高考數(shù)學 考前3個月知識方法專題訓練 第一部分 知識方法篇 專題7 解析幾何 第30練 與拋物線有關的熱點問題 文(2021年最新整理)

1、（通用版）2017屆高考數(shù)學 考前3個月知識方法專題訓練 第一部分 知識方法篇 專題7 解析幾何 第30練 與拋物線有關的熱點問題 文（通用版）2017屆高考數(shù)學 考前3個月知識方法專題訓練 第一部分 知識方法篇 專題7 解析幾何 第30練 與拋物線有關的熱點問題 文 編輯整理：尊敬的讀者朋友們：這里是精品文檔編輯中心，本文檔內容是由我和我的同事精心編輯整理后發(fā)布的，發(fā)布之前我們對文中內容進行仔細校對，但是難免會有疏漏的地方，但是任然希望（通用版）2017屆高考數(shù)學 考前3個月知識方法專題訓練 第一部分 知識方法篇 專題7 解析幾何 第30練 與拋物線有關的熱點問題 文）的內容能夠給您的工作和

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3、與拋物線y24x相交于a,b兩點，與圓(x5）2y2r2（r0)相切于點m,且m為線段ab的中點，若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是（)a(1，3） b(1，4)c（2，3) d(2，4）答案d解析設a(x1，y1），b（x2，y2),m（x0,y0），則相減得(y1y2）(y1y2)4（x1x2），當直線l的斜率不存在時，符合條件的直線l必有兩條；當直線l的斜率k存在時，如圖x1x2,則有2，即y0k2,由cmab得，k1，y0k5x0，25x0，x03，即m必在直線x3上，將x3代入y24x,得y212，2y02,點m在圓上，(x05)2yr2，r2y412416，又y44,4r21

4、6，2r4.故選d.2（2015浙江)如圖，設拋物線y24x的焦點為f，不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點a，b，c,其中點a，b在拋物線上，點c在y軸上，則bcf與acf的面積之比是()a。b.c.d。答案a解析由圖形可知，bcf與acf有公共的頂點f,且a，b，c三點共線，易知bcf與acf的面積之比就等于。由拋物線方程知焦點f（1，0)，作準線l，則l的方程為x1。點a，b在拋物線上,過a，b分別作ak，bh與準線垂直,垂足分別為點k，h，且與y軸分別交于點n，m.由拋物線定義，得|bm|bf|1，an|af|1.在can中，bman，.3（2016四川）設o為坐標原點，p是以f為焦點的拋

5、物線y22px(p0）上任意一點，m是線段pf上的點，且pm2|mf|,則直線om的斜率的最大值為（)a. b. c。 d1答案c解析如圖,由題意可知f，設p點坐標為，顯然，當y00時，kom0時，kom0,要求kom的最大值,不妨設y00.則()，kom，當且僅當y2p2時等號成立故選c.4（2016課標全國乙)以拋物線c的頂點為圓心的圓交c于a，b兩點,交c的準線于d，e兩點已知|ab|4，de2，則c的焦點到準線的距離為（）a2 b4c6 d8答案b解析不妨設拋物線c：y22px(p0),則圓的方程可設為x2y2r2(r0)，如圖,又可設a（x0，2），d，點a（x0,2）在拋物線y22

6、px上，82px0，點a（x0,2)在圓x2y2r2上，x8r2，點d在圓x2y2r2上，25r2，聯(lián)立，解得p4，即c的焦點到準線的距離為p4,故選b。5(2015上海）拋物線y22px（p0）上的動點q到焦點的距離的最小值為1，則p_.答案2解析根據(jù)拋物線的性質,我們知道當且僅當動點q運動到原點的時候，才與拋物線焦點的距離最小，所以有pq|min1p2.高考必會題型題型一拋物線的定義及其應用例1已知p為拋物線y26x上一點，點p到直線l:3x4y260的距離為d1.(1)求d1的最小值,并求此時點p的坐標；（2)若點p到拋物線的準線的距離為d2,求d1d2的最小值解(1）設p（,y0)，則

7、d1(y04）236，當y04時,（d1)min,此時x0，當p點坐標為(,4)時，（d1)min。(2）設拋物線的焦點為f，則f（，0),且d2pf|,d1d2d1|pf|，它的最小值為點f到直線l的距離，(d1d2）min.點評與拋物線有關的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關由于拋物線的定義在運用上有較大的靈活性，因此此類問題也有一定的難度“看到準線想焦點,看到焦點想準線”,這是解決拋物線焦點弦有關問題的重要途徑變式訓練1(1)(2016浙江）若拋物線y24x上的點m到焦點的距離為10，則點m到y(tǒng)軸的距離是_(2)已知點p在拋物線y24x上,那么點p到q(2，1)的距離與點p到拋物線

8、焦點距離之和取得最小值時，點p的坐標為（)a（,1） b(，1)c(1，2） d（1,2）答案（1)9（2)b解析（1）拋物線y24x的焦點f（1，0）準線為x1，由m到焦點的距離為10，可知m到準線x1的距離也為10，故m的橫坐標滿足xm110,解得xm9,所以點m到y(tǒng)軸的距離為9.（2）拋物線y24x焦點為f(1,0)，準線為x1，作pq垂直于準線，垂足為m，根據(jù)拋物線定義，|pq|pf|pqpm，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊,直角三角形斜邊大于直角邊知：pq|pm的最小值是點q到拋物線準線x1的距離所以點p縱坐標為1，則橫坐標為,即（，1）題型二拋物線的標準方程及幾何性質例2（2015福

9、建)已知點f為拋物線e：y22px(p0)的焦點，點a（2，m）在拋物線e上，且af|3.（1)求拋物線e的方程；(2)已知點g(1,0)，延長af交拋物線e于點b,證明：以點f為圓心且與直線ga相切的圓，必與直線gb相切方法一(1)解由拋物線的定義得|af2.因為|af|3，即23，解得p2，所以拋物線e的方程為y24x。(2）證明因為點a（2,m)在拋物線e：y24x上，所以m2，由拋物線的對稱性，不妨設a（2，2）由a（2,2），f(1，0)可得直線af的方程為y2（x1）由得2x25x20，解得x2或x，從而b。又g（1,0），所以kga，kgb。所以kgakgb0，從而agfbgf，

10、這表明點f到直線ga，gb的距離相等,故以f為圓心且與直線ga相切的圓必與直線gb相切方法二（1）解同方法一（2）證明設以點f為圓心且與直線ga相切的圓的半徑為r。因為點a(2，m）在拋物線e：y24x上,所以m2，由拋物線的對稱性，不妨設a(2，2)由a（2，2），f（1,0）可得直線af的方程為y2(x1)由得2x25x20。解得x2或x,從而b。又g（1,0），故直線ga的方程為2x3y20。從而r.又直線gb的方程為2x3y20.所以點f到直線gb的距離dr.這表明以點f為圓心且與直線ga相切的圓必與直線gb相切點評（1）由拋物線的標準方程，可以首先確定拋物線的開口方向、焦點的位置及p

11、的值，再進一步確定拋物線的焦點坐標和準線方程（2)求拋物線標準方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關鍵是判斷焦點位置、開口方向,在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標準方程只有一個參數(shù)p，只需一個條件就可以確定拋物線的標準方程變式訓練2已知拋物線c的頂點在坐標原點o，其圖象關于y軸對稱且經(jīng)過點m(2,1）（1)求拋物線c的方程；（2)若一個等邊三角形的一個頂點位于坐標原點，另兩個頂點在拋物線上，求該等邊三角形的面積;（3）過點m作拋物線c的兩條弦ma，mb，設ma，mb所在直線的斜率分別為k1，k2，當k1k22時，試證明直線ab的斜率為定值，并求出該定值解（1）設拋物線c的方程為x22py（p0），

12、由點m（2,1）在拋物線c上,得42p,則p2，拋物線c的方程為x24y.（2)設該等邊三角形opq的頂點p，q在拋物線上，且p（xp，yp),q(xq，yq)，則x4yp，x4yq，由|op|oq|，得xyxy，即(ypyq)（ypyq4)0.又yp0，yq0，則ypyq,|xp|xq|，即線段pq關于y軸對稱poy30，ypxp，代入x4yp,得xp4，該等邊三角形邊長為8，spoq48。(3）設a（x1,y1），b(x2,y2）,則x4y1，x4y2，k1k2(x12x22）2.x1x212,kab(x1x2)3。題型三直線和拋物線的位置關系例3已知拋物線c：ymx2（m0)，焦點為f，

13、直線2xy20交拋物線c于a,b兩點，p是線段ab的中點，過p作x軸的垂線交拋物線c于點q。（1）求拋物線c的焦點坐標；(2）若拋物線c上有一點r（xr，2）到焦點f的距離為3，求此時m的值；(3）是否存在實數(shù)m，使abq是以q為直角頂點的直角三角形?若存在，求出m的值；若不存在，說明理由解（1）拋物線c：x2y,它的焦點f(0，）（2)|rfyr,23，得m.（3)存在，聯(lián)立方程消去y得mx22x20,依題意，有（2)24m（2）0m。設a（x1,mx），b(x2，mx），則(*）p是線段ab的中點,p(，）,即p(，yp)，q（，）得(x1，mx）,（x2，mx)，若存在實數(shù)m,使abq是

14、以q為直角頂點的直角三角形，則0，即(x1)(x2)（mx)（mx)0，結合(）化簡得40，即2m23m20，m2或m，而2（,），（,）存在實數(shù)m2，使abq是以q為直角頂點的直角三角形點評（1)直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數(shù)的關系；（2）有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點,可直接使用公式|abx1x2p,若不過焦點,則必須用一般弦長公式(3）涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關問題時，一般利用根與系數(shù)的關系采用“設而不求“整體代入”等解法提醒：涉及弦的中點、斜率時一般用“點差法”求解變式訓練3（2015課標

15、全國）在直角坐標系xoy中，曲線c：y與直線l：ykxa(a0）交于m，n兩點,（1）當k0時，分別求c在點m和n處的切線方程；（2）y軸上是否存在點p，使得當k變動時,總有opmopn？說明理由解(1)由題設可得m(2，a）,n(2，a），或m(2，a），n（2，a）又y，故y在x2處的導數(shù)值為，c在點（2,a）處的切線方程為ya（x2），即xya0。y在x2處的導數(shù)值為，c在點(2，a）處的切線方程為ya(x2)，即xya0。故所求切線方程為xya0和xya0。（2）存在符合題意的點，證明如下：設p（0，b）為符合題意的點,m（x1，y1），n（x2，y2），直線pm,pn的斜率分別為k1

16、，k2。將ykxa代入c的方程得x24kx4a0。故x1x24k，x1x24a。從而k1k2.當ba時，有k1k20,則直線pm的傾斜角與直線pn的傾斜角互補,故opmopn，所以點p（0，a）符合題意高考題型精練1如圖所示,過拋物線y22px（p0）的焦點f的直線l交拋物線于點a、b,交其準線l于點c，若|bc|2bf，且|af3，則此拋物線的方程為（)ay29xby26xcy23xdy2x答案c解析如圖，分別過點a，b作準線的垂線，分別交準線于點e,d,設bfa，則由已知得：|bc2a,由定義得：bd|a,故bcd30.在直角三角形ace中，af|3，ae|3，|ac|33a，2ae|ac

17、，33a6，從而得a1，bdfg，求得p,因此拋物線方程為y23x，故選c。2已知拋物線關于x軸對稱,它的頂點在坐標原點o,并且經(jīng)過點m(2,y0)若點m到該拋物線焦點的距離為3，則|om等于（）a2b2c4 d2答案b解析設拋物線方程為y22px，則點m(2，2）焦點，點m到該拋物線焦點的距離為3，24p9，解得p2（負值舍去)，故m(2，2)om2.3已知拋物線c：y2x的焦點為f，a（x0，y0）是c上一點，|afx0，則x0等于()a1 b2c4 d8答案a解析由題意知拋物線的準線為x。因為af|x0，根據(jù)拋物線的定義可得x0af|x0,解得x01.4已知拋物線c：y28x的焦點為f,

18、點m(2,2），過點f且斜率為k的直線與c交于a，b兩點，若amb90，則k等于（）a.b.c.d2答案d解析拋物線c：y28x的焦點為f（2，0），由題意可知直線ab的斜率一定存在，所以設直線方程為yk（x2），代入拋物線方程可得k2x2(4k28)x4k20，設a（x1，y1），b（x2，y2）,則x1x24，x1x24,所以y1y2，y1y216，因為amb90，所以（x12,y12)（x22，y22）40，解得k2，故選d.5已知點a(2，3）在拋物線c：y22px的準線上，過點a的直線與c在第一象限相切于點b，記c的焦點為f，則直線bf的斜率為（)a。b.c.d.答案d解析拋物線y22px的準線為直線x，而點a(2，3）在準線上，所以2，即p4，從而c：y28x，焦點為f(2，0）設切線方程為y3k（x2)，代入y28x得y2y2k30(k0），由于14（2k3）0,所以k2或k。因為切點在第一象限,所以k。將k代入中，得y8，再代入y28x中得x8，所以點b的坐標為(8，8)，所以直線bf的斜率為.6已知a(x1,y1）是拋物線y28x的一個動點，b（x2,y2)是圓(x2)2y216上的一個動點，定點n（2,0），若abx軸,且x10)和e2：y22p2x（p20）,過原點o的兩條直