中考沖刺：幾何綜合問題--知識(shí)講解(提高)

1、中考沖刺：幾何綜合問題一知識(shí)講解（提高）【中考展望】幾何綜合題是中考試卷中常見的題型，大致可分為幾何計(jì)算型綜合題與幾何論證型綜合題，它主要 考查學(xué)生綜合運(yùn)用幾何知識(shí)的能力這類題型在近幾年全國各地中考試卷中占有相當(dāng)?shù)姆至浚粌H有選擇題、填空題、幾何推理計(jì)算題以及代數(shù)與幾何的綜合計(jì)算題，還有更注重考查學(xué)生分析問題和解決問題能力的探究性的問題、方案設(shè)計(jì)的問題等等主要特點(diǎn)是圖形較復(fù)雜，覆蓋面廣、涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，題設(shè)和結(jié)論之間的關(guān)系較隱蔽，常常需要添加輔助線來解答幾何綜合題的呈現(xiàn)形式多樣，如折疊類型、探究型、開放型、運(yùn)動(dòng)型、情景型等，背景鮮活，具有 實(shí)用性和創(chuàng)造性，考查方式偏重于考查考生分析問題、探究

2、問題、綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能 力以幾何為主的綜合題常常在一定的圖形背景下研究以下幾個(gè)方面的問題：1、 證明線段、角的數(shù)量關(guān)系（包括相等、和、差、倍、分及比例關(guān)系等）；2、 證明圖形的位置關(guān)系（如點(diǎn)與線、線與線、線與圓、圓與圓的位置關(guān)系等）；3、幾何計(jì)算問題；4、動(dòng)態(tài)幾何問題等.【方法點(diǎn)撥】一、幾何計(jì)算型綜合問題，常常涉及到以下各部分的知識(shí)：1、與三角形有關(guān)的知識(shí)；2、等腰三角形，等腰梯形的性質(zhì)；3、直角三角形的性質(zhì)與三角函數(shù)；4、平行四邊形的性質(zhì)；5、全等三角形，相似三角形的性質(zhì)；6、垂徑定理，切線的性質(zhì)，與正多邊形有關(guān)的計(jì)算；7、弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式 .二、幾何論證型綜合題的解答

3、過程，要注意以下幾個(gè)方面：1、注意圖形的直觀提示，注意觀察、分析圖形，把復(fù)雜的圖形分解成幾個(gè)基本圖形，通過 添加輔助線補(bǔ)全或構(gòu)造基本圖形；2、注意分析挖掘題目的隱含條件、發(fā)展條件，為解題創(chuàng)造條件打好基礎(chǔ)，要由已知聯(lián)想經(jīng) 驗(yàn)，由未知聯(lián)想需要，不斷轉(zhuǎn)化條件和結(jié)論來探求思路，找到解決問題的突破點(diǎn)；3、要運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想解決幾何證明問題，運(yùn)用方程的思想解決幾何計(jì)算問題，還要靈活運(yùn)用 數(shù)學(xué)思想方法如數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化、方程等思想來解決問題【典型例題】類型一、動(dòng)態(tài)幾何型問題1.已知正方形 ABCD中，E為對(duì)角線 BD上一點(diǎn)，過E點(diǎn)作EF _ BD交BC于F，連接DF , G為 DF中點(diǎn)，連接EG,CG

4、 .（1）直接寫出線段EG與CG的數(shù)量關(guān)系；（2）將圖1中 BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45，如圖2所示，取DF中點(diǎn)G，連接EG , CG，你在（1 ）中 得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明.（3） 將圖1中.BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖 3所示，再連接相應(yīng)的線段，問（1 ）中的結(jié)論是否仍 然成立？（不要求證明）DCC【思路點(diǎn)撥】本題的核心條件就是 G是中點(diǎn)，中點(diǎn)往往暗示很多的全等關(guān)系，如何構(gòu)建一對(duì)我們想要的全等三角形就成為了分析的關(guān)鍵所在 .連接AG之后，拋開其他條件，單看 G點(diǎn)所在的四邊形 ADFE我們 會(huì)發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)梯形，于是根據(jù)我們?cè)诘谝恢v專題中所討論的方法，自然想到過G點(diǎn)做A

5、D,EF的垂線.于是兩個(gè)全等的三角形出現(xiàn)了 第三問在厶BEF的旋轉(zhuǎn)過程中，始終不變的依然是 G點(diǎn)是FD的中點(diǎn).可以延長(zhǎng)一倍EG到H,從而構(gòu)造一 個(gè)和EFG全等的三角形，利用 BE=EF這一條件將全等過渡要想辦法證明三角形 ECH是一個(gè)等腰直角三 角形，就需要證明三角形 EBC和三角形CGH全等，利用角度變換關(guān)系就可以得證了 【答案與解析】（1）CG =EG（2）（ 1）中結(jié)論沒有發(fā)生變化，即 CG=EG .證明：連接 AG，過G點(diǎn)作MN _ AD于M，與EF的延長(zhǎng)線交于 N點(diǎn).在 DAG與DCG中，/ AD =CD , ADG =. CDG , DG = DG ,DAG 也 DCG .AG =

6、 CG.在DMG與FNG中， ZDGM ZFGN , FG =DG , MDG ZNFG , DMG 也 FNG . MG =NG在矩形AENM中，AM二EN在 Rt AMG 與 Rt ENG 中， AM =EN , MG =NG ,- AMG 也 ENG . AG =EG. EG =CGDC（3） （1）中的結(jié)論仍然成立.C【總結(jié)升華】 本題是一道典型的從特殊到一般的圖形旋轉(zhuǎn)題從旋轉(zhuǎn)45到旋轉(zhuǎn)任意角度，要求討論其中的不變關(guān)系舉一反三：【變式】已知：如圖（1），射線AM/射線BN，AB是它們的公垂線，點(diǎn) D、C分別在AM、BN 上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D與點(diǎn)A不重合、點(diǎn)C與點(diǎn)B不重合），E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（

7、點(diǎn) E與A、B不重合）， 在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持 DE _ EC，且AD DE二AB二a .（1）求證：lADE s= BEC ；（2）如圖（2）,當(dāng)點(diǎn)E為AB邊的中點(diǎn)時(shí)，求證： AD +BC =CD ;（3） 設(shè)AE = m，請(qǐng)?zhí)骄浚築EC的周長(zhǎng)是否與 m值有關(guān)？若有關(guān)，請(qǐng)用含有 m的代數(shù)式表示 BEC的周長(zhǎng)；若無關(guān)，請(qǐng)說明理由.B (1) C NB C N【答案】(1)證明： DE _ EC , DEC =90 . AED BEC =90 .又 AB =90 , AED EDA =90 .二 BEC EDA ADE BEC (2)證明：如圖，過點(diǎn) E作EF /BC，交CD于點(diǎn)F ,BC1 E

8、是AB的中點(diǎn)，容易證明 EF = (AD - BC).2在 Rt DEC 中， DF =CF ,二 EF =cD .211(AD BC) CD .22AD BC 二 CD .(3)解：.AED 的周長(zhǎng)=AE AD DE 二 a m , BE 二 am .設(shè) AD =x，貝U DE =a x.A =90 , DE2 二 AE2 AD2 即 a2 -2ax x2 二 m2 x2a-m2a由(1)知厶ADE s .iBEC,2_m厶ADE的周長(zhǎng) ADBEC的周長(zhǎng) -BE2aa -m2a2a BEC的周長(zhǎng)ADE的周長(zhǎng)=2a .a m ：BEC的周長(zhǎng)與m值無關(guān).2 .在 ABC中，/ ACB=45o點(diǎn)

9、D (與點(diǎn)B、C不重合)為射線 BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接 AD,以AD為一 邊且在AD的右側(cè)作正方形 ADEF(1) 如果AB=AC如圖，且點(diǎn) D在線段BC上運(yùn)動(dòng).試判斷線段 CF與BD之間的位置關(guān)系，并證明你 的結(jié)論.(2) 如果ABAC,如圖，且點(diǎn) D在線段BC上運(yùn)動(dòng).(1)中結(jié)論是否成立，為什么？(3 )若正方形ADEF的邊DE所在直線與線段 CF所在直線相交于點(diǎn) P,設(shè)AC= 4 2 , BC = 3 , CD=x , 求線段CP的長(zhǎng).(用含x的式子表示)【思路點(diǎn)撥】(1)由題干可以發(fā)現(xiàn)，正方形中四條邊的垂直關(guān)系是不動(dòng)的，于是利用角度的互余關(guān)系進(jìn) 行傳遞，就可以得解(2) 是典型的從特殊到一

10、般的問法，那么思路很簡(jiǎn)單，就是從一般中構(gòu)筑一個(gè)特殊的條件就行，和上題 一樣找AC的垂線，就可以變成第一問的條件，然后一樣求解(3) D在BC之間運(yùn)動(dòng)和它在BC延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)的位置是不一樣的，所以已給的線段長(zhǎng)度就需要分情況去CP.考慮到底是4+X還是4-X.分類討論之后利用相似三角形的比例關(guān)系即可求出【答案與解析】(1) 結(jié)論：CF丄BD證明如下： AB=AC,/ ACB=45o,./ ABC=45o由正方形 ADEF得 AD=AF， DAF=Z BAC =90o/ DAB玄 FAC 二FAC ,/-Z ACF=/ ABD/ BCF=/ ACB+Z ACF= 90o.即 CF 丄 BD.(2)

11、CF丄BD. 中結(jié)論仍成立.理由是：過點(diǎn) A作AGL AC交BC于點(diǎn)G AC=AG可證： GADA CAFACF=Z AGD=45o/ BCF=Z ACB+Z ACF= 90o.即 CFL BD(3)過點(diǎn)A作AQL BC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) Q點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，/ BCA=45o 可求出 AQ= CQ=4 DQ=4-x,易證 AQDA DCPCP CD CP _XDQ _AQ 4 -X 4點(diǎn)D在線段BC延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí),/ BCA=45，/ AQ=CQ=4 DQ=4+x過 A 作 AQL BC, Z Q=Z FQC=90 , / ADQZ AFC 貝憶 AQDA ACF. CFL BD AQ

12、DA DCP-CP CD- CP x. =， . =,DQ AQ4+X 4x2.CPx .4【總結(jié)升華】 此題綜合性強(qiáng)，需要綜合運(yùn)用全等、相似、正方形等知識(shí)點(diǎn)，屬能力拔高性的題目3 .已知正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為6cm,點(diǎn)E是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE交射線DC于點(diǎn)F,將厶ABE 沿直線AE翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)B處.BE(1) 當(dāng)=1 時(shí)，cf=cmCE(2 )當(dāng) B=2 時(shí)，求 sin / DAB 的值；CE(3) 當(dāng)更=x時(shí)(點(diǎn)C與點(diǎn)E不重合)，請(qǐng)寫出厶ABE翻折后與正方形 ABCD公共部分的面積 y與x CE的關(guān)系式，(只要寫出結(jié)論，不要解題過程).【思路點(diǎn)撥】 動(dòng)態(tài)問題未必只有點(diǎn)的平移

13、、圖形的旋轉(zhuǎn)，翻折(即軸對(duì)稱)也是一大熱點(diǎn).(1)給出比例為1, (2)比例為2, (3)比例任意，所以也是一道很明顯的從一般到特殊的遞進(jìn)式題目需要仔細(xì)把握翻折過程中哪些條件發(fā)生了變化，哪些條件沒有發(fā)生變化.一般說來，翻折中，角，邊都是不變的，所以軸對(duì)稱圖形也意味著大量全等或者相似關(guān)系，所以要利用這些來獲得線段之間的比例關(guān)系尤其要注意的是，本題中給定的比例都是有兩種情況的，E在BC上和E在延長(zhǎng)線上都是可能的， 所以需要分類討論，不要遺漏【答案與解析】(1) CF=6cm(2 如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，延長(zhǎng) AB交DC于點(diǎn)M,圖1/ AB / CF, ABEA FCEBE=2, CF=3 .BE

14、CEABFCCE/ AB / CF,:丄 BAE玄 F.又/ BAE=Z B AE , / B AE= / F. MA=MF設(shè) MA=MF=K 貝U MC=k -3 , DM=9-k.在Rt ADM中，由勾股定理得：5 DM=.22221 3k =(9-k) +6, 解得 k=MA= .2 sin / DAB =D；AM 13Ef延長(zhǎng)圖2如圖AD交B E于點(diǎn)N,同可得NA=NE設(shè) NA=NE=m 則 B N=12-m .在Rt AB N中，由勾股定理，得2 2 2 15 ,9m=(12-m) +6 , 解得 m=AN= . B N=.2 2B N 3-sin z_ DAB=.AN 5(3)當(dāng)點(diǎn)

15、E在BC上時(shí)，y=18x ;x +1當(dāng)點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，y=18x 18 .x【總結(jié)升華】 動(dòng)態(tài)幾何問題當(dāng)中有點(diǎn)動(dòng)，線動(dòng)，乃至整體圖形動(dòng)幾種可能的方式，動(dòng)態(tài)幾何問題往往作 為壓軸題出現(xiàn)，所以難度不言而喻，但是拿到題后不要慌張，因?yàn)闊o論是題目以哪種形式出現(xiàn)，始終把握 的都是在變化過程中那些不變的量.只要一個(gè)個(gè)將條件抽出來，將大問題化成若干個(gè)小問題去解決，就很輕松了 類型二、幾何計(jì)算型問題4.已知如圖，在梯形ABCD中，AD / BC, AD = 2, BC = 4,點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)， MBC是 等邊三角形.(1) 求證：梯形 ABCD是等腰梯形；(2) 動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在線段 BC和MC上運(yùn)動(dòng)

16、，且Z MPQ =60保持不變?cè)O(shè) PC =x, MQ=y, 求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(3)在(2)中，當(dāng)y取最小值時(shí)，判斷 PQC的形狀，并說明理由.【思路點(diǎn)撥】(1)屬于純靜態(tài)問題，只要證兩邊的三角形全等就可以了(2) 是雙動(dòng)點(diǎn)問題，所以就需要研究在 P,Q運(yùn)動(dòng)過程中什么東西是不變的 題目給定/ MPQ=60，其實(shí)就是將靜態(tài)的那個(gè)等邊三角形與動(dòng)態(tài)條件聯(lián)系了起來因?yàn)樽罱K求兩條線段的關(guān)系，所以很自然想到要通過相似三角形找比例關(guān)系(3) 條件又回歸了當(dāng)動(dòng)點(diǎn)靜止時(shí)的問題，由第二問所得的二次函數(shù)，很輕易就可以求出當(dāng)x取對(duì)稱軸的值時(shí)y有最小值，接下來就變成了 “給定 PC=2求厶PQC形狀”的問題了，由已

17、知的 BC=4自然看出P 是 點(diǎn)，于 問題輕松求解 【答案與解析】(1)證明： MBC是等邊三角形 MB 二 MC,/ MBC 二/MCB=60/ M是AD中點(diǎn)- AM 二 MD AD / BC / AMB 二/MBC =60 ,/ DMC 二/ MCB =60 AMB DMC AB = DC梯形ABCD是等腰梯形.(2)解：在等邊 MBC 中，MB 二 MC 二 BC =4,/MBC 二/ MCB=60 , / MPQ = 60 / BMP / BPM = / BPM / QPC =120 / BMP = / QPC BMP sA cqpPC CQBM BPt PC = x, MQ = y

18、BP = 4 -x, QC = 4 - y-x 4x4 _ y44 x(3)解： PQC為直角三角形, y(x _2 f +34當(dāng)y取最小值時(shí)，XHPCH2 P 是 BC 的中點(diǎn)，MP _ BC,而/ MPQ =60 , Z CPQ =30 , Z PQC =90. PQC為直角三角形.【總結(jié)升華】 以上題目是動(dòng)點(diǎn)問題，這一類問題的關(guān)鍵就在于當(dāng)動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)中出現(xiàn)特殊條件，例如某邊相 等，某角固定時(shí)，將動(dòng)態(tài)問題化為靜態(tài)問題去求解.如果沒有特殊條件，那么就需要研究在動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)中哪些條件是保持不變的.舉一反三：【高清課堂：幾何綜合問題 例3】【變式】已知：如圖，N M是以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上的兩點(diǎn)，

19、B是MN上一動(dòng)點(diǎn)(B不與點(diǎn)MN重合)，/ MON=90 , BA OM于點(diǎn)A, BC丄ON于點(diǎn)C,點(diǎn)D E、F、G分別是線段 OA AB BC CO的中點(diǎn)，GF與CE相交于點(diǎn)P, DE與AG相交于點(diǎn)Q(1)四邊形EPGQ (填“是”或者“不是”)平行四邊形;(2) 若四邊形EPGC是矩形，求 OA的值.OD A M圖1【答案】(1 )是.備用圖圖/ BA丄 OM BC丄 ON Z BAOZ BCO=90 ,圖/ 口 EPGQ是矩形./ AED+Z CEB=90 .又/ DAE=/ EBC=90 ,/ AED玄 BCE AEDA BCE.AD AEB_ BC，設(shè) OA=x AB=y,則:=:x2

20、 2 2得 y2=2x2,又 0A+a=0B,即 x2+y2=12. x2+2x2=1,解得：x= V3.3即當(dāng)四邊形EPGQ!矩形時(shí),C5 .在L ABCD中，過點(diǎn)C作CE! CD交AD于點(diǎn)E,將線段EC繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段EF（如圖1）（1）在圖1中畫圖探究：當(dāng)P為射線CD上任意一點(diǎn)（Pi不與C重合）時(shí)，連結(jié)EP繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段EG.判斷直線FG與直線CD的位置關(guān)系，并加以證明；當(dāng)P2為線段DC的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)時(shí)，連結(jié)EF2,將線段EF2繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段EC.判斷直線CCa與直線CD的位置關(guān)系，畫出圖形并直接寫出你的結(jié)論.4(2 )若AD=6,ta nB=

21、,AE=1,在的條件下，設(shè) CR=x，P1FC1 = y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,3【思路點(diǎn)撥】(1)本題在于如何把握這個(gè)旋轉(zhuǎn)90的條件.旋轉(zhuǎn)90自然就是垂直關(guān)系，于是出現(xiàn)了一系列直角三角形，于是證角、證線就手到擒來了(2)是利用平行關(guān)系建立函數(shù)式，但是不要忘記分類討論【答案與解析】(1)直線FG1與直線CD的位置關(guān)系為互相垂直.證明：如圖1，設(shè)直線FG1與直線CD的交點(diǎn)為H .線段EC、ER分別繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90依次得到線段 EF、EG , ZREG1 =CEF =90, EG1 = ER, EF = EC . N GEF =90-N REF，上 REC =90-乂 REF ,:丄GEF

22、 =NREC . G1EFREC .GFE = RCE ./ EC 丄 CD , . RCE =90 . GFE =90 . EFH =90 FHC =90 FG1 丄 CD 按題目要求所畫圖形見圖 1,直線G1G2與直線CD的位置關(guān)系為互相垂直.（2）四邊形 ABCD是平行四邊形， . B =/ADC4 AD = 6, AE =1,tanB -,34 DE =5,tan EBC 二 tanB -.可得CE =4.由（1）可得四邊形 EFCH為正方形. CH =CE =4 如圖2,當(dāng)R點(diǎn)在線段CH的延長(zhǎng)線上時(shí)， FG! =CR =x, RH =x-4 ,& RFGtx(x 4)2-2x(x 4) 如圖3,當(dāng)R點(diǎn)在線段CH上（不與C、H兩點(diǎn)重合）時(shí),2圖3FGi =CR =x, RH =x4 ,RFGFG xRH2_ x(4 - x)_ 22x(0 : x : 4).當(dāng)R點(diǎn)與H點(diǎn)重合時(shí)，即x = 4時(shí)， RFG1不存在.1 2綜上所述，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍是yx2- 2x( x 4)或1 2 y x 2x(0 : x 4).【總結(jié)升華】 本題著重考查了二次函數(shù)的解析式、圖形的旋轉(zhuǎn)變換、三角形全等、探究垂直的構(gòu)成情況等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，能力要求較高考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.舉一反三：【變式】已