兩個(gè)重要極限練習(xí)題

1、1-7兩個(gè)重要極限練習(xí)題x教學(xué)過程:引入:考察極限si nx limx 0 xx(弧度)0.500.100.050.040.030.02sin xX0.95850.99830.99960.99970.99980.9999當(dāng)x取正值趨近于0時(shí)，竺蘭x1，即 limx 0問題1：觀察當(dāng)x0時(shí)函數(shù)的變化趨勢(shì):sinx =1 ；x當(dāng)x取負(fù)值趨近于0時(shí)，-x 0, - x0, sin(-x)0 于是limx 0sin( x)(x)si nx limx 0綜上所述，得1sin x limx 0lim業(yè)1的特點(diǎn)：x 0 x(1) 它是“-”型，即若形式地應(yīng)用商求極限的法則，得到的結(jié)果是0(2) 在分式中同時(shí)

2、出現(xiàn)三角函數(shù)和x的幕.推廣如果limx a(x)=o,( a可以是有限數(shù)xo,或)，limx asin x = lim sin x =1.x 0求lim亞x 0 xsin xtanx _ lim =limx 0 x x 0sin 3x 求limx 0 xsin3x 3sin3x lim =lim x 0 xx 0cosxxsi nx limx 0 xcosxsinx limx 0lim x x 0 cosx1 1 1.3x(令3x t) 3問sintt求血匚字x 0 x21 cosxx1叫=x1叫2si n2x2X- 22X - 22(.X . xsinsin2 _2Xx22求 xim0arc

3、sinx所以x3tanx sinx limx 0x3sinx sin x= cosx= lim3x 0x31 cosx sinx -limcos_x 0 x3考察極限lim(1x= lim 竺 lim 丄x 0 x x 0 cosx1 cosx lim 2 x 0 x21 x)e xx1210100010000100000100000(1 bx22.252.5942.7172.71812.71822.71828問題2:觀察當(dāng)x當(dāng)x取正值并無(wú)限增大時(shí)，(1丄)x是逐漸增大的，但是不論x如何大，(1 -)x的值xx+時(shí)函數(shù)的變化趨勢(shì):總不會(huì)超過3.實(shí)際上如果繼續(xù)增大 x即當(dāng)x +時(shí)，可以驗(yàn)證(1丄

4、)x是趨近于一個(gè)確定x的無(wú)理數(shù) e= 2.718281828當(dāng)x -時(shí)，函數(shù)(1丄)x有類似的變化趨勢(shì)，只是它是逐漸減小而趨向于e.x綜上所述，得lim (1 Z)x=e.x x-)x=e的特點(diǎn):xlim(1x十宀r無(wú)窮大案lim(1+無(wú)窮小)(2)“無(wú)窮小”與“無(wú)窮大”的解析式互為倒數(shù).推廣(1)若lim (x)=x a,(a可以是有限數(shù)X0,或)，則(2)若lim(1x a(x) lim 1x1(x)(x)(=e;limx a(x)=0,( a可以是有限數(shù)X0,或)，則limx a1x (x)lixm0(x) =e.變形令1 =t ,x如果在形式上分別對(duì)底和幕求極限，得到的是不確定的結(jié)果

5、定型.代入后得到因此通常稱之為 1不解 令 arcsin x=t，貝U x=sin t 且 x 0 時(shí) t 0. arcsi nxt lim=lim1 x 0 x t o si nttanx sinx求limx 0例6 求 lim(1 -)x - x解2令x=t，則_ 2xt當(dāng)x時(shí)t0,于是lim (1x-)x：x= lim (1t 02t)亍例7求 lim(3x 2x)xx解令 3 x =1+u,則x=212 xu當(dāng)x時(shí)u0,于是lim (x 2x)xx= lim(1u 02u)1uf=lim(1 u 0x帆(11例81uU叫K1Uimo(11-2t)t2=e 2(1 u)2 -1u) =e

6、 .求 lim(1 tanx)cotxx 01設(shè) t =tan x,貝U= cot x.t0 時(shí) t 0,1pm（1 tan x）cotx = lim（1 tf=e.小結(jié)：兩個(gè)重要極限在求極限過程中有著很重要的作用，特別要注意其變式。 作業(yè)：見首頁(yè)-1導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)過程：引入：一、兩個(gè)實(shí)例實(shí)例1瞬時(shí)速度考察質(zhì)點(diǎn)的自由落體運(yùn)動(dòng)真空中，質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t=0到時(shí)刻t這一時(shí)間段下落的路程 s由公式s=lgt2來(lái)確定.現(xiàn)在來(lái)求t =1秒這一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度.2當(dāng)t很小時(shí)，從1秒到1+ t秒這段時(shí)間，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度變化不大，可以這段時(shí)間的平均速度作為質(zhì)點(diǎn)在 t =1時(shí)速度的近似.t (s)s(m)(m/ s)

7、t0.11.02910.290.010.098499.8490.0010.00980499.80490.00010.0009800499.800490.000010.000098000499.800049上表看出，平均速度 隨著t變化而變化，當(dāng) t越小時(shí)，一?越接近于一個(gè)定值一 tt9.8m/s .考察下列各式：1 ,2121, ,2 s=-g(1+ t)丄 g1 =丄 g2 t+( t),2 2 2s 1=gt 22亠 1g(2+t 2t),思考：當(dāng)t越來(lái)越接近于0時(shí)，一s越來(lái)越接近于1秒時(shí)的“速度”.現(xiàn)在取 t 0的t極限，得s1lim lim g 2 tg=9.8(m/ s).0 t02

8、為質(zhì)點(diǎn)在t =1秒時(shí)速度為瞬時(shí)速度.一般地，設(shè)質(zhì)點(diǎn)的位移規(guī)律是s=f(t)，在時(shí)刻t時(shí)時(shí)間有改變量t , s相應(yīng)的改變量為s=f( t + t)- f(t)，在時(shí)間段t到t+ t的平均速度為s f t t f tv =tt對(duì)平均速度取 t 0的極限，得sv(t )= lim -t 0 t稱v(t)為時(shí)刻t的瞬時(shí)速。研究類似的例子實(shí)例2曲線的切線設(shè)方程為y=f(x)曲線為L(zhǎng).其上一點(diǎn)A的坐標(biāo)為(X0, f(x。).在曲線上點(diǎn) A附近另取一 點(diǎn)B,它的坐標(biāo)是(X0+ x, f(x0+ x).直線AB是曲線的割線，它的傾斜角記作.由圖中的Rt ACB可知割線AB的斜率tan=CBACy f X。 x

9、 f X。xxx在數(shù)量上，它表示當(dāng)自變量從 X變到X+ X時(shí)函數(shù)f (x) 關(guān)于變量X的平均變化率(增長(zhǎng)率或減小率).現(xiàn)在讓點(diǎn)B沿著曲線L趨向于點(diǎn)A,此時(shí)x 0, 過點(diǎn)A的割線AB如果也能趨向于一個(gè)極限位置直線AT,我們就稱L在點(diǎn)A處存在切線AT.記AT 的傾斜角為，則 為的極限，若90，得切線AT的斜率為tan=lim tan= lim y lim f(x0X) f (X0)x 0x 0 xx 0X在數(shù)量上，它表示函數(shù) f (x)在X處的變化率.上述兩個(gè)實(shí)例，雖然表達(dá)問題的函數(shù)形式y(tǒng)=f(x)和自變量x具體容不同，但本質(zhì)都是要求函數(shù)y關(guān)于自變量x在某一點(diǎn)x處的變化率.1. 自變量X作微小變化

10、 X，求出函數(shù)在自變量這個(gè)段的平均變化率，作為點(diǎn)XX處變化率的近似；2. 對(duì)y求X 0的極限lim，若它存在，這個(gè)極限即為點(diǎn)x處變化率的的精確值.x 0 x二、導(dǎo)數(shù)的定義1. 函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)的概念定義 設(shè)函數(shù)y=f(x)在X0的某個(gè)鄰域有定義.對(duì)應(yīng)于自變量 x在X0處有改變量 x,函 數(shù)y=f(x)相應(yīng)的改變量為y=f(X0+ x)-f(x0)，若這兩個(gè)改變量的比y f X。x f xXX當(dāng)x 0時(shí)存在極限，我們就稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并把這一極限稱為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)(或變化率)，記作y |x X0或f (x0)或dy|或df (x) .即丿 I 八八0/X X0

11、IX X0dxdxy |XX0=f (X0)= limlim f(X0 x) f(X0)(2-1)x 0 x x 0x比值表示函數(shù)y=f (x)在X0到X0+ x之間的平均變化率，導(dǎo)數(shù)y |x X0則表示了函數(shù)x在點(diǎn)X0處的變化率，它反映了函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)X0處的變化的快慢.如果當(dāng)x 0時(shí)一的極限不存在，我們就稱函數(shù)y=f (x)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)或?qū)?shù)不存在.X在定義中，若設(shè) X=X0+ X,則(2-1)可寫成f (X0)= lim f x f X。(2-2)x x0X X0根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)X0處的導(dǎo)數(shù)的步驟如下：第一步求函數(shù)的改變量y=f(X0+ x)-f(X0)；

12、第二步求比值丄衛(wèi)乂X)f(Xo)；Xlimx 0 xx=2處的導(dǎo)數(shù).2 2 2y=f (2+ x)- f (2)=(2+ x) -2 =4 x+( x);4 x x ,=4+x第三步 求極限f (xo)=2例1 求y=f(x)=x在點(diǎn)解yX 所以 y | x=2=4.當(dāng) lim fx 0x； lim y = lim (4+ x)=4 .x 0 x x 0f (xo)；當(dāng) limXo 一x匕丄存在時(shí)，稱其極限值為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)xo處的左導(dǎo)數(shù)，記作Xf Xo Xx 0X存在時(shí)，稱其極限值為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)xo處的右導(dǎo)數(shù)，記作f(Xo) 據(jù)極限與左、右極限之間的關(guān)系f (xo)存在 f (

13、Xo) , f (Xo)，且 f (Xo) = f (Xo) = f (X0) 2.導(dǎo)函數(shù)的概念如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a, b)每一點(diǎn)處都可導(dǎo)，就稱函數(shù)導(dǎo)這時(shí)，對(duì)開區(qū)間(a,b)每一個(gè)確定的值 xo都有對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù) 開區(qū)間(a,b)，構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，我們把這一新的函數(shù)稱為或y等.根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，就可得出導(dǎo)函數(shù)f X X f X0y=f (x)在開區(qū)間(a, b)可 f (xo)，這樣就在 f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記作等f(wàn) (x)f (x)=y = lim y limx 0 x x導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù).注意 (1) f(x)是X的函數(shù)，而 (2) f (X)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)f 求y=C (

14、C為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).因?yàn)?y=C-C=0, =0,x xC) =0常數(shù)的導(dǎo)數(shù)恒等于零). 求 y=xn( nN, x R)的導(dǎo)數(shù).(2-3)因?yàn)?y=(x+n n n-1x) -x =nxx+Cyn-12=nx + Cn x x2n-2從而有y = lim y = lim x 0 x x 0 nn-1x) =nx .可以證明，一般的幕函數(shù)-1( X ) = X f (xo)是一個(gè)數(shù)值(xo)就是導(dǎo)函數(shù)f (x)在點(diǎn)Xo處的函數(shù)值.所以n-2(x+.+(X)n-12n-2nx + Cn xn-1y = lim y =0.x 0 x2 .X) +.+( X),n-1 =n-1x+.+(x)= nxy

15、=x , ( R, xO)的導(dǎo)數(shù)為2-1 -2=(x ) =-x1d1dd例如(X ) =(x2) =!x 巳 1；(-)22& x中已經(jīng)求得求y=sin x, ( x R的導(dǎo)數(shù). y=sin(xx) sinx，在 1-7XXylim=cosx,x o xx) =cosx.即(sin用類似的方法可以求得y=cosx, ( x(cosx) =-sin x.例 5 求 y=log ax 的導(dǎo)數(shù)(ao, a 1, 解R)的導(dǎo)數(shù)為(In對(duì)a=e、y=lnx的情況， x) =!.x在 1-7x0).中已經(jīng)求得為對(duì)一般的a，只要先用換底公式得y=logaX=旦，以下與 1-7完全相同推導(dǎo)，可得 ln a(

16、logax)=-. x l n a三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義A(xo, f (xo)處存在非垂直切線 AT的充分必要條件是f (x)方程為y=f (x)的曲線，在點(diǎn)在xo存在導(dǎo)數(shù)f (xo)，且AT的斜率k=f (xo).導(dǎo)數(shù)的幾何意義一一函數(shù)y=f (x)在xo處的導(dǎo)數(shù)f(xo)，是函數(shù)圖象在點(diǎn)(xo,f(x。)處切線的斜率，另一方面也可立即得到切線的方程為y-f (xo)= f (xo)( x_xo)(2-4)過切點(diǎn)A(xo,f(xo)且垂直于切線的直線，稱為曲線y=f (x)在點(diǎn)A(xo,f(xo)處的法線，則當(dāng)切線非水平(即f(X。)0)時(shí)的法線方程為(2-5)y- f (xo)=-1( x-

17、 xo)f (Xo)求曲線y=sinx在點(diǎn)(一，1)處的切線和法線方程.6 2仝2 (sin x)=cosxx ?所求的切線和法線方程為法線方程y- = -(x ),2 2 62 3 /、:(x).36例7求曲線y=In x平行于直線y=2x的切線方程.解 設(shè)切點(diǎn)為A(xo, yo)，則曲線在點(diǎn) A處的切線的斜率為 y(xo),=丄x XoXoy (xo)=(ln x)因?yàn)榍芯€平行于直線 y=2x,，所以-1=2,即xo=Z ；又切點(diǎn)位于曲線上，Xo21因而 yo=ln=-In2 .故所求的切線方程為1y+ln2=2( x-)，即 y=2x-1-ln2 .2四、可導(dǎo)和連續(xù)的關(guān)系如果函數(shù)y=f(

18、x)在點(diǎn)xo處可導(dǎo)，則存在極限lim y =f (xo)，則x 0Z =f ( xo)+x(limx 0=0)，或 y= f (xo)x+ x ( lim =0)，x 0所以 limy=limf(X0)x+x=0 .x 0x 0這表明函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)X。處連續(xù).但y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，在x0處不一定是可導(dǎo)的. 例如：(1) y=|x|在x=0處都連續(xù)但卻不可導(dǎo).(2) y=x在x=0處都連續(xù)但卻不可導(dǎo).注意在點(diǎn)(0,0)處還存在切線，只是切線是垂直的.y設(shè)函數(shù)f(x)=2x , xx 1, x學(xué)生思考:0，討論函數(shù)f (x)在x=0處的連續(xù)性和可導(dǎo)性.0小結(jié)：明確導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)相對(duì)于自

19、變量的變化率。 作業(yè)：見首頁(yè) 4-2換元積分法教學(xué)過程復(fù)習(xí)引入1. 不定積分的概念；2. 不定積分的基本公式和性質(zhì)。cosxdx =sin x+C.為了應(yīng)用這個(gè)公式，可進(jìn)行新課：一、第一類換元積分法例如：cos2xdx，積分基本公式中只有: 如下變換：1 令 2x=u1 u=2x 回代 1. 丄Qcos2xdx cos2x -d (2x) - cosudisin u+C2 2 21sin2 x+C211因?yàn)?丄 sin2 x+C) =cos2x，所以 cosxdx = sin2 x+C是正確的.22定理1設(shè)f ( u)具有原函數(shù) Hu) ,(x)是連續(xù)函數(shù)，那么f (X) (x)dx =F (

20、x)+C.證明思路因?yàn)镕(u)是f(u)的一個(gè)原函數(shù)，所以 F(u)=f(u);由復(fù)合函數(shù)的微分法得：d F (x)= F(u)(x)dx=f (x)(x)dx,所以 f (x) (x)dx =F (x)+ C.f(u)du，利用已知f(u)基本思想：作變量代換u= (x), ( d (x)=(x) dx)，變?cè)e分為的原函數(shù)是F(u)得到積分，稱為第一類換元積分法例 1 求(ax b)10dx , ( a, b 為常數(shù)). 解因?yàn)閐x=!d(ax+b)，所以令 ax+b=u110111 丄令u du = u +C廠11aa(ax b)10dx 丄 (ax b)10d(ax b)au=ax+b

21、 回代 丄(ax+b)11+C.11a例 2 求 lndx .x解因?yàn)?dx=d(ln x)，所以x原式=In xd (In x)令 lnx=u udu1 u2+C u=lnx 回代丄(ln x) 2+C.2 2例 3 求 xex dx 1 2解因?yàn)閤dx=丄4&)，所以21 x22 令 x2=u 1原式=一 e d(x )_2 2u1 ueudu =-e+C2u=x2 回代 1 ex2 +C.2a2dx2x解 因?yàn)?xdx=! d(x2)= - .ld(a2- x2)，所以2 2原式=-舟 nd(a2 x2)a x令 a2-xii2du = u +C孑宀回J a2 x2+C學(xué)生思考：求sinx2 dx 1 + cos x部分第一類換元積分法計(jì)算的關(guān)鍵： 把被積表達(dá)式湊成兩部分， 一部分為d (x)，另- 為(x)的函數(shù)f (x)，且f(u)的原函數(shù)易于求得因此，第一類換元積分法又形象化地 被稱為湊微分法.常用微分式：1dx= d( ax)；a1 dx=d(ln| x|)；x11冷 dx= d(丄)；xx1dx=d(arcsin x)；1 x2sinxdx= d(cos x)；2secxdx