) d 重合，折痕為 ef，則 abe 的面積為（ ）nb c3、1394，即( )2()2 13 9 2；若以和為直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)，則斜邊長(zhǎng)為 13 。同理以和為直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)，則

10、斜邊長(zhǎng)為17自助提升1、探究：我們知道數(shù)軸上的點(diǎn)有的表示有理數(shù)，有的表示無(wú)理數(shù)，你能在數(shù)軸上畫(huà)出表示 13 的點(diǎn)嗎？分析：(1)若能畫(huà)出長(zhǎng)為 13 的線段，就能在數(shù)軸上畫(huà)出表示 13 的點(diǎn).(2)由勾股定理知，直角邊為 1 的等腰 rt ，斜邊為 2因此在數(shù)軸上能表示 2的點(diǎn)那么長(zhǎng)為 13的線段能否是直角邊為正整數(shù)的直角三角形的斜邊呢？在數(shù)軸上畫(huà)出表示 17 的點(diǎn)？（尺規(guī)作圖）o 1 2 3 4 52、如圖：螺旋狀圖形是由若干個(gè)直角o 1 2 3 4 5三角形所組成的，其中是直角邊長(zhǎng)為 1 的等腰直角三角形。那么 oa ,oa ,oa ,oa ,1 2 3 4oa ,oa ,oa , ,oa

11、, ,oa .5 6 7 14思考：怎樣在數(shù)軸上畫(huà)出表示 n （n 為正整數(shù)）的點(diǎn)？自助檢測(cè)：1、 在數(shù)軸上找出表示 8 和- 45 的點(diǎn)1、 已知：如圖，在 abc 中，ad bc 于 d，ab=6，ac=4 ，bc=8，求 bd ，dc 的長(zhǎng).2、 已知矩形 abcd 沿直線 bd 折疊，使點(diǎn) c 落在同一平面內(nèi) c 處，bc 與 ad 交于點(diǎn) e， ad=6，ab=4，求 de 的長(zhǎng).3、 已知：如圖，四邊形 abcd 中，ab=2，cd=1 ，a=60 , b=cd=90 . 求四邊形 abcd小結(jié)與反思 教后記a e3d學(xué)習(xí)目標(biāo)：18.2 勾股定理的逆定理（1）121掌握勾股定理的逆

12、定理，并會(huì)用它判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形 .2 探究勾股定理的逆定理的證明方法 .3 理解原命題、逆命題、逆定理的概念及關(guān)系. 學(xué)習(xí)重點(diǎn)：勾股定理的逆定理及其實(shí)際應(yīng)用 . 學(xué)習(xí)難點(diǎn)：勾股定理逆定理的證明. 自助探究：1、畫(huà)以線段 a，b， c. 為邊的三角形并判斷分別以上述 a、b、c 為邊的三角形的形狀. a=3，b=4 c=5 a=5，b=12 c=13 a=7，b=24 c=25 2、猜想：命題 2該猜想的題設(shè)和結(jié)論與勾股定理的題設(shè)和結(jié)論正好 .2 2 22 2 2c如果兩個(gè)命題的題設(shè)、結(jié)論正好相反，那么這樣的兩個(gè)命題叫做命題，若把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的命題.譬如：原

13、命題：若 ab,則 a2b2；逆命題：.（正確嗎？答 ）原命題：對(duì)頂角相等；逆命題： 由此可見(jiàn)：原命題正確，它的逆命可能 命題叫假命題自助提升：也可能. （正確嗎？答 ）.正確的命題叫真命題，不正確的1、命題 2：如果三角形的三邊長(zhǎng) a 、 b 、 c 滿足 a +b =c，那么這個(gè)三角形是直角三角形.已知： abc 中，ab =c，bc=a，ca=b，且 a +b =c求證：c=90思路：構(gòu)造法構(gòu)造一個(gè)直角三角形，使它與原三角形全等，利用對(duì)應(yīng)角相等來(lái)證明通過(guò)證明，我發(fā)現(xiàn)勾股定理的逆題是 理的 . 小結(jié)注：(1)每一個(gè)命題都有逆命題.的，它也是一個(gè) ，我們把它叫做勾股定a a(2) 一個(gè)命題的

14、逆命題是否成立與原命題是否成立沒(méi)有因果關(guān)系. (3) 每個(gè)定理都有逆命題，但不一定都有逆定理 .bb2、例 1、判斷由線段 a，b ，c 組成的abc 是不是直角三角形.bacbac(1) a=40，b=41，c=9 (2) a=13，b=14，c=15(3) abc=1332(4)a =n2+1， b =n2-1， c =2n（n 1 且 n 為整數(shù)）分析：首先確定最大邊；驗(yàn)證最大邊的平方與最短的兩邊平方和是否相等3、勾股數(shù)（p75 ）能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè) 正整數(shù) ，稱(chēng)為勾股數(shù) .如果 a、b、c 是一組勾股數(shù)，m0，那么 ma，mb ，mc 也是一組勾股數(shù)自助檢測(cè)：1、 分別以

15、下列四組數(shù)為一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)：（1）3，4，5； （2）5，12，13；（3） 8，15，17 ； （4）4，5，6.其中能構(gòu)成直角三角形的有（ ）a.4 組b.3 組c.2 組d.1 組2、 三角形的三邊長(zhǎng)分別為 a2b2、2ab、a2 b2（a、b 都是正整數(shù)），則這個(gè)三角形是 （ ）a直角三角形b鈍角三角形c銳角三角形d不能確定3、已知兩條線段的長(zhǎng)為 5cm 和 12cm，當(dāng)?shù)谌龡l線段的長(zhǎng)為 ? cm 時(shí)，這三條線 段能組成一個(gè)直角三角形。 海天號(hào) r海岸線1c4、一個(gè)零件的形狀如左圖所示，按規(guī)定這個(gè)零件中a和dbc 都應(yīng)為直角工人師傅量得這個(gè)零件各邊尺寸如右 圖所示，這個(gè)零件符合要求嗎

16、？小結(jié)與反思目前判定三角形是直角三角形的方法有哪些？教后記18.2 勾股定理的逆定理（2）學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、2、進(jìn)一步掌握勾股定理的逆定理，并能運(yùn)用勾股定理 的逆定理解決有關(guān)問(wèn)題。在探究活動(dòng)過(guò)程中，經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展與形成的過(guò)程 . 培養(yǎng)敢于實(shí)踐、勇于發(fā)現(xiàn)、大膽探索、合作創(chuàng)新的精神，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)的信心和勇氣 . 學(xué)習(xí)重點(diǎn)：勾股定理的逆定理及其實(shí)際應(yīng)用 .學(xué)習(xí)難點(diǎn)：勾股定理逆定理的靈活應(yīng)用.自助探究：1、勾股定理是直角三角形的定理；它的逆定理是直角三角形的定理.2、3、4、請(qǐng)寫(xiě)出三組不同的勾股數(shù)： 、 、 .測(cè)得一塊三角形麥田三邊長(zhǎng)分別為 9m，12m ，15m ，則這塊麥田的面積為_(kāi)

17、。 借助三角板畫(huà)出如下方位角所確定的射線：南偏東 30；西南方向；北偏西 60.自助提升：1、例 1、某港口位于東西方向的海岸線上.“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開(kāi)港口，各自 沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行 16 海里，“海天”號(hào)每小時(shí)航行 12 海里， 它們離開(kāi)港口一個(gè)半小時(shí)后相距 30 海里. 如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行，能知道 “海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎？分析：“遠(yuǎn)航”號(hào)航行方向已知，只要求出“海天”號(hào)與它2、的航向的夾角就可以知道“海天”號(hào)的航行方向 . 例 2、已知 abc 中，d 是 bc 邊上的一點(diǎn)，若 ab=10，nbd=6，ad=8，ac=17，求 s abc.3、一根 30 米長(zhǎng)的細(xì)繩折成 3 段，圍成一個(gè)三角形，其中一條邊q遠(yuǎn)航號(hào)的長(zhǎng)度比較短邊長(zhǎng) 7 米，比較長(zhǎng)邊短 1 米，請(qǐng)你試判斷這個(gè)三角形的形狀。自助檢測(cè)： 2 1p e、一根 24 米繩子，折成三邊為三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的三角形，則三邊長(zhǎng)分別為 ，此三角形的形狀為 。b a2、已知：如圖，四邊形 abcd 中，ab=3，bc=4，cd=5，ad= 5 2 ，3、b=90，求四邊形 abcd 的面積.如圖，在我國(guó)沿海有一艘不明國(guó)籍的輪船進(jìn)入我國(guó)海域，我海軍甲、乙兩艘巡