2020-2021學(xué)年新教材數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第一冊課后提升訓(xùn)練：1.4.2　第2課時　利用向量求空間角

1、好好學(xué)習(xí)，天天向上第一章空間向量與立體幾何1.4空間向量的應(yīng)用1。4.2用空間向量研究距離、夾角問題第2課時利用向量求空間角課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1。若平面的一個法向量為n1=（1,0,1），平面的一個法向量是n2=（3，1，3）,則平面與所成的角等于（)a.30b.45c。60d.90解析因為n1n2=（1,0,1）（-3,1,3）=0，所以，即平面與所成的角等于90。答案d2.已知a（0,1,1),b（2,1，0），c(3，5，7)，d(1，2,4)，則直線ab和直線cd所成角的余弦值為（）a.52266b.52266c。52222d.-52222解析ab=（2,-2,1）,cd=（-2

2、，-3,3）,而cosab,cd=abcd|ab|cd|=5322=52266，故直線ab和cd所成角的余弦值為52266.答案a3.如圖,在三棱柱abca1b1c1中，aa1底面abc，aa1=3,ab=ac=bc=2,則aa1與平面ab1c1所成角的大小為()a。30b.45c。60d.90解析取ab的中點d，連接cd，分別以da,dc,de所在直線為x軸,y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,可得a(1,0,0)，a1(1,0,3）,故aa1=(0,0，3),而b1(1,0,3),c1(0，3，3),設(shè)平面ab1c1的法向量為m=(a,b,c),根據(jù)mab1=0,mac1=0，解得m=(3,-3

3、,2），cosm,aa1=maa1|m|aa1|=12.故aa1與平面ab1c1所成角的大小為30,故選a。答案a4。已知正方形abcd所在平面外一點p,pa平面abcd，若pa=pb，則平面pab與平面pcd的夾角為（）a.30b。45c.60d。90解析如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系。設(shè)pa=ab=1，則a（0,0,0)，d（0,1，0),p(0，0，1),ad=(0，1,0）。取pd的中點e,則e0,12,12,ae=0,12,12，易知ad是平面pab的一個法向量,ae是平面pcd的一個法向量,所以cos=22，故平面pab與平面pcd的夾角為45.答案b5。在正方體abcda1b1c1

4、d1中，m,n分別為ad，c1d1的中點,o為側(cè)面bcc1b1的中心，則異面直線mn與od1所成角的余弦值為(）a.16b。14c。-16d。-14解析如圖，以d為坐標(biāo)原點,分別以da,dc,dd1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長為2,則m（1，0，0），n(0，1,2）,o(1,2，1）,d1（0，0,2)，mn=(1,1，2），od1=（1，2，1)。則cos=ean|ea|n|=499=49。直線ae與平面a1ed所成角的正弦值為49。答案497.在正方體abcd-a1b1c1d1中，點e為bb1的中點,則平面a1ed與平面abcd夾角的余弦值為。解析建立空間直角

5、坐標(biāo)系如圖，設(shè)正方體的棱長為2,則d（2,0，0），a1（0,0,2）,e（0，2，1）,則a1d=（2,0，-2)，a1e=（0,2，1).設(shè)平面a1ed的法向量為n=（x,y，z)，則na1d=0,na1e=0.則2x-2z=0,2y-z=0,即x=z,z=2y.令y=1,得n=（2，1，2).易知平面abcd的法向量為m=(0，0，1)，則cosn，m=nm|n|m|=23.設(shè)平面a1ed與平面abcd的夾角為,則cos=cos=23。答案238.在空間中,已知平面過點（3，0，0)和（0，4,0）及z軸上一點(0,0，a)(a0),如果平面與平面xoy的夾角為45,則a=。解析平面xo

6、y的一個法向量為n=（0,0，1）,設(shè)平面的一個法向量為m=（x,y,z)，則-3x+4y=0,-3x+az=0,即3x=4y=az,取z=1,則x=a3，y=a4,m=a3,a4,1.由題意得cosn,m=1a29+a216+1=22。又因為a0,所以a=125.答案1259.如圖所示,四邊形abcd是直角梯形,abc=bad=90,sa平面abcd,sa=ab=bc=2,ad=1.(1)求sc與平面asd所成角的余弦值;（2)求平面sab和平面scd夾角的余弦值.解(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，s（0,0,2）,c（2,2,0），d(1，0，0），sc=（2，2,2),ab平面sad

7、，故平面asd的一個法向量為ab=（0，2，0),設(shè)sc與平面asd所成的角為,則sin=cossc,ab=|scab|sc|ab|=33，故cos=63,即sc與平面asd所成角的余弦值為63.(2)平面sab的一個法向量為m=（1,0，0)，sc=(2,2,2)，sd=（1,0，-2)，設(shè)平面scd的一個法向量為n=(x，y，z）,由scn=0,sdn=0x+y-z=0,x-2z=0,令z=1可得平面scd的一個法向量為n=（2，1,1）,設(shè)平面sab和平面scd的夾角為，則cos=|mn|m|n|=63，即平面sab和平面scd夾角的余弦值為63。能力提升練1.(2020安徽黃山高二期末

8、)已知直四棱柱abcda1b1c1d1的所有棱長相等，abc=60，則直線bc1與平面abb1a1所成角的余弦值等于（）a.64b.104c.22d.32解析直四棱柱abcd-a1b1c1d1的所有棱長相等,abc=60,取ab中點e,以a為原點,ae為x軸，ad為y軸,aa1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)ab=2,則b(3,-1，0），c1(3,1，2),a（0，0,0),a1（0，0,2)，bc1=（0,2，2)，ab=(3,-1,0),aa1=(0，0,2),設(shè)平面abb1a1的法向量n=（x,y，z）,則nab=3x-y=0,naa1=2z=0,取x=1,得n=(1,3,0)，設(shè)直線b

9、c1與平面abb1a1所成角為,則sin=|bcn|bc|n|=2384=64,cos=1-642=104,直線bc1與平面abb1a1所成角的余弦值等于104,故選b.答案b2.如圖,已知四棱錐p-abcd的底面abcd是等腰梯形,abcd,且acbd,ac與bd交于o,po底面abcd，po=2,ab=22,e,f分別是ab,ap的中點。則平面foe與平面oea夾角的余弦值為()a。33b.33c.-63d.63解析由題意，以o為坐標(biāo)原點,ob,oc，op所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題知,oa=ob=2,則a（0，2,0)，b（2,0,0），p（0，0,2

10、)，e(1,-1,0)，f（0,1，1）,oe=（1，-1,0),of=（0，1,1），設(shè)平面oef的法向量為m=（x,y，z),則moe=0,mof=0,即x-y=0,-y+z=0,令x=1，可得m=（1,1,1),易知平面oae的一個法向量為n=（0，0,1），則cosm，n=mn|m|n|=13=33,設(shè)平面foe與平面oea夾角為,則cos=cos|=33。答案b3.正三棱柱abc-a1b1c1的所有棱長都相等,則ac1與平面bb1c1c的夾角的余弦值為.解析設(shè)三棱柱的棱長為1，以b為原點,建立坐標(biāo)系如圖，則c1（0,1，1)，a32,12,0,ac1=-32,12,1，又平面bb1c

11、1c的一個法向量n=(1,0,0）,設(shè)ac1與平面bb1c1c的夾角為。則sin=|cos|=|ac1n|ac1|n|=64,故cos=1-sin2=104。答案1044.如圖，三棱柱oabo1a1b1中,平面obb1o1平面oab,且o1ob=60，aob=90,ob=oo1=2,oa=3，求異面直線a1b與o1a所成角的余弦值為。解析以o為坐標(biāo)原點，oa，ob所在直線分別為x軸、y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則a（3,0,0），b（0，2，0)，a1(3,1，3),o1（0，1，3）,所以a1b=（3,1,3),o1a=（3,-1,-3)。設(shè)所求的角為,則cos=|a1bo1a|a1

12、b|o1a|=|-3-1+3|77=17,即異面直線a1b與o1a所成角的余弦值為17。答案175.已知菱形abcd中,abc=60，沿對角線ac折疊之后，使得平面bac平面dac,則平面bcd與平面cda夾角的余弦值為.解析如圖，取ac的中點e，分別以ea，ed，eb為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)菱形abcd的邊長為2，則a(1，0,0），c(-1，0,0)，d(0，3，0）,b(0,0,3）。設(shè)平面bcd的法向量為n=（x，y,z)，bc=（-1,0，-3）,bd=（0，3,-3）,-x-3z=0,3y-3z=0,令z=3，則y=3，x=3，即n=（3,3,3）.平面acd的法向

13、量為m=(0，0，1）,設(shè)平面bcd與平面cda夾角為，則cos=|nm|n|m|=3115=55.答案556.如圖，在四棱錐p-abcd中,平面pbc平面abcd,底面abcd是平行四邊形,且bcd=4，pdbc.(1)求證：pc=pd;（2)若底面abcd是菱形,pa與平面abcd所成的角為6，求平面pad與平面pbc夾角的余弦值.（1）證明如圖，過p作pebc，垂足為e,連接de。圖因為平面pbc平面abcd，所以pe平面abcd。因為pdbc，所以bc平面pde，所以debc。因為bcd=4,所以de=ce。在ped和pec中,pe=pe,ped=pec=90,de=ce，所以pedp

14、ec，所以pd=pc.（2)解因為bc平面pde,pe平面abcd,所以pae是直線pa與平面abcd所成的角,即pae=6，且debc,depe.設(shè)pe=a，則ae=3a，pa=2a。在dec中,設(shè)de=m,則ec=m,dc=2m，所以在rteda中,(3a）2=m2+(2m)2,所以m=a。以e為坐標(biāo)原點,ed,eb，ep所在直線分別為x軸，y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,圖則d（a，0，0），a（a，2a，0），p(0,0，a），則平面pbc的一個法向量為a=（1，0，0）。設(shè)平面pad的一個法向量為b=(x,y，z）,因為ap=（a，-2a，a）,ad=（0，2a，0），所以-

15、2ay=0,-ax-2ay+az=0,取x=1,則b=（1，0，1）.設(shè)平面pad與平面pbc的夾角為,則cos=|ba|b|a|=12=22，所以平面pad與平面pbc夾角的余弦值為22.素養(yǎng)培優(yōu)練如圖,在四棱錐p-abcd中，pa平面abcd,adbc，adcd，且ad=cd=2，bc=22，pa=2。（1)取pc的中點n,求證:dn平面pab.(2)求直線ac與pd所成角的余弦值。（3）在線段pd上,是否存在一點m，使得平面mac與平面acd的夾角為45？如果存在，求出bm與平面mac所成角的大小；如果不存在,請說明理由。(1)證明取bc的中點e,連接de,交ac于點o，連接on，建立如

16、圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則a（0,-1,0),b（2,-1,0）,c（0,1,0),d(1,0，0）,p(0,1，2)。點n為pc的中點，n（0,0，1)，dn=（1,0,1)。設(shè)平面pab的一個法向量為n=（x,y,z),由ap=(0,0，2）,ab=(2，0，0),可得n=（0,1,0)，dnn=0.又dn平面pab，dn平面pab.(2）解由(1）知ac=（0，2,0）,pd=（-1,1，2)。設(shè)直線ac與pd所成的角為,則cos=226=66.(3)解存在.設(shè)m(x,y，z),且pm=pd，01，x=-,y+1=,z-2=-2,m(,-1,22）.設(shè)平面acm的一個法向量為m=（x，y，z）,由ac=（0，2,0），am=（-，,2-2)，可得m=(22,0，）,由圖知平面acd的一個法向量為n=（0，0，1)，cos|=12+(2-2