初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽：銳角三角函數(shù)(附練習(xí)題及答案)

1、2 2a cos a1 1 1abc初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽：銳角三角函數(shù)古希臘數(shù)學(xué)家和古代中國(guó)數(shù)學(xué)家為了測(cè)量的需要，他們發(fā)現(xiàn)并經(jīng)常利用下列幾何結(jié)論：在兩個(gè)大小不同的直角三角形中，只要有一個(gè)銳角相等，那么這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊的比值一定相等正是古人對(duì)天文觀察和測(cè)量的需要才引起人們對(duì)三角函數(shù)的研究，1748 年經(jīng)過(guò)瑞士 的著名數(shù)學(xué)家歐拉的應(yīng)用，才逐漸形成現(xiàn)在的 sin、cos、tg、ctg 的通用形式三角函數(shù)揭示了直角三角形中邊與銳角之間的關(guān)系，是數(shù)形結(jié)合的橋梁之一，有以下豐 富的性質(zhì)：1 單調(diào)性；2 互余三角函數(shù)間的關(guān)系；3 同角三角函數(shù)間的關(guān)系平方關(guān)系：sin +cos =1；商數(shù)關(guān)系：tg =sinco

2、s，ctg = ； a sin a倒數(shù)關(guān)系：tg ctg =1【例題求解】【例 1】 已知在abc 中，a、b 是銳角，且 sina 則 s = abc513，tanb=2，ab=29cm，思路點(diǎn)撥過(guò) c 作 cdab 于 d，這樣由三角函數(shù)定義得到線段的比， sina=cd 5=ac 13，tanb=cdbd=2 ，設(shè) cd=5m，ac13m，cd2n，bdn，解題的關(guān)鍵是求出 m、n 的值注：設(shè)abc 中，a、b、c 為a、b、c 的對(duì)邊，r 為abc 外接圓的半徑，不難證明： 與銳角三角函數(shù)相關(guān)的幾個(gè)重要結(jié)論：(1) = bc sin a = ac sin b = ab sin c ；2

3、 2 21a b c12 ad（2） = = =2 rsin a sin b sin c【例 2】 如圖，在abc 中acb90，abc15，bc=1，則 ac=( )a 2 + 3b 2 - 3c0.3 d 3 - 2思路點(diǎn)撥 由 15構(gòu)造特殊角，用特殊角的三角函數(shù)促使邊角轉(zhuǎn)化注：（1）求(已知)非特角三角函數(shù)值的關(guān)是構(gòu)造出含特殊角直角三角形（2）求(已知)銳角角函數(shù)值常根據(jù)定轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)線段比，有時(shí)需通過(guò)等的比來(lái)轉(zhuǎn)換【例 3】 如圖，已 abc 是等腰直角三角形，acb90，過(guò) bc 的中點(diǎn) d 作 deab 于 e，連結(jié) ce，求 sinace 的值思路點(diǎn)撥 作垂線把a(bǔ)ce 變成直角三角

4、形的一個(gè)銳角，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求線段的比【例 4】 如圖，在abc 中，ad 是 bc 邊上的高，tanb=cosdac， (1)求證：acbd；(2)若 sinc=1213，bc=12，求 ad 的長(zhǎng)思路點(diǎn)撥 (1)把三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為線段的比，利用比例線段證明； (2) sinc= = ，引入?yún)?shù)可設(shè) ad=12 k ，ac13 k 13 ac2222【例 5】 已知：在 abc 中，c=90，sina、sinb 是方程 x2+px +q =0的兩個(gè)根(1) 求實(shí)數(shù) p 、 q 應(yīng)滿足的條件；(2) 若 p 、 q 滿足(1)的條件，方程 x +px +q =0的兩個(gè)根是否等于 abc 中兩銳角

5、a、b的正弦?思路點(diǎn)撥 由韋達(dá)定理、三角函數(shù)關(guān)系建立 p 、q 等式，注意判別式、三角函數(shù)值的有界性， 建立嚴(yán)密約束條件的不等式，才能準(zhǔn)確求出實(shí)數(shù) p 、 q 應(yīng)滿足的條件專題訓(xùn)練1已知 為銳角，下列結(jié)論sin +cos =l；如果 45，那么 sin cos ；如果 cos 12，那么 60； (sin -1) 2 =1 -sin a 正確的有 2如圖，在菱形 abcd 中，aebc 于 e，bc=1，cosb513，則這個(gè)菱形的面積為 3如圖，c=90，dbc=30，abbd，利用此圖可求得 tan75= 4化簡(jiǎn)(1) tan 27 o +tan 63o -2= (2)sin2l+sin2

6、2+sin288+sin289= 5身高相等的三名同學(xué)甲、乙、丙參加風(fēng)箏比賽三人放出風(fēng)箏線長(zhǎng)、線與地面夾角如下 表(假設(shè)風(fēng)箏線是拉直的)，則三人所放的風(fēng)箏中( )a甲的最高 b丙的最高 c乙的最低 d丙的最低31d -3 312d6已知 sin cos = ，且 0 45則 co -sin 的值為( )8a32b -32c3 34 47如圖，在abc 中，c90，abc30，d 是 ac 的中點(diǎn)，則 ctgdbc 的值是( ) a 3 b 2 3 c d2 48如圖，在等腰 abc 中c90，ac6，d 是 ac 上一點(diǎn)，若 tandba= ，則 ad5的長(zhǎng)為( )a 2b2 c 1 d 2

7、29已知關(guān)于 x的方程 4 x2-2( m +1) x +m =0 的兩根恰是某直角三角形兩銳角的正弦，求 m 的值10如圖，d 是abc 的邊 ac 上的一點(diǎn)，cd=2ad，aebc 于 e，若 bd8，sincbd= 求 ae 的長(zhǎng)34，11若 0 45，且 sin con =3 716，則 sin = 12已知關(guān)于 x的方程 3 x 2 -4 x sina+2(1 -cosa) =0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， 為銳角，那么 的取值范圍是 13 已知是 abc 的三邊， a、b 、 c 滿足等式 (2b ) =4(c +a )(c -a ) sina+sinb+sinc 的值為 14 設(shè) 為

8、銳角，且滿足 sin =3cos ，則 sin cos 等于( )，且有 5a -3c =0 ，則a16b15c2 39 1042n n n15如圖，若兩條寬度為 1 的帶子相交成 30的角，則重疊部分(圖中陰影部分)的面積是 ( )a2 b32c1 d1216如圖，在abc 中，a30，tanb=32，ac= 2 3 ，則 ab 的長(zhǎng)是( )a 3 + 3b 2 +2 3c5 d9217己在abc 中，a、b、c 分別是a、b、c 的對(duì)邊，且 c= 5 3 ，若關(guān)于 x 的方程(5 3 +b ) x +2 ax +(5 3 -b ) =0有兩個(gè)相等的實(shí)根，又方程 2 x 2 -(10 sin a) x +5 sin a =0 的兩實(shí)根的平方和為 6，求abc 的面積18 如圖，已知 ab=cd=1，abc90，cbd=30，求 ac 的長(zhǎng)19 設(shè) a、b、c 是直角三角形的三邊，c 為斜邊，n 為正整數(shù)，試判斷 a +b 與 c 的關(guān)系， 并證明你的結(jié)論20如圖，已知邊長(zhǎng)為 2 的正三角形 abc 沿直線 l滾動(dòng)(1)當(dāng)abc 滾動(dòng)一周到b c 的位置，此時(shí) a 點(diǎn)所運(yùn)動(dòng)的路程為 ，約為