拋物線知識(shí)點(diǎn)匯總及考點(diǎn)例題

1、高一數(shù)學(xué)科講義成績好，信心足拋物線V標(biāo)準(zhǔn)方程亍=2 px(p0)(壯:Pci 1簡圖頂點(diǎn)(0,0)y2 = -2 px(p0)X2 =2 py(p0)x2=2py(p0) Ay f/M(冷J1XyV XnY9 /(0,0)(0,0)(0,0)溫故知新知識(shí)點(diǎn)核心：拋物線ax1.定義：把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn) F和一條定直線I （I不經(jīng)過F ）距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)F叫做拋焦點(diǎn)龜0l2丿對(duì)稱軸準(zhǔn)線方程范圍y 0, y 忘 Rx0,x亡 Rr拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì):XX 0, ax 恒等于 0 直線過拋物線今0，無的焦點(diǎn)與拋物線交于A1, y, ) B(X2, y2 )兩點(diǎn)X1X2(1)2P2=,ym

2、 = P4AB(2)=為+ X2 + P = 2p (a為直線AB的傾斜角) sin aL+丄-2FA FB_PAB考點(diǎn)一：定義和標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線定義中的“轉(zhuǎn)化”法利用拋物線的定義解決此類問題，應(yīng)靈活地進(jìn)行拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線距離的等價(jià)轉(zhuǎn)化.“看到準(zhǔn)線想到焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想到準(zhǔn)線”，這是解決拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)問題的有效途徑.例1 設(shè)P是拋物線y2= 4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)求點(diǎn)P到點(diǎn)A( 1,1)的距離與點(diǎn)P到直線x=- 1的距離之和 的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB| + |PF|的最小值.變式1:已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是x軸，拋物線上的點(diǎn) M( 3, m)到焦點(diǎn)的距離

3、等于 5，求拋物線的方程和m的值.考點(diǎn)二：拋物線性質(zhì)(1)關(guān)鍵：利用拋物線方程確定及應(yīng)用其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等性質(zhì)時(shí)，關(guān)鍵是將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)技巧：要結(jié)合圖形分析，靈活運(yùn)用平面幾何的性質(zhì)以圖助解.例22_1（2013四川高考）拋物線2y2= 4X的焦點(diǎn)到雙曲線X上一點(diǎn)到直線2x-y-4 = 0的距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)是 y = 1的漸近線的距離是31 2).變式2:拋物線y = x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（4(B),I 16丿(C) (0,-1)(D) (1,0)變式3:拋物線y = XA. (1, 1)(3 9、C- (3,9)D. ( 2, 4)丄考點(diǎn)三：拋物線與直線直線與拋物線相交的四個(gè)結(jié)論已知拋

4、物線y2= 2px(p0),過其焦點(diǎn)的直線交拋物線于A, B兩點(diǎn)，設(shè)A(xi, yi), b(X2, y2),則有以下結(jié)論:2(1)|AB|= X1+x2+p 或 |AB|= sinpa 為 AB 所在直線的傾斜角)；(2)X1X2=牛；(3)y1y2= p2；2p.(4)過拋物線焦點(diǎn)且與對(duì)稱軸垂直的弦稱為拋物線的通徑，拋物線的通徑長為例3 (2012福建高考)如圖，等邊三角形 OAB的邊長為8(3,且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線E: x2= 2py(p0)上.(1)求拋物線E的方程;設(shè)動(dòng)直線I與拋物線E相切于點(diǎn)P,與直線y= 1相交于點(diǎn)Q.證明以PQ為直徑的圓恒過 y軸上某定點(diǎn).變式4:已知過點(diǎn)A(

5、 4,0)的動(dòng)直線I與拋物線G ：x2= 2py(p0)相交于B,C兩點(diǎn).當(dāng)直線I的斜率是-時(shí)，AC = 4 AB .(1)求拋物線G的方程；(2)設(shè)線段BC的中垂線在y軸上的截距為b，求b的取值范圍.考點(diǎn)四：前沿?zé)狳c(diǎn)1.拋物線是一種重要的圓錐曲線，在高考中，經(jīng)常以拋物線為載體與直線、圓綜合考查，主要考 * 查拋物線的方程及幾何性質(zhì)，直線與拋物線的綜合應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離等.2.直線與拋物線的綜合問題，經(jīng)常是將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去x(或y)，利用方程的根設(shè) P 為直線 l 上的點(diǎn)，過點(diǎn) P 作拋物線 C 的兩條切線 PA ， PB ，其中 A ， B 為切點(diǎn)與系數(shù)的關(guān)系求解，但一定要

6、注意直線與拋物線相交的條件.典例(2013湖南高考)過拋物線E：x2= 2py(p0)的焦點(diǎn)F作斜率分別為ki, k2的兩條不同直線li ,2,且ki+ k2= 2, li與E相交于點(diǎn)A, B, I2與E相交于點(diǎn)C, D，以AB, CD為直徑的圓M,圓N(M , N為圓心)的公共弦所在直線記 為1.(1)若k10, k20,證明：FM -FN 0)到直線I: x y 2 = 0的距離為 也(1)求拋物線 C 的方程；當(dāng)點(diǎn)P(xo, yo)為直線I上的定點(diǎn)時(shí)，求直線 AB的方程;當(dāng)點(diǎn)P在直線I上移動(dòng)時(shí)，求AF|BF|的最小值.變式6 :已知直線 y= 2上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn) Q,過點(diǎn)Q作直線li垂直于x

7、軸，動(dòng)點(diǎn)P在li上，且滿足 OP丄OQ(O 為坐標(biāo)原點(diǎn) ),記點(diǎn) P 的軌跡為 C.(1)求曲線C的方程；若直線l2是曲線C的一條切線，當(dāng)點(diǎn)(0,2)到直線l2的距離最短時(shí)，求直線l2的方程.課后練習(xí):、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分），1 .如果拋物線y 2=ax的準(zhǔn)線是直線x=-1，那么它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為C.( 3, 0)D. (- 1,0).A. ( 1, 0)B. (2, 0)2 2 1A. x + y -x-2 y -=042 2B. x + y +x-2 y +1=02 2C. x + y -x-2 y +1=0221D. x + y -x-2 y + =043.一拋物

8、線形拱橋，當(dāng)水面離橋頂2m時(shí)，水面寬4m,若水面下降1m,則水面寬為(4 .平面內(nèi)過點(diǎn) A (-2,B. 2V6mC. 4.5mD. 9m0),且與直線x=2相切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程是2A. y 2= 2x2B. y = 4x2C. y 2= 8x2D. y 2= 16x5 .拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱軸是 x軸,拋物線上點(diǎn)(-5, m)到焦點(diǎn)距離是6，則拋物線的方程是2A.y 2=-2x2B. y =-4x2C. y =2x2 、D. y =-4x 或 y2=-36xjA. 8B. 10C. 6D. 47.把與拋物線y 6.過拋物線y =4x的焦點(diǎn)作直線，交拋物線于A(X1, y i) , B(X2, y 2)兩點(diǎn)，如果xi +血=6，那么|AB|=4x關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的曲線按向量a = (2-3)平移，所得的曲線的方程是(A.(y-3)2 = Y(x-2)B. (y-3)2 =-4(x+2)C.(y+3)2 =M(x-2)D. (y+3)2= -4(2),8過點(diǎn)A.B. 1條C. 2條D. 3條M (2, 4)作與拋物線y