變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算.

1、高二數(shù)學(xué)迎期中專題復(fù)習(xí)-14 -變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算iMTHUIKOU主干知識(shí)ZHUG ANZHISHI扣教材掃除認(rèn)知盲點(diǎn)練考點(diǎn)鞏固必備知識(shí)廖識(shí)整合1 .導(dǎo)數(shù)的概念(1) 函數(shù)y = f (x)在x= xo處的導(dǎo)數(shù)：稱函數(shù)y= f(x)在x = xo處的瞬時(shí)變化率f Xo+ x f xo yli Am0 x= li Am0 二為函數(shù) y = f (x)在 x = xo處的導(dǎo)數(shù)，記作f( xo)或 yl x = xo,即即 f(xo) = limAy = li x-0A x x f0fXo+ A x fxo(2) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)f (x)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)f (xo)的幾何意義是在曲線

2、y= f (x)上點(diǎn)F(xo, yo)處的切線的 斜率(瞬時(shí)速度就是位移函數(shù)s(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù))相應(yīng)地，切線方程為 y y。=f ( Xo) ( X Xo).函數(shù)f (X)的導(dǎo)函數(shù)：稱函數(shù)f(x) = liAx-0f x+ A x fA x為f(x)的導(dǎo)函數(shù).2 幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x) = c(c為常數(shù))f (x) = 0f (x) = xn( n Q)f (x) = nxn 1f (x) = sin xf (x) = cos_xf (x) = cos Xf (x) = sin xf (x) = axf (x) = axln af(x) = exf(x) = e；f (x)

3、 = log aXf(x) =1xln af (x) = ln x1 f (x) =_X3 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(1) f (X)g(x)= f (x) 土 g(x)；(2) f (x)g(x) = f (x)g(x) + f(x)g(x);fx, fl X g X f X g X k=廠 2(g(x)豐0).復(fù)合函數(shù) y = f(g(x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù) y = f(u), u= g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為小=yu ux,即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積.I ?問題思考1 . f (X)與f (Xo)有何區(qū)別與聯(lián)系？提示：f(X)是一個(gè)函數(shù)，f(X0)是常數(shù)，f(X0)是函數(shù)f (X)

4、在xo處的函數(shù)值.2 .曲線y = f (x)在點(diǎn)P(xo, yo)處的切線與過點(diǎn)P Xo, yo)的切線，兩種說法有區(qū)別嗎？ 提示： 曲線y = f (x)在點(diǎn)F(xo, yo)處的切線是指 P為切點(diǎn)，斜率為 k = f (xo)的切線，是唯一的一條切線.(2)曲線y = f (x)過點(diǎn)F(xo, yo)的切線，是指切線經(jīng)過 F點(diǎn).點(diǎn)F可以是切點(diǎn)，也可以不 是切點(diǎn)，而且這樣的直線可能有多條.3 過圓上一點(diǎn)F的切線與圓只有公共點(diǎn) P,過函數(shù)y= f(x)圖象上一點(diǎn)F的切線與圖象 也只有公共點(diǎn)P嗎？提示：不一定，它們可能有 2個(gè)或3個(gè)或無數(shù)多個(gè)公共點(diǎn).牛汕試1. 下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是 ()A.

5、x+ 1 = 1 + B.(log 2X) = xn2C. (3X) = 3Xlog 3eD(x2cos x) = 2sin x2. 若 f (x) = ax4+ bx2 + c滿足 f =2,則 f ( 1)=(A. 4 B . 2 C . 2 D . 43 .曲線y = 2x x3在x= 1處的切線方程為()A. x+ y + 2= 0 B . x+ y 2 = 0 C . x y + 2= 0 Dx y 2= 04. 曲線y = ax2 ax+ 1(a0)在點(diǎn)(0,1)處的切線與直線 2x + y+ 1 = 0垂直，則a=A.C.5. (教材習(xí)題改編)如圖，函數(shù)y= f (x)的圖象在點(diǎn)

6、P處的切線方程是y= x+ 8,則f(5)研考向認(rèn)知層層遞進(jìn) 析典題能力步步提高例1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的計(jì)算廠；IIn x(1) y= (1 - x) 1 + x ；(2)Y=x(3) y= tan x；(4)XX xy = 3 e - 2 + e;inx+32x + 1【互動(dòng)探究】若將本例中tan x”改為sini1 2C0S* ”，應(yīng)如何求解?【方法規(guī)律】導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法(1) 連乘積形式：先展開化為多項(xiàng)式的形式，再求導(dǎo).(2) 分式形式：觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或較為簡(jiǎn)單的分式函數(shù)，再求導(dǎo).(3)對(duì)數(shù)形式：先化為和、差的形式，再求導(dǎo).(4) 根式形式：先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕

7、的形式，再求導(dǎo).(5) 三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo).(6) 復(fù)合函數(shù)：確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).口變式訓(xùn)練求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：/x+ x5+ sin x11(1) y = x； (2) y = (x + 1)( x + 2)( x + 3) ; (3)y =+； 丫 =cos 2 xsin x+ cos x;(5) y= 3 x+ et例2已知函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)f (x)，且滿足f(x)=2xf (1) + In x,則f=A. e B . 1 C . 1 D . e(2) 等比數(shù)列an中，ai= 2,a8=4，函數(shù)f (x)= x(x- ai) ( x-a

8、?) ( x- a8)，則f (0)=()A. 26B . 29C . 212 D . 215(3) (2013 江西高考)設(shè)函數(shù)f (x)在(0,+s)內(nèi)可導(dǎo)，且f(ex) = x + ex，貝U f (1)=【方法規(guī)律】導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的兩個(gè)技巧(1) 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)分解為基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算 法則求導(dǎo)數(shù).(2) 在求導(dǎo)過程中，要仔細(xì)分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，緊扣法則，記準(zhǔn)公式，預(yù)防犯 運(yùn)算錯(cuò)誤.口變式訓(xùn)練1 .若函數(shù)f(x)=cos x+2xf n6，則f i -專與仃n3的大小關(guān)系是()A-f - 3 =f 于 Bf - f f C -f -于 0)的一條切線，

9、則實(shí)數(shù) b的值為()A. 2 B . In 2 +1 C . In 2 1 D . In 26. (2014 撫州模擬)已知f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，如果f(x)是二次函數(shù)，f(x) 的圖象開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，-3)，那么曲線 y = f(x)上任意一點(diǎn)處的切線的傾斜角a的取值范圍是()C.2nD.17. 已知函數(shù)f (x) = x + 1, g(x) = ain x,若在x =二處函數(shù)f (x)與g(x)的圖象的切線平行，則實(shí)數(shù)a的值為.8. 已知函數(shù)y= f (x)及其導(dǎo)函數(shù)y= f(x)的圖象如圖所示，則曲線 y= f (x)在點(diǎn)P處的 切線方程是.9 . (2014 延安模

10、擬)若曲線f (x) = ax5 + ln x存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是.10 .求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).2廠2xx(1) y= (2x+ 3)(3 x 1) ; (2) y= ( x 2) ; (3) y = x sincos -； 設(shè) f (x) = (ax+ b)sin x+ ( cx + d)cos x，試確定常數(shù) a, b, c, d,使得 f(x) = xcos x.311. 已知函數(shù) f(x) = x + x 16.(1) 求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2 , 6)處的切線的方程； 直線I為曲線y = f (x)的切線，且經(jīng)過原點(diǎn)，求直線I的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)；一 1 一(3)

11、 如果曲線y= f (x)的某一切線與直線 y = -x+ 3垂直，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的方程.12. 設(shè)函數(shù)y = x2 2x + 2的圖象為C,函數(shù)y= x2+ ax+ b的圖象為C2,已知過C與C2 的一個(gè)交點(diǎn)的兩切線互相垂直.(1) 求a, b之間的關(guān)系；(2) 求ab的最大值.高頻滾動(dòng)1. 一水池有兩個(gè)進(jìn)水口，一個(gè)出水口，每個(gè)水口的進(jìn)、出水速度如圖甲、乙所示.某 天0點(diǎn)到6點(diǎn)，該水池的蓄水量如圖丙所示.給出以下3個(gè)論斷：0點(diǎn)到3點(diǎn)只進(jìn)水不出水；3點(diǎn)到4點(diǎn)不進(jìn)水只出水；4點(diǎn)到 6點(diǎn)不進(jìn)水不出水，則一定正確的是()A. B . C . D .12. 給出下列命題：在區(qū)間(0 ,+)上，函數(shù)

12、y = x , y = x, y = (x 1) , y = x中有3個(gè)是增函數(shù)；若log m3log n30,則0n n22數(shù)根，其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A. 1 B . 2 C . 3 D . 4高二數(shù)學(xué)迎期中專題復(fù)習(xí)變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算答案1.解析：選B1(3x) = 3xln 3 ; (x2cos x)(x2) / cos x2-16 -+ x(cos x) = 2xcos x x2sin x.2.解析：選 B / f (x) = ax4+ bx2 + c,. f (x) = 4axcos x 2 I 2 + 2bx,又 f (1) = 2, 4a+ 2b= 2,. f ( 1)

13、= 4a 2b= 2.323. 解析：選 A / f (x) = 2x x , f (x) = 2 3x . f ( 1) = 2 3= 1.又 f( 1) = 2+ 1 = 1,.切線方程為 y+ 1 = (x+ 1)，即 x + y + 2= 0.24. 解析：選 B / y = ax ax+ 1,. y = 2ax a,. y |=o= a.2又t曲線 y = ax ax+ 1( a*0)在點(diǎn)(0,1)處的切線與直線2x + y+ 1 = 0垂直，(1a) ( 2) = 1, 即 a= 21 1=x2x2，5. 解析：由題意知 f (5) = 1 , f (5) = 5+ 8 = 3 ,

14、 f(5) + f (5) = 3 1 = 2. 答案：2例 1自主解答(1) t y= (1 x).,1 ,1 ,13 -y = (x2) (x2)= 2 + 122x 2x ln xy ln x x x In x x1 ln xsin x cos x sin x cos x2 cos x1cos xcos xcos xcos x sin x sin x.XX,x .(4) y = (3 e) (2 ).x .+ e = (3 )x x x ,x .xe + 3 (e ) (2 ) = 3 (In 3)x x x x-e + 3 e 2 lnxx2= (In 3 + 1) (3e) 2 ln

15、 2.ln2x+ 32 2x + 1 ln2x + 3 x + 12x+ 32x + 32x + 1 2xln2x+ 32 x2+1 2x 2x+ 3ln2x + 32x + 3解:y = sinX- 2鈾 x, y 一 弘s x.2 2解:x2+ x5+ sinx y=3 sin x=x-3+ x3 +22x高二數(shù)學(xué)迎期中專題復(fù)習(xí)2cos x.3 35=(x 2) + (x3) + (x2sinx) = 2X 2 + 3x2 2x3sin x+ x y=(X2+ 3x+ 2)( x+ 3) = x3+ 6x2 + 11x + 6,. y= 3x2+ 12x + 11.112,y= 1x +

16、1 +x= 口y =x- sinx cos x.cos 2 xy= sin x + cos x = COs解析：選C依題意得fx) = sin x + 2fn 1=夕 f (x) = cos x + x，即n37t6 sin $ + 2fn，n 1 n3 = 2 3例2自主解庫(kù)答(1) Tf(x)=2xf (1) + In x,. f (x) = 2x1+(Inx)=2f, 1(1) + x, f (1) = 2f(1)+ 1,即f =1.(2)因?yàn)閒 (x)=x x a1x a2H1 x a8+x a1x a2HI x-/ /x=(x a( xa?) -(x a8)+x a1x a2HI x

17、 a8 x:，所以 f (0) = (0 a(0 a2)(0 a8) +0 =aa8.因?yàn)閿?shù)列ar為等比數(shù)列，所以a2a7 =a3a6 = a4a5 = aa8 = 18,所以 f (0) = 84 = 212.(3)令 t = ex，故x= In t，所以 f(t)=Int +1，即 f (x) = Inx + x，所以 f ( x)=1+ x1,y=*3 x) 2(3 x) + e2x(2x) = 2(3 x) 2 + 2e：1- 2x2所以 f (1) = 2.答案(1)B(2)C(3)2解析：選 C f 1(x) = sin x+ cos x, f 2(x) = f 1 (x) = (

18、sin x+ cos x) = cos x sin x, f 3( x) = f2 (x) = (cos x sin x) = sin x cos x, f4(x) = fs (x) = sin x cos x, f 5(x) = f4(x) = sin x + cos x.故 f n(x)是以 4 為周期的周期函數(shù)，又 2 014 = 503X4+2 , f 2 014 (x) = f2(x) = sin x+ cos x.3自主解答(1) y = 3ln x+ 1 + x - = 3ln x + 4, k = y |x=1 = 4,故切線方程為y 1x=4( x 1)，即 y= 4x 3.

19、211(2) T f(x) = ax ln x,則 f (x) = 2ax-, f (1) = 2a 1 = 0,得 a= 2.x2(3) 求導(dǎo)得y = a x 1,切線的斜率k= a，由點(diǎn)斜式得切線方程為y 2 = a (x 1).、4 4ex切線經(jīng)過原點(diǎn)(0,0) , 2= a X ( 1) , a = 2.(4) / y = 乂十, y = x + 12x4e 4xx 1e2x+ 2ex + i =1. e 0,. e + 孑x，二 y 1,0) ,. tan a 1,0) 又e + r + 2ea 0 , n ),7t.答案(1) y= 4x 3 (2)2 (3)2除n)解析：選C 將點(diǎn)(2,3)分別代入曲線 y = x解析：選 C 由題意得 P(4,8) , Q 2,2) .v y= ,. y = x,在P處的切線方程：y 8= 4(x 4)，即y = 4x 8.在Q處的切線方