雙曲線大題綜合

1、雙曲線大題綜合2 21.已知雙曲線c：g 石=1（0”0）的左、右焦點(diǎn)分別為仟，朽,離心率為3,直線 y = 2與C的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為點(diǎn).（I）求匕/?;（II）設(shè)過竹的直線/與C的左、右兩支分別相交于A,B兩點(diǎn)，且|4川= |Bf 證明:陰卜阿I成等比數(shù)列.2 2解：（I）由題設(shè)知二即匚工二9,故b2=8a2 匕a2由題謖知，2所以C的方程為8x2-y2=8a2將嚴(yán)2代入上式，并求得滬土a?逅，解得a=l所以a=l.、b=2返（H）由（I ）知h（-3，0），F(xiàn)2（3, 0），（:的方程為8x2-y2=8 由題意，可謖1的方程為尸k （工-3），k V2返代入并化簡得（k2-S） x-6k

2、2x-9k2+S=0 i殳A (：i ? yi ) 、B ( X2 冗)5貝 1召 1 巧+戈2=弩、X*2= 于是 書_8薩_8AFi =、（工 1+3）2+）訂 2 =、（一3）2+8羽 2_滬_ （ 3m十 1，BFi 彳（工2十3卩寸2 2 = （%2一3）2十8口2_8=弘2“， j AFi = BFi 得一（3巧1） =3x2+L，即X十乂2=一扌 故光 =|,無打=”從而xlx2=-= 由于 1AF2 二、伍i_32寸 1 2=、仗_3）2+冬2_薩3*1，sf2 =J(x2-3)22 2 = J(x2-3)2+8jc2 2-S=3x2-故 AB = AF2I -| BF2 =2

3、-3 (xi七2)=i, IAF2 BF2 =3 (xi+x.2)-9xiX2l=16因而我氏 = AB|2,所以AF2 AB x 3F2成等比敎列2 如圖，已知曲線c1：-r = 1,曲線q：iyi=ixi+if是平面上一點(diǎn)，若存在過點(diǎn)p的直線2與cpc2都有公共點(diǎn)，則稱P為GC2型點(diǎn)（1）在正確證明G的左焦點(diǎn)是“GC2型點(diǎn)時(shí)，要使用一條過該焦點(diǎn)的直線,試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗(yàn)證）；設(shè)直線y =也與C2有公共點(diǎn)，求證I k 1 1，進(jìn)而證明原點(diǎn)不是GC2型點(diǎn)勺（2）證明；因?yàn)橐司€y=k:C2有公共點(diǎn)，所以方程組卩有實(shí)教解，因itE kx = X T，m|Ar|= 1.Im十i區(qū)若

4、原點(diǎn)是Ci-C2型點(diǎn)外，則存在過原點(diǎn)的直線與C“C2祁有公共點(diǎn)考慮過原點(diǎn)與C2有公共點(diǎn)的直線滬0或尸庶（|k|l）顯然直線滬0與G無公共點(diǎn)如果直線為y=k； （ k 1） 則由方程組（乂2，得以=1 ） Cj也無公共點(diǎn).因此原點(diǎn)不是Ci-C2型點(diǎn)卯因?yàn)?與&由公共點(diǎn)，所以方程組y = kxb有實(shí)數(shù)解,（3）證明：記圓S兀2十歹2 = ,取圓0內(nèi)的一點(diǎn)Q，設(shè)有經(jīng)過Q的直線1與C2都有公共點(diǎn)，顯然1 不與工軸垂直、故可設(shè)1 : y=kx-b若；k 1.得(1-21?) x2-4kbx-2b2-2=0 因?yàn)閗1，所以1-21?知，因 1 比二(4kb) 2-4 ( l-2k2) (-2b2-2) =

5、8 (b2-l-2k2) 0, 即b22k2-l .b因?yàn)閰^(qū)10的圓心(0，0)到直線1的距離d= 所以二=護(hù),從而仝丄泌曲卩1，得k21矛盾. 1+P22因此，圓十尹2 = g內(nèi)的點(diǎn)不是“Cl-c2型點(diǎn)、B是雙曲線x2-y=l上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（l,2）是線段AB的中點(diǎn)（1）求宜線AB的方程：（2）如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點(diǎn)，那么A、B、C、D四點(diǎn)是否共圓為什么故直線注的方程為y=x-l .（7分】（3 ）假設(shè)A四點(diǎn)共區(qū),且團(tuán)心對PV ABjIDP的弦，所以圍心P在貞B(tài)垂直平分線CD上，又CD為區(qū)1P的弦且垂肓平分AB，區(qū)1心P為CD中點(diǎn)M -（ &分）下面只需證CD的中點(diǎn)

6、X満足MA i = MB MC l = |MI）艮卩可由 2 V2 ，得：A -L，0，B 4（9 分 X_r二 12由得直絨CD方程：y=-x-3 *（10分 ，得：C-3 + 2卜，6-2逅，D （-3-2辰 6+2匹）（L1 分）I 2CD的中點(diǎn)H （-3,6 CL2分- MA =（4十36 = 2帀，|近=（30_4 = 2帀, =羽0-20=2顧，1 = 2020= 210（13 分 MA = M5 = MC = MD，即A*D四點(diǎn)在以點(diǎn)H（-3, 6）為圓心，2帀藥半徑的區(qū)上.（14分）n 2(201】秋余姚市松纟及匪中)己知斜率為啲直線1與雙曲纟扛：咯咅=l(a0, D0)相交于

7、沐：)兩 /護(hù)為且BD的中點(diǎn)為M (1 3)2 阿二1-2a)2+y 12 = kN 1, FD =J(x2-2)2+y22 = 2x2-BF FD = ( a-2ii) (2x2a) =-4xi：2+2a (xtX2)-a=5ax+4a-8.9第得齊1,或dz=-4故 |BD| 二口 R1-X2I2IBF FD|=17,故5界十48=17(舍去)9=只|(攵1+無2)-4xix2=6,連按YA，則由A 1，0) . M D三點(diǎn)的團(tuán)與艾軸相切.(2010-LU)如圖，已狎衲圈匚-4=1(ab0)的會心率為號，以i亥 橢圜上的點(diǎn)和旃圜的左、右焦點(diǎn)F-巳為頂點(diǎn)的三角形的周長為厶1), 一等軸雙曲線

8、的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P為該狀曲線上異于頂點(diǎn)的 任一鈦 直線PI和PF占桶園的交點(diǎn)分別為A、BfQC. DI)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程j(II)設(shè)宜線PF仆PF2的斜率弁別為k2,證明krk2=i5 yo)，貝牡仔上一，k2二丄一， X0+2X0-2 yo VO VO2上1 k2= r=，xo+2xo-2 xq2_4又點(diǎn)P(血，70 在改曲線上，竺:竺=1，即列匸亠4，44x0-4(III)假設(shè)存在常數(shù)入，使得得IAB + CD!=X：AB CD|恒成立，則由(II)知k宀2=1，設(shè)直線AB的方程為y=k (x+2)，則直線CD的方程為(x-2)， ky = k(2)由方程組 22_ 消y得:2_ 184(2k2-l ) x2+8k2x+8k2-8=0,設(shè)A ( Xi 9 和)9 B ( X2 V2)則由韋達(dá)定理得，列2 =出】；xix2=逆二