2020-2021學(xué)年新教材數(shù)學(xué)人教B版選擇性必修第二冊(cè)教案：第3章 3.3 第1課時(shí)　二項(xiàng)式定理 Word版含解析

1、好好學(xué)習(xí)，天天向上3。2數(shù)學(xué)探究活動(dòng):生日悖論的解釋與模擬（略）3。3二項(xiàng)式定理與楊輝三角第1課時(shí)二項(xiàng)式定理學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.2。掌握二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式(重點(diǎn))3.能解決與二項(xiàng)式定理有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題(重點(diǎn)、難點(diǎn)）1通過(guò)二項(xiàng)式定理的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)邏輯推理的素養(yǎng).2.借助二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式的通項(xiàng)公式解題,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)。三個(gè)箱子均裝著標(biāo)有a，b字母的兩個(gè)大小，形狀一樣的球，從每個(gè)箱子摸出一個(gè)球，共摸出3個(gè)球，有哪些可能結(jié)果？每一種結(jié)果有多少種情形?問(wèn)題：類(lèi)比上述結(jié)果你能聯(lián)想出（ab）3展開(kāi)式的形式嗎？二項(xiàng)式定理及相關(guān)的概念二項(xiàng)式定理概念公式（a

2、b)ncancan1bcan2b2canrbrcbn(nn）稱(chēng)為二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式系數(shù)各項(xiàng)系數(shù)c（r0，1,2,，n)叫做展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)二項(xiàng)式通項(xiàng)canrbr是展開(kāi)式中的第r1項(xiàng)，可記做tr1canrbr（其中0rn，rn，nn）二項(xiàng)展開(kāi)式cancan1bcan2b2canrbrcbn（nn)思考1：二項(xiàng)式定理中，項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)相同嗎?提示二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是完全不同的兩個(gè)概念二項(xiàng)式系數(shù)是指c，c，c，而項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除了變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān),而且也與a，b的值有關(guān)思考2：二項(xiàng)式(ab)n與(ba)n展開(kāi)式的第k1項(xiàng)是否相同?提示不同(ab）n展開(kāi)式中第k1項(xiàng)

3、為cankbk，而(ba)n展開(kāi)式中第k1項(xiàng)為cbnkak.1思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)（1）(ab）n展開(kāi)式中共有n項(xiàng)（）(2)在公式中，交換a,b的順序?qū)Ω黜?xiàng)沒(méi)有影響（)（3）canrbr是（ab）n展開(kāi)式中的第r項(xiàng)（)（4）（ab)n與（ab)n的二項(xiàng)式展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)相同（）答案（1)(2）(3）(4）2（x1）n的展開(kāi)式共11項(xiàng)，則n等于（)a9b10c11d12b由n111,可知n10.3（y2x）8展開(kāi)式中的第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是（)acbc（2)5ccdc（2）6c由題意可知第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為c。4（x2）6的展開(kāi)式中x3的系數(shù)是_160法一：設(shè)含x3的項(xiàng)為第r1

4、項(xiàng),則tr1cx6r2r，令6r3，則r3。故x3的系數(shù)為c23160。法二:(x2)6表示6個(gè)括號(hào)相乘，要得到含x3的項(xiàng)，只需選出3個(gè)括號(hào)出x，另三個(gè)括號(hào)出2即可，即cx323160x3。二項(xiàng)式定理的正用、逆用【例1】（1）用二項(xiàng)式定理展開(kāi)；(2)化簡(jiǎn)：c（x1）nc（x1）n1c(x1）n2（1）rc(x1）nr(1)nc。思路點(diǎn)撥（1)二項(xiàng)式的指數(shù)為5，且為兩項(xiàng)的和，可直接按二項(xiàng)式定理展開(kāi)；（2）可先把x1看成一個(gè)整體，分析結(jié)構(gòu)形式，逆用二項(xiàng)式定理求解解（1)c（2x)5c（2x）4c32x5120x2。(2）原式c(x1）nc（x1)n1(1）c(x1）n2（1)2c(x1)nr(1)

5、rc(1）n(x1）(1)nxn.1展開(kāi)二項(xiàng)式可以按照二項(xiàng)式定理進(jìn)行展開(kāi)時(shí)注意二項(xiàng)式定理的結(jié)構(gòu)特征,準(zhǔn)確理解二項(xiàng)式的特點(diǎn)是展開(kāi)二項(xiàng)式的前提條件2對(duì)較復(fù)雜的二項(xiàng)式，有時(shí)先化簡(jiǎn)再展開(kāi)會(huì)更簡(jiǎn)便3對(duì)于化簡(jiǎn)多個(gè)式子的和時(shí)，可以考慮二項(xiàng)式定理的逆用對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題的求解，要熟悉公式的特點(diǎn)，項(xiàng)數(shù)，各項(xiàng)冪指數(shù)的規(guī)律以及各項(xiàng)的系數(shù)1（1)求的展開(kāi)式;（2）化簡(jiǎn)：12c4c2nc。解（1）法一：c(3)4c（3）3c（3）2c(3）c81x2108x54。法二:(81x4108x354x212x1)81x2108x54。（2）原式12c22c2nc(12）n3n.二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)問(wèn)題【例2】(1)求二項(xiàng)式的展開(kāi)式

6、中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和第6項(xiàng)的系數(shù);(2)（教材p33習(xí)題3。3at2改編）求的展開(kāi)式中x3的系數(shù)思路點(diǎn)撥利用二項(xiàng)式定理求展開(kāi)式中的某一項(xiàng)，可以通過(guò)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解解（1）由已知得二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為tr1c（2)6r（1)rc26rx,t612x。第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為c6，第6項(xiàng)的系數(shù)為c（1）212.（2)tr1cx9r（1）rcx92r,令92r3，r3，即展開(kāi)式中第四項(xiàng)含x3，其系數(shù)為（1)3c84.1二項(xiàng)式系數(shù)都是組合數(shù)c(r0,1,2，n)，它與二項(xiàng)展開(kāi)式中某一項(xiàng)的系數(shù)不一定相等，要注意區(qū)分“二項(xiàng)式系數(shù)”與二項(xiàng)式展開(kāi)式中“項(xiàng)的系數(shù)”這兩個(gè)概念2第r1項(xiàng)的系數(shù)是此項(xiàng)字母前的

7、數(shù)連同符號(hào),而此項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為c.例如，在（12x)7的展開(kāi)式中，第四項(xiàng)是t4c173（2x）3，其二項(xiàng)式系數(shù)是c35，而第四項(xiàng)的系數(shù)是c23280.2求的展開(kāi)式的第三項(xiàng)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)解t3c(x3)3cx5，所以第三項(xiàng)的系數(shù)為c.通項(xiàng)tr1c（x3)5rcx155r，令155r0,得r3，所以常數(shù)項(xiàng)為t4c(x3）2。求展開(kāi)式中的特定項(xiàng)探究問(wèn)題1如何求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)？提示利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)cx4rcx42r求解，令42r0，則r2，所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為c6.2（ab)(cd）展開(kāi)式中的每一項(xiàng)是如何得到的？提示(ab）(cd)展開(kāi)式中的各項(xiàng)都是由ab中的每一項(xiàng)分別乘以cd中的每一項(xiàng)再把

8、積相加而得到3如何求(2x1）3展開(kāi)式中含x的項(xiàng)？提示（2x1）3展開(kāi)式中含x的項(xiàng)是由x中的x與分別與（2x1）3展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)c1及x2項(xiàng)c22x212x2分別相乘再把積相加得xcc(2x）2x12x13x.即(2x1）3展開(kāi)式中含x的項(xiàng)為13x.【例3】已知在的展開(kāi)式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)(1)求n；（2)求含x2項(xiàng)的系數(shù)；（3）求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)思路點(diǎn)撥解通項(xiàng)公式為：tr1cx（3)rxc（3）rx。（1）第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，r5時(shí)，有0，即n10。（2）令2，得r（106)2，所求的系數(shù)為c(3）2405。(3）由題意得,令k（kz）,則102r3k,即r5k.rz，k應(yīng)為偶數(shù),k2,0，

9、2,即r2,5，8，所以第3項(xiàng)，第6項(xiàng)與第9項(xiàng)為有理項(xiàng)，它們分別為405x2，61 236,295 245x2。1求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)的常見(jiàn)題型(1)求第k項(xiàng)，trcanr1br1；（2）求含xr的項(xiàng)（或xpyq的項(xiàng)）；(3)求常數(shù)項(xiàng)；（4）求有理項(xiàng)2求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)的常用方法（1）對(duì)于常數(shù)項(xiàng)，隱含條件是字母的指數(shù)為0（即0次項(xiàng)）；（2)對(duì)于有理項(xiàng),一般是先寫(xiě)出通項(xiàng)公式，其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項(xiàng)解這類(lèi)問(wèn)題必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù),再根據(jù)數(shù)的整除性來(lái)求解；（3）對(duì)于二項(xiàng)展開(kāi)式中的整式項(xiàng)，其通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù),求解方式與求有理項(xiàng)一

10、致3（1）在(1x3）（1x)10的展開(kāi)式中，x5的系數(shù)是_（2）若展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為60，則常數(shù)a的值為_(kāi)（1)207(2）4(1）x5應(yīng)是（1x）10中含x5項(xiàng)、含x2項(xiàng)分別與1，x3相乘的結(jié)果,其系數(shù)為cc（1)207。(2）的展開(kāi)式的通項(xiàng)是tr1cx6r（）rx2rcx63r()r，令63r0，得r2,即當(dāng)r2時(shí),tr1為常數(shù)項(xiàng)，即常數(shù)項(xiàng)是ca，根據(jù)已知得ca60,解得a4。1二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是兩個(gè)不同的概念，前者僅指c，c，,c，而后者指的是除字母以外的所有系數(shù)(包括符號(hào))2要牢記cankbk是展開(kāi)式的第k1項(xiàng)，而非第k項(xiàng)3對(duì)于非二項(xiàng)式展開(kāi)式的求解可借助二項(xiàng)式定理的原理求解1在(x

11、）10的展開(kāi)式中，含x6的項(xiàng)的系數(shù)是(）a27cb27cc9cd9cd含x6的項(xiàng)是t5cx6()49cx6。2在的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是()a28b7 c7d28ctr1c（1）rcx,當(dāng)8r0，即r6時(shí)，t7(1)6c7。3（1x）10的展開(kāi)式中第7項(xiàng)為_(kāi)210x6t7c（x）6210x6。4化簡(jiǎn)：c2nc2n1c2nkc_.3n原式(12)n3n。5設(shè)(x)n的展開(kāi)式中第二項(xiàng)和第四項(xiàng)的系數(shù)之比為12，求含x2的項(xiàng)解（x)n的展開(kāi)式中第二項(xiàng)和第四項(xiàng)分別為：t2cxn1(）nxn1，t4cxn3(）32cxn3.由題意可知，即n23n40,又nn，解得n4。設(shè)(x)4的展開(kāi)式中含x2的項(xiàng)為第k1項(xiàng)，則tk1cx