微分學(xué)SECTION31

1、、單變量函數(shù)的微分1. 基本概念(一確定的有限導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何意義 設(shè)函數(shù) y=f(x)當(dāng)自變量在點(diǎn) x 有一改變量 x時(shí),函數(shù) y 相應(yīng) 地有一改變量 y f(x x) f(x) ,那末當(dāng) x趨于零時(shí),若比 y 的極限存在x值)，則稱這個(gè)極限為函數(shù) f(x)在點(diǎn) x 的導(dǎo)數(shù),記作dy y f (x x) f (x)y f (x) lim limdx x 0 x x 0 x圖 5.1這時(shí)稱函數(shù) f(x)在點(diǎn) x是可微分的函數(shù) (或稱函數(shù) f(x)在點(diǎn) x可 微)。在幾何上 ,函數(shù) f(x)的導(dǎo)數(shù) f (x) 是函數(shù) y=f(x)表示的曲線在點(diǎn) x 的切線的斜率 ,即f (x)=tan式中為曲

2、線在點(diǎn)單邊導(dǎo)數(shù)x 的切線與 x 軸的夾角 ( 圖 5.1)。f (x) = lixm0 f(x x) f(x)f (x x) f(x)f (x)= lixm0x分別稱為函數(shù) f(x)在點(diǎn) x 的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù) f (x) 存在的充分必要條件是 :f (x) = f (x) 無(wú)窮導(dǎo)數(shù) 若在某一點(diǎn) x 有f (x x) f (x)lixm0=x則稱函數(shù) f(x)在點(diǎn) x 有無(wú)窮導(dǎo)數(shù)。這時(shí)函數(shù) y=f(x)的圖形在點(diǎn) x 的切線與 x 軸垂直 (當(dāng) f (x) =時(shí),方向相反 )。+時(shí),函數(shù) f(x)的圖形在點(diǎn) x 的切線正向與 y 軸方向一致 ,當(dāng) f (x)=函數(shù)的可微性與連續(xù)性的關(guān)系 如

3、果函數(shù) y=f(x)在點(diǎn) x 有導(dǎo)數(shù)，那末它在點(diǎn) x一定連續(xù)。 反之 ,連續(xù)函數(shù)不一定有導(dǎo)數(shù) ,例如1 函數(shù) y=|x|在點(diǎn) x=0 連續(xù),在點(diǎn) x=0,左導(dǎo)數(shù) f (0)=1,右導(dǎo)數(shù) f (0) =1,而導(dǎo)數(shù) f (0) 不存在 (圖 5.2)。圖 5.22 函數(shù)y=f(x)= xsin x (x 0)x0 (x 0)圖 5.3在點(diǎn) x=0 連續(xù),但在點(diǎn) x=0 左右導(dǎo)數(shù)都不存在 (圖 5.3)2. 求導(dǎo)數(shù)的基本法則四則運(yùn)算求導(dǎo)公式 若c為常數(shù),函數(shù) u=u(x), (x) 都有導(dǎo)數(shù),則 (c) =0 (cu) =cu(u ) u (u ) uuu u ( 0)2復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 若 y=f(

4、u),u= (x) 都有導(dǎo)數(shù) ,則dy= f (u) (x) dx反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 如果函數(shù) y=f(x)在點(diǎn) x 有不等于零的導(dǎo)數(shù) ,并且反函數(shù) x=f1(y)在點(diǎn) y 連 1續(xù),那末 xy 存在并且等于 1 ，即yx1xy=yx隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 假定函數(shù) F(x,y)連續(xù) ,并且對(duì)于每個(gè)自變量都有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),而且F(x,y)=0Fy(x, y) 0，則由所決定的函數(shù) y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y = yx Fx式中Fx F ，F(xiàn)y F (見本節(jié)，四)xy用參數(shù)表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 設(shè)方程組x (t)y (t)t)式中 (t)和 (t) 為可微分的函數(shù) ,且 (t) 0,則由隱函數(shù)存在定理 (本節(jié),四,1)可

5、把 y 確定為 x的單值連續(xù)函數(shù)y= 1(x)而函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可用公式y(tǒng)tyyxxtx求得。用對(duì)數(shù)求導(dǎo)數(shù)法 求一函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ,有時(shí)先取其對(duì)數(shù)較為便利 ,然后由這函數(shù)的對(duì)數(shù)求其導(dǎo)數(shù)。例求(x a) p(x b) q(x c)r的導(dǎo)數(shù)。解 兩邊各取對(duì)數(shù) , 得lny=pln(xa)qln(xb)rln(xc)左邊的 lny 為 y 的函數(shù),而 y 又為 x的函數(shù),故應(yīng)用求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的法則得到1(ln y) 1 yy由此得1 y p q ry x a x b x c所以y (x a) p(x b)q p q r(x c) r x a x b x c3. 函數(shù)的微分與高階導(dǎo)數(shù)函數(shù)的微分 若函數(shù) y=f

6、(x)的改變量可表為y A(x)dx+o(dx)式中 dx=x，則此改變量的線性主部 A(x)dx 稱為函數(shù) y 的微分 ,記作dy=A(x)dx函數(shù) y=f(x)的微分存在的充分必要條件是 :函數(shù)存在有限的導(dǎo)數(shù) y = f (x),這時(shí)函數(shù)的微分 是dy= f (x)dx上式具有一階微分的不變性 ,即當(dāng)自變量 x 又是另一自變量 t 的函數(shù)時(shí) ,上面的公式仍然成立.高階導(dǎo)數(shù) 函數(shù) y=f(x)的高階導(dǎo)數(shù)由下列關(guān)系式逐次地定義出來(lái) (假設(shè)對(duì)應(yīng)的運(yùn)算都有意義)：f (n)(x) = f(n 1)(x) (n 2,3, ) 高階微分 函數(shù) y=f(x)的高階微分由下列公式逐次定義： dn y=d(

7、dn1 y) (n 2,3, )式中 d1 y dy y d x .并且有及dn(n)y=ydx(n)yndyndx萊布尼茨公式 若函數(shù) u= (x) 及 = (x)有 n階導(dǎo)數(shù) (可微分 n 次),則 n(u )(n)Cniu(i) (n i)i0式中u(0) u, (0),Cni 為二項(xiàng)式系數(shù)。同樣有nn i n i i dn(u ) Cni dn i u di i0式中更一般地有d0 u u(u1u2 um )(n)n!u1 ik n i1!i2! im!0 ik n(i1)(i2)(im)1 u2 2um m式中 m，n 為正整數(shù)。復(fù)合函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)dnd n (f ( (x)dx若函

8、數(shù) y=f(u),u= (x) 有 l 階導(dǎo)數(shù)，則 i1 u(2) i2 in i1!i2! il! 1! 2!n!f (i) u1ik ilkik nk1u(l) ill!式中(i) di f duiu(k)dk udxkf(x)f (x)f(x)f (x)c0cscxcosxcot xcscx2 sin xn xn1 nx arcsinx11 x211arccos x1x2 x1 x21narctanx1n xn1 x1x2n1arccotx1nxn n 1 nx1 x2xxarc sec x1eexx2 1xx1aax ln aarc cscxxx2 1x xx x(1 ln x)sh

9、xchxln x1xch xshxlog a x1th x1sech2xxln ach 2 xlg x11 lge 0.4343xxcth x1csch2xsh2 xsinxcosxsech xsechx th xcosxsinxcsch xcschxcth x基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)表 tanxcotxsecxArch x= ln(x x2 1)Arth x=1 1 xln2 1 x(x1 x2 1f0 取+，f0 取 , f 0 取 +1,x0x 1 x2cthxth xsechxcschxsin xch x(x1)簡(jiǎn)單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)表 f(x)f (n) (x)mxm(m1)(mn+1)xm n

10、(當(dāng) m 為整數(shù)且 nm 時(shí)，f (n)(x)=0)x( 1)n 1 (2n 3)! 1n 2n 122 x2這里(2n+1)!=(2n+1)(2n1) 5 3 1)x ex emxen mx mex aa x (ln a) n (a0)ln x( 1)n1(n 1)! 1nxlog a x( 1)n 1 (n 1)! 1n ln a xsinxnsin(x )2cosxncos(x )2sinmxnnm sin( mx)2cosmxnnm cos(mx )2shxshx（n 為偶數(shù)）， chx（n 為奇數(shù)）chxchx（n 為偶數(shù) ）， shx（n 為奇數(shù)）4. 數(shù)值導(dǎo)數(shù)當(dāng)函數(shù)用圖形或表格給

11、出時(shí) ,就不可能用定義求出它的導(dǎo)數(shù) ,只能用近似方法求數(shù)值導(dǎo)數(shù)圖解微分法 適用于用圖形給出的函數(shù)求導(dǎo)數(shù) ,例如機(jī)械設(shè)計(jì)中已知 st 圖,求 t 圖, at 圖等,其基本步驟如下：(1) 將原坐標(biāo)系 Oxy沿 y軸負(fù)方向平移一段距離得坐標(biāo)系 Oxy (圖 5.4).圖 5.4(2) 過(guò)曲線 y=f(x)上點(diǎn) M1(x1,y1)作切線 M1T1 .在坐標(biāo)系 O x y內(nèi),過(guò)點(diǎn) P(1,0)作 PQ1 平行 于M1T1交y軸于點(diǎn)Q1 ,那末點(diǎn)Q1 (點(diǎn)M1)的縱坐標(biāo)就是導(dǎo)數(shù) y1 f (x1) .以Q1的縱坐標(biāo)為縱 坐標(biāo),x1 為橫坐標(biāo)作出點(diǎn) M1 .(3) 在曲線 y=f(x)上取若干個(gè)點(diǎn) M1,

12、M2, ,M n ,在曲線彎曲程度較大處點(diǎn)取得密些 .仿上作 法,在坐標(biāo)系 O xy 內(nèi)得到相應(yīng)點(diǎn) M1 ,M2 , ,Mn ,順次連成光滑曲線 ,即是導(dǎo)函數(shù) y f (x) 的 圖形.差商公式 在實(shí)用中常使用下列簡(jiǎn)單的近似公式 f (a) fh(a) ,f (a)h22f(a) , h2 , ,(k)(a)k f (a) hk式中f(a)= f(a h) f (a)22f (a)f(a h) f (a)函數(shù) f (x)在點(diǎn) a 的階差分) (函數(shù) f (x)在點(diǎn) a 的階差分)kf(a) k1f(a h) k1f(a) (函數(shù) f (x)在點(diǎn)a的k階差分) 在函數(shù)的數(shù)值表中 ,如果有誤差 ,

13、則高階差分的偏差較大 ,所以用以上公式不宜計(jì)算高階導(dǎo) 數(shù).用插值多項(xiàng)式求數(shù)值導(dǎo)數(shù) 假定已經(jīng)求出了函數(shù) y=f (x)的插值多項(xiàng)式 Pn (x),它可以求導(dǎo) , 則用 Pn (x) 近似 f (x),由f(x)=Pn(x)+Rn(x)略去余項(xiàng) ,得 f (x)Pn(x)f (x) Pn(x)等等.它們的余項(xiàng)相應(yīng)為 Rn(x) ,Rn(x),等等.應(yīng)當(dāng)指出,當(dāng)插值多項(xiàng)式 Pn(x)收斂于 f(x)時(shí), Pn ( x)不一定收斂于 f(x).另外,當(dāng) h縮小時(shí),截 斷誤差減小 ,但舍入誤差卻增加 ,因此 ,采用縮小步長(zhǎng)的方法也不一定能達(dá)到提高精度的目的 .由 于用插值法求數(shù)值微分的不可靠性 ,在計(jì)算

14、時(shí) ,要特別注意誤差分析 ,或者改用其他方法 .拉格朗日公式 (由拉格朗日插值公式得來(lái) ,見第十七章 , 2,三) dy dx式中nf (x)Lk (x)yk Rn(x)k0nLk (x)j 0 (x xk )(x x j ) n (xk )jknn (x) (x xk )k1(n 1)( )n (x) dn (x) n f (n 1)! n (n 1)! dxRn (x)n(x)(n 1) ( )(x) ( x0xn )馬爾科夫公式 (由牛頓插值公式得來(lái) ,見第十七章 , 2,二)21 2t 1 2 3t 6t 2 3 d i nf (x0 th) ( y02y03y0Cni n y0( n

15、 1)( )(x0xn )h 2 6 dt hnf(n1)( )dCnt1 hn1Cnt1 d f dt dx特別,當(dāng)t = 0時(shí),有hf0y0 1 2 y 1 32(2)0h2h3(3)0h4(4)0y0 1 3 y0 1 4 y0( 1)n y03 4 n2 3 11 4 5 5y0y0y0y012 63 y0 3 4 y00 2 045y0 2 y0h5(5)056 y0 52 y075y015 6y04817 677y07y0622573587y08 y0等距公式 三點(diǎn)公式y(tǒng)tf (x0 th)1h t 12 y 12ty0四點(diǎn)公式3t2 22t 2y1 3t26 1y22 1 6 2

16、22yt f (x0 th) 1 3t 6t 2 y 3t 4t 1 t 0 y 1 2五點(diǎn)公式324t 3t 8t 4y1yt f (x0 th) 1 2t 3t t 1yh 12 y 62t 3 5t4t 3 3t 2 8t 4 2t 3 3t 2 t 1y0y1y22 6 12 用三次樣條函數(shù)求數(shù)值導(dǎo)數(shù) 這個(gè)方法能避免用插值法求數(shù)值導(dǎo)數(shù)的不可靠性 .因?yàn)閷?duì)于樣條函數(shù) (曲線 y=f(x)的三次樣條函數(shù) S(x)的作法見第十七章 , 2,四),當(dāng)被插值函數(shù) f(x)有四 階連續(xù)導(dǎo)數(shù) ,且 hi=xi+1xi0 時(shí),只要 S(x)收斂于 f(x),則導(dǎo)數(shù) S(x) 一定收斂于 f (x),且

17、 S(x) f(x)=O(H4)，S(x) f (x)O(H3),S (x) f (x) O(H2) ,其中 H 是 hi 的最大值 ,因此,可直接通過(guò)三次樣條函數(shù)f (x) S(x)2 (xi 1 x) 3 (xi 1 x) yihi2hi332 (xxi )23 (x xi)yi1hi2ihi3 i i11 2 1 3hi 2 (xi 1 x)3 (xi 1 x) mihi1hi2hi3hi1 2 1 3hi2 (xxi)3 (xxi)mi1ihi2ihi3i i1求數(shù)值導(dǎo)數(shù)得f (x) S (x)= 62 1 (xi1 x)2 (xi1 x) yihi hih62 (hi21 3 2(x

18、i 1 x) 2(xi 1 x) mihi hi1322(x xi) (x xi)2 mi 1hihif (x) S (x) h62 1 h2 (xi 1 x) yih6i2 1 h2i (x xi ) yi13(x xi )hiS (xi )12(x xi )(x xi) yi 1ihii i 1h2 1 h3(xi1 x) mi hihih2i1 式中hi xi 1 xi , yif(xi),mi若僅求樣點(diǎn) xi上的導(dǎo)數(shù) ,則 f (xi ) mi f (xi)S (xi)= 62 yihi2 6f (xi 1)S (xi 1)= 2 yi 2 hihimi 1(i=0,1,2, ,n)。

19、6hi2642yi 1mimi 1hihi24 mimi 1hihiyi 1二、多變量函數(shù)的微分偏導(dǎo)數(shù)及其幾何意義 設(shè)二元函數(shù)u=f(x,y)當(dāng)變量 x 有一個(gè)改變量 x 而變量 y 保持不變時(shí) ,得到一個(gè)改變量u=f(x+x,y)f(x,y)如果當(dāng) x0 時(shí),極限存在,那末這個(gè)極限稱為函數(shù) u=f(x,y)關(guān)于變量 x 的偏導(dǎo)數(shù) ,記作 u 或 f(x,y) ,也記作 fx(x,y)xx或 fx(x,y) ,即類似地,可以定義二元函數(shù) u=f(x,y)關(guān)于變量 y 的偏導(dǎo)數(shù)為u f(x, y)圖 5.5偏導(dǎo)數(shù)可以按照單變量函數(shù)的微分法則求出 ,只須對(duì)所論變量求導(dǎo)數(shù) ,其余變量都看作常偏導(dǎo)數(shù)的

20、幾何意義如下 :二元函數(shù) u=f(x,y)表示一曲面 ,通過(guò)曲面上一點(diǎn) M(x,y,u)作一平行于 Oxu 平面的平面 ,與曲面 uu有一條交線 , u 就是這條曲線在該點(diǎn)的切線與 x 軸正向夾角 的正切,即 u =tan .同樣,有 xxu =tan ( 圖 5.5).yA x B y= u dx+ u dy xy偏導(dǎo)數(shù)的定義不難推廣到多變量函數(shù) u=f(x1,x2, ,xn)的情形 .偏微分 多變量函數(shù) u=f(x1,x2, ,xn)對(duì)其中一個(gè)變量 (例如 x1 )的偏微分為dx1 udx1x1也可記作 dx1 f .可微函數(shù)與全微分 若函數(shù) u=f(x,y)的全改變量可寫為u f(x x

21、,y y) f(x,y)= A x B y+O( )式中 A,B 與 x, y無(wú)關(guān),( x)2 ( y)2 ,則稱函數(shù) u=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微分 (或可微 ),這時(shí)函數(shù) u=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù) u , u 一定存在 , 而且 改變量 u 的線性主部稱為函數(shù) u=f(x,y)的全微分 ,記作du= u dx+ u dy(1)xy函數(shù)在一點(diǎn)可微的充分條件 :如果在點(diǎn) (x,y)函數(shù) u=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù) u , u存在而且連續(xù) ,那 xy 末函數(shù)在該點(diǎn)是可微的 .公式(1)具有一階微分的不變性 ,即當(dāng)自變量 x,y又是另外兩個(gè)自變量 t,s的函數(shù)時(shí) ,上面的公 式仍然成立 .上述

22、結(jié)果不難推廣到多變量函數(shù) u=f(x1,x2, ,xn)的情形 .注意 ,在一個(gè)已知點(diǎn) ,偏導(dǎo)數(shù)的存在一般說(shuō)來(lái)還不能確定微分的存在 .復(fù)合函數(shù)的微分法與全導(dǎo)數(shù) 設(shè) u=f(x,y),x= (t,s),y= (t,s),則u=ux+uyt=xtytu=uxuy+sxsys設(shè) u=f(x1,x2, ,xn),而 x1,x2, ,xn又都是 t1,t2, ,tm的函數(shù),則uux1ux2uxnt1x1t1x2t1xnt1uux1ux2uxn1 2 nutmt2x1t2x2t2xnt2ux1ux2uxnx1tmx2tmxntm3設(shè) u=f(x,y,z),而 y= (x,t),z= (x,t),則 u =

23、 fx(x, (x,t), (x,t) fy (x, (x,t), (x,t) x(x,t) xfx(x, (x,t), (x,t) x(x,t)u = fy(x, (x,t), (x,t) t(x,t) fz(x, (x,t), (x,t) t (x,t)t y t z t4設(shè) u=f(x1,x2, ,xn), x1= x1(t), x2= x2(t), ,xn xn (t) ,則函數(shù) u=f(x1,x2, ,xn )的全導(dǎo)數(shù)為duu dx1u dx2u dxndtx1 dtx2 dtxn dt齊次函數(shù)與歐拉公式 如果函數(shù) f(x,y,z)恒等地滿足下列關(guān)系式 f(tx,ty,tz)= tk

24、 f(x,y,z)則稱 f(x,y,z)是一個(gè) k次的齊次函數(shù) .對(duì)于這種函數(shù) ,只要它可微 ,就有x f y f z f kf (歐拉公式 ) xyz注意,齊次函數(shù)的次數(shù) k 可以是任意實(shí)數(shù) ,例如,函數(shù)x sin y y cos x xy就是自變量 x及 y的次齊次函數(shù) . 隱函數(shù)的微分法 設(shè) F(x1,x2, ,xn,u)=0,則 F x1 F u F x2uux1x1ux2ux2(參考本節(jié) ,四).uxnF xnFuu0uuxn 高階偏導(dǎo)數(shù)與混合偏導(dǎo)數(shù) 函數(shù) u=f(x1,x2, ,xn)的二階偏導(dǎo)數(shù)為u2x1222u , u , u ,后者稱為混合偏導(dǎo)數(shù).三階偏導(dǎo)數(shù)為 x1 x2x1

25、 x3x2 x33 3 3u3 ,u2 , u , 。類似地可定義更高階的偏導(dǎo)數(shù) .32xn x1 x2 x1 x2 x3關(guān)于函數(shù)乘積的混合偏導(dǎo)數(shù)有下面公式 :設(shè) u, 都是 x1,x2, ,xn的函數(shù),則 i1 ini! i !j1 j nk1 k ni1! i n!k1kn1k1xnkn2ux223ux13,2u 和,2和xn23u , x32ni i (u ) 1 n j j u ki1inj1jn kx1i1xninjhkhihj1!j n!k1!kn!x1j1xnjnx1k1hn注意 ,混合偏導(dǎo)數(shù)一般與求導(dǎo)的次序有關(guān) ,但是,如果兩個(gè)同階的偏導(dǎo)數(shù) ,只是求導(dǎo)的次序不 同,那末只要這兩

26、個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù) ,它們就一定彼此相等 .例如,如果在某一點(diǎn) (x,y)函數(shù) fxy與 f yx 都連續(xù) ,那末一定有f xy (x,y)= fyx (x,y)高階全微分 二元函數(shù) u=f(x,y)的二階全微分為 2u2u 22 dxdy2 dy2x y y2u d2u=d(du)= u2 dx2x2或簡(jiǎn)記作22 d u= dx dy u xy2 2 2, 經(jīng)平方后出現(xiàn) 2 , , 2 ,它們?cè)僮饔玫胶瘮?shù) u=f(x,y)上,以下類同 . x y x x y y二元函數(shù) u=f(x,y) 的 n 階全微分為式中偏導(dǎo)數(shù)符號(hào)d u= d x d yxy多變量函數(shù) u=f(x1,x2, ,xm)的 n

27、 階全微分為dn u= d x1 偏導(dǎo)數(shù)的差分形式 d x2d x mx1y2x m2u0,02x13h 2 (u1,12u0,1 u 1,1u1,02u0, 0u 1,0u1, 12u0, 1 u 1, 1 )差分公式2uy2u 0,0 1y2l2(u0,1 2u0,0 u0, 1)2uxy2u0,0xy1(u1,1 u1, 1 u 1,1 u 1, 1) 4hl2 u0,012 2 ( u0,2 16u0,1 30u0,0 16u0, 1 u0, 2 ) y2 12l 2 0,2 0,1 0,0 0, 1 0, 22u0, 0122 (u1,1 2u1,0 u1, 1 u0,1 2u0,0

28、y 3lu0, 1 u 1,1 2u 1,0 u 1, 1 )2u0,0xy1(u1,0 u 1,0 u0,1 u0, 12hl2u0,0 u1,1 u 1, 1 )2u0,01(u1,0 u 1,0 u0,1 u0, 1 2u0,0 u 1,1 u1, 1 ) x y 2hl4ux4圖示4u22xyu 0,0 14 4 (u2,0 4u1,0 6u 0,0 4u 1,0 u 2,0 ) x4h4差分公式u0,014 4 (u0,2 4u0,1 6u0,0 4u0, 1 u0, 2 ) y4l4u0,022xy12 2 (u1,1 u 1,1 u1, 1 u 1, 1 2u1,0 hl2u 1

29、,0 2u0,1 2u0, 1 4u0,0 )2h u0,04u0,0 u1,0 u0,1 u 1,0 u0 , 1212h u0,060u0,0 16(u1, 0 u 1,0 u0,1u0, 1) (u2,0 u 2,0 u0,2 u0, 2 )h u0,020u0,0 8( u1,0 u0,1 u 1,0 u0, 1)2(u1,1 u1, 1 u 1,1 u 1, 1 )(u2,0 u0,2 u 2,0 u0, 2 )46hu0,0(u0,3 u0, 3 u3,0 u 3,0 )14(u0,2 u0, 2 u2,0 u 2,0 )77(u0,1 u0, 1 u1,0 u 1,0 )184u

30、0,0 20(u1,1 u1, 1 u 1,1 u 1, 1) (u1,2 u2,1 u1, 2 u2, 1u 1,2 u 2,1u 1, 2u 2, 1)三、函數(shù)行列式 (或雅可比式 )及其性質(zhì)y1 f1(x1,x2, ,xn)y2 f2 (x1,x2, ,xn)(1)(1)yn fn(x1,x2 , ,xn)它們定義在某一n 維區(qū)域 D 中 ,并關(guān)于自變量有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,則由這些偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式設(shè)有 n個(gè)自變量的 n 個(gè)函數(shù)y1x1 y2 x1y1 x2 y2 x2y1 xn y2 xnynx1ynx2ynxn稱為函數(shù)組 (1)的函數(shù)行列式或雅可比式。記作(y1,y2, , yn)(x1

31、,x2, ,xn )函數(shù)行列式具有與普通導(dǎo)數(shù)相似的一系列性質(zhì)1 除函數(shù)組 (1)外,再取在區(qū)域 P 中有定義且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)組x1 1(t1,t2 , ,tn)x22(t1,t2 , ,tn)xnn(t1,t2 , ,tn)假設(shè)當(dāng)點(diǎn)(t1,t2, ,tn)在 P 中變動(dòng)時(shí),對(duì)應(yīng)點(diǎn)(x1,x2, , xn )并不越出區(qū)域 D,于是就可以通過(guò) x1,x2,(2),xn把 y1,y2, ,yn看成是 t1,t2, ,tn的復(fù)合函數(shù) .這時(shí)有 (y1,y2,yn)(x1,x2,xn)(y1, y2,yn)(x1,x2,xn)(t1,t2,tn)(t1,t2,tn)它是一元的復(fù)合函數(shù)的微分法則y=f(x),x= (t) ；d y d y dx dt = dx dt的推廣2 特別是,如果令 t1=y1,t2=y2, ,tn=yn(換句話說(shuō) ,由新變量 x1,x2, , xn又回到舊變量 y1,y2, yn),則由(2)式得到(y1,y2, , yn)(x1,x2, ,xn)=1 (x1,x2, ,xn)(y1,y2, , yn)它是一元函數(shù)的反函數(shù)微分法則y=f(x), x= (y); d y 1dx dxdy的推廣。3 設(shè)有 n個(gè)自變量 x1,x2, ,xn的 m(mn)個(gè)函數(shù) y1,y2, ,ym：y1 f1