《組合數(shù)學(xué)》姜建國著(第二版)課后習(xí)題答案完全版

1、組合數(shù)學(xué)組合數(shù)學(xué)(第第 2 版版)-姜建國姜建國,岳建國岳建國 習(xí)題一（排列與組合）習(xí)題一（排列與組合） 1在 1 到 9999 之間，有多少個(gè)每位上數(shù)字全不相同而且由奇數(shù)構(gòu)成的整數(shù)？ 解：該題相當(dāng)于從“1，3，5，7，9”五個(gè)數(shù)字中分別選出 1，2，3，4 作排列 的方案數(shù)； （1）選 1 個(gè)，即構(gòu)成 1 位數(shù)，共有個(gè)； 1 5 P （2）選 2 個(gè)，即構(gòu)成兩位數(shù)，共有個(gè)； 2 5 P （3）選 3 個(gè)，即構(gòu)成 3 位數(shù)，共有個(gè)； 3 5 P （4）選 4 個(gè)，即構(gòu)成 4 位數(shù)，共有個(gè)； 4 5 P 由加法法則可知，所求的整數(shù)共有：個(gè)。 1234 5555 205PPPP 2比 5400 小

2、并具有下列性質(zhì)的正整數(shù)有多少個(gè)？ （1）每位的數(shù)字全不同； （2）每位數(shù)字不同且不出現(xiàn)數(shù)字 2 與 7； 解：（1）比 5400 小且每位數(shù)字全不同的正整數(shù)； 按正整數(shù)的位數(shù)可分為以下幾種情況： 一位數(shù)，可從 19 中任取一個(gè)，共有 9 個(gè)； 兩位數(shù)。十位上的數(shù)可從 19 中選取，個(gè)位數(shù)上的數(shù)可從其余 9 個(gè)數(shù) 字中選取，根據(jù)乘法法則，共有個(gè)；9 981 三位數(shù)。百位上的數(shù)可從 19 中選取，剩下的兩位數(shù)可從其余 9 個(gè)數(shù) 中選 2 個(gè)進(jìn)行排列，根據(jù)乘法法則，共有個(gè)； 2 9 9648P 四位數(shù)。又可分三種情況： 千位上的數(shù)從 14 中選取，剩下的三位數(shù)從剩下的 9 個(gè)數(shù)字中選 3 個(gè)進(jìn)行排列

3、，根據(jù)乘法法則，共有個(gè)； 3 9 42016P 千位上的數(shù)取 5，百位上的數(shù)從 13 中選取，剩下的兩位數(shù)從剩 下的 8 個(gè)數(shù)字中選 2 個(gè)進(jìn)行排列，共有個(gè)； 2 8 3168P 千位上的數(shù)取 5，百位上的數(shù)取 0，剩下的兩位數(shù)從剩下的 8 個(gè)數(shù) 字中選 2 個(gè)進(jìn)行排列，共有個(gè)； 2 8 56P 根據(jù)加法法則，滿足條件的正整數(shù)共有： 個(gè)；981 6482016 168562978 （2）比 5400 小且每位數(shù)字不同且不出現(xiàn)數(shù)字 2 與 7 的正整數(shù)； 按正整數(shù)的位數(shù)可分為以下幾種情況：設(shè)0,1,3,4,5,6,8,9A 一位數(shù)，可從中任取一個(gè)，共有 7 個(gè)；0A 兩位數(shù)。十位上的數(shù)可從中選取

4、，個(gè)位數(shù)上的數(shù)可從 A 中其余0A 7 個(gè)數(shù)字中選取，根據(jù)乘法法則，共有個(gè)；7 749 三位數(shù)。百位上的數(shù)可從中選取，剩下的兩位數(shù)可從 A 其余 70A 個(gè)數(shù)中選 2 個(gè)進(jìn)行排列，根據(jù)乘法法則，共有個(gè)； 2 7 7294P 四位數(shù)。又可分三種情況： 千位上的數(shù)從 1，3，4 中選取，剩下的三位數(shù)從 A 中剩下的 7 個(gè) 數(shù)字中選 3 個(gè)進(jìn)行排列，根據(jù)乘法法則，共有個(gè)； 3 7 3630P 千位上的數(shù)取 5，百位上的數(shù)從 0，1，3 中選取，剩下的兩位數(shù) 從 A 中剩下的 6 個(gè)數(shù)字中選 2 個(gè)進(jìn)行排列，共有個(gè)； 2 6 390P 根據(jù)加法法則，滿足條件的正整數(shù)共有：個(gè)；749294630901

5、070 3一教室有兩排，每排 8 個(gè)座位，今有 14 名學(xué)生，問按下列不同的方式入座， 各有多少種做法？ （1）規(guī)定某 5 人總坐在前排，某 4 人總坐在后排，但每人具體座位不指定； （2）要求前排至少坐 5 人，后排至少坐 4 人。 解：（1）因?yàn)榫妥怯写涡虻?，所有是排列問題。 5 人坐前排，其坐法數(shù)為，4 人坐后排，其坐法數(shù)為，(8,5)P(8,4)P 剩下的 5 個(gè)人在其余座位的就坐方式有種，(7,5)P 根據(jù)乘法原理，就座方式總共有： （種）(8,5)(8,4)(7,5)28 449 792 000PPP （2）因前排至少需坐 6 人，最多坐 8 人，后排也是如此。 可分成三種情況分

6、別討論： 前排恰好坐 6 人，入座方式有；(14,6) (8,6) (8,8)CPP 前排恰好坐 7 人，入座方式有；(14,7) (8,7) (8,7)CPP 前排恰好坐 8 人，入座方式有；(14,8) (8,8) (8,6)CPP 各類入座方式互相不同，由加法法則，總的入座方式總數(shù)為： (14,6) (8,6) (8,8)(14,7) (8,7) (8,7)(14,8) (8,8) (8,6) 10 461394944 000 CPPCPPCPP 典型錯(cuò)誤典型錯(cuò)誤： 先選 6 人坐前排，再選 4 人坐后排，剩下的 4 人坐入余下的 6 個(gè)座 位。故總的入坐方式共有：種。 (14,6)8,

7、6(8,4)8,46,4CPCPP 但這樣計(jì)算無疑是有重復(fù)的，例如恰好選 6 人坐前排，其余 8 人全 坐后排，那么上式中的就有重復(fù)。(8,4)8,4CP 4一位學(xué)者要在一周內(nèi)安排 50 個(gè)小時(shí)的工作時(shí)間，而且每天至少工作 5 小時(shí)， 問共有多少種安排方案？ 解：用表示第 i 天的工作時(shí)間，則問題轉(zhuǎn)化為求不定方程 i x1,2,7i 的整數(shù)解的組數(shù)，且，于是又可以轉(zhuǎn) 1234567 50 xxxxxxx5 i x 化為求不定方程的整數(shù)解的組數(shù)。 1234567 15yyyyyyy 該問題等價(jià)于：將 15 個(gè)沒有區(qū)別的球，放入 7 個(gè)不同的盒子中，每盒球數(shù) 不限，即相異元素允許重復(fù)的組合問題。

8、故安排方案共有： （種）( ,15)(157 1,15)54 264RCC 另解： 因?yàn)樵试S，所以問題轉(zhuǎn)化為長度為 1 的 15 條線段中間有 14 個(gè)空，再0 i y 加上前后兩個(gè)空，共 16 個(gè)空，在這 16 個(gè)空中放入 6 個(gè)“”號(hào)，每個(gè)空放置 的“”號(hào)數(shù)不限，未放“”號(hào)的線段合成一條線段，求放法的總數(shù)。從而 不定方程的整數(shù)解共有： （組） 21 20 19 18 17 16 ( ,6)(166 1,6)54 264 6 5 4 3 2 1 RCC 即共有 54 264 種安排方案。 5若某兩人拒絕相鄰而坐，問 12 個(gè)人圍圓周就坐有多少種方式？ 解：12 個(gè)人圍圓周就坐的方式有：種，(

9、12,12)11!CP 設(shè)不愿坐在一起的兩人為甲和乙，將這兩個(gè)人相鄰而坐，可看為 1 人，則 這樣的就坐方式有：種；由于甲乙相鄰而坐，可能是“甲乙”(11,11)10!CP 也可能是“乙甲” ；所以 則滿足條件的就坐方式有：種。11! 2 10!32 659 200 6有 15 名選手，其中 5 名只能打后衛(wèi)，8 名只能打前鋒，2 名只能打前鋒或后 衛(wèi)，今欲選出 11 人組成一支球隊(duì)，而且需要 7 人打前鋒，4 人打后衛(wèi)，試 問有多少種選法？ 解：用 A、B、C 分別代表 5 名打后衛(wèi)、8 名打前鋒、2 名可打前鋒或后衛(wèi)的集 合， 則可分為以下幾種情況： （1）7 個(gè)前鋒從 B 中選取，有種選

10、法，4 個(gè)后衛(wèi)從 A 中選取，有種， 7 8 C 4 5 C 根據(jù)乘法法則，這種選取方案有：種； 74 85 CC （2）7 個(gè)前鋒從 B 中選取，從 A 中選取 3 名后衛(wèi)，從 C 中選 1 名后衛(wèi)， 根據(jù)乘法法則，這種選取方案有：種； 731 852 CCC （3）7 個(gè)前鋒從 B 中選取，從 A 中選取 2 名后衛(wèi)，C 中 2 名當(dāng)后衛(wèi)， 根據(jù)乘法法則，這種選取方案有：種； 72 85 CC （4）從 B 中選 6 個(gè)前鋒，從 C 中選 1 個(gè)前鋒，從 A 中選 4 個(gè)后衛(wèi)， 根據(jù)乘法法則，這種選取方案有：種； 614 825 CCC （5）從 B 中選 6 個(gè)前鋒，從 C 中選 1 個(gè)

11、前鋒，從 A 中選 3 個(gè)后衛(wèi)，C 中剩 下的一個(gè)當(dāng)后衛(wèi)，選取方案有：種； 613 825 CCC （6）從 B 中選 5 個(gè)前鋒，C 中 2 個(gè)當(dāng)前鋒，從 A 中選 4 個(gè)后衛(wèi)， 選取方案有：種； 54 85 CC 根據(jù)加法法則，總的方案數(shù)為： 747317261461354 858528582582585 1400CCCCCCCCCCCCCCC 7求展開式中項(xiàng)的系數(shù)。 8 (2)xyzw 2222 x y z w 解：令，則中項(xiàng)的系數(shù)為,2 ,ax by cz dw 8 ()abcd 2222 a b c z ，即中，的系數(shù)， 8 8!7! 2 2 2 22!2!2!2!2 8 (2)xy

12、zw 2222 () ( 2 )xyzw 因此，的系數(shù)為：。 2222 x y z w 22 7! 2 ( 1)( 2)10 080 8求的展開式。 4 ()xyz 解：，展開式共有（項(xiàng)） ， 所以，4,3nt( ,4)(43 1,4)15RCC 444433 22222 3322 3 44444 () 4 0 00 4 00 0 4310301 444 2 2 02 0 2211 4444 130103112121 44 013031 xyzxyzx yx z x yx zx yz xyxzxyzxy z yz 322 444333333 222222222 4 0 2 2 444444 6

13、66121212 y zy z xyzx yx zxyxzyzy z x yx zy zx yzxyzxy z 9求展開式中的系數(shù)。 10 12345 ()xxxxx 36 234 x x x 解：的系數(shù)為： 36 234 x x x 10 10! 840 0316 03! 1! 6! 10試證任一整數(shù) n 可唯一表示成如下形式： 1 !,0,1,2, ii i naiai i 證明：（1）可表示性。 令，顯然， 1221 (,)|0,1,2,1 mmi Maaa aai im !Mm ，顯然，0,1,2,! 1Nm!Nm 定義函數(shù)，:fMN ， 12211221 (,)(1)!(2)!2!1

14、! mmmm f aaa aamamaa 顯然， 1221 00 (1)! 0 (2)!0 2! 0 1! (1)!(2)!2!1! (1)(1)! (2)(2)!2 2! 1 1! ! (1)! (1)! (2)!3! 2! 2! 1! 1 mm mm amamaa mmmm mmmmm 即， 1221 0(,)! 1 mm f aaa am 由于 f 是用普通乘法和普通加法所定義的，故 f 無歧義，肯定是一個(gè)函 數(shù)。 從而必有一確定的數(shù)，使得，(0! 1)KKm 1221 (,) mm Kf aaa a 為了證明 N 中的任一數(shù) n 均可表示成的形式， 1 ! i i nai 只需證明 f

15、 是滿射函數(shù)即可。又因?yàn)?f 是定義在兩個(gè)有限且基數(shù)相等的 函數(shù)上，因此如果能證明 f 單射，則 f 必是滿射。 假設(shè) f 不是單射，則存在， 12211221 (,),(,) mmmm aaa abbb bM ，且有，使得 12211221 (,)(,) mmmm aaa abbb b 0 KN 012211221 (,)(,) mmmm Kf aaa af bbb b 由于，故必存在，使得 12211221 (,)(,) mmmm aaa abbb b 1jm 。不妨設(shè)這個(gè) j 是第一個(gè)使之不相等的，即， jj ab(1,1) ii ab imj 且， jj ab jj ab 因?yàn)?122

16、1 1221 (1)!(2)!2!1! (1)!(2)!2!1! mm mm amamaa bmbmbb 所以， 1221 1221 112211 112211 0(1)!(2)!2!1! (1)!(2)!2!1! () ! ()(1)!() 2! () 1! !(1)!2!1! !(1) (1)!2 2! 1 1! ! mm mm jjjj jj bmbmbb amamaa bajbajbaba jbajbaba jjj j ( ! 1)1j 產(chǎn)生矛盾，所以 f 必是單射函數(shù)。 因?yàn)椋?f 必然也是滿射函數(shù)，!MNm 故對(duì)任意的，都存在，使得nN 1221 (,) mm aaa aM 1

17、221 (1)!(2)!2!1! mm namamaa 這說明對(duì)任意的整數(shù)，都可以表示成的形式。 1 ! i i nai （2）唯一性。 由于函數(shù)是一個(gè)單射，也是滿射，即 f 是雙射函數(shù)，:fMN 故，對(duì)任意的，都存在唯一的，使得nN 1221 (,) mm aaa aM 。 1221 (1)!(2)!2!1! mm namamaa 否則，若存在另一個(gè)，使得 1221 (,) mm bbb bM 1221 (1)!(2)!2!1! mm nbmbmbb 將與 f 是單射函數(shù)矛盾。證畢。 11證明，并給出組合意義。(1, )(1) ( ,1)nC nrrC n r 證明：因?yàn)?，現(xiàn)令，則可得( ,

18、 ) ( , )( , ) (,)C n k C k lC n l C nl kl1kr1l ，即( ,1) (1,1)( ,1) (1, )C n rC rC nC nr(1, )(1) ( ,1)nC nrrC n r 組合意義組合意義：將 n 個(gè)元素分為 3 堆，1 堆 1 個(gè)元素，1 堆 r 個(gè)元素，1 堆個(gè)1nr 元素。可以有下面兩種不同的分法： （1）先從 n 個(gè)元素中選出個(gè)元素，剩下的個(gè)作為 1 堆；再將1r 1nr 選出的個(gè)元素分為兩堆，1 堆 1 個(gè)，1 堆 r 個(gè)。1r （2）先從 n 個(gè)元素中選出 1 人作為 1 堆，再從剩下的個(gè)中選出 r 個(gè)1n 作為 1 堆，剩下的作

19、為 1 堆。1nr 顯然，兩種分法是等價(jià)的，所以等式成立。 12證明 。 1 1 ( , )2 n n k kC n kn 證明：采用殊途同歸法。 組合意義一組合意義一： 考慮從 n 個(gè)人中選出 1 名正式代表和若干名列席代表的選法（列席代表人 數(shù)不限，可以為 0） ?？梢杂幸韵聝煞N不同的選法： （1）先選定正式代表，有種選法；然后從人中選列席代表，這 1 n Cn1n 個(gè)人都有選和不選的兩種狀態(tài)，共有種選法；1n 1 2n 根據(jù)乘法法則，共有 種選法； 1 2nn （2）可以先選出人，然后再從中選出 1 名正式代表，1(0,1,2,1)kkn 其余 k 人作為列席代表，對(duì)于每個(gè) k，這樣的選

20、法有：， 11 1 k nk CC 從而總選法有： 1 011 ( ,1) (1,1)( , ) ( ,1)( , ) nnn kkk C n kC kC n k C kkC n k 顯然，兩種選法是等價(jià)的，所以等式成立。 組合意義二：組合意義二： 將 n 個(gè)不同的球放入標(biāo)號(hào)為 A、B、C 的 3 個(gè)盒子，其中要求 A 盒只放 1 個(gè)球，其余兩盒的球數(shù)不限。那么，有兩種不同的放法： （1）先從 n 個(gè)不同的球中選出 1 個(gè)，放入 A 盒，再將其余個(gè)球放入1 n 另外兩盒，有種放法； 111 22 nn n Cn （2）先從 n 個(gè)球中選出 k 個(gè)，再從所選的 k 個(gè)球中選出 1 個(gè)(1,2,

21、)kn 放入 A 盒，將其余的個(gè)球放入 B 盒，剩下的個(gè)球放入 C 盒，1k nk 根據(jù)乘法法則，對(duì)于不同的 k，有種放法。 1kn kk nkn kn CCCkC 當(dāng)時(shí)，各種情況互不重復(fù)，且包含了所有放法，1,2,kn 根據(jù)加法法則，總的放法有：。 1 ( , ) n k kC n k 顯然兩種放法是等價(jià)的，故等式成立。 另法：另法： 根據(jù)二項(xiàng)式定理： ， 21 (1)1( ,1)( ,2)( ,1)( , ) nnn xC nxC nxC n nxC n n x 兩邊求導(dǎo)，得： ， 121 (1)( ,1)2 ( ,2)(1) ( ,1)( , ) nnn nxC nC nxnC n nx

22、nC n n x 令，即得1x 1 1 ( , )2 n n k kC n kn 13有 n 個(gè)不同的整數(shù)，從中取出兩組來，要求第一組數(shù)里的最小數(shù)大于第二 組的最大數(shù)，問有多少種方案？ 解：設(shè)這 n 個(gè)不同的數(shù)為， 12n aaa 若假定第一組取個(gè)數(shù)，第二組取個(gè)數(shù)，并且令， 1 k 2 k 12 (2)mkkm 則要求第一組數(shù)里的最小數(shù)大于第二組里的最大數(shù)，我們可以這樣來選： 先從 n 個(gè)數(shù)中任選 m 個(gè)數(shù)出來，有種選法；再從這 m 個(gè)數(shù)中從大到( ,)C n m 小取個(gè)數(shù)作為第一組數(shù)，有種取法；再將其余的個(gè) 1 k 1 1,2,1km1m 2 k 數(shù)作為第二組數(shù)。 故總方案數(shù)有： 222 1

23、1 (1) ( ,)( ,)( ,) 2(21)(2)21 nnn mmm nnn mC n mmC n mC n m nnnn 14六個(gè)引擎分列兩排，要求引擎的點(diǎn)火次序兩排交錯(cuò)開來，試求從某一特定 引擎開始點(diǎn)火有多少種方案？ 解：第一次點(diǎn)火僅有一種選擇，即點(diǎn)某個(gè)特定引擎的火；第二次點(diǎn)另一組某個(gè) 引擎的火，有三種選擇；第三次有 2 種,。 所以方案數(shù)為：（種）1 3 2 2 1 112 如果只指定從第一排先開始點(diǎn)火，不指定某一個(gè)，則方案數(shù)為 （種）3 3 2 2 1 136 如果第一個(gè)引擎任意選，只要求點(diǎn)火過程是交錯(cuò)的，則方案數(shù)為 （種）6 3 2 2 1 172 15試求從 1 到 1 00

24、0 000 的整數(shù)中，0 出現(xiàn)了幾次？ 解：分別計(jì)算 0 出現(xiàn)在各個(gè)位上的次數(shù)。 （1）0 出現(xiàn)在個(gè)位，此時(shí)符合條件的 2 位數(shù)有 9 個(gè)；3 位數(shù)有個(gè)；9 10 4 位數(shù)有個(gè)；5 位數(shù)有個(gè)；6 位數(shù)有個(gè)； 2 9 10 3 9 10 4 9 10 （2）0 出現(xiàn)在十位，此時(shí)符合條件的 3 位數(shù)有個(gè)；4 位數(shù)有個(gè)；9 10 2 9 10 5 位數(shù)有個(gè)；6 位數(shù)有個(gè)； 3 9 10 4 9 10 （3）0 出現(xiàn)在百位，此時(shí)符合條件的 4 位數(shù)有個(gè)；5 位數(shù)有個(gè)； 2 9 10 3 9 10 6 位數(shù)有個(gè)； 4 9 10 （4）0 出現(xiàn)在千位，此時(shí)符合條件的 5 位數(shù)有個(gè)；6 位數(shù)有個(gè)； 3 9

25、10 4 9 10 （5）0 出現(xiàn)在萬位，此時(shí)符合條件的 6 位數(shù)有個(gè)； 4 9 10 另外 1 000 000 中有 6 個(gè) 0。 所以，從 1 到 1 000 000 的整數(shù)中，0 出現(xiàn)的次數(shù)總共有： （次） 234 92 9 103 9 104 9 105 9 106488895 另法：另法： 先不考慮 1 000 000 本身，那么任一個(gè) 000 000999 999 之間的數(shù)都可以表 示成如下形式：，其中每個(gè)是 0 到 9 的數(shù)字。 123456 d d d d d d i d 因?yàn)槊课粩?shù)字可以有 10 種選擇，根據(jù)乘法法則，共有個(gè)“6 位數(shù)” ， 6 10 又每個(gè)“6 位數(shù)”由 6

26、 個(gè)數(shù)字組成（包括無效 0） ，所以共有個(gè)數(shù)字， 6 106 又每個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的概率相等， 所以 0 出現(xiàn)的次數(shù)應(yīng)是， 5 106 但習(xí)慣上在計(jì)算 0 的個(gè)數(shù)時(shí)，不包括無效 0（即高位的 0） ，因而要從中去 掉無效 0，其中：（1）1 位數(shù)有 9 個(gè)（不包括 0） ，其無效 0 共有個(gè)（即95 00000） ； i d （2）2 位數(shù)有 90 個(gè)，其無效 0 共個(gè)。904 依次類推，無效 0 的總數(shù)為 5 94 903 9002 9000 1 90000111 105 因?yàn)槿珵?0 時(shí)的 6 個(gè) 0 和 1 000 000 本身的 6 個(gè) 0 相互抵消， 123456 d d d d d d

27、所以 1 到 1 000 000 之間的自然數(shù)中 0 出現(xiàn)的次數(shù)為 （次） 5 6 10111105488895 注意：1 出現(xiàn)的次數(shù)為（要考慮 1 000 000 這個(gè)數(shù)的首位 1） ，1106 5 2，3，9 各自出現(xiàn)的次數(shù)為。 5 106 16n 個(gè)男 n 個(gè)女排成一男女相間的隊(duì)伍，試問有多少種不同的方案？ 若圍成一圓桌坐下，又有多少種不同的方案？ 解：排成男女相間的隊(duì)伍： 先將 n 個(gè)男的排成 1 行，共有種排法； n n P 再將 n 個(gè)女的往 n 個(gè)空里插，有種排法；由于可以先男后女，也可以先 n n P 女后男，因此共有種排法；2 n n P 根據(jù)乘法法則，男女相間的隊(duì)伍共有：種

28、方案。22 ! ! nn nn PPn n 若圍成一圓周坐下，同理 先將 n 個(gè)男的圍成一圓周，共有種排法，( , )CP n n 再將 n 個(gè)女的往 n 個(gè)空中插，有種排法， n n P 根據(jù)乘法法則，圍成圓周坐下，總的方案數(shù)有：種。( , )!(1)! n n CP n nPn n 17n 個(gè)完全一樣的球，放到 r 個(gè)有標(biāo)志的盒子，要求無一空盒，nr 試證其方案數(shù)為。 1 1 n r 證明：因?yàn)闆]有空盒，可先每盒放入一個(gè)球，再將剩余的球放入 r 個(gè)盒子nr 中， 即將個(gè)無區(qū)別的球，放入 r 個(gè)不同的盒子中，每盒的球數(shù)不受限制，nr 因此方案數(shù)有：。(1,)(1,)(1,1)C rnrnrC

29、 nnrC nr 另法：插空法。 問題可看為：n 個(gè)球排成 1 行，球與球之間形成個(gè)空，再在這個(gè)空1n1n 中，插入個(gè)隔板，這樣就可形成 r 個(gè)盒子，每盒球不空的方案，其方案1r 數(shù)為。(1,1)C nr 18設(shè)，是 k 個(gè)素?cái)?shù)， 12 12 k k np pp 12 , k p pp 試求能整除盡數(shù) n 的正整數(shù)數(shù)目。 解：能整除數(shù) n 的正整數(shù)即 n 的正約數(shù)，其個(gè)數(shù)為： 。 12 (1)(1)(1) k 19試求 n 個(gè)完全一樣的骰子能擲出多少種不同的方案？ 解：每個(gè)骰子有六個(gè)面，每個(gè)面的點(diǎn)數(shù)可以是中的一種。1,2,6 由于 n 個(gè)骰子完全一樣，故這樣相當(dāng)于將 n 個(gè)完全一樣的球放到 6

30、 個(gè)不同 的盒子中，每盒球數(shù)不限。故方案數(shù)有 （種）) 1)(2)(3)(4)(5( ! 5 1 )5 , 5(), 16(nnnnnnCnnC 20凸十邊形的任意三個(gè)對(duì)角線不共點(diǎn)，試求這凸十邊形的對(duì)角線交于多少個(gè) 點(diǎn)？又把所有的對(duì)角線分割成多少段？ 解：（1）從一個(gè)頂點(diǎn)可引出 7 條對(duì)角線，這 7 條 對(duì)角線和其他頂點(diǎn)引出的對(duì)角線的交點(diǎn)情況如 下：從右到左，和第一條對(duì)角線的交點(diǎn)有： 個(gè)，和第二條的交點(diǎn)有，和第三條的交點(diǎn)有條，故和一1 72 63 5 個(gè)頂點(diǎn)引出的 7 條線相交的點(diǎn)為： ，故和從 10 點(diǎn)引出的對(duì)角線交的點(diǎn)1 72 63 54 45 36 27 184 有個(gè)，但每個(gè)點(diǎn)重復(fù)了四次

31、（因?yàn)槊總€(gè)點(diǎn)在兩條線上，而每條線又84 10840 有兩個(gè)端點(diǎn)） ，故凸十邊形對(duì)角線交于個(gè)點(diǎn)。840 4210 也可以直接這樣看也可以直接這樣看： 因?yàn)橐粋€(gè)交點(diǎn)需要兩條對(duì)角線相交，而兩條對(duì)角線又需要多邊形的四個(gè)點(diǎn) 構(gòu)成一四邊形。反之，從 n 個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)頂點(diǎn)，連成一四邊形，而四邊形 的兩條對(duì)角線必須確定唯一的一個(gè)交點(diǎn)，故凸十邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)共有： （個(gè)） 4 10 210C （前提：任三個(gè)對(duì)角線不共點(diǎn)，否則，一個(gè)交點(diǎn)不能對(duì)應(yīng) n 邊形的唯一四個(gè)頂 點(diǎn)） （2）由（1）知，一個(gè)點(diǎn)引出的 7 條對(duì)角線中，第一條線上有 7 個(gè)點(diǎn)，故將該 線段分成 8 段；第二條線上有 12 個(gè)點(diǎn)，故將該線段分

32、成 13 段，故從一個(gè) 點(diǎn)出發(fā)的 7 條線上的段數(shù)為：。8 13 16 17 16 13891 現(xiàn)有 10 個(gè)點(diǎn)。故總的段數(shù)為：。但每段重復(fù)計(jì)算了 2 次（因91 10910 為每條線有 2 個(gè)端點(diǎn)）故總的段數(shù)應(yīng)為：。910 2455 另法： 一個(gè)交點(diǎn)給相交的兩條對(duì)角線各增加 1 段，所以對(duì)角線總的段數(shù)為： 對(duì)角線數(shù)2 倍交點(diǎn)數(shù) （段） 10(103) 2 210455 2 21試證一整數(shù) n 是另一整數(shù)的平方的充要條件是除盡 n 的正整數(shù)的數(shù)目為奇 數(shù)。 證明：必要性：整數(shù) n 可表示為，且為素?cái)?shù)， 12 12 k aaa k np pp i pn i p ，1 i 則除盡 n 的正整數(shù)個(gè)數(shù)

33、為：， 12 (1)(1)(1) k aaa 若為偶數(shù)，則必存在為奇數(shù)， 12 (1)(1)(1) k aaa i 則 n 不可能寫成令一個(gè)數(shù)的平方。 所以 n 是另一整數(shù)的平方的必要條件是除盡 n 的正整數(shù)數(shù)目為奇數(shù)。 充分性：若除盡 n 的正整數(shù)的數(shù)目為奇數(shù)，則均為偶數(shù)，(1,2, ) i ik 則 1212 12 2 222 222222 121212 kk k aaaaaa aaa kkk np pppppppp 可寫成另一整數(shù)的平方。證畢。 22統(tǒng)計(jì)力學(xué)需要計(jì)算 r 個(gè)質(zhì)點(diǎn)放到 n 個(gè)盒子里去，并分別服從下列假定之一， 問有多少種不同的圖像？假設(shè)盒子始終是不同的。 （1）Maxwel

34、l-Boltzmann 假定：r 個(gè)質(zhì)點(diǎn)是不同的，任何盒子可以放任意個(gè)； （2）Bose-Einstein 假定：r 個(gè)質(zhì)點(diǎn)完全相同，每一個(gè)盒子可以放任意個(gè)。 （3）Fermi-Dirac 假定：r 個(gè)質(zhì)點(diǎn)都完全相同，每盒不得超過一個(gè)。 解：（1）問題即：將 r 個(gè)不同的質(zhì)點(diǎn)放到 n 個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子放的質(zhì)點(diǎn) 數(shù)不受限制，即相異元素允許重復(fù)排列，其方案數(shù)有： ( , ) r RPrn （2）問題即：將 r 個(gè)沒有區(qū)別的質(zhì)點(diǎn)放到 n 個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子方的質(zhì) 點(diǎn)數(shù)不受限制，即相異元素允許重復(fù)組合，其方案數(shù)有： (1)! ( , )(1, ) !(1)! nr RCrC nrr r n

35、（3）問題即：將 r 個(gè)沒有區(qū)別的質(zhì)點(diǎn)放到 n 個(gè)不同的盒子，每盒不超過一個(gè)， 即相異元素不允許重復(fù)的組合，其方案數(shù)有： ! ( , ) !()! n C n r r nr 23從 26 個(gè)英文字母中取出 6 個(gè)字母組成一字，若其中有 2 或 3 個(gè)母音， 問分別可構(gòu)成多少個(gè)字（不允許重復(fù)）？ 解：母音指元音，即 a，e，i，o，u （1）有 2 個(gè)元音。先從 5 個(gè)元音中取出 2 個(gè)，再從剩下的 21 個(gè)字母中選出 4 個(gè)，再將 6 個(gè)字母進(jìn)行全排列，則可構(gòu)成的字總共有： （個(gè)） 246 5216 43092 000C C P （2）有 3 個(gè)元音。先從 5 個(gè)元音中取出 3 個(gè)，再從剩下的

36、 21 個(gè)字母中選出 4 個(gè)，再將 6 個(gè)字母進(jìn)行全排列，則可構(gòu)成的字總共有： （個(gè)） 336 5216 9567 000C C P 24給出 的 11221 011220 nrnrnrnmrmnr mmmmm 組合意義。 證明： 組合意義一：組合意義一： 從個(gè)元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)為：(1)nr 1,2,1nr (1)nrm ，且，其(1,1)(1,)C nrnrmC nrm 1211rrn rm iiiii 中第位置上的元素可取，1r 1r i 1,2,1rrrm 當(dāng)取時(shí)（） ，前邊的 r 個(gè)數(shù)可在 1r i (1)rk 0,1,km 12 , , r i ii 這個(gè)數(shù)中取，故有種取法；

37、后邊的1,2,1 (1)rk rk k kr r kr 個(gè)數(shù)可在(1)(1)nrmrnm 231 , rrn rm iii 這個(gè)數(shù)中取，故有11,1rknr (1)(1)nrrknk 種取法。 km kn mn kn 根據(jù)乘法法則，當(dāng)時(shí)，這樣的組合數(shù)為： 1 1 r irk k kr km kn k kr km kn 1 再根據(jù)加法法則，對(duì)進(jìn)行求和，就有0,1,km 。 m rn m mrmnr m nr m nr m n1 02 2 2 2 1 1 1 1 0 組合意義二：（格路方法）組合意義二：（格路方法） 等式左端：從點(diǎn)到點(diǎn)（） ，直接經(jīng)過點(diǎn)(1,0)Ar ( 1, )Ck0,1,km

38、再到點(diǎn)的路徑數(shù)。(0, )Dk(,)B nm m 從 A 到 C 的路徑數(shù)為：， 1 (1)0 0 rkrk kk 從 D 到 B 的路徑數(shù)為：， 0nmmknk mkmk 根據(jù)乘法法則和加法法則，從 A 到 B 的路徑數(shù)有：。 0 m k rknk kmk 等式右端：從點(diǎn)到點(diǎn)的路徑數(shù)為：(1,0)Ar (,)B nm m (1)01 0 nmrmnr mm 25給出的組合意義。 121 1 rrrnn rrrrr 證明：（1）等式右端：從個(gè)元素中，任選個(gè)元素的組1n 121 , nn a aa a 1r 合方案數(shù)為：。 1 1 n r （2）等式左端：從不同元素中選取個(gè)元素，一1n 121

39、, nn a aa a 1r 定選元素，但不選元素 1( 0,1,2,) r k aknr 的方案數(shù)。根據(jù)乘法法則，當(dāng) k 值取定 21 , r knn aa a 時(shí)，這樣的方案數(shù)為從其余的個(gè)元素中任取 r 個(gè)的rk 方案數(shù)，即，再根據(jù)加法法則，總的方案數(shù)有： rk r 0 n r k rk r 26證明 。 1 2 0110 n mmmmmmnm nnnn 證明：考慮從 m 雙互不相同的鞋中取出 n 只，要求其中沒有任何兩只nm 是成對(duì)的，求方案數(shù)。 一方面，先從 m 雙鞋中選取 n 雙，共有種選法，再從此 n 雙中每雙 m n 抽掉一只，有種取法，由乘法原理，總的方案數(shù)為：2n 。2n m

40、 n 另一方面，先取出只左腳的鞋，再在其余的雙中取出(0,1, )k knmk 只右腳的鞋，則總的方案數(shù)為：nk 1 0110 mmmmmmn nnn 所以，。 1 2 0110 n mmmmmmnm nnnn 另法： 根據(jù) （） （） r n n m rn rm r m nr0,1,2,rn 從而有： 1 0110 01 01 2n mmmmmmn nnn mnmnmn nnnn mnnn nn m n 27對(duì)于給定的正整數(shù) n，證明在所有中，當(dāng)( , ) (1,2, )C n rrn 時(shí)，取得最大值。 11 , 22 2 nn n k n n 為奇數(shù) ，為偶數(shù) ( , )C n r 證明：

41、取與進(jìn)行比較。，( , )C n k( ,1)C n k ( , )1 ( ,1) C n knk C n kk 當(dāng)時(shí)，即， 2 n k 1 1 nk k ( , )( ,1)C n kC n k 當(dāng)時(shí)，即， 2 n k 1 1 nk k ( , )( ,1)C n kC n k 因此，只有當(dāng)或最接近時(shí)，取得最大值。 2 n k 2 n ( , )C n k 28 （1）用組合方法證明 和 都是整數(shù)。 (2 )! 2n n(3 )! 23 nn n （2）證明是整數(shù)。 2 1 ()! ( !)n n n 證明：（1）考慮個(gè)有區(qū)別的球放入 n 個(gè)不同的盒子里，每盒兩個(gè)，盒中球2n 不計(jì)順序，則方

42、案數(shù)為：， (2 )!(2 )! 2! 2!2!2n n nn 個(gè) 方案數(shù)是整數(shù)，所以是整數(shù)。 (2 )! 2n n 同理，考慮個(gè)有區(qū)別的球放入 n 個(gè)不同的盒子里，每盒 3 個(gè)，盒3n 中球不計(jì)順，則方案數(shù)為：， (3 )!(3 )! 3! 3!3!23 nn n nn 個(gè) 方案數(shù)是整數(shù)，所以是整數(shù)。 (3 )! 23 nn n （2）考慮個(gè)不同的球放入 n 個(gè)相同的盒子，每盒 n 個(gè)，盒中球不計(jì)順 2 n 序的方案。 先假設(shè)盒子是不同的，則這樣的方案數(shù)為：， 2 (2 )!()! !( !)n n nn nnnn 個(gè) 又盒子是相同的，所以方案數(shù)應(yīng)為：， 22 1 ()!()! ( !)(

43、!)( !) nn nn nnn 方案數(shù)必然是整數(shù)，所以是整數(shù)。 2 1 ()! ( !)n n n 29 （1）在 2n 個(gè)球中，有 n 個(gè)相同，求從這 2n 個(gè)球中選取 n 個(gè)的方案數(shù)。 （2）在個(gè)球中，有 n 個(gè)相同，求從這個(gè)球中選取 n 個(gè)的方案數(shù)。31n31n 解：（1）問題即：從集合中，選取 n 個(gè)的方案數(shù)， 121 , nn Sn e ee e 即多項(xiàng)式中的系數(shù)，即 2 (1)(1) nn xxxx n x 10 1112 nnn nnn CCC 從這 2n 個(gè)球中選取 n 個(gè)的方案數(shù)為種。2n （2）問題即：從集合中，選取 n 個(gè)的方案數(shù)， 1222122 , nnn Sn e

44、 eeee 即多項(xiàng)式中的系數(shù)，即 221 (1)(1) nn xxxx n x 1021 21212121 0 111224 n nninn nnnn i CCCC 30證明在由字母表生成的長度為 n 的字符串中，0,1,2 （1）0 出現(xiàn)偶數(shù)次的字符串有個(gè)； 31 2 n （2），其中 。 2 31 222 022 n nnn q nnn q 2 2 n q 證明：（1）采用數(shù)學(xué)歸納法 當(dāng)時(shí)，0 出現(xiàn)偶數(shù)次（0 次） ，長度為 1 的字符串為“1”和1n “2” 兩個(gè)字符串，而，故結(jié)論成立。 1 31 2 2 假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，(1)nk k 即 0 出現(xiàn)偶數(shù)次，長度為 k 的字符串有個(gè)，

45、 31 2 k 當(dāng)時(shí)，0 出現(xiàn)偶數(shù)次，長度為的字符串包括兩部分：1nk1k 在 0 出現(xiàn)偶數(shù)次，長度為 k 的字符串后面再增加一位不是 0 的 數(shù) （只能是 1 或 2） ，因此，這樣的字符串有個(gè)。 31 231 2 k k 給 0 出現(xiàn)奇數(shù)次，長度為 k 的字符串后面再增加一個(gè) 0， 因此，這樣的字符串有：。 3131 3 22 kk k 根據(jù)加法法則，0 出現(xiàn)偶數(shù)次，長度為的字符串共有：1k ，即時(shí)，結(jié)論也成立。 3131 31 22 kk+1 k 1nk 所以，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，結(jié)論成立。 （2）由（1）知，右端表示 0 出現(xiàn)偶數(shù)次的字符串?dāng)?shù)。 而左端代表的組合問題是： 長度為 n 的字符

46、串中，有 0 個(gè) 0 的字符串?dāng)?shù)有：，2 0 n n 有 2 個(gè) 0 的字符串?dāng)?shù)有：， 2 2 2 n n ， 有 q 個(gè) 0 的字符串?dāng)?shù)有：，2n q n q 根據(jù)加法法則，可知，左端代表的是長度為 n 的字符串中 0 出現(xiàn)偶數(shù) 次的字符串?dāng)?shù)，因此 2 31 222 022 n nnn q nnn q 315 臺(tái)教學(xué)儀器供 m 個(gè)學(xué)生使用，要求使用第 1 臺(tái)和第 2 臺(tái)的人數(shù)相等， 有多少種分配方案？ 解： 方法一：方法一： 先從 m 個(gè)學(xué)生中選取 k 個(gè)使用第 1 臺(tái)機(jī)器，再從剩下的個(gè)學(xué)生中選mk 取 k 個(gè)使用第 2 臺(tái)機(jī)器，其余個(gè)學(xué)生可以任意使用剩下的 3 臺(tái)機(jī)器，2mk 按乘法原理，

47、其組合數(shù)為，這里， 2 3m k mmk kk 0,1,2,() 2 m kq q 于是，按加法原理，共有種使用方案。 2 0 3 q mk k mmk kk 方法二方法二： 先從 m 個(gè)學(xué)生種選出 2k 個(gè)，再將選出 2k 個(gè)學(xué)生平均分到 1、2 臺(tái)機(jī)器上， 其余的個(gè)學(xué)生可以任意使用剩下的 3 臺(tái)機(jī)器，2mk 按乘法法則，其組合數(shù)為，這里 2 2 3 2 mk mk kk 0,1,2,() 2 m kq q 于是，按加法原理，共有種使用方案。 2 0 2 3 2 q mk k mk kk 32由 n 個(gè) 0 及 n 個(gè) 1 組成的字符串，其任意前 k 個(gè)字符中，0 的個(gè)數(shù)不少于 1 的個(gè)數(shù)的

48、字符串有多少？ 解：（參見 P21，例 1.8.8）轉(zhuǎn)化為格路問題。即從點(diǎn)到，只能從對(duì)(0,0)( , )n n 角線上方走，但可以碰到對(duì)角線的所有最短路徑數(shù)。顯然，第一步必然要 走到點(diǎn)，因此可以轉(zhuǎn)換為從點(diǎn)到的所有滿足條件的路徑數(shù)，(0,1)(0,1)( , )n n 進(jìn)一步，可以轉(zhuǎn)換為從點(diǎn)到，只能從對(duì)角線上方走，但不可(0,1)( ,1)n n 以碰到對(duì)角線的所有路徑數(shù)，因?yàn)閺狞c(diǎn)到的所有經(jīng)過對(duì)角線(0,1)( ,1)n n 的路徑數(shù)與從點(diǎn)到點(diǎn)的所有路徑數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，因此，所(1,0)( ,1)n n 求的字符串有： （個(gè)） 0(1) 11 (1)0 (2 , )(2 ,1) 1 nnnn

49、Cn nCn n nn 方法二：方法二：由 n 個(gè) 1 和 n 個(gè) 0 組成的 2n 位二進(jìn)制數(shù)共有個(gè)(2n 個(gè)不盡相 2 (2 )! ( !) n n 異元素的全排列)， 設(shè)所求的二進(jìn)制數(shù)共有個(gè)，不符合要求的數(shù)有個(gè)。而不合要求的數(shù)的 n b n r 特征是從左向右掃描時(shí)，必然在某一位首次出現(xiàn) 0 的個(gè)數(shù)小于 1 的個(gè)數(shù)，即從 左向右累計(jì)到第 2k1 位時(shí)出現(xiàn) k 個(gè) 0 和個(gè) 1。此時(shí)，后位上有1k 2() 1nk 個(gè) 1，個(gè) 0。將后部分的 0 改寫為 1，1 改寫為 0。結(jié)果整個(gè)數(shù)變成1nknk 由個(gè)和個(gè) 0 組成的 2n 位數(shù) z。即一個(gè)不合要求的數(shù)唯一對(duì)應(yīng)于這樣的1n1n 一個(gè)數(shù) z

50、。 反之，給定一個(gè)由個(gè) 1 和個(gè) 0 組成的 2n 位數(shù) z由于 1 比 0 多 21n1n 個(gè)，故一定在某一位首次出現(xiàn) 0 的累計(jì)數(shù)少于 1 的累計(jì)數(shù)。依同法將此位后的 0 與 1 互換，使 z 變成由 n 個(gè) 1 和 n 個(gè) 0 組成的 2n 位數(shù)。 所以，這兩種二進(jìn)制數(shù)一一對(duì)應(yīng)。即 !1!1 !2 nn n rn 故 。 222 2!2!2!2!11 2 , 1 !1 !11 ! nn nnnn brCn n nnnn nnn 習(xí)題二（母函數(shù)及其應(yīng)用）習(xí)題二（母函數(shù)及其應(yīng)用） 1求下列數(shù)列的母函數(shù)(0,1,2,)n （1）；( 1)n a n （2）；5n （3）； (1)n n （4）

51、； (2)n n 解：（1）母函數(shù)為：； 00 ( )( 1)()(1) nnna nn aa G xxxx nn （2）母函數(shù)為： ； 22 000 554 ( )(5)5 (1)1(1) nnn nnn xx G xnxnxx xxx 方法二：方法二： 000 1 0 22 ( )(5)14 414 1 111 1454 1(1) 1 nnn nnn n n G xnxnxx x xxx x xx x （3）母函數(shù)為： ； 2 323 000 222 ( )(1)(1)2 (1)(1)(1) nnn nnn xxx G xn nxn nxnx xxx 方法二：方法二： 22 02 222

52、00 2 222 0 2 3 ( )(1)001 21 1 2 1 nn nn nn nn n n G xn nxxn nx xnnxxx x xxx x x x （4）母函數(shù)為： 。 2 323 000 23 ( )(2)(1) (1)(1)(1) nnn nnn xxxx G xn nxn nxnx xxx 方法二：方法二： 0000 2121 0000 2 32 2 3 ( )(2)121 11 11 1211 1111 11 3 1 nnnn nnnn nnnn nnnn G xn nxnnxnxx xxxx xx xx xxxx xx xx x 2證明序列的母函數(shù)為 。( , ),(

53、1, ),(2, ),C n n C nn C nn 1 1 (1)nx 證明：因?yàn)?(, )(1, )(1,1)C nk nC nknC nkn 令， 23 0 ( )(, )( , )(1, )(2, )(3, ) k n k G xC nk n xC n nC nn xC nn xC nn x 則 ， 23 ( )( , )(1, )(2, ) n x G xC n n xC nn xC nn x 23 1( ) (1,1)( ,1)(1,1)(2,1) n GxC nnC n nxC nnxC nnx 而 1 (1)( )( )0 nn x G xGx 故 1202 111 1 11

54、nnnn GxGxGxGx x xx 又 23 0 23 ( )(0,0)(1,0)(2,0)(3,0) 1 1 1 G xCCxCxCx xxx x 所以 1 1 1 n n x xG 方法二：方法二： 已知的 k-組合數(shù)為， 12n Seee ，(1, )C nkk 其母函數(shù)為： 23 0 1 1 ( )(1) (1) nk n k nk A xxxxx kx 序列的母函數(shù)為( , ),(1, ),(2, ),C n n C nn C nn 23 00 0 1 ( )( , )(1, )(2, )(3, ) (, )(, ) (11, ) 1 (1) kk kk k k n G xC n

55、nC nn xC nn xC nn x C nk n xC nk k x C nkk x x 3設(shè)，求序列的母函數(shù)。 1234 ,Seeee n a 其中，是 S 的滿足下列條件的 n 組合數(shù)。 n a （1）S 的每個(gè)元素都出現(xiàn)奇數(shù)次； （2）S 的每個(gè)元素都出現(xiàn) 3 的倍數(shù)次； （3）不出現(xiàn)，至多出現(xiàn)一次； 1 e 2 e （4）只出現(xiàn) 1、3 或 11 次，只出現(xiàn) 2、4 或 5 次； 1 e 2 e （5）S 的每個(gè)元素至少出現(xiàn) 10 次。 解：（1） 4 35214 2 ( )() 1 r x G xxxxx x （2） 4 3634 3 1 ( )(1) 1 r G xxxx x

56、（3） 232 2 1 ( )(1)(1) (1) x G xxxxx x （4） 311245232 31124535678131516 22 ( )()()(1) ()()2 (1)(1) G xxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx xx （5） 4 10 10114 ( )() 1 x G xxx x 4投擲兩個(gè)骰子，點(diǎn)數(shù)之和為 r，其組合數(shù)是多少？(212)r 解：用表示骰子的點(diǎn)數(shù)為 i， i x （1）若兩個(gè)骰子不同，則問題等價(jià)于 r 的特殊有序 2-分拆 12 16,1,2 i rrr ri 故相應(yīng)的母函數(shù)為 234562 23456789101112 ( )() 23

57、4565432 G xxxxxxx xxxxxxxxxxx 則點(diǎn)數(shù)之和為 r 的方案總數(shù)就是的系數(shù)。 r x(212)r （2）若兩個(gè)骰子相同，則問題等價(jià)于 r 的特殊無序 2-分拆 12 12 61 rrr rr 而此問題又可轉(zhuǎn)化為求 r 的最大分項(xiàng)等于 2，且項(xiàng)數(shù)不超過 6 的分拆數(shù)， 即求方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)。 12 1212 12 0,1,6 xxr xxxx 相應(yīng)的母函數(shù)為 2 2522342 3456 2322222 23456789101112 ( )11 111 2233323 G xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx 其中點(diǎn)數(shù)之和為 r 的方案數(shù)

58、就是的系數(shù)。 r x 5投擲 4 個(gè)骰子，其點(diǎn)數(shù)之和為 12 的組合數(shù)是多少？ 解： 參考第 4 題。 （第二版第 5 題） 居民小區(qū)組織義務(wù)活動(dòng)，號(hào)召每家出一到兩個(gè)人參加。設(shè)該小區(qū)共有 n 個(gè) 家庭，現(xiàn)從中選出 r 人，問： （1）設(shè)每個(gè)家庭都是 3 口之家，有多少種不同的選法？當(dāng) n=50 時(shí)，選法 有多少種？ （2）設(shè) n 個(gè)家庭中兩家有 4 口人，其余家庭都是 3 口人，有多少種選法？ 解：（1） 122 33 ( ) n G xC xC x （2） 22 122122 3344 ( ) n G xC xC xC xC x （第二版第 6 題） 把 n 個(gè)相同的小球放入編號(hào)為的 m 個(gè)

59、盒子中，使得每個(gè)盒子內(nèi)1,2,3,m 的球數(shù)不小于它的編號(hào)數(shù)。已知，求不同的放球方法數(shù)。 2 2 mm n ( ,)g n m 解：對(duì)應(yīng)母函數(shù)為： (1) 2323412 (1)23 (1) ( )()()() (1) (1)(1)(2) (1 1!2!3! (1)(1) 1 (1)! m m mmm m m m n m m x G xxxxxxxxxx x mm mm mm xxxx m mmnm m x nm m 故 2 (1)(1) 1(1)(1) ( ,) (1)!(1)! m mmnm mm mnm g n m nm mnm m 6紅、黃、藍(lán)三色的球各 8 個(gè)，從中取出 9 個(gè)，要求

60、每種顏色的球至少一個(gè)， 問有多少種不同的取法？ 解：對(duì)應(yīng)的母函數(shù)為： 2345678 3 32345673 32345678910 11121314234567 ( )() (1) (12345678765 432)(1) G xxxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx 從中取 9 個(gè)對(duì)應(yīng)的組合數(shù)為的系數(shù)，即 9 x （種） 1 12 1 3 14 1 5 1 6 1 7 128 方法二：方法二： 原問題等價(jià)于從集合中取出 9 個(gè)元素，且每個(gè)元素8,8,8Sabc 至少取一個(gè)?，F(xiàn)在先把元素 a、b、c 各取一個(gè)，然后再隨意選出 6 個(gè)，則問題 轉(zhuǎn)變?yōu)閺?/p>