B知識講解直線與雙曲線地位置關(guān)系

1、直線與雙曲線的位置關(guān)系【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1能正熟練使用直接法、待定系數(shù)法、定義法求雙曲線的方程；2能熟練運(yùn)用幾何性質(zhì)（如范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線）解決相關(guān)問題；3能夠把直線與雙曲線的位置關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為方程組解的問題，判斷位置關(guān)系及解決相關(guān)問題【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的定義在平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)F,、F2的距離之差的絕對值等于常數(shù) 2a（ a大于0且2ac RF2 ）的動(dòng)點(diǎn)P的 軌跡叫作雙曲線這兩個(gè)定點(diǎn)Fi、F2叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作雙曲線的焦距雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程2 2x2 -y2 -1(a0,b0)a b說明：焦

2、點(diǎn)是 Fi（-c, 0）、F2（c, 0），其中 c2=a2-b2焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程22-1(a0,b 0)y xb22a說明：焦點(diǎn)是 Fi（0, -c）、F2（0， c）,其中 c2=a2-b2要點(diǎn)詮釋：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)從 定形” 定式”和定值”三個(gè)方面去思考定形”是指對稱中心在原 點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸的情況下，焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上；定式”根據(jù) 形”設(shè)雙曲線方程的具體形式； 定量是指用定義法或待定系數(shù)法確定 a,b的值.要點(diǎn)二、雙曲線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程2 2x yp 4=1 (a AO,b aO)a b2 2y x二 r =1 (aO,bO)a b圖形1 71- 11 f0x性

3、質(zhì)焦占八 、八、F-gO) , F2(c,0)F1(O,-c) , F2(0,c)焦距f22|F,F2 I=2c(c=ja2 +b2)| F1F2 I=2c(c=ja2 +b2)范圍x x 蘭-a或x Xa，嚴(yán) Ry y 蘭一a或y 蘭 a ,R對稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對稱頂點(diǎn)(土a,O)(O, 土a)軸實(shí)軸長=2a，虛軸長=2b離心率e= (e 1)a漸近線方程y = 衛(wèi) xaVx要點(diǎn)三、直線與雙曲線的位置關(guān)系直線與雙曲線的位置關(guān)系2 2將直線的方程y =kx m與雙曲線的方程令-占=1 (a 0,b0)聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于a b或y的一元二次方程，其判別式為.(b2 _a2k2)

4、x2 - 2a2mkx _a2m2 - a2b2 =0若b2 _a2k2 =0,即k = b，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)；a若 b2 -a2k2 =0,即 k =二？,a 厶0=直線和雙曲線相交 =直線和雙曲線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)； 厶二0=直線和雙曲線相切=直線和雙曲線相切，有一個(gè)公共點(diǎn)； 0,b0)于點(diǎn)P1(x1,y1)，巳區(qū)小),兩點(diǎn)，則a b| RP2 |=J(Xi+X2)2+(Vi V2)2,(Xi X2)21(yi -y2Xi-X2 1人-x2同理可得 | PP2 |卞1 $ I yi - y21 (k =0)這里I兒-X21, | % - y21,的求法通常使用韋

5、達(dá)定理，需作以下變形:|為_X2 |卞；心1 x2)2 4x2I % -丫21=；1(力 y2)2 一4%丫2雙曲線的中點(diǎn)弦問題遇到中點(diǎn)弦問題常用韋達(dá)定理”或 點(diǎn)差法”求解.b2X0_ 2；a y。2 2在雙曲線 篤-占=1 (a 0, b 0)中，以P(x), y0)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率a b涉及弦長的中點(diǎn)問題， 常用 點(diǎn)差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、 弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來相互轉(zhuǎn)化， 同時(shí)還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍解題的主要規(guī)律可以概括為聯(lián)立方程求交點(diǎn)，韋達(dá)定理求弦長，根的分布找范圍，曲線定義不能忘要點(diǎn)四、雙曲線的實(shí)際應(yīng)用與最值問題對于

6、雙曲線的實(shí)際應(yīng)用問題，我們要抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，即建立數(shù)學(xué)模型，一般要先建立直角坐標(biāo)系，然后利用雙曲線定義，構(gòu)建參數(shù)a,b,c之間的關(guān)系，得到雙曲線方程，利用方程求解雙曲線中的最值問題，按照轉(zhuǎn)化途徑主要有以下三種：(1) 利用定義轉(zhuǎn)化(2) 利用雙曲線的幾何性質(zhì)(3) 轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值【典型例題】類型一：雙曲線的方程與性質(zhì)P在雙曲線上，若PFi PF2 =0 ,2 2例1.設(shè)Fi、F2是雙曲線X2y =1 1(a0，b0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)a bPF|PF2 =2ac，其中c = . a2 b2，求雙曲線的離心率.【解析】由雙曲線定義知，l|PFi|PF2|= 2a,|PFif + |PF2|2

7、 2|PFi| |PF2|= 4a2,又 |PFif + |PF2|2= 4c2,P? Pf2 =2ac ,- |PFi| |PF2|= 2b2,2 2ac= 2b , b2= c2 a2= ac,i .52即雙曲線的離心率為i .52【總結(jié)升華】根據(jù)雙曲線的定義，幾何性質(zhì)，找到幾何量的關(guān)系是解決這類問題的關(guān)鍵。 舉一反三：【變式i】求下列雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.2 2(i)與橢圓 -i共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)(一2, J0)的雙曲線；i6 252 2與雙曲線x - y 有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)(3、. 2 , 2)的雙曲線.i6 42 2【答案】(i) 橢圓 y i的焦點(diǎn)為(0, 3),i6 252 2所求雙曲線

8、方程設(shè)為：爲(wèi) J=i,a29-a2又點(diǎn)(一2,、.i0 )在雙曲線上，i02 a=i，解得 a2 = 5 或 a2= i8(舍去). 9 -a222所求雙曲線方程為-= i .542x雙曲線i6=i的焦點(diǎn)為0),2 2設(shè)所求雙曲線方程為：冷 J =i,a220 a2又點(diǎn)(32 , 2)在雙曲線上,182 a420 -a2=1，解得a2= 12或30(舍去),2 2所求雙曲線方程為 =1.12 8、 、 1【變式2】設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在 x軸上，兩條漸近線為 y= x,則該雙曲線的離心率為()2A . 5B. J5、55C.D. 一24【答案】C類型二：直線與雙曲線的位置關(guān)系例2.已知雙曲線x 31,

9、2 3時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn);-y2=4,直線I： y=k(x1)，討論直線與雙曲線公共點(diǎn)個(gè)數(shù).【思路點(diǎn)撥】直線與曲線恰有一個(gè)交點(diǎn)，即由直線方程與曲線方程聯(lián)立的方程組只有一組解y =k(X 1)【解析】聯(lián)立方程組 消去y,并依x聚項(xiàng)整理得：X _y =4(1 k2) x2+2k2x k2 4=0(1) 當(dāng)1 k2=0即k= 1時(shí)，方程可化為2x=5 , x=，方程組只有一組解，故直線與雙曲線只有一個(gè)公2共點(diǎn)(實(shí)質(zhì)上是直線與漸近線平行時(shí)的兩種情況，相交但不相切).(2) 當(dāng) 1 k20時(shí)，即 心,1 此時(shí)有 =4 - 3k2)若 4 3k20(kJ 1,)1(-1,1)1空丿I 3丿213

10、(3)若4 3k2=0(k2工1)則k=9，方程組有解，故直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)(相切的情況).3于2屈:-,-4，方程組有兩解，故直線與雙曲線有兩交點(diǎn)若4 3k20且k2工1則k，代，方程組無解，故直線與雙曲線無交點(diǎn),1 571232心(2逅3八3，乜 時(shí)，直線與雙曲線無公共點(diǎn)綜上所述，當(dāng)k=1或k=2_時(shí)，直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)；3【總結(jié)升華】本題通過方程組解的個(gè)數(shù)來判斷直線與雙曲線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，具體操作時(shí)，運(yùn)用了重要的數(shù)學(xué)方法一一分類討論，而且是 雙向討論”，既要討論首項(xiàng)系數(shù) 1 k2是否為0,又要討論 的三種情況，為理清討論的思路，可畫 樹枝圖”如圖:舉一反三:等于0不皤于D【變式1

11、】過原點(diǎn)的直線1與雙曲線牛T交于兩點(diǎn)則直線1的斜率取值范圍是【答案】BB.r q_oQ 2丿kJ-HeB丿r府V3）D.一旳，一一 二14k(5-k、.7)24(25-7k2)(5-k、.7)2165 = 0，化簡得：k 無解，所以不滿足條件；_5 7所以滿足條件的直線有兩條x =、7和yO?！究偨Y(jié)升華】直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)可能相切也可能相交,注意直線的特殊位置和所過的特殊點(diǎn)舉一反三:2 2【變式】雙曲線 篤-占=1的右焦點(diǎn)到直線x-y-1=0的距離為a2b2 2，且 2a2 =3c.2(1)求此雙曲線的方程;(2)設(shè)直線y=kx+m(m豐0與雙曲線交于不同兩點(diǎn)C、D，若點(diǎn)A坐標(biāo)為(0,

12、 -b)，且|AC|=|AD|，求實(shí)數(shù)k取值范圍。(2)(-二(35-亍類型三：雙曲線的弦2例4. (1)求直線y = x1被雙曲線x2=1截得的弦長;42(2)求過定點(diǎn)(0,1)的直線被雙曲線x2 -上1截得的弦中點(diǎn)軌跡方程4【思路點(diǎn)撥】(1 )題為直線與雙曲線的弦長問題，可以考慮弦長公式，結(jié)合韋達(dá)定理進(jìn)行求解。(2)題涉及到直線被雙曲線截得弦的中點(diǎn)問題，可采用點(diǎn)差法或中點(diǎn)坐標(biāo)公式，運(yùn)算會更為簡便2解：由4得 4x2(x 1)2-4 =0 得 3x2-2x-5=0 (*)y 二 x 12 5設(shè)方程(*)的解為x1,x2，則有x1 x2, x-ix2得，3 3|=血&為 +X2)2 4%X2

13、=+=8V2 .(2)方法一：若該直線的斜率不存在時(shí)與雙曲線無交點(diǎn)，則設(shè)直線的方程為y = kx T，它被雙曲線截得的弦為 AB對應(yīng)的中點(diǎn)為P(x,y),y 二 kx 1由2 y2 得(4k2)x2 2kx5 = 0 (*) x2 -=1L 4設(shè)方程(*)的解為 Xi,X2，則=4k2 20(4-k2) .0 16k2 : 80,| k| ： ,5 ,曰2k5且 X-I X22，X1X22，4k4k1 k1 x =(人 X2)=2, y =(力 y2)=2 4k 21(x1 x2) 1 =2! kx 24-k4口得 4x2y2 y =0(y-4 或 y 0).方法二：設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)為 A(

14、x1,y1), B(x2,y2)，弦中點(diǎn)為P(x, y)，則4x-i - y；4 ,口22 得：4(X1 *2)(為-X2)=(% y2)(% - y2),4X2 -Y2 =4.% + y2 _4(X1 -X2)即 y _ 4xx y _1X1X2力 - y2即4x2 -y2 y = 0 (圖象的一部分)【總結(jié)升華】(1 )弦長公式|AB |1 k2 |xi -X2卜1 J I % - y21 ；(2 )注意上例中有關(guān)中點(diǎn)弦問題的兩種處理方法舉一反三：2【變式1】垂直于直線x，2y-3=0的直線丨被雙曲線 202=1截得的弦長為5竽，求直線丨的方程【答案】y=2x_10【變式2】雙曲線x2 -

15、 y2 =1的一弦中點(diǎn)為(2， 1)，則此弦所在的直線方程為A. y =2x -1 B.y = 2x 一 2 C. y 二 2x 一 3 D. y 二 2x 3【答案】C類型四：雙曲線的綜合問題例5.已知點(diǎn)M( 2,0),N(2,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足條件|PM | |PN|=2 、2 .記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為 W.(I )求W的方程；(n )若A,B是W上的不同兩點(diǎn),0是坐標(biāo)原點(diǎn)，求 0A 0B的最小值.【思路點(diǎn)撥】(n)中，選好控制變量-直線的斜率k,建立目標(biāo)0A 0B的函數(shù)是關(guān)鍵。【解析】(I)根據(jù)雙曲線的定義可得2 2W的方程為(x八2).(n )設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(yd( X2, y2),當(dāng)A

16、B與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y = kx，m,與W的 方程聯(lián)立，消去y得1 -k2 x2 -2kmx -m2 -2二0,22km 、，、， m 2故 X X?2，X1X22, 所以1 -kk -1OA OB =x1x2y, y2 = XX2kx! mkx2m = (1 k2)?km(x,x2)m21 k2 m22 2k2m22 2k224k2 -1廠 m2222 .1 -k2k21k212T T又因?yàn)閤1x20,所以k2 -10,從而OA 0B 2 2 2當(dāng) AB _ x 軸時(shí),x = x2, y -y2,從而 OA 0 = x1x2 y1 y x1 - y1 = 2綜上，當(dāng)AB丄x軸時(shí)，OA OB取得最小值2.幾何性質(zhì)及函數(shù)表示，轉(zhuǎn)化為圖形問題和【