空間直角坐標(biāo)系向量的坐標(biāo)表示和空間向量基本定理

1、課時(shí)提升作業(yè)(四十八)一、選擇題1. 點(diǎn)(2, 0. 3)在空間直角坐標(biāo)系中的位置是在(A)y軸上(B)xOy平面上2()156.己知向量a=(2,-3,5)與向Sb=(3,入2)平行，則入二(C)xOz平面上CD)yOz平面上2.己知點(diǎn)B是點(diǎn)A(3, 7.-4)在xOz平面上的射影，則|OB I等于(A) (9, 0, 16)(B)25(05CD) 133.以棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD -AbCiDi的棱AB, AD, AAi所在的直線(xiàn)為坐標(biāo)軸,建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則正方形AAiBiB的對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(A) (0, 2 2)(B) (2,0. 2)(0(2, 2,0CD) (2,

2、 2, 2)4.點(diǎn)M(x, y, z)在坐標(biāo)平面xOy內(nèi)的射影為Mi.Mi在坐標(biāo)平面yOz內(nèi)的射影為也地在坐標(biāo)平面xOz內(nèi)的射影(A) (-X, -y, -z)(B)(X, y, z(0 (0, 0, 0-)(D)(35.己知向量a=(l, -1, 1), b= (-1, 2, 1),且ka-b與a-3b互相垂直，則k的值是(A)l(b5(c)W(d)-929(A)(B)7.正方體不在同一表面上的兩個(gè)頂點(diǎn)為A（-l,2,-l）,B（3,-2,3）,則正方體的體積為（(A)8(B)27(064CD)128&有以下命題:如果向量a. b與任何向量不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么d b的關(guān)系是不共線(xiàn);0

3、, A. B. C為空間四點(diǎn)，且向量人,0B （不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么點(diǎn)0, A, B,C 定共面;已知a. b, c是空間的 一個(gè)基底，則a+b. a-b, c也是空間的一個(gè)基底.其中正確的命題是（）（A）（C）（D）T T T T9. （2013儕寧模擬）設(shè)OABC是四面體,G是ZiABC的重心,G是0G：上一點(diǎn)，且0G=3GG：,若（）G二xA+yOB+zOC 則（X, y, Z）為（）(A) J, 4 4)(B) (4, 4, 4)CD) (3, 3, 3)二、填空題10. （能力挑戰(zhàn)題）正方體ABCD -A B C D的棱長(zhǎng)為2,MX是它的內(nèi)切球的一條弦（我們把球面上任意兩TT點(diǎn)

4、之間的線(xiàn)段稱(chēng)為球的眩），P為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦MN的長(zhǎng)度最犬時(shí)，I）M.IN的取值范闌是.11. 給定空間直角坐標(biāo)系，在X軸上找一點(diǎn)P,使它與點(diǎn)Po（4, 1, 2）的距離為傾，則該點(diǎn)的坐標(biāo)為12. a=(2, -1, 3), b=(-l, 4, -2). c=(7. 5.入)，若 a, b, c 三個(gè)向量共面，則實(shí)數(shù)入=T TTBC,13. 已知點(diǎn) A(l,2, 1),B(-1,3,4),D(1,1. 1),若AP 二 qPB,則 |PD| 的值是.14. 如圖,直三棱柱ABC-AbG中,AB二AC二1,AAf2, ZB兇G二90 ,D%BB的中點(diǎn)，則異面 直線(xiàn)C1D與A1C的夾角的余

5、弦值為 三、解答題OB-Z15.如圖所示，在空間直角坐標(biāo)系中,BC二2,原點(diǎn)0是BC 的中點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2 , 2, 0）,點(diǎn)D在平面yOz上，且ZBDC=90 , ZDCB=30 .T(1)求向量D的坐標(biāo).設(shè)向量AD和BC的夾角為0,求cos 0的值.答案解析1.【解析】選C.由點(diǎn)的坐標(biāo)的特征可得該點(diǎn)在xOz平面上.2. 【解析】選C.由題意得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3, 0,-4), 故 IobI + o2 +(_4)2二 53. 【解析】選B.由題意知所求點(diǎn)即為AB的中點(diǎn)，由于A(0, 0, 0),Bd,0, 1),所以AB.的中點(diǎn)坐標(biāo)為(& 0, 2).4. 解析】選C.依題意得，眩的坐標(biāo)為

6、(X, y, 0),地的坐標(biāo)為(0, y, 0) ,SU的坐標(biāo)為(0, 0, 0).【變式備選】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M(-2,4.-3)在xOz平面上的射影為W，則點(diǎn)W關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(A) (-2. 0,-3)(B) (-3, 0,-2)2()*9(0 (2, 0. 3)CD) (-2, 0, 3)【解析】選C.由題意得，點(diǎn)W的坐標(biāo)為(-2,0, -3),故點(diǎn)屮 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0,3).【方法技巧】空間直角坐標(biāo)系中求對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)的技巧(1) 關(guān)于哪個(gè)軸對(duì)稱(chēng)，對(duì)應(yīng)軸上的坐標(biāo)不變，另兩個(gè)坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù).(2) 關(guān)于坐標(biāo)平面對(duì)稱(chēng),另一軸上的坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù)，其余不

7、變.(3) 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，三個(gè)坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù).(4) 空間求對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)的方法，可類(lèi)比平面直角坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)的問(wèn)題進(jìn)行記憶.5. 【解析】選 D. Vka-b= (k+1, -k-2, k-1), a-3b=(4, -7, -2), (ka-b)丄(a-3b), 4 (k+1) -7 (-k-2) -2 (k-1) =0,52 -3 1596. 【解析】選c.由vZb得，兀 入二2，解得x=-2.7. 【解析】選C.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,根據(jù)條件則有、偉Jr + ( - 4)2 + 4：解得 a二4,所以體積為4$二64.&【解析】選C對(duì)于，“如果向Sa.b與任何向量不能構(gòu)成空間向S的一個(gè)

8、基底，那么a, b的關(guān)系一定是 共線(xiàn)”，所以錯(cuò)誤.正確.9.【解析】選扎叫二OA+AG2 1T _ f T=0A+3 X 2 (AB+AC)T _ -OA4.3 (OB_OA)+(OC_OA)二耳(OA+OB+OC),3 T 1f OG T T T由 OG二3GG*知,G二4L4(0A+0B+0C),(X, y, z) = (4,4,4).10.【解析】因?yàn)镸X是它的內(nèi)切球的一條弦，所以當(dāng)弦MX經(jīng)過(guò)球心時(shí),弦MX的長(zhǎng)度最人，此時(shí)MN二2,以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖.根據(jù)直徑的任意性,不妨設(shè)N分別是上下底面的中心,則兩點(diǎn)的空間坐標(biāo)為 M(l, 1,2),Nd. 1.0），設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P（x

9、,y,z),則TPMTPM= (1-X, 1-y, 2-z), 品TPN=(l-x, 1-y, -z),TPM.P N二G_i）：+（y_i）：+（z一1）=1 .因?yàn)辄c(diǎn)P為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，所以根據(jù)x.y,z的對(duì)稱(chēng)性可T T知,PMN的取值范圍與點(diǎn)P在哪個(gè)面上無(wú)關(guān)，不妨設(shè)點(diǎn)P在底面片B C D內(nèi)，此時(shí)有0WxW2,0WyTTTTW2, z二0,所以此時(shí)PM . PN=(x-i)=+(y-i)=+(z-i)=-i=(x-l)=+(y-l)所以當(dāng) x=y=l 時(shí)，PM PN二o,此時(shí)*PMPN最小，但當(dāng)P位于正方形的四個(gè)頂點(diǎn)時(shí),PM . IN最人,此時(shí)有I)M IN%_i)：+(廠(chǎng)1)邁所以P

10、MPN的最人值為2,所以gPMINw2,即pmIN的取值范料是0,2. 答案訂0,2 11.【解析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x,0,0).即 J(X - 4)2 + (0 - 1)2 + (0 - 2)2730,(x-4)=25.解得x=9或x=-l.點(diǎn)P坐標(biāo)為(9, 0, 0)或(-1, 0. 0).答案：(9,0,0)或(-1,0,0) 【變式備選】在Z軸上與點(diǎn)A(-4, 1, 7)和點(diǎn)B(3, 5,-2).等距離的點(diǎn)C的坐標(biāo)為 【解析】設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0. 0. Z), 由條件得|AC| = |BC|.-4 0)2 十(1 0)2 + (7 - z)M3 - 0)2 + (5 - 0)2 + (

11、 - 2 - zf14解得z= 91412. 【解析】由題意設(shè) c=ta+ U b= (2t- U , -t+4 U , 3t-2 U ),3317 u = -65(2t-t = 7,-t + 4p.= 5, .3t - 2p.=入.答案：713. 【解析】設(shè) P(x, y, z),則AP二(x-l, y-2, zT),65TPB二(-1-X, 3-y, 4-z),1 8T T_由AP二2pB知 X二-3, y二3, 2=3,1 8a/77故P(-3, 3,3).T由兩點(diǎn)間距離公式可得|PD = 3 a/77答案：314. 【解析】以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，人(0,0,2), C(0, 1,0),D(l,0, 1),C： (0, 1,2).C,I AiC 込5 CjD A#二I,C；DA；CT 4zC；da：cjc；dha；claZTs故異面直線(xiàn)GD .j AiC的夾角的余弦值為15 ,aZTs答案：1515. 【解析】（1）如圖所示，過(guò)D作DE丄BC,垂足為E, 在 RtABDC 中，由 ZBDC=90 ,ZDCB=30 , BC=2,得 BD=1, CD二2.DE二CD sin30 = 2OE=OB-BD cos60 =1-2=2.D點(diǎn)坐標(biāo)為（0.-2, 2）.1花即向量0D的坐標(biāo)為（0,-2, 2）7 1- _T依題