20中考數(shù)學專題- 圖形折疊問題（word版含解析）

1、模塊一 正方形的折疊問題1、如圖，將一張正方形紙片ABCD對折，使CD與AB重合，得到折痕MN后展開，E為CN上一點，將CDE沿DE所在的直線折疊，使得點C落在折痕MN上的點F處，連接AF，BF，BD.則下列結論中：ADF是等邊三角形；tanEBF23；SADF13S正方形ABCD；BF2DFEF.其中正確的是()A B C D【解析】四邊形ABCD是正方形，AB=CD=AD，C=BAD=ADC=90，ABD=ADB=45，由折疊性質：MN垂直平分AD，F(xiàn)D=CD，BN=CN，F(xiàn)DE=CDE，DFE=C=90，DEF=DEC，F(xiàn)D=FA，AD=FD=FA，即ADF是等邊三角形，正確；設AB=A

2、D=BC=4a，則MN=4a，BN=AM=2a，ADF是等邊三角形，DAF=AFD=ADF=60，F(xiàn)A=AD=4a，M=3AM=23a，F(xiàn)N=MN-FM=（4-23）a，tanEBF=FNBN=4-232=2-3，正確；ADF的面積=12ADFM=124a23a=43a2，正方形ABCD的面積=（4a）2=16a2，SADFS正方形ABCD=4316=34，錯誤；AF=AB，BAF=90-60=30，AFB=ABF=75，DBF=75-45=30，BFE=360-90-60-75=135=DFB，BEF=180-75-75=30=DBF，BEFDBF，BFDFEFBF，BF2=DFEF，正確；

3、故選B【小結】本題是相似形綜合題目，考查了正方形的性質、折疊的性質、線段垂直平分線的性質、等邊三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、三角函數(shù)等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形是等邊三角形和證明三角形相似是解決問題的關鍵2、如圖，已知正方形ABCD的邊長為3，E是BC上一點，BE=，Q是CD上一動點，將CEQ沿直線EQ折疊后，點C落在點P處，連接PA點Q從點C出發(fā)，沿線段CD向點D運動，當PA的長度最小時，CQ的長為（ ）ABCD3【解析】：如圖所示：在RtABE中，AE=BC=3，BE=，EC=3-由翻折的性質可知：PE=CE=3-AP+PEAE，APAE-PE當點A、P、E一

4、條直線上時，AP有最小值AP=AE-PE=2-（3-）=3-3故選A3、如圖，正方形的邊長是16，點在邊上，點是邊上不與點、重合的一個動點，把沿折疊，點落在處，若恰為等腰三角形，則的長為_.【分析】根據(jù)翻折的性質，可得BE的長，根據(jù)勾股定理可得CE的長，然后再根據(jù)等腰三角形的判定進行分情況討論【解析】需分三種情況討論：（1）若，則（易知此時點在上且不與點、重合）；（2）若，因為，所以點、在的垂直平分線上，則垂直平分，由折疊可知點與點重合，不符合題意，則這種情況不成立；（3）如圖，若，作與交于點，交于點.因為，所以.因為，所以，所以，則，因為.在中，由勾股定理求得，所以.在中，由勾股定理求得.綜

5、上，或.【小結】本題考查折疊性質和勾股定理，本題關鍵在于能夠對等腰三角形的情況進行分類討論4、如圖，將邊長為6的正方形紙片ABCD對折，使AB與DC重合，折痕為EF，展平后，再將點B折到邊CD上，使邊AB經過點E，折痕為GH，點B的對應點為M，點A的對應點為N（1）若CM=x，則CH=（用含x的代數(shù)式表示）；（2）求折痕GH的長 【解析】（1）CM=x，BC=6，設HC=y，則BH=HM=6y，故y2+x2=（6y）2，整理得：y=x2+3，HMC+MHC=90，EMD=MHC，EDMMCH，=，=，得：HC=x2+2x，答案：x2+3或x2+2x；（2）方法一：四邊形ABCD為正方形，B=C

6、=D=90，設CM=x，由題意可得：ED=3，DM=6x，EMH=B=90，故HMC+EMD=90，HMC+MHC=90，EMD=MHC，EDMMCH，=，即=，解得：x1=2，x2=6，當x=2時，CM=2，DM=4，在RtDEM中，由勾股定理得：EM=5，NE=MNEM=65=1，NEG=DEM，N=D，NEGDEM，=，=，解得：NG=，由翻折變換的性質，得AG=NG=，過點G作GPBC，垂足為P，則BP=AG=，GP=AB=6，當x=2時，CH=x2+3=，PH=BCHCBP=6=2，在RtGPH中，GH=2當x=6時，則CM=6，點H和點C重合，點G和點A重合，點M在點D處，點N在點

7、A處MN同樣經過點E，折痕GH的長就是AC的長所以，GH長為6方法二：有上面方法得出CM=2，連接BM，可得BMGH，則可得PGH=HBM，GPH和BCM中，GPHBCM（SAS），GH=BM，GH=BM=25、在正方形ABCD中，（1）如圖1，若點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，AE，BF交于點O，且AOF=90求證：AE=BF（2）如圖2，將正方形ABCD折疊，使頂點A與CD邊上的點M重合，折痕交AD于E，交BC于F，邊AB折疊后與BC邊交于點G若DC=5，CM=2，求EF的長 【解析】（1）如圖1，四邊形ABCD是正方形，AB=BC，ABE=BCF=90，AOF=90，BAE+OBA=90，

8、又FBC+OBA=90，BAE=CBF，在ABE和BCF中，ABEBCF（ASA）AE=BF（2）由折疊的性質得EFAM，過點F作FHAD于H，交AM于O，則ADM=FHE=90，HAO+AOH=90、HAO+AMD=90，POF=AOH=AMD，又EFAM，POF+OFP=90、HFE+FEH=90，POF=FEH，F(xiàn)EH=AMD，四邊形ABCD是正方形，AD=CD=FH=5，在ADM和FHE中，ADMFHE（AAS），EF=AM=6、如圖，已知E是正方形ABCD的邊AB上一點，點A關于DE的對稱點為F，BFC=90，求的值【解析】如圖，延長EF交CB于M，連接CM，四邊形ABCD是正方形，

9、AD=DC，A=BCD=90，將ADE沿直線DE對折得到DEF，DFE=DFM=90，在RtDFM與RtDCM中，RtDFMRtDCM，MF=MC，MFC=MCF，MFC+BFM=90，MCF+FBM=90，MFB=MBF，MB=MC，設MF=MC=BM=a，AE=EF=x，BE2+BM2=EM2，即（2ax）2+a2=（x+a）2，解得：x=a，AE=a，=37、在數(shù)學活動課中，小輝將邊長為和3的兩個正方形放置在直線l上，如圖1，他連結AD、CF，經測量發(fā)現(xiàn)AD=CF（1）他將正方形ODEF繞O點逆時針旋轉一定的角度，如圖2，試判斷AD與CF還相等嗎？說明你的理由；（2）他將正方形ODEF繞

10、O點逆時針旋轉，使點E旋轉至直線l上，如圖3，請你求出CF的長 【分析】（1）根據(jù)正方形的性質可得AO=CO，OD=OF，AOC=DOF=90，然后求出AOD=COF，再利用“邊角邊”證明AOD和COF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等即可得證；（2）與（1）同理求出CF=AD，連接DF交OE于G，根據(jù)正方形的對角線互相垂直平分可得DFOE，DG=OG=OE，再求出AG，然后利用勾股定理列式計算即可求出AD【解析】（1）AD=CF理由如下：在正方形ABCO和正方形ODEF中，AO=CO，OD=OF，AOC=DOF=90，AOC+COD=DOF+COD，即AOD=COF，在AOD和COF中，AODC

11、OF（SAS），AD=CF；（2）與（1）同理求出CF=AD，如圖，連DF交OE于G，則DFOE，DG=OG=OE，正方形ODEF的邊長為，OE=2，DG=OG=OE=2=1，AG=AO+OG=3+1=4，在RtADG中，AD=，CF=AD=點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，（1）熟練掌握正方形的四條邊都相等，四個角都是直角，對角線相等且互相垂直平分是解題的關鍵，（2）作輔助線構造出直角三角形是解題的關鍵8、在一個邊長為a（單位：cm）的正方形ABCD中，點E、M分別是線段AC，CD上的動點，連結DE并延長交正方形的邊于點F，過點M作MNDF于H，交AD于N

12、（1）如圖1，當點M與點C重合，求證：DF=MN；（2）如圖2，假設點M從點C出發(fā)，以1cm/s的速度沿CD向點D運動，點E同時從點A出發(fā)，以cm/s速度沿AC向點C運動，運動時間為t（t0）；判斷命題“當點F是邊AB中點時，則點M是邊CD的三等分點”的真假，并說明理由連結FM、FN，MNF能否為等腰三角形？若能，請寫出a，t之間的關系；若不能，請說明理由 【分析】（1）證明ADFDNC，即可得到DF=MN；（2）首先證明AFECDE，利用比例式求出時間t=a，進而得到CM=a=CD，所以該命題為真命題；若MNF為等腰三角形，則可能有三種情形，需要分類討論【解析】（1）證明：DNC+ADF=9

13、0，DNC+DCN=90，ADF=DCN在ADF與DNC中，ADFDNC（ASA），DF=MN（2）解：該命題是真命題理由如下：當點F是邊AB中點時，則AF=AB=CDABCD，AFECDE，=，AE=EC，則AE=AC=a，t=a則CM=1t=a=CD，點M為邊CD的三等分點能理由如下：易證AFECDE，=，即，得AF=易證MNDDFA，即，得ND=t ND=CM=t，AN=DM=a-t若MNF為等腰三角形，則可能有三種情形：（I）若FN=MN，則由AN=DM知FANNDM，AF=DM，即=t，得t=0，不合題意此種情形不存在；（II）若FN=FM，由MNDF，HN=HM，DN=DM=MC，

14、t=a，此時點F與點B重合；（III）若FM=MN，顯然此時點F在BC邊上，如下圖所示： 易得MFCNMD，F(xiàn)C=DM=a-t；又由NDMDCF，即，F(xiàn)C=a-t，t=a，此時點F與點C重合綜上所述，當t=a或t=a時，MNF能夠成為等腰三角形【小結】本題是運動型幾何綜合題，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命題證明等知識點解題要點是：（1）明確動點的運動過程；（2）明確運動過程中，各組成線段、三角形之間的關系；（3）運用分類討論的數(shù)學思想，避免漏解9、如圖所示，在正方形ABCD中，點G是邊BC上任意一點，DEAG，垂足為E，延長DE交AB于點F在線段AG上取點H，使得AG=D

15、E+HG，連接BH求證：ABH=CDE 證明：如圖，在正方形ABCD中，AB=AD，ABG=DAF=90，DEAG，2+EAD=90，又1+EAD=90，1=2，在ABG和DAF中，ABGDAF（ASA），AF=BG，AG=DF，AFD=BGA，AG=DE+HG，AG=DE+EF，EF=HG，在AEF和BHG中，AEFBHG（SAS），1=3，2=3，2+CDE=ADC=90，3+ABH=ABC=90，ABH=CDE10、如圖，在正方形ABCD中，點M是對角線BD上的一點，過點M作MECD交BC于點E，作MFBC交CD于點F求證：AM=EF 證明：過M點作MQAD，垂足為Q，作MP垂足AB，垂

16、足為P，四邊形ABCD是正方形，四邊形MFDQ和PBEM是正方形，四邊形APMQ是矩形，AP=QM=DF=MF，PM=PB=ME，在APM和FME中，APMFME（SAS），AM=EF專題二 矩形的折疊中的距離或線段長度問題【典例】在矩形紙片ABCD中，AB=3，AD=5. 如圖例1-1所示，折疊紙片，使點A落在BC邊上的A處，折痕為PQ，當點A在BC邊上移動時，折痕的端點P、Q也隨之移動. 若限定點P、Q分別在AB、AD邊上移動，則點A在BC邊上可移動的最大距離為 . 圖例1-1 圖例1-2 圖例1-3【解析】此題根據(jù)題目要求準確判斷出點A的最左端和最右端位置.當點Q與點D重合時，A的位置處

17、于最左端，當點P與點B重合時，點A的位置處于最右端. 根據(jù)分析結果，作出圖形，利用折疊性質分別求出兩種情況下的BA或CA的長度，二者之差即為所求.當點Q與點D重合時，A的位置處于最左端，如圖例1-2所示.確定點A的位置方法：因為在折疊過程中，AQ=AQ，所以以點Q為圓心，以AQ長為半徑畫弧，與BC的交點即為點A. 再作出AQA的角平分線，與AB的交點即為點P. 由折疊性質可知，AD= AD=5，在RtACD中，由勾股定理得，當點P與點B重合時，點A的位置處于最右端，如圖例1-3所示.確定點A的位置方法：因為在折疊過程中，AP=AP，所以以點P為圓心，以AP長為半徑畫弧，與BC的交點即為點A.

18、再作出APA的角平分線，與AD的交點即為點Q. 由折疊性質可知，AB= AB=3，所以四邊形AB AQ為正方形. 所以AC=BCAB=53=2.綜上所述，點A移動的最大距離為42=2.故答案為：2.【小結】此類問題難度較大，主要考察學生的分析能力，作圖能力。作圖的依據(jù)是折疊前后線段長度不變，據(jù)此先找到點A的落點A，再根據(jù)對稱軸（折痕）是對應點連線的垂直平分線，確定出折痕PQ的位置. 利用勾股定理、正方形的判定定理及其性質求得相應的線段長度. 1、如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P為邊AD上一動點，連接BP，把ABP沿BP折疊，使A落在A處，當ADC為等腰三角形時，AP的長為（ ）A

19、2BC2或D2或【分析】根據(jù)ADC為等腰三角形，分三種情況進行討論：AD=AC，AD=DC，CA=CD，分別求得AP的長，并判斷是否符合題意【解析】如圖，當AD=AC時，過A作EFAD，交DC于E，交AB于F，則EF垂直平分CD，EF垂直平分ABAA=AB，由折疊得，AB=AB，ABP=ABP，ABA是等邊三角形，ABP=30，AP=；如圖，當AD=DC時，AD=2由折疊得，AB=AB=2，AB+AD=2+2=4連接BD，則RtABD中，BD= ，AB+ADBD（不合題意）故這種情況不存在；如圖，當CD=CA時，CA=2由折疊得，AB=AB=2，AB+AC=2+2=4，點A落在BC上的中點處此

20、時，ABP=ABA=45，AP=AB=2綜上所述，當ADC為等腰三角形時，AP的長為或2故選C.【小結】本題以折疊問題為背景，主要考查了等腰三角形的性質，解決問題的關鍵是畫出圖形進行分類討論，分類時注意不能重復，不能遺漏2、矩形ABCD中，AB3，BC4，點E是BC邊上一點，連接AE，把B沿AE折疊，使點B落在點B處，當CEB為直角三角形時，BE的長為( )A3BC2或3D3或【分析】當CEB為直角三角形時，有兩種情況：當點B落在矩形內部時，如圖1所示連結AC，先利用勾股定理計算出AC=5，根據(jù)折疊的性質得ABE=B=90，而當CEB為直角三角形時，只能得到EBC=90，所以點A、B、C共線，

21、即B沿AE折疊，使點B落在對角線AC上的點B處，則EB=EB，AB=AB=3，可計算出CB=2，設BE=x，則EB=x，CE=4-x，然后在RtCEB中運用勾股定理可計算出x當點B落在AD邊上時，如圖2所示此時ABEB為正方形【解析】當CEB為直角三角形時，有兩種情況：當點B落在矩形內部時，如圖1所示連結AC，在RtABC中，AB=3，BC=4，AC=5，B沿AE折疊，使點B落在點B處，ABE=B=90，當CEB為直角三角形時，只能得到EBC=90，點A、B、C共線，即B沿AE折疊，使點B落在AC上的點B處，EB=EB，AB=AB=3，CB=5-3=2，設BE=x，則EB=x，CE=4-x，在

22、RtCEB中，EB2+CB2=CE2，x2+22=（4-x）2，解得x=，BE=；當點B落在AD邊上時，如圖2所示此時ABEB為正方形，BE=AB=3綜上所述，BE的長為或3故選D【小結】本題考查了折疊問題：折疊前后兩圖形全等，即對應線段相等；對應角相等也考查了矩形的性質以及勾股定理注意本題有兩種情況，需要分類討論，避免漏解3、如圖，在矩形ABCD中，AB3，BC3，將ABC沿對角線AC折疊，點B恰好落在點P處，CP與AD交于點F，連接BP交AC于點G，交AD于點E，下列結論不正確的是()APGCG=13BPBC是等邊三角形CAC2APDSBGC3SAGP【分析】如圖，首先運用勾股定理求出AC

23、的長度，進而求出ACB30，此為解決該題的關鍵性結論；運用翻折變換的性質證明BCP為等邊三角形；運用射影定理求出線段CG、AG之間的數(shù)量關系，進而證明選項A、B、C成立，選項A不成立.【解析】如圖，四邊形ABCD為矩形，ABC90；由勾股定理得：AC2AB2+BC2，而AB3，BC3，AC23，AB12AC，ACB30；由翻折變換的性質得：BPAC，ACBACP30，BCPC，ABAP，BGPG，GC3BG3PG，BCP60，AC2AP，BCP為等邊三角形，故選項B、C成立，選項A不成立；由射影定理得：BG2CGAG，AG33BG，CG3AG，SBCG3SABG；由題意得：SABGSAGP，S

24、BGC3SAGP，故選項D正確；故選：A【小結】考查了翻折變換的性質、矩形的性質、射影定理、三角形的面積公式等幾何知識點及其應用問題；解題的關鍵是靈活運用矩形的性質、射影定理等幾何知識點來分析、判斷、推理或解答；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求4、如圖，矩形紙片，點在邊上，將沿折疊，點落在點處，分別交于點，且，則的值為_【分析】由矩形的性質和已知條件，可判定,設，根據(jù)全等三角形的性質及矩形的性質可用含x的式子表示出DF和AF的長，在根據(jù)勾股定理可求出x的值，即可確定AF的值.【解析】四邊形ABCD是矩形, , 是由沿折疊而來的，, ,，又 ，（AAS）， 設,則 ，在中，根據(jù)勾股

25、定理得： ,即解得 故答案為：【小結】本題考查了求多邊形中的線段長，主要涉及的知識點有矩形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，數(shù)學的方程思想，用同一個字母表示出直角三角形中的三邊長是解題的關鍵.5、如圖，在矩形ABCD中， AB=3，BC=2，點E為線段AB上的動點，將CBE沿 CE折疊，使點B落在矩形內點F處，則AF的最小值為_【分析】通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，當AFE=90時 ，AF最?。蝗缓笤OBE=x，則：EF=x，AE=3-x，然后多次使用勾股定理即可解答；【解析】設BE=x，則：EF=x，AE=3-x在RtABC中，由勾股定理得：AC= 在RtEBC中，由勾股定理得:EC= 由折疊可知

26、CF=CB=2，所以：AF=AC-CF=-2，故答案為：-2.【小結】本題考查幾何圖形中的最值問題，其中找到出現(xiàn)最值的位置和運用勾股定理解題是關鍵.6、如圖，在矩形ABCD中，AB6，AD2，E是AB邊上一點，AE2，F(xiàn)是直線CD上一動點，將AEF沿直線EF折疊，點A的對應點為點A，當點E，A，C三點在一條直線上時，DF的長為_【分析】利用勾股定理求出CE，再證明CF=CE即可解決問題（注意有兩種情形）【解析】如圖，由翻折可知，F(xiàn)EAFEA，CDAB，CFEAEF，CFECEF，CECF，在RtBCE中，EC ，CFCE2，ABCD6，DFCDCF62，當點F在DC的延長線上時，易知EFEF，

27、CFCF2，DFCD+CF6+2，故答案為62或6+2【小結】本題考查翻折變換、矩形的性質、勾股定理等知識，本題的突破點是證明CFE的等腰三角形，屬于中考?？碱}型7、如圖，矩形OABC中，OA=4，AB=3，點D在邊BC上，且CD=3DB，點E是邊OA上一點，連接DE，將四邊形ABDE沿DE折疊，若點A的對稱點A恰好落在邊OC上，則OE的長為_.【解析】連接AD，AD，四邊形OABC是矩形，BC=OA=4，OC=AB=3，C=B=O=90，CD=3DB，CD=3，BD=1，CD=AB，將四邊形ABDE沿DE折疊，若點A的對稱點A恰好落在邊OC上，AD=AD，AE=AE，在RtACD與RtDBA

28、中，RtACDRtDBA（HL），AC=BD=1，AO=2，AO2+OE2=AE2，22+OE2=（4OE）2，OE=，【小結】本題關鍵詞：“對應點的連線段被折痕垂直平分”，“全等相似”，“十字架”，“勾股定理解方程”8、如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點E為BC的中點，將ABE沿AE折疊，使點B落在矩形內點F處，連接CF，則CF的長為【解析】連接BF，BC=6，點E為BC的中點，BE=3，又AB=4，AE=5，BH=，則BF=，F(xiàn)E=BE=EC，BFC=90，根據(jù)勾股定理得，CF=故答案為：9、如圖，已知E為長方形紙片ABCD的邊CD上一點，將紙片沿AE對折，點D的對應點D恰好在

29、線段BE上若AD=3，DE=1，則AB=5【解析】折疊，ADEADE，AD=AD=3，DE=DE=1，DEA=DEA，四邊形ABCD是矩形，ABCD，DEA=EAB，EAB=AEB，AB=BE，DB=BEDE=AB1，在RtABD中，AB2=DA2+DB2，AB2=9+（AB1）2，AB=5，故答案為：510、如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=10，點N為邊BC的中點，點M為AB邊上任意一點，連接MN，把BMN沿MN折疊，使點B落在點E處，若點E恰在矩形ABCD的對稱軸上，則BM的長為5或【解析】當E在矩形的對稱軸直線PN上時，如圖1此時MEN=B=90，ENB=90，四邊形BMEN是矩形

30、又ME=MB，四邊形BMEN是正方形BM=BN=5當E在矩形的對稱軸直線FG上時，如圖2，過N點作NHFG于H點，則NH=4根據(jù)折疊的對稱性可知EN=BN=5，在RtENH中，利用勾股定理求得EH=3FE=53=2設BM=x，則EM=x，F(xiàn)M=4x，在RtFEM中，ME2=FE2+FM2，即x2=4+（4x）2，解得x=，即BM=故答案為5或11、如圖，矩形ABCD中，AD=4，O是BC邊上的點，以OC為半徑作O交AB于點E，BE=AE，把四邊形AECD沿著CE所在的直線對折（線段AD對應AD），當O與AD相切時，線段AB的長是【解析】設O與AD相切于點F，連接OF，OE，則OFAD，OC=O

31、E，OCE=OEC，四邊形ABCD是矩形，A=B=A=90，由折疊的性質得：AEC=AEC，B+BCE=AEO+OEC，OEA=B=90，OE=OF，四邊形AFOE是正方形，AE=AE=OE=OC，BE=AE，設BE=3x，AE=5x，OE=OC=5x，BC=AD=4，OB=45x，在RtBOE中，OE2=BE2+OB2，（5x）2=（3x）2+（45x）2，解得：x=，x=4（舍去），AB=8x=故答案為：12、如圖，矩形ABCD中，AB=2BC，E是AB上一點，O是CD上一點，以OC為半徑作O，將ADE折疊至ADE，點A在O上，延長EA交BC延長線于F，且恰好過點O，過點D作O的切線交BC

32、延長線于點G若FG=1，則AD=2，O半徑=【解析】作OHDG于H，如圖，設DA=x，則AB=2x，ADE折疊至ADE，DA=DA=x，DAE=A=90，DA與O相切，在ODA和OCF中，DOAFOCDA=CF=x，DG是O的切線，OHDG，H點為切點，DH=DA=x，GH=GC=CF+GF=x+1，在RtDCG中，DC2+CG2=DG2，（2x）2+（x+1）2=（x+x+1）2，解得x1=0（舍去），x2=2，AD=2，設O的半徑為r，則OC=OA=r，OD=2xr=4r，在RtDOA中，DA2+OA2=DO2，22+r2=（4r）2，解得r=，即O的半徑為故答案為2，13、在長方形紙片A

33、BCD中，點E是邊CD上的一點，將AED沿AE所在的直線折疊，使點D落在點F處（1）如圖1，若點F落在對角線AC上，且BAC=54，則DAE的度數(shù)為18（2）如圖2，若點F落在邊BC上，且AB=6，AD=10，求CE的長（3）如圖3，若點E是CD的中點，AF的沿長線交BC于點G，且AB=6，AD=10，求CG的長 【解析】（1）四邊形ABCD是矩形，BAD=90，BAC=54，DAC=9054=36，由折疊的性質得：DAE=FAE，DAE=DAC=18；故答案為：18；（2）四邊形ABCD是矩形，B=C=90，BC=AD=10，CD=AB=6，由折疊性質：AF=AD=10，EF=ED，BF=8

34、，CF=BCBF=108=2，設CE=x，則EF=ED=6x，在RtCEF中，由勾股定理得：22+x2=（6x）2，解得：x=，即CE的長為；（3）連接EG，如圖3所示：點E是CD的中點，DE=CE，由折疊的性質得：AF=AD=10，AFE=D=90，F(xiàn)E=DE，EFG=90=C，在RtCEG和FEG中，RtCEGFEG（HL），CG=FG，設CG=FG=y，則AG=AF+FG=10+y，BG=BCCG=10y，在RtABG中，由勾股定理得：62+（10y）2=（10+y）2，解得：y=，即CG的長為模塊三 矩形折疊問題中的類比問題【典例】如圖例2-1，矩形ABCD中，E是AD的中點，將ABE

35、沿BE折疊后得到GBE，且點G在矩形ABCD內部小明將BG延長交DC于點F，認為GF=DF，你同意嗎？說明理由（2）問題解決：保持（1）中的條件不變，若DC=2DF，求的值；（3）類比探求：保持（1）中條件不變，若DC=nDF，求的值AEDBCFG 圖例2-1 圖例2-2【解析】（1）同意，理由如下：如圖例2-2，連接EF ，E是AD的中點，AE=ED由折疊及矩形性質得：AE=EG，EGF=D=90，所以，EG=DE在RtEFG和RtEFD中，EF=EF EG=DE，RtEFGRtEFD （HL），DF=FG（2）根據(jù)DC=2DF，設DF=FC=x，AE=ED=y ，由折疊性質及（1）知BF=

36、BG+GF=AB+GF=3x在RtBCF中，由勾股定理得：BF2=BC2+CF2 ，(3x)2=(2y)2+x2 ，即：，（3）設AE=ED=y，DF=x，根據(jù)DC=nDF，得CD=nx，F(xiàn)C=(n1)x；由折疊性質及矩形性質知：BF=BG+GF=AB+GF=(n+1)x在RtBCF中，由勾股定理得：BF2=BC2+CF2(n+1)x2=(2y)2+(n-1)x2 ，即：，1、如圖，矩形紙片ABCD，AB=4，BC=3，點P在BC邊上，將CDP沿DP折疊，點C落在點E處，PE、DE分別交AB于點O、F，且OP=OF，則的值為 ABCD【分析】根據(jù)折疊的性質可得出DC=DE、CP=EP，由EOF

37、=BOP、B=E、OP=OF可得出OEFOBP（AAS），根據(jù)全等三角形的性質可得出OE=OB、EF=BP，設EF=x，則BP=x、DF=4x、BF=PC=3x，進而可得出AF=1+x在RtDAF中，利用勾股定理可求出x的值，即可得出答案【解析】根據(jù)折疊，可知：DCPDEP，DC=DE=4，CP=EP在OEF和OBP中，OEFOBP（AAS），OE=OB，EF=BP設EF=x，則BP=x，DF=DEEF=4x又BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BCBP=3x，AF=ABBF=1+x在RtDAF中，AF2+AD2=DF2，即（1+x）2+32=（4x）2，解得：x=0.6，DF=4

38、x=3.4，故選C【小結】本題考查了全等三角形的判定與性質、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理結合AF=1+x，求出AF的長度是解題的關鍵2、如圖，以矩形ABOD的兩邊OD、OB為坐標軸建立直角坐標系，若E是AD的中點，將ABE沿BE折疊后得到GBE，延長BG交OD于F點若OF1，F(xiàn)D2，則G點的坐標為 【分析】連結EF，作GHx軸于H，根據(jù)矩形的性質得AB=OD=OF+FD=3，再根據(jù)折疊的性質得BA=BG=3，EA=EG，BGE=A=90，而AE=DE，則GE=DE，于是可根據(jù)“HL”證明RtDEFRtGEF，得到FD=FG=2，則BF=BG+GF=5在RtOBF中，利用勾股定理計算出

39、OB，然后根據(jù)FGHFBO，利用相似比計算出GH和FH，根據(jù)OH=OFHF，即可得到G點的坐標【解析】連結EF，作GHx軸于H，如圖，四邊形ABOD為矩形，AB=OD=OF+FD=1+2=3ABE沿BE折疊后得到GBE，BA=BG=3，EA=EG，BGE=A=90點E為AD的中點，AE=DE，GE=DE在RtDEF和RtGEF中，RtDEFRtGEF（HL），F(xiàn)D=FG=2BF=BG+GF=3+2=5在RtOBF中，OF=1，BF=5，OBGHOB，F(xiàn)GHFBO，即，GH，F(xiàn)H，OH=OFHF=1，G點坐標為（）【小結】本題考查了折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀

40、和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等也考查了坐標與圖形的性質和相似三角形的判定與性質3、如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點E是邊AB上一點，且AE=2EB，點P是邊BC上一點，連接EP，過點P作PQPE交射線CD于點Q若點C關于直線PQ的對稱點正好落在邊AD上，求BP的值【解析】過點P作PEAD于點E，PEC=90矩形ABCD中，AB=3，BC=4，EAB=B=C=QDC=90，CD=AB=3，四邊形CPED是矩形，DE=PC，PE=CD=3AE=2EB，AE=2，EB=1設BP=x，則DE=PC=4x點C與C關于直線PQ對稱，PCQPCQ，PC=PC=4x，CQ=CQ，PCQ

41、=C=90PEPQ，BPE+CPQ=90又BEP+BPE=90，BEP=CPQ，BEPCPQ，同理可證：PECCDQ，CQ=x（4x）CQ=x（4x），DQ=3x（4x）=x24x+3，CD=3x，EC=EC+CD=DE，解得：x1=1，x2=BP的值為1或4、已知一個矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標系中，點A （11，0），點B（0，6），點P為BC邊上的動點（點P不與點B、C重合），經過點O、P折疊該紙片，得點B和折痕OP設BP=t（1）如圖，當BOP=30時，求點P的坐標；（2）如圖，經過點P再次折疊紙片，使點C落在直線PB上，得點C和折痕PQ，若AQ=m，求m（用含有t的式

42、子表示）；（3）在（2）的條件下，當點C恰好落在邊OA上時，求點P的坐標（直接寫出結果）【解析】（1）根據(jù)題意，OBP=90，OB=6，在RtOBP中，由BOP=30，BP=t，得OP=2tOP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=2，t2=2（舍去）點P的坐標為（2，6）；（2）OBP、QCP分別是由OBP、QCP折疊得到的，OBPOBP，QCPQCP，OPB=OPB，QPC=QPC，OPB+OPB+QPC+QPC=180，OPB+QPC=90，BOP+OPB=90，BOP=CPQ，又OBP=C=90，OBPPCQ，=，由題意設BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，則

43、PC=11t，CQ=6m=，m=t2t+6（0t11）；（3）過點P作PEOA于E，如圖3，PEA=QAC=90，PCE+EPC=90，PCE+QCA=90，EPC=QCA，PCECQA，=，在PCE和OCB中，PCEOCB（AAS），PC=OC=PC，BP=AC，AC=PB=t，PE=OB=6，AQ=m，EC=112t，=，m=t2t+6，3t222t+36=0，解得：t1=，t2=故點P的坐標為（ ，6）或（ ，6）5、如圖，在矩形ABCD中，AB=6，點E在邊AD上且AE=4，點F是邊BC上的一個動點，將四邊形ABFE沿EF翻折，A、B的對應點A1、B1與點C在同一直線上，A1B1與邊A

44、D交于點G，如果DG=3，那么BF的長為【解析】CDGAEG，AE=4AG=2，BG=4由勾股定理可知CG=則CB=由CDGCFB設BF=x，解得x=故答案為6、如圖，已知E是正方形ABCD的邊AB上一點，點A關于DE的對稱點為F，BFC=90，求的值【解析】如圖，延長EF交CB于M，連接CM，四邊形ABCD是正方形，AD=DC，A=BCD=90，將ADE沿直線DE對折得到DEF，DFE=DFM=90，在RtDFM與RtDCM中，RtDFMRtDCM，MF=MC，MFC=MCF，MFC+BFM=90，MCF+FBM=90，MFB=MBF，MB=MC，設MF=MC=BM=a，AE=EF=x，BE

45、2+BM2=EM2，即（2ax）2+a2=（x+a）2，解得：x=a，AE=a，=37、（1）如圖1，將矩形ABCD折疊，使BC落在對角線BD上，折痕為BE，點C落在點C處，若ADB=46，則DBE的度數(shù)為（2）小明手中有一張矩形紙片ABCD，AB=4，AD=9【畫一畫】如圖2，點E在這張矩形紙片的邊AD上，將紙片折疊，使AB落在CE所在直線上，折痕設為MN（點M，N分別在邊AD，BC上），利用直尺和圓規(guī)畫出折痕MN（不寫作法，保留作圖痕跡，并用黑色水筆把線段描清楚）；【算一算】如圖3，點F在這張矩形紙片的邊BC上，將紙片折疊，使FB落在射線FD上，折痕為GF，點A，B分別落在點A，B處，若A

46、G=，求BD的長；【驗一驗】如圖4，點K在這張矩形紙片的邊AD上，DK=3，將紙片折疊，使AB落在CK所在直線上，折痕為HI，點A，B分別落在點A，B處，小明認為BI所在直線恰好經過點D，他的判斷是否正確，請說明理由【解析】（1）如圖1中，四邊形ABCD是矩形，ADBC，ADB=DBC=46，由翻折不變性可知，DBE=EBC=DBC=23，故答案為23（2）【畫一畫】，如圖2中，【算一算】如圖3中，AG=，AD=9，GD=9=，四邊形ABCD是矩形，ADBC，DGF=BFG，由翻折不變性可知，BFG=DFG，DFG=DGF，DF=DG=，CD=AB=4，C=90，在RtCDF中，CF=，BF=

47、BCCF=，由翻折不變性可知，F(xiàn)B=FB=，DB=DFFB=3【驗一驗】如圖4中，小明的判斷不正確理由：連接ID，在RtCDK中，DK=3，CD=4，CK=5，ADBC，DKC=ICK，由折疊可知，ABI=B=90，IBC=90=D，CDKIBC，=，即=，設CB=3k，IB=4k，IC=5k，由折疊可知，IB=IB=4k，BC=BI+IC=4k+5k=9，k=1，IC=5，IB=4，BC=3，在RtICB中，tanBIC=，連ID，RtICD中，tanDIC=，tanBICtanDIC，BI所在直線不經點D模塊四 圖形折疊中的直角三角形存在性問題【典例1】如圖例3-1，在RtABC中，ACB

48、=90，B=30，BC=3，點D是BC邊上一動點（不與點B、C重合），過點D作DEBC交AB邊于點E，將B沿直線DE翻折，點B落在射線BC上的點F處，當AEF為直角三角形時，BD的長為 圖例3-1 圖例3-2圖例3-3【解析】從題目所給的“當AEF為直角三角形時”條件出發(fā)，以直角頂點所在位置進行分類討論. 通過觀察及分析可知BED=DEF=60，所以AEF=180120=60. 即點E不可能為直角頂點. 分兩種情況考慮：當EAF=90時，如圖例3-2所示.B=30，BC=3，EAF=90AFC=60，CAF=30在RtACF中，有：，由折疊性質可得：B=DFE=30，當AFE=90時，如圖例3

49、-3所示.由折疊性質得：B=DFE=30，AFC=60，F(xiàn)AC=30，所以，BF=2，綜上所述，BD的長為2或1.【小結】本題難度適中，要求學生具備分類討論思想及數(shù)形結合解決問題的能力，另外還需要熟練運用勾股定理及相似三角形知識. 通過此題，可總結出：遇到直角三角形存在性問題時，分類討論的出發(fā)點在于直角頂點的位置；解決直角三角形存在性問題的方法是數(shù)形結合，先作出符合題意的圖形，再用勾股定理或相似三角形、三角函數(shù)性質解題. 【典例2】如圖例4-1，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點E是BC邊上一點，連接AE，把B沿AE折疊，使點B落在點B處當CEB為直角三角形時，BE的長為 圖例4-1 圖例4-2 圖例4-3【解析】此題以“當CEB為直角三角形時”為突破口，分析可能是直角頂點的點，得出存在兩種情況，即點B及點E分別為直角頂點.分兩種情況考慮：當CEB=90時，如圖例4-2所示.由折疊性質得：AB=AB，四邊形ABE B是矩形.所以四邊形ABE B是正方形.此時，BE=AB=3.當CBE=90時，如圖例4-3所示.由折疊性質知，A