2011全國(guó)數(shù)模競(jìng)賽A題

1、2011 高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承諾書(shū)我們仔細(xì)閱讀了中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則 . 我們完全明白，在競(jìng)賽開(kāi)始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話(huà)、電子郵件、網(wǎng) 上咨詢(xún)等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的 , 如果引用別人的成果或其他公開(kāi)的 資料（包括網(wǎng)上查到的資料） ，必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參 考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī) 則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從 A/B/C/D 中選擇一項(xiàng)填寫(xiě)）： A我 們的參賽報(bào)名

2、號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號(hào)的話(huà)） ： 20111663 所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)完整的全名） ： 南京郵電大學(xué) 參賽隊(duì)員 （打印并簽名 ）：1.劉超舟2.劉立億3.董睿指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 （ 打印并簽名 ） ：日期： 2011 年 9 月 12 日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2011 高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編號(hào)專(zhuān)用頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)）：全國(guó)評(píng)閱編號(hào)（由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：A 題 城市表層土壤重金屬污染分析一摘要二問(wèn)題重述三符號(hào)約定四基本假設(shè)五建模與

3、求解5.1 問(wèn)題（ 1）的建模與求解5.1.1 問(wèn)題分析 根據(jù)采樣的坐標(biāo)，我們可以得到一個(gè)大概的區(qū)域分布散點(diǎn)圖，如下圖：圖 5.1.1 功能區(qū)采樣點(diǎn)分布散點(diǎn)圖圖中各功能區(qū)得分布無(wú)規(guī)律，采樣間隔比較大，很難建立各重金屬測(cè)量值與樣本采 集點(diǎn)坐標(biāo)的平滑函數(shù)，故采用等高線(xiàn)圖來(lái)描述各種重金屬在該城區(qū)的空間分布。附件中給了采樣點(diǎn)的三維坐標(biāo)和各重金屬元素的含量值， 由于我們只需要考慮該區(qū) 域的污染程度，因此不需要考慮坐標(biāo)，只用知道采樣地點(diǎn)位于某一區(qū)即可。我們從采集 樣本的樣本值中可以分析出每一區(qū)域的污染程度。由于重金屬分子的相對(duì)分子質(zhì)量較 大，取樣時(shí)只對(duì)表層土壤 010 厘米深度進(jìn)行取樣，從收集的資料來(lái)看，

4、可對(duì)取樣值污 染程度采用地積累指數(shù)分析法進(jìn)行評(píng)級(jí)分析。5.1.2建模與求解首先，在 MATLAB 中運(yùn)用插值法作圖，具體結(jié)果如下 :圖 5.1.2 As 濃度空間分布圖 5.1.3Cd 濃度空間分布圖 5.1.8Pb 濃度空間分布圖 5.1.5Cu 濃度空間分布圖 5.1.4Cr 濃度空間分布圖 5.1.6Hg 濃度空間分布圖 5.1.7Ni 濃度空間分布圖 5.1.9Zn 濃度空間分布下面對(duì)該城區(qū)內(nèi)不同區(qū)域重金屬污染程度運(yùn)用地積累指數(shù)法進(jìn)行分析。地積累指數(shù)法（ Muller 指數(shù)）常用于評(píng)價(jià)土壤中重金屬的污染狀況，表達(dá)式為：Igeo log 2 Cn /（k Bn）其中： C n是元素 n

5、在土壤中的含量； Bn是土壤中該元素的地球化學(xué)背景值； k為考慮各 地巖石差異可能會(huì)引起背景值的變動(dòng)而取的系數(shù) （一般取值為 1.5 ），用來(lái)表征沉積特性， 巖石地質(zhì)和其他影響。土壤中重金屬地積累指數(shù)分級(jí)與污染程度之間相互關(guān)系如下表：表 Muller 地積累指數(shù)分級(jí)地積累指數(shù)（ Igeo ）分級(jí)污染程度5 I geo 106極嚴(yán)重污染4 I geo 55強(qiáng)- 極嚴(yán)重污染3 I geo 44強(qiáng)污染2 I geo 33中等- 強(qiáng)污染1 I geo 22中等污染0 I geo 11輕度- 中等污染I geo 00無(wú)污染根據(jù)附件 2，可知 8 種主要重金屬元素在城區(qū)采樣點(diǎn)處的濃度 Cn。而根據(jù)附件 3

6、可 知這 8中重金屬元素的背景值 Bn 。再依照公式 Igeo log2Cn /（k Bn） 計(jì)算，就能得到 8 種元素的地積累指數(shù)。現(xiàn)在用分級(jí)頻率（污染頻率）來(lái)表示某種重金屬元素對(duì)該城市的污染程度。分級(jí)頻 率就是滿(mǎn)足某分級(jí)的采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)比上所用采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)。例如： As地積累指數(shù)分級(jí)頻率計(jì)算如下： f0（As） m0 （ As） 50.47% m f1（As） m1（ As） 46.39% mfi （As） mi （As） m 具體結(jié)果如下表：表 該地區(qū)土壤中 8 種重金屬元素地積累指數(shù)分級(jí)頻率分布分 級(jí)地積累指數(shù)（ I geo ）污染程 度A（s %）C（d %）C（r %）C（u %）H（g

7、 %）N（i %）P（b %）Z（n %）0I geo 0無(wú)污染50.4737.30 62.07 2759 52.04 66.1450.4747.3410 I geo 1輕度- 中等污 染46.3939.50 32.60 3730 21.63 32.2933.8628.8421 I geo 2中等污 染2.1918.503.7622.88 14.420.9414.11 16.3032 I geo 3中等- 強(qiáng)污染0.944.390.949.096.270.630.634.0843 I geo 4強(qiáng)污染0.000.310.002.511.570.000.942.5154 I geo 5強(qiáng)-極 嚴(yán)

8、重污 染0.000.000.630.001.570.000.000.6365 I geo 10極嚴(yán)重污染0.000.000.000.632.510.000.000.31再做如下計(jì)算： 用每個(gè)區(qū)域的某一元素的地積累指數(shù)的平均值作為該元素在此區(qū)域 的的地積累指數(shù)，進(jìn)行分級(jí)評(píng)價(jià)。以生活區(qū)為例：1 n1I geo (As)I geoi 0.1273n1 i 11 n1I geo (Cd)I geoi 0.3384n1 i 11 n1I geo (Cr)I geoi 0.1475n1 i 1所有結(jié)果如下表：表 該地區(qū) 8 種土壤重金屬地積累指數(shù)及其分級(jí)情況元 素生活區(qū)工業(yè)區(qū)山區(qū)交通區(qū)公園綠地區(qū)I geo

9、分 級(jí)I geo分 級(jí)I geo分 級(jí)I geo分 級(jí)I geo分 級(jí)As0.127310.21291-0.532700.055610.13741Cd0.338410.79771-0.526400.596210.18211Cr0.14751-0.03010-0.445800.0271-0.16590Cu0.876711.37722-0.39501.074720.39511Hg0.198911.31612-0.598800.462610.19611Ni-0.07820-0.03190-0.45790-0.18480-0.33970Pb0.238610.67471-0.455700.282210.

10、12691Zn0.468310.85741-0.592500.652410.05311從 8 種重金屬元素的分級(jí)頻率計(jì)算的結(jié)果來(lái)看( 表)，該城區(qū)總體重金屬污染情況 是 Cu的污染頻率最大，達(dá)到 72.41%，其次是 Cd和 Zn，是 60.5%和 52.66%；其余 5 種 重金屬元素污染頻率的大小順序?yàn)?As，Pb，Hg，Cr 和 Ni 。而對(duì)于每個(gè)功能區(qū)來(lái)說(shuō)( 表 )：生活區(qū)幾乎沒(méi)有 Ni 污染，其他重金屬元素均屬于 1 等級(jí)，即輕度 - 中等污染；工業(yè)區(qū)沒(méi)有 Ni 污染和 Cr 污染，但 Cu和 Hg 屬于中等污染； 山區(qū)幾乎不受這 8中重金屬元素污染；交通區(qū)同樣基本不受 Ni 污染，

11、但 Cu污染較多， 公園綠地區(qū)沒(méi)有 Ni 污染和 Cu污染, 其他重金屬污染程度較輕。具體排序如下： 表污染程度生活區(qū)工業(yè)區(qū)山區(qū)交通區(qū)公園綠地區(qū)重CuCuCuCuCuZnHgCrZnHgCdZnPbCdCdPbCdNiHgAsHgPbCdPbPbCrAsAsCrZn輕AsCrZnAsCrNiNiHgNiNi表污染程度AsCdCrCuHgNiPbZn工業(yè)區(qū)工業(yè)區(qū)生活區(qū)工業(yè)區(qū)工業(yè)區(qū)工業(yè)區(qū)工業(yè)區(qū)工業(yè)區(qū)公園綠地區(qū)交通區(qū)交通區(qū)交通區(qū)交通區(qū)生活區(qū)交通區(qū)交通區(qū)生活區(qū)生活區(qū)工業(yè)區(qū)生活區(qū)生活區(qū)交通區(qū)生活區(qū)生活區(qū)交通區(qū)公園綠公園綠公園綠公園綠公園綠公園綠公園綠地區(qū)地區(qū)地區(qū)地區(qū)地區(qū)地區(qū)地區(qū)山區(qū)山區(qū)山區(qū)山區(qū)山區(qū)山區(qū)山

12、區(qū)山區(qū)為了評(píng)價(jià)該城區(qū)不同區(qū)域的綜合污染程度， 現(xiàn)將各個(gè)區(qū)域的 8 種重金屬地積累指數(shù) 的平均值再做算術(shù)平均處理，即1I geo(生活區(qū))(Igeo1(As)+Igeo1(Cd)+ I geo1(Zn)=0.28968881I geo ( 工業(yè)區(qū) )(I geo 2(As)+I geo2 (Cd)+ I geo2 (Zn)=0.6467581I geo (山區(qū))(I geo3 (As)+I geo3 (Cd)+ I geo3 (Zn)=0.07313881I geo (交通區(qū))(I geo4 (As)+ I geo4 (Cd)+ I geo4 (Zn)=0.35683881I geo (公園綠地

13、區(qū) )(I geo5 ( As)+ I geo5 (Cd)+ I geo5 (Zn)=0.1731638該城區(qū)各個(gè)區(qū)域污染程度及排序如下：工業(yè)區(qū) 交通區(qū) 生活區(qū) 公園綠地去 山區(qū)5.2 問(wèn)題（ 2）的建模與求解近年來(lái)，隨著工業(yè)發(fā)展、廢棄物排放，土壤重金屬污染已經(jīng)成為一個(gè)世界性問(wèn)題。 大量的研究證實(shí)，土壤重金屬污染不但損害土壤自身的理化性質(zhì)，而且影響作物的產(chǎn)量 與品質(zhì)，并通過(guò)食物鏈進(jìn)入人體危害人體健康。城市土壤由于生產(chǎn)、生活、和商業(yè)等不 同土地利用的特點(diǎn)不同，重金屬污染具有其特定的空間分布特征，不同的功能區(qū)土壤中 不同重金屬濃度有著一定的差異。一般來(lái)說(shuō)，工業(yè)區(qū)重金屬污染最為嚴(yán)重。從上一問(wèn)的分析計(jì)

14、算中， 可以看到該城市土壤重金屬的濃度的空間分布特征及污染 程度，下面針對(duì)不同功能區(qū)的土壤重金屬濃度狀況進(jìn)行分析，解釋污染原因如下：1）生活區(qū)生活區(qū)是人口密集的功能區(qū)，該區(qū)域土壤中 Cr 的含量多于其他區(qū)域， Cu、Hg和 Zn 的含量也偏高。這是由于城市生活垃圾中電池、廢電燈、廢舊電器等各種金屬制品或鍍 金屬制品中金屬離子的溶出對(duì)重金屬污染有直接的貢獻(xiàn)， 垃圾中最常見(jiàn)的重金屬污染主 要就是 Cu、Hg、Zn 和 Cr。2）工業(yè)區(qū)工業(yè)區(qū)的土壤是受重金屬污染最嚴(yán)重的功能區(qū)，除了 Cr 和 Ni ，其他重金屬在土壤 中的含量都較高。工業(yè)能源大都以煤、石油類(lèi)為主，它們是環(huán)境中Hg、Pb、Cd、As

15、等重金屬污染的主要來(lái)源。在采礦、選礦、冶煉、鍛造、加工、運(yùn)輸?shù)裙I(yè)生產(chǎn)過(guò)程中會(huì) 產(chǎn)生大量的重金屬污染。排放的廢水、廢渣等直接進(jìn)入水體及土壤中，廢氣中的重金屬 經(jīng)沉降也進(jìn)入土壤等環(huán)境中，從而使得環(huán)境中重金屬濃度嚴(yán)重超標(biāo)。3）山區(qū)山區(qū)的土壤重金屬濃度是最低的，幾乎不受重金屬污染。這是由于山區(qū)海拔較高， 一般不會(huì)有人類(lèi)活動(dòng)，且生物多樣性豐富，植被對(duì)重金屬的吸收，微生物對(duì)重金屬的分 解，都使得山區(qū)土壤中重金屬含量偏低。4) 交通區(qū)工業(yè)區(qū)的土壤是受重金屬污染較嚴(yán)重的功能區(qū)，僅次于工業(yè)區(qū)。 Cu，Cd， Zn 和 Pb 的含量都相對(duì)較高。這是由于城市離不開(kāi)交通運(yùn)輸，汽車(chē)尾氣排放、輪胎添加劑中含有 大量的

16、Cu，Cd， Zn和 Pb。隨著交通的發(fā)展，汽車(chē)的普及化，這些重金屬對(duì)土壤的污染 會(huì)更加嚴(yán)重。5) 公園綠地區(qū)公園綠地區(qū)的土壤中重金屬濃度也比較低， 相對(duì)而言， Cu的能讀偏高。 從該城市功 能區(qū)分布圖 可看出公園綠地區(qū)周?chē)植贾恍┕S(chǎng)，工業(yè)污染擴(kuò)散，導(dǎo)致公園綠地區(qū)土 壤收到少量重金屬污染。整體來(lái)看5.3 問(wèn)題( 3)的建模與求解5.3.1 問(wèn)題分析重金屬污染物的傳播主要有以下途徑：1. 大氣中重金屬?gòu)U氣的沉降；2. 農(nóng)藥、化肥和塑料薄膜的使用；3. 污水灌溉，污泥堆肥；4. 含重金屬?gòu)U棄物得堆積；5. 金屬礦山酸性廢水的污染。從 25 可以看出重金屬污染的范圍基本以污染源為中心，在其周?chē)?/p>

17、布，在 1 中， 我們暫不考慮該城市的風(fēng)向以及風(fēng)速，還有污染源所處的海拔高度等因素，設(shè)排放的廢 棄自然擴(kuò)散，由于重金屬分子的相對(duì)分子質(zhì)量較大，故會(huì)較快沉降，在污染源周?chē)纬?污染，但范圍會(huì)相對(duì)大一些。由以上的傳播特性，我們可以看出，重金屬污染嚴(yán)重的地 區(qū)，在其附近定會(huì)存在污染源。由于線(xiàn)性綜合指標(biāo)往往是不能直接觀測(cè)到，但它能反映事物的本質(zhì)，故我們采用統(tǒng) 計(jì)學(xué)中的因子分析，將多個(gè)變量轉(zhuǎn)化為少數(shù)幾個(gè)線(xiàn)性不相關(guān)的綜合指標(biāo)，用較少的有代 表性的因子來(lái)說(shuō)明多個(gè)變量提取的主要信息。因此因子分析在成因、來(lái)源問(wèn)題分析上是 較有效的。我們通過(guò) SPSS對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行因子分析，對(duì)得到的因子用 MATLAB做等高線(xiàn)圖，得

18、到每 個(gè)因子和其對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的分布圖， 由以上分析的金屬傳播特性可知， 在最大污染程度附近， 可以找到其對(duì)應(yīng)的污染源。5.3.2 建模與求解設(shè)總體 x (X1,X2,.,Xp) ，其均值向量 E(x) 和協(xié)方差矩陣 V ( ij )p p都存在。 建立因子模型的一般形式X11a11F1 a12F2a1mFm1X22a21F1 a22F2a2mFm2X p p ap1F1 ap2F2apmFm p其中 m p，F(xiàn)1,F2,.,Fm為初始變量的公共因子， i為變量 Xi的特殊因子。下面通過(guò) SPSS 11.0 軟件對(duì)本問(wèn)題進(jìn)行因子分析：1)描述性統(tǒng)計(jì)輸出。下表所示的是關(guān)于 8個(gè)初始變量( As,Cd,

19、Cr,Cu,Hg,Ni,Pb,Zn )的 描述性統(tǒng)計(jì)量，包括均值、標(biāo)準(zhǔn)差和分析用到的取值個(gè)數(shù) (N) 。描述統(tǒng)計(jì)量均值標(biāo)準(zhǔn)差分析 NAs5.67653.02429319Cd302.3962224.98760319Cr53.509770.00179319Cu55.0167162.91510319Hg299.71131629.53978319Ni17.26189.94142319Pb61.740950.05776319Zn201.2026339.23254319初始變量的相關(guān)性檢驗(yàn)。如下表，可見(jiàn)， Cr 和 Ni 的相關(guān)性最大，為 0.716 ，其次是 Pb 和 Cd，相關(guān)系數(shù)為 0.660 ，且

20、上面兩組的 Sig 值很小，而其他元素之間的相關(guān)性并不是 很好。從成因上來(lái)分析，相關(guān)性好的元素可能在成因和來(lái)源上有一定的聯(lián)系。2)相關(guān)矩陣ascdcrcuhgni相關(guān) as1.000.255.189.160.064.317cd.2551.000.352.397.265.329cr.189.3521.000.532.103.716cu.160.397.5321.000.417.495hg.064.265.103.4171.000.103ni.317.329.716.495.1031.000pb.290.660.383.520.298.307zn.247.431.424.387.196.436Si

21、g. (單側(cè))as.000.000.002.126.000cd.000.000.000.000.000cr.000.000.000.033.000cu.002.000.000.000.000hg.126.000.033.000.033ni.000.000.000.000.033pb.000.000.000.000.000.000zn.000.000.000.000.000.0003）KMO檢驗(yàn)和 Bartlett 球形檢驗(yàn)。如下表所示， KMO檢驗(yàn)用于研究變量之間的偏相關(guān) 性，一般 KMO統(tǒng)計(jì)量大于 0.7 就可以接受，本題中得 KMO值為 0.778 ，可以接受。Bartlett 球形檢驗(yàn)統(tǒng)

22、計(jì)量的 Sig0.01 ，由此否定了相關(guān)矩陣為單位的零假設(shè)， 即認(rèn)為各變量之間 存在著顯著的相關(guān)性。KMO和 Bartlett 的檢驗(yàn)取樣足夠度的Kaiser-Meyer-Olkin 度量。.778Bartlett的球 形近似卡方905.711度檢驗(yàn)df28Sig.0003）變量的共同度。如下表所示，本題中 As的共同度為 0.993 ，表示 6 個(gè)公共因子能夠 解釋 As 的方差的 99.3%，其他變量共同度的解釋類(lèi)似。公因子方差初始提取as1.000.993cd1.000.938cr1.000.853cu1.000.930hg1.000.989ni1.000.882pb1.000.872z

23、n1.000.994提取方法：主成份分析。4）方差解釋表。 如下表所示， 前6 個(gè)公因子解釋的累計(jì)方差已將達(dá)到 93.156%，故而提 取這 6個(gè)公因子就能夠比較好的解釋原有 8 個(gè)變量所包含的信息了。解釋的總方差5）特征值碎石圖。下圖所示的是 初始特征值（也就是方差貢獻(xiàn)）的碎石圖。觀察發(fā)現(xiàn)， 第6個(gè)7）旋轉(zhuǎn)前后的因子載荷陣。旋轉(zhuǎn)成份矩陣成份123456ni.859.095.175.224.226.059cr.822.180.321.200.036-.006cd.189.907.089.177.114.165pb-.003.674.528.313.184.080cu.315.130.841.1

24、45.052.288zn.191.188.138.939.112.092as.095.102.048.093.981.020hg-.008.109.167.073.020.972提取方法 : 主成分分析法。旋轉(zhuǎn)法 : 具有 Kaiser 標(biāo)準(zhǔn)化的全體旋轉(zhuǎn)法 a. 旋轉(zhuǎn)在 7 次迭代后收斂。已知因子載荷是變量與公共因子的相關(guān)系數(shù)，對(duì)一個(gè)變量來(lái)說(shuō)，載荷絕對(duì)值較大的因子與它的關(guān)系更為密切，也更能代表這個(gè)變量。按照這一觀點(diǎn)，第 1 公因子更能代表Ni，Cr 濃度這兩個(gè)變量因素；第 2 公因子更能代表 Cd，Pb這兩個(gè)變量因素；第 3到第6 個(gè)公因子依次更合適代表 Cu， Zn，As， Hg的濃度。8）因子得