概率習(xí)題答案

1、第三章多維隨機(jī)變量及其分布3.1二維隨機(jī)變量及其分布 習(xí)題1設(shè)(X,Y)的分布律為求a.XY1 2 311/6 1/9 1/1821/3a1/9分析：dsfsd1f6d54654646解答：由分布律性質(zhì)XiPij=1,可知1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1,解得a=2/9.習(xí)題2(1)2.設(shè)(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，試用(1)PavX b,Y c;解答：PaX b,Y c=F(b,CF(a,c).習(xí)題2(2)2.設(shè)(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，試用 P0Y b;解答：P0Ya,Y a,Y b=F(+ x,-F(a,b).習(xí)題3(1)3. 設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合

2、分布如下表: 試求：(1) P12vXv32,0vYv4;解答：P 12X23,0Y4P X=1,Y=1+PX=1,Y=2+PX=1,Y=3F(x,y)表示:F(x,y)表示:F(x,y)表示:22 / 20=P X=1,Y=1+PX=1,Y=2+PX=1,Y=3 =14+0+0=14.習(xí)題3(2)3.設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布如下表：試求：(2) P1 X 2,3 Y 4;解答：P1 X 2,3 Y 0=37?X 0=PY 0=47,求 PmaxX,Y 0.解答：PmaxX,Y 0=PX,Y 至少一個大于等于 0 =PX 0+PY 0-PX 0,Y 0 =47+47-37=57.習(xí)題5(

3、X,Y)只取下列數(shù)值中的值：(0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0)且相應(yīng)概率依次為16,13,112,512,請列出(X,Y)的概率分布表，并寫出關(guān)于丫的邊 緣分布.解答：因?yàn)樗o的一組概率實(shí)數(shù)顯然均大于零，且有16+13+112+512=1,故所給的一組實(shí)數(shù)必是某二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率分布.因(X,Y)只取上述四組可能 值，故事件：X=-1,Y=0, X=0,Y=13,X=0,Y=1,X=2,Y=13,X=2,Y=1均為不可能事件，其概率必為零.因而得到下表：XY I01/31-101/121/301/60025/1200(2) PY=0=PX=-1,Y=0+PX=0

4、,Y=0+PX=2,Y=0 =0+16+512=712,同樣可求得P Y=13=112 ,P Y=1=13,關(guān)于的丫邊緣分布見下表：Y01/31pk7/121/121/3習(xí)題6設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)服從二維正態(tài)分布N(0,0,102,102,0),其概率密度為 f(x,y)=1200 n ex2+y2200,求 PXW Y.解答：由于PXWY+PXY=1 ，且由正態(tài)分布圖形的對稱性，知PXW Y=PXY,故PXW Y=12.習(xí)題7 設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)=k(6-x-y),0x2,2y40,其它，(1)確定常數(shù)k;求 PX1.5;解答：如圖所示(1)由 jx +gg +xf

5、(x,y)dxdy=1 確定常數(shù) k.j 02 j 24x)dydx=k j 022)dx=8k=1,(2)求 PX1,Y3;求 PX+YW 4.所以k=18.(2) PXv1,Yv3= j 01dx j 231X-ydy=38.(3) PXv1.5= j 01.5dx 8j24ly)dy=2732.(4) PX+Y 4= j 02dx-Xl246-x-y)dy=23.習(xí)題8 已知X和丫的聯(lián)合密度為f(x,y)=cxy,0 x 1,0 其y它; 10,試求：(1)常數(shù)c; (2)X和丫的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y).解答：(1)由于 仁a+xf(x,y)dxdy=cj 01 / 01xydxdy=

6、c4,c=4.當(dāng) x 1,y A時(shí)，顯然 F(x,y)=1;設(shè) 0 x 1,0 y有1,F(x,y)=-來x-Xyf(u,v)dudv=4j 0xudu j 0yvdv=x2y2.設(shè) 0 x1有F(x,y)=PX 1,Y 1,0 y有F(x,y)=PX 1,Y y=4 j 01xdx j 0yvdv=y2.函數(shù)F(x,y)在平面各區(qū)域的表達(dá)式F(x,y)=0,x 或 y 0x2,0 x1x2y2,0 x 1,0 y 習(xí)題9設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)=4.8y(2- x),0 x 1,x 其它10, 求邊緣概率密度fY(y).解答：fX(x)= -jo +x f(x,y)d

7、y= j 0x4.8y(2)dy,0 x其它 =2.4x2(2-x),0 x其其它. fY(y)= -jo +o f(x,y)dx= j 0y4.8y-2)dx,0 y其它 =2.4y(4y- y2),0 y其它.習(xí)題10設(shè)(X,Y)在曲線y=x2,y=x所圍成的區(qū)域G里服從均勻分布，求聯(lián)合分布密度和邊 緣分布密度.解答：區(qū)域G的面積A=j 01(xx2)dx=16,由題設(shè)知(X,Y)的聯(lián)合分布密度為f(x,y)=6,0 x 1,x2 其它,x0,從而 fX(x)= j +of(x,y)dy=6 j x2xdy=x2x,0 x即，fX(x)=6(x- x2),0 x其它， fY(y)= -o

8、+of(x,y)dx=6j yydx=60z y 1,即 fY(y)=6(y- y),0 y10它.3.2條件分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性習(xí)題1二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律為XY01017/157/307/301/15求丫的邊緣分布律;求 P丫=0 I X=0,PY=1 I X=0;(3)判定X與丫是否獨(dú)立？解答：(1) 由(x,y)的分布律知，y只取0及1兩個值.P y=0=Px=0,y=0+Px=1,y=0=715+730=0.7P y=1=刀 i=01 Px=i,y=1=130+115=0.3.(2) Py=0 I x=0=Px=0,y=0Px=0=23,Py=1 I x=0=13.(3)

9、已知 Px=0,y=0=715,由(1)知 Py=0=0.7,類似可得P x=0=0.7.因?yàn)镻x=0,y=0工Px=0?Py=0,所以x與y不獨(dú)立.習(xí)題2將某一醫(yī)藥公司9月份和8份的青霉素針劑的訂貨單分別記為 X與Y.據(jù)以往積 累的資料知X和丫的聯(lián)合分布律為XY515253545551525354550.060.050.050.010.010.070.050.010.010.010.050.100.100.050.050.050.020.010.010.030.050.060.050.010.03(1) 求邊緣分布律；(2) 求8月份的訂單數(shù)為51時(shí)，9月份訂單數(shù)的條件分布律. 解答：(1)

10、邊緣分布律為5152535455Pk0.180.150.350.120.20對應(yīng)X的值，將每行的概率相加，可得PX=i.對應(yīng)丫的值(最上邊的一行),將每列的概率相加，可得PY=j.5152535455pk0.280.280.220.090.13(2)當(dāng)丫=51時(shí),X的條件分布律為PX=k I Y=51=PX=k,y=51P丫=51=pk,510.28, k=51,52,53,54,55.列表如下：k5152535455P X=k I Y=516/287/285/285/285/28習(xí)題3已知(X,Y)的分布律如下表所示，試求:(1) 在丫=1的條件下,X的條件分布律；(2) 在X=2的條件下，

11、丫的條件分布律.XY0120121/41/8001/301/601/8解答：由聯(lián)合分布律得關(guān)于X,Y的兩個邊緣分布律為X012Pk3/81/37/24Y012pk5/1211/241/8故(1)在丫=1條件下，X的條件分布律為XI (Y=1)012pk3/118/110(2)在X=2的條件下，丫的條件分布律為YI (X=2)012pk4/703/7習(xí)題4已知(X,Y)的概率密度函數(shù)為f(x,y)=3x,0vxv1,0vyvx0,其它，求: (1)邊緣概率密度函數(shù)；(2)條件概率密度函數(shù).解答：(1)fX(x)=-卯+Xf(x,y)dy=3x2,0x10其它，fY(y)= -X +Xf(x,y)

12、dx=32(ty2),0vyv10,其它.對？ y (0,1),fX I Y(x I y)=f(x,y)fY(y)=2x1-y2,yvxv1,0,其它,對? x (0,1),fY I X(y I x)=f(x,y)fX(x)=1x,0yx0,其它.習(xí)題5X與丫相互獨(dú)立，其概率分布如表(a)及表(b)所示，求(X,Y)的聯(lián)合概率分布, PX+Y=1, PX+YM 0.X-2-101/2pi1/41/31/121/3表(a)Y1/213pi1/21/41/4表(b)解答：由X與丫相互獨(dú)立知P x=xi,Y=yi=PX=xi P丫二yj)， 從而(X,Y)的聯(lián)合概率分布為XY-1/213-2101/

13、2P X=-2 PY=-1/2 PX=-1 P 丫=-1/2 PX=0 PY=-1/2 PX =1/2 PY=-1/2PX=-2 PY=1 PX=-1 PY=1 PX=0 PY=1 P X=1/2 PY=1P X=-2 PY=3 PX=-1 P Y=3 PX=0 PY=3 P X=1/2 PY=3亦即表XY-2-101/2-1/2131/81/161/161/61/121/121/241/481/481/61/121/12P X+y=1=PX=-2,y=3+PX=0,Y=1=116+148=112, P X+YM 0=1- PX+Y=0=1-PX=-1,Y=1 -P X=12,Y=-12 =1

14、-112-16=34.習(xí)題6 某旅客到達(dá)火車站的時(shí)間X均勻分布在早上7:558:00,而火車這段時(shí)間開出的 時(shí)間丫的密度函數(shù)為fY(y)=2(5- y)25,0 y 其它，求此人能及時(shí)上火車站的概率.解答：由題意知X的密度函數(shù)為fX(x)=15,0 x 丸它，因?yàn)閄與丫相互獨(dú)立，所以X與丫的聯(lián)合密度為：fXY(x,y)=2(5- y)125,0 y X= / 05 / x52y5125dydx=13.習(xí)題7設(shè)隨機(jī)變量X與丫都服從N(0,1)分布，且X與丫相互獨(dú)立，求(X,Y)的聯(lián)合概 率密度函數(shù).解答：由題意知，隨機(jī)變量X,Y的概率密度函數(shù)分別是fX(x)=12 nx22，fY(y)=12 n

15、y22因?yàn)閄與丫相互獨(dú)立，所以(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)是f(x,y)=12 n2(x+y)2.習(xí)題8設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度f(x)=12e- I x I (- oo Vxv+X),問：X與I X I是否相互獨(dú)立？解答： 若X與I X I相互獨(dú)立，貝U ? a0,各有PXW al X I a=PX ap I X I a,而事件 I X I a? Xa,故由上式有P? PX I a(1 Pxw a)=0X I a=PX ap I X I a,? PX0)但當(dāng)a0時(shí)，兩者均不成立，出現(xiàn)矛盾，故 X與I X I不獨(dú)立.習(xí)題9設(shè)X和丫是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X在(0,1)上服從均勻分布，丫的概率密

16、 度為fY(y)=12e- y2,y00,y 0,a2+2Xa+Y=0,求它有實(shí)根的概率.(1) 求X與丫的聯(lián)合概率密度；(2) 設(shè)有a的二次方程解答：(1)由題設(shè)易知fX(x)=1,0x10,其它，又X,Y相互獨(dú)立，故X與丫的聯(lián)合概率密度為f(x,y)=fX(x) ?fY(y)=12e-y2,0x00,其它；因a有實(shí)根=判別式 2=4X24Y0=X2 Y,故如圖所示得到：Pa 有實(shí)根=PX2 Y= ff x2yf(x,y)dxdy=/ 01d)-ye0y212e=-/ 01x22dx=1- -01ex22dx- fO 0ex22dx=1-2n 12 nflex22dx-12 n-O 0ex2

17、2dx=1-2n ( (0),又 (1)=0.8413(0)=0.5，于是 (1)(0)=0.3413所以Pa 有實(shí)根=1-2n (1(0) -151 區(qū)3413=0.1433.3.3二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布習(xí)題1設(shè)隨機(jī)變量X和丫相互獨(dú)立，且都等可能地取1,2,3為值，求隨機(jī)變量U=maxX,Y 和V=minX,Y的聯(lián)合分布.解答：由于 U V,可見 PU=i,V=j=O(ivj).此外，有 P U=V=i=PX=Y=i=1/9(i=1,2,3),P U=i,V=j=PX=i,Y=j+PX=j,Y=i=2/9(ij),于是，隨機(jī)變量U和V的聯(lián)合概率分布為概率U12311/92/92/9201/9

18、2/9300 1/9習(xí)題2設(shè)(X,Y)的分布律為XY-112-121/101/53/101/51/101/10試求：(1)Z=X+Y; Z=XY; Z=X/Y;Z=maxX,Y的分布律.解答：本質(zhì)上是利用事件及其概率的與一維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律的計(jì)算類型, 運(yùn)算法則.注意，Z的相同值的概率要合并.概率1/101/53/101/51/101/10(X,Y)X+YXYX/Ymax(-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)-2011341-1-2-2x,Y241-1-1/2-221112222于是(1)X+Y-20134pi1/101/51/21/101/10XY-

19、20134pi1/21/51/101/101/10X/Y-2-1-1/212pi1/51/53/101/51/10maxX,Y-112pi1/101/57/10習(xí)題3設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)服從矩形區(qū)域D=(x,y I 0 x 2,0 y的均勻分布，且U=0,X Y, V=0,X 2Y,求U與V的聯(lián)合概率分布.解答： 依題(U,V)的概率分布為PU=0,V=0=PX Y,X 2Y=PX Y=f 01dx f x112dy=14,PU=0,V=1=PX 2Y=0,PU=1,V=0=PXY,X 2Y=PYX 2Y=f 01dy f y2y12dx=14,P U=1,V=1=1-PU=0,V=0 -

20、P U=0,V=1 -P U=1,V=0=1/2,即UV01011/401/41/2習(xí)題4設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布密度為f(x,y)=12 n2+y22,Z=X2+Y2, 求Z的分布密度.解答:FZ(z)=PZ z=PX2+Y2 z.當(dāng) z0 時(shí)，F(xiàn)Z(z)=P(?)=0;當(dāng)Z0寸，F(xiàn)Z(z)=PX2+Y2 z2= ff x2+y2 00,z00,z 0,y00,其它，(1)問X和丫是否相互獨(dú)立？ (2)求 Z=X+Y的概率密度. 解答：(1)fX(x)= -of+x f(x,y)dy= f 0+o 12(x+y)(x+y)dy,x00,x00,x 00,y 0,y0,所以X與丫不獨(dú)立.(2)用

21、卷積公式求 fZ(z)=-尖 +Xf(x,-30z-x0 即x0x0 時(shí)，fZ(z)= j 0z1200,z 0.習(xí)題6設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，若X服從(0,1)上的均勻分布，丫服從參數(shù)1的指數(shù) 分布，求隨機(jī)變量Z=X+Y的概率密度.解答：據(jù)題意，X,Y的概率密度分布為fX(x)=1,0x 00,y0,由卷積公式得Z=X+Y的概率密度為fZ(z)=-來 +X fX(x)fY(z-x)dx= j +x fX(zy)fY(y)dy=j 0+x fX(y)e-ydy.由 0vz-yv1 得 z-1y0時(shí)，fZ(z)= j 0+xfX(-ydy= j max(C-1)ze-ydy=e-max(0,z

22、-1)-e-z,fZ(z)=0,ze0z,0vz 1.習(xí)題7設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)=be- (x+y),0x1,0y+x其它.試確定常數(shù)b;求邊緣概率密度fX(x),fY(y); 求函數(shù)U=maxX,Y的分布函數(shù).即(1)(2)(3)解答：(1) 由少+Xf(x,y)dxdy=1，確定常數(shù) b.j 01dx j 0+-x(e-ydy=b(1-e-1)=1,所以b=11-e-1，從而f(x,y)=11-e-1e- (x+y),0x1,0y+ 其它.(2) 由邊緣概率密度的定義得fX(x)= j 0+se-1le-(x+y)dy=e-x1-e-x,0vxv1,0,其它, fY

23、(x)= j 0ie-1e-(x+y)dx=e-y,0vyv+ ，其它 因?yàn)閒(x,y)=fX(x)fY(y)，所以X與丫獨(dú)立，故 FU(u)=PmaxX,Y u=PX u,Y u=FXFY(u),FX(x)= j 0xt1-e-1dt=1-e-x1-e-1,0vxv1, FX(x)=0,x 0-e-x1-e-1,0x 1.其中所以同理 FY(y)= j 0y4dt=1-e-y,0vyv+,0,y 手 0因此 FU(u)=0,uv0,(1-e-u)21-e-1,0 u 1.習(xí)題8設(shè)系統(tǒng)L是由兩個相互獨(dú)立的子系統(tǒng)L1和L2以串聯(lián)方式聯(lián)接而成，L1和L2的壽命分別為X與Y,其概率密度分別為?1(x

24、)= a a x,x00,x 2)(y)=y,y00,y 0, P 0, a試求系統(tǒng)L的壽命Z的概率密度.解答：設(shè) Z=minX,Y,則F(z)=PZ z=Pmin(X,Y) z=1- PX乙丫 z=1-1 PXvz1- PYvz=1-1-F1z1-F2z由于F1(z)= j 0z a edx=-e- a 乙z 0Q0zvF2(z)=1-e- P 乙z 00,z 00,z6+ P )z,z00,z 0.習(xí)題9設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，且服從同一分布，試證明：PaminX,Y a2-PXb2.解答：設(shè) minX,Y=Z,貝UPaminX,Y b=FZ(b-FZ(a),FZ(z)=PminX ,Y

25、 z =1-PXz,Yz=1- PXz PYz=1- PXz2,代入得PaminX,Y b2-(1-PXa2)=P Xa2- PXb2.證畢.復(fù)習(xí)總結(jié)與總習(xí)題解答習(xí)題1在一箱子中裝有12只開關(guān)，其中2只是次品，在其中取兩次，每次任取一只， 考慮兩種試驗(yàn)：(1)放回抽樣；(2)不放回抽樣.我們定義隨機(jī)變量X,Y如下： X=0,若第一次取出的是正品1,若第一次取出的是次品,丫=0,若第二次取出的是正品1,若第二次取出的是次品，試分別就(1),(2)兩種情況，寫出X和丫的聯(lián)合分布律. 解答：(X,Y)分布律如下：X1012XI2=2536;PX=1,Y=0=2 X1012 X12=536,X212X

26、12=536,PX=1,Y=1=2 X212X2=136,(X,Y)的分布律如下：X912 X1=4566,PX=0,Y=1=10 X212 X1=1066,PX=1,Y=1=2 X112X1=166,(1)有放回抽樣，P X=0,Y=0=10P X=0,Y=1=10不放回抽樣，Y X010145/6610/6610/661/66Px=1,Y=0=2 X1012X11=1066,P X=0,Y=0=10習(xí)題2假設(shè)隨機(jī)變量丫服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，隨機(jī)變量Xk=0,若 Y k(k=1,2),求(X1,X2)的聯(lián)合分布率與邊緣分布率.解答：因?yàn)檠痉膮?shù)為1的指數(shù)分布，X1=0,若丫 1,所以有P

27、 X1=1=P Y1= / 1+x e-ydy=e-1,P X1=0=1-e-1,同理P X2=1=PY2= / 2+x e-ydy=e-2,P X2=0=1-e-2,因?yàn)镻 X1=1,X2=1=PY2=e-2 ，P X1=1,X2=0=P X1=1- PX1=1,X2=1=e-1-e-2,PX1=0,X2=0=PY 1=1-e-1,P X1=0,X2=1=PX1=0- PX1=0,X2=0=0,故(X1,X2)聯(lián)合分布率與邊緣分布率如下表所示：X1slashX201PX1=i01-e-101-e-11e-1-e-2e-2e-1PX2=j1-e-2e-2習(xí)題3在元旦茶話會上，每人發(fā)給一袋水果，

28、內(nèi)裝3只橘子，2只蘋果，3只香蕉.今從袋中隨機(jī)抽出4只，以X記橘子數(shù)，丫記蘋果數(shù)，求(X,Y)的聯(lián)合分布.解答：X可取值為0,1,2,3,丫可取值0,1,2.PX=0,Y=0=P ?=0,P X=0,Y=1=C30C21C33/C84=2/70,P X=0,Y=2=C30C22C32/C84=3/70,P X=1,Y=0=C31C20C33/C84=3/70,P X=1,Y=1=C31C21C32/C84=18/70,P X=1,Y=2=C31C22C31/C84=9/70,P X=2,Y=0=C32C20C32/C84=9/70,P X=2,Y=1=C32C21C31/C84=18/70,P

29、 X=2,Y=2=C32C22C30/C84=3/70,P X=3,Y=0=C33C20C31/C84=3/70,P X=3,Y=1=C33C21C30/C84=2/70,PX=3,Y=2=P ?=0,所以，(X,Y)的聯(lián)合分布如下：XY012303/709/703/702/7018/7018/702/703/709/703/700012習(xí)題4設(shè)隨機(jī)變量X與丫相互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律及關(guān) 于X與丫的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值，試將其余數(shù)值填入表中的空白處：XYy1y2y3pi?x11/8x21/8p?j 1/61解答：由題設(shè)X與Y相互獨(dú)立，即有pij=p i?p?j(

30、i=1,2;j=1,2,3), p ?1-p2仁 p11=16-18=124, 又由獨(dú)立性，有p11= p1?p?仁 p1?16故 P 1?=14.從而 P 13=14-124-18,又由 p12=p1?p?2,即 18=14?p?2. 從而P?2=12.類似的有P ?3=13, p13=14 ,p 2?=34.將上述數(shù)值填入表中有XYy1y2y3pi?x11/241/81/121/4x21/83/81/43/4p?j -/61/21/31習(xí)題5設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布如下表：求：(1)a值；(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)；(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣分布函數(shù)FX(x)與FY(y).

31、解答：(1)because由分布律的性質(zhì)可知E i?jPij=1,故 14+14+16+a=1, a=13.因 F(x,y)=PX x,Y y 當(dāng) x1 或 y-1 時(shí)， F(x,y)=0; 當(dāng) K x2,-1 y2,-1 y0 時(shí)，F(xiàn)(x,y)=PX=1,Y=-1+PX=2,Y=-1=5/12; 當(dāng)K x0時(shí)，F(xiàn)(x,y)=PX=1,Y=-1+PX=1,Y=0=1/2; 當(dāng)x2,y0時(shí)，F(xiàn)(x,y)=PX=1,Y=-1+PX=2,Y=-1+PX=1,Y=0+PX=2,Y=0=1;綜上所述，得(X,Y)聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)=0,x1 或 yv-11/4,1 x2,-1 y 2,-1 y0

32、1/2,1 x 01,x 2,y 0.由FX(x)=PX x,Y+ g=刀xix Ej=1+pij,得(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù) 為：FX(x)=0,x114+14,1 x 2=0,x11/2,1 x 2, 同理，由 FY(y)=PXv+ g,Y y= E yi yEi=1 + gPij,得(X,Y)關(guān)于 Y 的邊緣分 布函數(shù)為FY(y)=0,yv-12/12,-1 y 0.習(xí)題 6設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)=c(R-x2+y2),x2+y2vR0,x2+y2 R,求：常數(shù) c; (2)PX2+Y2 r2(rvR).解答：(1) 因?yàn)槿? -g+g/ -g+gf(x,

33、y)dydx= / x2+y2vRc(R-x2+y)dxdy =/ 02 n / 0Rc(R- p )p dp d 0 =c n R33,所以有c=3 n R3.(2) PX2+Y2 r2= / x2+y2r23 n R3R-x2+y2dxdy=/ 02 n/ 0r3n R3(R- p ) p dp d 0 =3r2R2(1-2r3R).習(xí)題 7設(shè) f(x,y)=1,0 x 2,max(0,x-1)y min(1,x)0,其它, 求 fX(x) 和 fY(y).解答：max(0,x-1)=0,x 1, min(1,x)=x,xv11,x 1,所以，f(x,y)有意義的區(qū)域(如圖)可分為0 x

34、1,0 y x,1 x 2,1-x y 1,即 f(x,y)=1,0 x 1,0 y x1,1 x 2,x-1 y 1,0,其它 所以 fX(x)= / 0xdy=x,0 x1 / x-11dy=2-x,1 x 20,其它, fY(y)= / yy+1dx=1,0 y 0,y00, 其它,(1)確定常數(shù) c；(2)求 X,Y 的邊緣概率密度函數(shù)；(3)求聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y);求PY X;(5)求條件概率密度函數(shù)fX I Y(x I y);求PXv2 I Y00,x00,x 00,其它=e-y,y00,y 0,y00,其它 =(1-e-2x)(1-e-y),x0,y00, 其它.(4) PY

35、 0 時(shí)，fX I Y(x I y)=f(x,y)fY(y)=2e-2xe-ye-y,x00,x 00,x 0.(6) PX2Y1=PX2,Y1PY 0時(shí)，設(shè)丫的分布函數(shù)為FY(y),(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，則當(dāng)x0時(shí)，對任意y,有F(x,y)=PX x,Y y=P(X x) n (Y y)=P?n (Y0時(shí)，對任意y,有F(x,y)=PX x,Y y=P(X x) n (Y y)=PS n (Y y)=PY y=Fy(y)=FX(x)FY(y),依定義，由F(x,y)=FX(x)FY(y)知，X與丫獨(dú)立.習(xí)題11設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的兩個分量X和丫相互獨(dú)立，且服從同一分布，

36、試證PX Y=1/2.解答：因?yàn)?X,Y 獨(dú)立，所以 f(x,y)=fX(x)fY(y).PX Y= / x yf(x,y)dxdy= / x yfX(x)fY(y)dxdy=/ -X +x fY(y) / - 8yfX(x)dxdy= / s+ fY(y)FY(y)dy=j -8 +8 FY(y)dFY(y)=F2(y)2 I -8 + 8 =12,也可以利用對稱性來證，因?yàn)?X,Y獨(dú)立同分布，所以有PX Y=PY X,而 PX Y=1,故PX Y=1/12.習(xí)題12設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為若X與丫相互獨(dú)立，求參數(shù)a,b,c的值. 解答：關(guān)于X的邊緣分布為x1x2x3 pk a

37、+1/9b+1/9c+1/3關(guān)于丫的邊緣分布為丫 y1y2pk1/9+a+c4/9+b則有b=(b+19)(b+49)19=(a+19)(b+49)由于X與丫獨(dú)立，p22=p2?p?2得p12=p1?p?2得由式得b=29,代入式得a=118.由分布律的性質(zhì)，有a+b+c+19+19+13=1,代入 a=118,b=29,得 c=16.易驗(yàn)證，所求a,b,c的值，對任意的i和j均滿足pij=pi?和?j.因此，所求a,b,c的值為a=118,b=29,c=16.習(xí)題13已知隨機(jī)變量X1和X2的概率分布為且 PX1X2=0=1.(1)求X1和X2的聯(lián)合分布律；(2)問X1和X2是否獨(dú)立？解答：(

38、1)本題是已知了 X1與X2的邊緣分布律，再根據(jù)條件PX1X2=0=1,求出聯(lián)合 分布.列表如下：X2X1-101PX2=j011/401/401/201/21/2PX1=i1/41/21/4由已知PX1X2=0=1,即等價(jià)于PX1X步0=0,可知P X1=1,X2=1=0, PX1=-1,X2=1=0.再由 P?1= P-11+ p11+ p01,得p01=12, p -10=p-1?=p-11=14, p10=pT?-p 11=14,從而得p00=0.由于p-10=14工p-1?p?0=14?12=18,所以知X1與X2不獨(dú)立.習(xí)題14設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x,y)=1 n R2

39、,x2+y2R 時(shí)，fX(x)= / -8+Xf(x,y)dy= / -+0dy=0;當(dāng)-R x R 時(shí)，fX(x)= / -8+8f(x,y)dy=1 n R2 / -R2-x2R2-x2dy=2 n R2R2-x2. 于是 fX(x)=2R2-x2 n R2,-R x R0,其它.由于X和丫的地位平等，同法可得 丫的邊緣概率密度是： fY(y)=2R2-y2 n R2,-R y R0,其它.fX I 丫(X I 滬哄丫)丫(丫)f(x,y)才有非零值，故在此范圍注意在y處x值位于I x I R2-y2這個范圍內(nèi)， 內(nèi)，有fX I Y(x I y)=1 n R22n RR2-y2=12R2-

40、y2,即Y=y時(shí)X的條件概率密度為fX I Y(x I y)=12R2-y2, I x I R2-y20,其它.同法可得X=x時(shí)丫的條件概率密度為TY I X(y I x)=12R2-x2, I y I R2-x20,其它.X與丫不獨(dú)立.由于條件概率密度與邊緣概率密度不相等，所以習(xí)題15設(shè)(X,Y)的分布律如下表所示XY -112-121/102/103/102/101/101/10求：(1)Z=X+Y;Z=maxX,Y的分布律.解答：本質(zhì)上是利用事件及其概率的與一維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律的計(jì)算類似， 運(yùn)算法則.注意，Z的相同值的概率要合并. 概率(X,Y)X+YXYX/YmaxX,Y 1/102/103/102/101/101/10(-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)-2011341-1-2-2241-1-1/2-221-112222 于是(1)X+Y-20134pi1/102/105/101/101/10maxX,Y-112pi1/102/107/10習(xí)題16設(shè)(X,Y)的概率密度為f(x,y)=1,0x1,0y2(1-x)0,其他，求Z=X+Y的概率密度.解答：先求Z