梯形提高知識講解

1、梯形(提高)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解梯形的有關(guān)概念，理解直角梯形和等腰梯形的概念.2 掌握等腰梯形的性質(zhì)和判定.3. 初步掌握研究梯形問題時添加輔助線的方法，使問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化.4. 熟練運(yùn)用所學(xué)的知識解決梯形問題.5. 掌握三角形，梯形的中位線定理.【要點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一、梯形的概念一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形叫梯形 在梯形中，平行的兩邊叫做梯形的 底，較短的底叫做上底， 較長的底叫做下底， 不平行的兩邊叫做梯形的腰， 夾在兩底之間的 垂線段叫做梯形的高，一腰和底的夾角叫做底角要點(diǎn)詮釋：(1)定義需要滿足三個條件：四邊形；一組對邊平行；另一組對邊不 平行(2) 有一組對邊平行的四邊形有可能是平

2、行四邊形或梯形，關(guān)鍵在于另一組對邊的位置或者數(shù)量關(guān)系的不同 梯形只有一組對邊平行，而平行四邊 形兩組對邊都平行； 平行四邊形中平行的邊必相等，梯形中平行的一組對邊必不相等(3) 在識別梯形的兩底時，不能僅由兩底所處的位置決定，而是由兩底的長 度來決定梯形的上、下底知識點(diǎn)二、等腰梯形的定義及性質(zhì)1. 定義：兩腰相等的梯形叫等腰梯形 2性質(zhì)：(1)等腰梯形同一個底上的兩個內(nèi)角相等.(2)等腰梯形的兩條對角線相等 .要點(diǎn)詮釋：(1)等腰梯形是特殊的梯形，它具有梯形的所有性質(zhì)(2) 由等腰梯形的定義可知：等腰相等，兩底平行(3) 等腰梯形同一底上的兩個角相等，這是等腰梯形的重要性質(zhì)， 不僅是“下底角”

3、相等，兩個“上底角”也是相等的.知識點(diǎn)三、等腰梯形的判定1. 用定義判定：兩腰相等的梯形是等腰梯形.2. 判定定理：(1)同一底邊上兩個內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形(2)對角線相等的梯形是等腰梯形 .知識點(diǎn)四、輔助線梯形問題常常是通過作輔助線轉(zhuǎn)化為特殊的平行四邊形及三角形問題加以研究，一些常用的輔助線做法是：方法作法圖形目的平 移平移一腰過一頂點(diǎn)作一腰的平行線分解成一個平行四邊形和一個 三角形過一腰中點(diǎn)作另一腰的平 行線構(gòu)造出一個平行四邊形和一對 全等的三角形平移對角線過一頂點(diǎn)作一條對角線的 平行線構(gòu)造出平行四邊形和一個面積 與梯形相等的三角形作咼過一底邊的端點(diǎn)作另一底 邊的垂線構(gòu)造出一個矩形和兩

4、個直角三 角形；特別對于等腰梯形，兩 個直角三角形全等延 長延長兩腰延長梯形的兩腰使其交于 1占八、ZA 1構(gòu)成兩個形狀相同的三角形延長頂點(diǎn)和一 腰中點(diǎn)的連線連接一頂點(diǎn)和一腰的中點(diǎn) 并延長與底邊相交構(gòu)造一對全等的三角形，將梯 形作等積變換知識點(diǎn)五、三角形、梯形的中位線聯(lián)結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半聯(lián)結(jié)梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫梯形的中位線梯形的中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半【典型例題】類型一、梯形的計算a1、如圖所示，梯形 ABCD中，AD/ BC, AD= 1, BC= 4, AC= 3,

5、 BD= 4,求梯形 ABCD 的面積.=bW.【思路點(diǎn)撥】 欲求梯形ABCD的面積，已知 AD = 1, BC = 4,只要求出梯形 ABCD的高， 過D作DE / AC交BC的延長線于E,則四邊形 ACED為平行四邊形，從而 AD = CE，即 得S梯形abcd =bde，故只要求出Sa bde即可【答案與解析】解：過點(diǎn)D作DE/ AC交BC延長線于E,作DF丄BC于F,/ AD / BC,四邊形ACED是平行四邊形.DE = AC= 3, CE= AD= 1.BE = BC+ CE= 4+ 1 = 5./ BD2 + DE = 42 + 3 2 = 25, BE = 25，即 bD +

6、DE2 BDE為直角三角形，/ BDE= 90.11 s梯形abcd(AD BC) LdF (BC CE) DF22111BE LDF BD LDE 4 3 = 6.222【總結(jié)升華】已知梯形兩底求梯形面積的方法， 通常是過梯形上底的一個頂點(diǎn)作對角線的平 行線，把求梯形面積轉(zhuǎn)化成求等面積的三角形面積.舉一反三：BC= 4,AB= 8，求梯形 ABCD的【變式】如圖所示，在梯形 ABCD中, CD/ AB AD= CD= 3, 面積.【答案】解：過點(diǎn) C作CM/ AD交AB于M 作CNL AB于N.AD = CD= 3, CD/ AB 四邊形 ADCM是菱形， CM = AM= AD= 3.AB

7、 = 8 , BM = 5./ CM2+ BC= 32+ 42= 25, BM= 25. 即 cM + BC2= bM, Z BCM= 90.11- Sa bcmBC LCM BM LCN ,2211- 4 35 CN ,2212解得：CNh,5S梯形ABCD66類型二、梯形的證明1112=1（CD+AB）CN 牙（3 + 8）篤 52、已知梯形ABCD中，/ B + Z C= 90 , EF是兩底中點(diǎn)的連線，試說明EF W（BC AD）.AD【思路點(diǎn)撥】 由Z B+ Z C = 90,可延長 BA、CD交于一點(diǎn)G,構(gòu)成直角三角形，利用直 角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得出結(jié)論，也可以通過平移兩腰

8、，把ZB、Z C移到同一個直角三角形中.【答案與解析】 解：如圖所示，延長 BA CD交于G,連接GE GF./ Z B+Z C= 90,. Z BGC= 90. E、F分別為AD BC的中點(diǎn)，11GE= AE= _ AD FG= BF= - BC22 / AGE=Z 1,Z BGF=Z B./ AD / BC, / 1 = Z B,/ AGE=Z BGF GE、GF重合，1 EF = GF GE= （BC AD）.2【總結(jié)升華】 本題是根據(jù)/ B+ / C= 90。，構(gòu)造一個直角三角形，應(yīng)用“直角三角形中斜邊 上的中線等于斜邊的一半”使問題得到解決.C3、如圖所示，梯形 ABCD中, AD/

9、 BC, M是AB的中點(diǎn)，DM平分/ ADC CM平分/ BCD1求證：（1） Sa dmcS弟形 ABCD ；DC = AD+ BC.2【答案與解析】證明：方法一：（1）如圖所示，延長 DM CB交于點(diǎn)E./ AD / BC,/ DAM=Z EBM / ADM=Z BEM又 AM = MB ADNm BEMDM = EMSa DMC =Sa EMC，Sa ADM =Sa BEM，1 1Sa DECEBM * S四邊形 MBCD )1 1ADM + S四邊形 MBCD ) = ? S梯形 ABCD (2) / DM 平分/ ADC CM平分/ BCD AD/ BC,/ MDCFZ MCD= 9

10、0 ,/ CMD= 90,而 DM= EMac CD = CE= CB BE又由(1)得厶ADMA BEM AD = EB,即 CD= AD+ CB.方法二：(1)如圖所示,在 DC上取DE= AD連接ME/ AD / BC,/ BCDZ ADC= 180 又 DM平分/ ADC CM平分/ BCD / MDCFZ MCD= 90,/ DMC= 90,/ 1 + Z 3 = 90./ 2 +Z 4 = 90/ DM = DM / ADM=/ EDM ADNm EMD / 1 = / 2, / 3=/ 4.又 CM= CM / MC=/ MCE1 /Xu BMC2 EMC Sa dmcS弟形ab

11、cd .2 B(2) 由(1)得厶 ADIWA EDM BMCA EMC巒 AD = DE, BC= CE, DC = DE+ CE= AD+ BC【總結(jié)升華】(1)由梯形的一腰的兩個頂點(diǎn)與另一腰中點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積為梯形面積的一半.(2)從條件中角平分線和結(jié)論 DC= AD+ BC可聯(lián)想截長補(bǔ)短法解決問題.類型三、三角形、梯形的中位線 4、如圖所示,在厶 ABC中，M為BC的中點(diǎn)，AD為/ BAC的平分線，BD丄AD于D, AB=12 , AC= 18 ,求 MD的長.A【思路點(diǎn)撥】 本題中所求線段 MD與已知線段AB、AC之間沒有什么聯(lián)系，但由 M為BC 的中點(diǎn)聯(lián)想到中位線，另有 AD為角

12、平分線和垂線,根據(jù)等腰三角形“三線合一”構(gòu)造等腰 三角形ABN , D為BN的中點(diǎn)，DM即為中位線，不難求出 MD的長度.【答案與解析】解：延長BD交AC于點(diǎn)N./ AD為/ BAC的角平分線,且 ADL BN,/ BAD=/ NAD / ADB=/ ADN= 90 , 又 AD 為公共邊， ABDA AND(ASA) AN = AB= 12 , BD= DN/ AC = 18 , NC = AC AN= 18- 12= 6 ,.:/ D、M分別為BN BC的中點(diǎn)，11DM = CN=6 = 322【總結(jié)升華】 當(dāng)條件中含有中點(diǎn)的時候，可以將它與等腰三角形的“三線合一”、三角形的中線、中位線等

13、聯(lián)系起來，進(jìn)行聯(lián)想，必要時添加輔助線，構(gòu)造中位線等圖形.舉一反三：【變式】如圖所示,四邊形 ABCD中 , Q是CD上的一定點(diǎn)，P是BC上的一動點(diǎn)，E、F分別是PA PQ兩邊的中點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn) P在BC邊上移動的過程中，線段 EF的長度將（）A .先變大，后變小 B .保持不變 C .先變小，后變大【答案】B；解：連接AQ / E、F分別是PA PQ兩邊的中點(diǎn)， EF是厶PAQ的中位線，即 AQ= 2EF. Q是CD上的一定點(diǎn)，貝U AQ的長度保持不變， 線段EF的長度將保持不變.D .無法確定ABE平分/ ABC且交 CD04、（2012?咸寧）如圖，在梯形 ABC沖，AD BCZ 390,于 E, E 為 CD的中點(diǎn)，EF/ BC 交 AB于 F, EG/ AB交 BC于 G,當(dāng) AD= 2, BC= 12 時，四邊形BGEF的周長為.【思路點(diǎn)撥】 先根據(jù)EF/ BC交AB于F, EG/ AB交BC于 G得出四邊形BGEF是平行四邊形， 再由BE平分/ ABC判斷出四邊形 BGEF是菱形，再根據(jù)E為CD的中點(diǎn)，AD= 2, BC= 12求出 EF的長，進(jìn)而可得出結(jié)論.【答案】28;【解析】 解： EF/ BC 交 AB于 F, EG/ AB 交 BC于 G四邊形BGE