完整版44電磁感應(yīng)中的雙桿問題分類例析

1、電磁感應(yīng)中的雙桿問題分類例析“雙桿”類問題是電磁感應(yīng)中常見的題型，也是電磁感應(yīng)中的一個難道，下面對“雙桿”類 問題進行分類例析1、“雙桿”在等寬導(dǎo)軌上向相反方向做勻速運動當(dāng)兩桿分別向相反方向運動時，相當(dāng)于兩個電池正向串聯(lián)。2“雙桿” 在等寬導(dǎo)軌上同向運動，但一桿加速另一桿減速 當(dāng)兩桿分別沿相同方向運動時，相當(dāng)于兩個電池反向串聯(lián)。3. “雙桿”中兩桿在等寬導(dǎo)軌上做同方向上的加速運動?！半p桿”中的一桿在外力作用下做加速運動，另一桿在安培力作用下做加速運動，最終兩桿以同 樣加速度做勻加速直線運動。4. “雙桿”在不等寬導(dǎo)軌上同向運動?！半p桿”在不等寬導(dǎo)軌上同向運動時，兩桿所受的安培力不等大反向，所以

2、不能利用動量守 恒定律解題?！纠?】如圖所示，間距為 水平面內(nèi)，質(zhì)量均為 m、繞過定滑輪后沿兩金屬導(dǎo)軌的中線與 在方向豎直向上、磁感應(yīng)強度大小為 放C,經(jīng)過時間t, C的速度為 重力加速度為g,求：（1）t時刻C的加速度值；（2）t時刻a、b與導(dǎo)軌所組成的閉合回路消耗的 總電功率。解析：（1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，t時刻回路I、電阻不計的兩根平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ （足夠長）被固定在同一電阻均為R的兩根相同導(dǎo)體棒 a、b垂直于導(dǎo)軌放在導(dǎo)軌上，一根輕繩 a棒連接，其下端懸掛一個質(zhì)量為 M的物體C，整個裝置放 B的勻強磁場中。開始時使 a、b、C都處于靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)釋1、b的速度為2。不計一切摩擦

3、，兩棒始終與導(dǎo)軌接觸良好，a、a、的感應(yīng)電動勢E回路中感應(yīng)電流Bl（ 1EI 一2R2）根據(jù)牛頓第二定律T BIIMg T2 2聯(lián)立以上各式解得a 2MgR B 1 （ 1一2R（M m）（2）解法一：單位時間內(nèi)，通過 a棒克服安培力做功，把 回路的電能，而閉合回路電能的一部分以焦耳熱的形式消耗掉, 所以，t時刻閉合回路的電功率等于以a為研究對象，以C為研究對象，根據(jù)牛頓第二定律maMaP BII解法二：a棒可等效為發(fā)電機，a棒的感應(yīng)電動勢為閉合回路消耗的總電功率為C物體的一部分重力勢能轉(zhuǎn)化為閉合 另一部分則轉(zhuǎn)化為b棒的動能,a棒克服安培力做功的功率，即B2l2（12）12Rb棒可等效為電動機

4、Ea BlV1P聯(lián)立解得P BII 1lEa2 2 B I ( 12)2R1解法三：閉合回路消耗的熱功率為b棒的機械功率為P機BII v2E2R2R2 2B l (v1 v2)v2B2l2(V1 V2)22RB2l2( 12)12R說明：在單位時間t內(nèi)，整個系統(tǒng)的功能關(guān)系和能量轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：故閉合回路消耗的總電功率為C物體重力勢能的減少量IIC物體重力做功閉合回路消耗的總電能閉合回路產(chǎn)生的焦耳熱IIb棒動能的增加量安培力對b棒做正功a棒克服安培力做功C物體克服細繩拉力做功C物體動能的增加量II細繩拉力對a棒做功a棒動能的增加量II模型a棒可等效為發(fā)電機b棒可等效為電動機【例1】兩根平行的金屬導(dǎo)

5、軌，固定在同一水平面上，磁感強度B = 0.05T 的勻強磁場與導(dǎo)軌所在平面垂直，導(dǎo)軌的電阻很小，可忽略不計.導(dǎo)軌 間的距離I = 0.20 m .兩根質(zhì)量均為 m = 0.10 kg的平行金屬桿甲、乙可 在導(dǎo)軌上無摩擦地滑動，滑動過程中與導(dǎo)軌保持垂直，每根金屬桿的電 阻為R = 0.50 Q.在t= 0時刻，兩桿都處于靜止?fàn)顟B(tài).現(xiàn)有一與導(dǎo)軌平 行、大小為0.20 N的恒力F作用于金屬桿甲上，使金屬桿在導(dǎo)軌上滑 動.經(jīng)過t= 5.0s，金屬桿甲的加速度為a= 1.37 m/ s,問此時兩金屬桿的速度各為多少本題綜合了法拉第電磁感應(yīng)定律、安培力、左手定則、牛頓第二定律、動量定理、全電路歐 姆定律

6、等知識，考查考生多角度、全方位綜合分析問題的能力.解析：設(shè)任一時刻t,兩金屬桿甲、乙之間的距離為X,速度分別為VI和V2,經(jīng)過很短的時間桿甲移動距離V1 t,桿乙移動距離V2t，回路面積改變 S= (x 一 V 2 t)+ VA t l l X= ( V 1- V 2) 由法拉第電磁感應(yīng)定律，回路中的感應(yīng)電動勢回路中的電流i = E/ 2 R桿甲的運動方程F Bli = ma由于作用于桿甲和桿乙的安培力總是大小相等、0)等于外力 F的沖量.Ft= m V l+ m v 2聯(lián)立以上各式解得V 1= Ft/m + 2R(F 一 ma)/ B2l2/2 tE = B $/ t= B I ( V I

7、一 V 2)方向相反，所以兩桿的動量(t = 0時為V 2= Ft/ m2R(F ma)/ B2I2 / 2mv0 2mv量守恒，整個過程中產(chǎn)生的總熱量Q(2)設(shè)ab棒的速度變?yōu)槌跛俣鹊?mv0 m v0 mv141 2 -mv0 23/4 時,1 2-(2m)v2cd棒的速度為1 2 mv04V1,則由動量守恒可知:此時回路中的感應(yīng)電動勢和感應(yīng)電流分別為:E (|v04Vi)BL，I此時cd棒所受的安培力:F IBL，所以cd棒的加速度為 a2RF由以上各式，可得2 2B L v。4mR代入數(shù)據(jù)得移V l= 8.15 m/s, V2= 1.85 m/s【例2】兩根足夠長的固定的平行金屬導(dǎo)軌位

8、于同一水平面內(nèi)，兩 導(dǎo)軌間的距離為L。導(dǎo)軌上面橫放著兩根導(dǎo)體棒ab和cd ,構(gòu)成矩形回路，如圖所示兩根導(dǎo)體棒的質(zhì)量均為m,電阻均為 R,回路中其余部分的電阻可不計在整個導(dǎo)軌平面內(nèi)都有豎直向上的勻強磁 場，磁感應(yīng)強度為 B.設(shè)兩導(dǎo)體棒均可沿導(dǎo)軌無摩擦地滑行開始 時，棒cd靜止，棒ab有指向棒cd的初速度V0.若兩導(dǎo)體棒在運動 中始終不接觸，求：(1 )在運動中產(chǎn)生的焦耳熱最多是多少.(2)當(dāng)ab棒的速度變?yōu)槌跛俣鹊?3/4時，cd棒的加速度是多少？解析：ab棒向cd棒運動時，兩棒和導(dǎo)軌構(gòu)成的回路面積變小，磁通量發(fā)生變化，于是產(chǎn)生感應(yīng)電流.ab棒受到與運動方向相反的安培力作用作減速運動，cd棒則在

9、安培力作用下作加速運動.在ab棒的速度大于cd棒的速度時，回路總有感應(yīng)電流，ab棒繼續(xù)減速，cd棒繼續(xù)加速. 棒速度達到相同后，回路面積保持不變，磁通量不變化，不產(chǎn)生感應(yīng)電流，兩棒以相同的速度 作勻速運動.(1 )從初始至兩棒達到速度相同的過程中，兩棒總動量守恒,【例3】兩根相距d=0.20m的平行金屬長導(dǎo)軌固定在同一水平面 內(nèi)，并處于豎直方向的勻強磁場中，磁場的磁感應(yīng)強度 B=0.2T,導(dǎo)軌上面橫放著兩條金屬細桿，構(gòu)成矩形回路，每條金屬細桿 的電阻為r=0.25 Q,回路中其余部分的電阻可不計.已知兩金屬v=5.0m/s，如圖所細桿在平行于導(dǎo)軌的拉力的作用下沿導(dǎo)軌朝相反方向勻速平移，速度大小

10、都是 示.不計導(dǎo)軌上的摩擦.求作用于每條金屬細桿的拉力的大小.求兩金屬細桿在間距增加0.40m的滑動過程中共產(chǎn)生的熱量(1)當(dāng)兩金屬桿都以速度v勻速滑動時，每條金屬桿中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢分別為:(1)(2)解析：由閉合電路的歐姆定律，回路中的電流強度大小為:E1 E22r因拉力與安培力平衡，作用于每根金屬桿的拉力的大小為Fi=F2=IBd。由以上各式并代入數(shù)據(jù)得F1 F2B2d v3.2 10 r(2)設(shè)兩金屬桿之間增加的距離為則兩金屬桿共產(chǎn)生的熱量為Q I2 2r 2v代入數(shù)據(jù)得Q=1.28X 1O-2J.【例4】如圖，在水平面上有兩條平行導(dǎo)電導(dǎo)軌軌所在的平面(紙面)向里，磁感應(yīng)強度的大小為M

11、N、PQ,導(dǎo)軌間距離為I，勻強磁場垂直于導(dǎo)B,兩根金屬桿1、2擺在導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌垂直，它們的質(zhì)量和電阻分別為mp m2和Ri、R2,兩桿與導(dǎo)軌接觸良好，與導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)為，已知：桿1被外力拖動，以恒定的速度V0沿導(dǎo)軌運動；達到穩(wěn)定狀態(tài)時，桿2也以恒定速E1=E2=Bdv2克服摩擦力做功的功率。度沿導(dǎo)軌運動，導(dǎo)軌的電阻可忽略，求此時桿解法1:設(shè)桿2的運動速度為 V,由于兩桿運動時，兩桿間和導(dǎo)軌構(gòu)成的回路中的磁通量發(fā)生變化，產(chǎn)生感應(yīng)電動勢E BI(V0 v)感應(yīng)電流IER1R2桿2作勻速運動，它受到的安培力等于它受到的X.XXXXXM1 X丿XxNXXX Ik乂XX2摩擦力，BII m2g 導(dǎo)

12、體桿2克服摩擦力做功的功率Pm2 gv解得 Pm2gv0b2|2m2g /29(尺R2)I表示由桿1、桿2和導(dǎo)軌構(gòu)成的回路中的電流，達到穩(wěn)解法2 :以F表示拖動桿1的外力，以定時，對桿1有 Fm1g BII 0對桿2有 BII m2g 0外力F的功率 PFFv0以P表示桿2克服摩擦力做功的功率，則有2P Pf I (Ri R2)migvo由以上各式得Pm2gvo 二(Ri R2)B l3030【例5】如圖所示，在傾角為30的斜面上，固定兩條無限長的平行光滑導(dǎo)軌，一個勻強磁場垂直于斜面向上，磁感強度B= 0.4T，導(dǎo)軌間距L = 0.5m。兩根金屬棒ab、cd平行地放在導(dǎo)軌上，金屬棒質(zhì)量mb=0

13、.1kg , md= 0.2kg，兩金屬棒總電阻r = 0.2 Q,導(dǎo)軌電阻不計?，F(xiàn) 使金屬棒ab以V = 1.5m/s的速度沿斜面向上勻速運動，求(1)金屬 棒cd的最大速度；(2)在cd有最大速度時，作用在金屬棒ab上的外力做功的功率。1)問的分析中,說明：(1)分析清楚棒的受力情況和運動情況是解決本題的關(guān)鍵。在第(也可以對cd棒的運動方向進行判斷，因為不管cd的運動方向如何，它速度最大時ncdgsin30 0=1 IB 式一定成立。直接解 mdgsin30 0=1 IB、& = Blv + Blvn、I = /r式，若Vm為正值則表示方向沿軌道向下，若為負值則表示方向向上。 (2)對第(

14、2)問的求解方法比較多。選研究對象時， 可以用“整體法”，也可以用隔離法。求功率時，可以根據(jù)定義P= Fv計算，也可以根據(jù)能的轉(zhuǎn)化和守恒定律求解。【例6】如圖4所示，金屬棒a跨接在兩金屬軌道間，從高h處以速度V0沿光滑弧形平行金屬軌道下滑，進入軌道的光滑水平部分之后，在自下向上的勻強磁場中運動，磁場的磁感應(yīng)強度為 B.在軌道的水平部分另有一個跨接在兩軌道間的金屬棒b，在a棒從高處滑下前b棒處于靜止?fàn)顟B(tài)己知兩棒質(zhì)量之比瓷斗狡(1)(2)(3)(4)解析1 .a棒進入磁場后做什么運動？ b棒做什么運動？ a棒剛進入磁場時，a、b兩棒加速度之比.？ 如果兩棒始終沒有相碰，a和b的最大速度各多大？ 在

15、整個全過程中，回路中消耗的電能是多大？ a棒在下滑過程中只有重力做正功，動能增加，做加速運動磁場中運動，因切割磁感應(yīng)線產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，從而在感應(yīng)電流，a棒由此而受到向左的安培力 動勢、感應(yīng)電流及安培力都在減小，所以與此同時，b棒則受到向右的安培力.進入軌道的水平部分后在 a、b棒與兩滑軌組成的閉合回路中產(chǎn)生Fa作用，運動受阻而開始減速.由于速度變小，感應(yīng)電 a棒的運動性質(zhì)是加速度逐漸減小的減速運動.Fb作用自靜止起做加速運動.隨上述感應(yīng)電流的減小，受到的Fb也會相應(yīng)減小，所以 b棒的運動性質(zhì)是加速度逐漸減小的加速運動.當(dāng)a、b兩棒速度相等時，回路中磁通量不再變化，因而不再有感應(yīng)電流產(chǎn)生，a、b

16、棒所受安培力都變?yōu)榱?，自此以后，兩棒將以相等的速度一一?b棒所能達到的最大速度向右做勻速運動.2. 從a棒進入磁場后直到做勻速運動以前，a、b棒都做加速度不斷在變化的變速運動.由于是在同一勻強磁場中，回路中的感應(yīng)電流各處相等，a、b兩棒跨接在滑軌之間部分的長度也相等，所以各時刻a、b兩棒分別所受的安培力總是等值反向的(Fa=|FB|=ilB ).因此，根據(jù)牛頓第二定律,盡管加速度隨時間都在逐漸減小，但對于同一時刻來說，這一比值則總是確定的.3. a棒進入磁場之初的速度最大，設(shè)為va.根據(jù)動能定理,m居h M 2叫?。?一叭昭 由此可得 =店+ 2gh在水平軌道上運動過程， 由于在兩棒與軌道組

17、成的系統(tǒng)中，F(xiàn)a與Fb總是等值反向的,即合外力始終為零，所以這個系統(tǒng)動量守恒.設(shè)兩棒最后共同運動速度為v ，則有命范值代入可得卄話h占貝應(yīng)v 也就是b棒的最大速度VB.4. 在整個相互作用過程中，回路中的電流總在變化，且回路電阻未知，所以其中消耗的電能 必須根據(jù)能量守恒計算，扌叫就+叫g(shù)h =卜h +扌叭+%因此，E電-叫必十111匚或一-血亠+ m訂乜 n 423十=亍叫a,釋放b，當(dāng)b的速度達【例7】如圖所示，豎直放置的兩光滑平行金屬導(dǎo)軌，置于垂直于導(dǎo)軌平面向里的勻強磁場中, 兩根質(zhì)量相同的導(dǎo)體棒 a和b，與導(dǎo)軌緊密接觸且可自由滑動。先固定 到10m/s時，再釋放a，經(jīng)過1s后，a的速度達

18、到12m/s，貝UA、當(dāng)磴= 12mM寸，嶺=1801/5B、當(dāng)磴=12血時，叫=22ni/C、D、at，分（nng +F）t = nw*（n垢 -F）t = in% - tw 0若導(dǎo)軌足夠長，它們最終的速度必相同它們最終的速度不相同，但速度差恒定解析：當(dāng)b棒先向下運動時，在 a和b以及導(dǎo)軌所組成的閉合回路中產(chǎn)生感應(yīng)電流，于是 棒受到向下的安培力，b棒受到向上的安培力，且二者大小相等。釋放a棒后，經(jīng)過時間別以a和b為研究對象，根據(jù)動量定理，則有：代入數(shù)據(jù)可解得：當(dāng)加血時小FT。在a、b棒向下運動的過程中，a棒產(chǎn)生的加速度 町二g + Ffm, b棒產(chǎn)生的加速度A和Co= g-Hm。當(dāng)a棒的速度

19、與b棒接近時，閉合回路中的A逐漸減小，感應(yīng)電流也逐漸減小,則安培力也逐漸減小。最后，兩棒以共同的速度向下做自由落體運動。正確答案選【例8】如圖，足夠長的光滑平行導(dǎo)軌水平放置，電阻不計,MN部分的寬度為21 ,PQ部分的寬度為I ,金屬棒a和b的質(zhì)量ma2mb2m ,其電阻大小Ra 2Rb 2R , a和b分別在MN和PQ上，垂直導(dǎo)軌相距足夠遠，整個裝置處于豎直向下的勻強磁場中，磁感強度為NXB，開始a棒向右速度為Vo, b棒靜止，兩棒運動時始終保持平行且y y p y -eXa總在MN上運動,b總在PQ上運動，求a、b最終的速度。解析：本題由于兩導(dǎo)軌的寬度不等, 動產(chǎn)生感應(yīng)電流，a、b系統(tǒng)動量

20、不守恒，可對a、b在安培力的作用下，分別作減速和加速運動a、b分別用動量定理。 b的運動產(chǎn)生了反電動勢?；芈返腅總EaEb 2BlVa BlVb,隨著Va減小,Vb增加，E總減小，安培力 FE總IB/(3R)也隨之減小，故a棒的加速度a Fa/(2m)減小,b棒的加速度a/ Fb/m也減小。當(dāng)E總0，即2BIVaBlVb時，兩者加速度為零，兩棒均勻速運動，且有Vb2Va對a、 b分別用動量定理Fat 2m(Va Vb)FbtmVb而Fa 2Fb聯(lián)立以上各式可得：VaVo3Vb2vo3【例9】如圖所示，abcde和a/b/c/d/e為兩平行的光滑軌道，其中 abcd和a/b/c/d /e/部分為

21、處于水平面內(nèi)的導(dǎo)軌，ab與a/b的間距為cd與c/d間距的2倍，de、d/e部分為與水平導(dǎo)軌部分處于豎直向上的勻強磁場中，彎軌部分處于勻強磁場外。在靠近aa/和CC/處分別放著兩根金屬棒MN、PQ,質(zhì)量分別為2m和m。為使棒PQ沿導(dǎo)軌運動，且通過半圓軌道的最高點ee/,在初始位置必須至少給棒 MN以多大的沖量？設(shè)兩段水平面導(dǎo)軌均足夠長，PQ出磁場時MN仍在寬導(dǎo)軌道上運動。2解析：若棒PQ剛能通過半圓形軌道的最高點ee/則由mg m 土 ,R可得其在最咼點時的速度 ve jgR棒PQ在半圓形軌道上運動時機械能守恒，設(shè)其在dd/的速度為V11 由mvd mv； mg 2R 可得：vd J5gR22

22、MN速度減小，棒V2兩棒在直軌上運動的開始階段，由于回路中存在感應(yīng)電流，受安培力作用，棒PQ速度增大。當(dāng)棒 MN的速度Vi和棒PQ的速度V2達到vi 時，回路中磁通量不再變化而 2無感應(yīng)電流，兩者便做勻速運動，因而v2 vd5gR02為PQ長度的2倍可知，棒 MN和PQ所受在有感應(yīng)電流存在時的每一瞬時，由F IIB及MN安培力Fi和F2有關(guān)系F1 2F2。從而，在回路中存在感應(yīng)電流的時間t內(nèi)，有F1 2F2。設(shè)棒MN的初速度為v0，在時間t內(nèi)分別對兩棒應(yīng)用動量定理，有:Fit 2mvi 2mv0，F(xiàn)2tmv2將以上兩式相除，考慮到Fi 2F2，并將Vi、V2的表達式代入，可得V0/5gR2從而

23、至少應(yīng)給棒MN的沖量：I2mv0 3mj5gR Bih練習(xí)：h高處從靜止開始沿弧1.如圖所示，金屬桿 a在離地 形軌道下滑，導(dǎo)軌平行的水平部分有豎直向上的勻強磁場B,水平部分導(dǎo)軌上原來放有一金屬桿b.已知桿的質(zhì)量為 ma,且與b桿的質(zhì)量比為 ma : mb=3 ：4,水平導(dǎo)軌足夠長，不 計摩擦，求：(1) a和b的最終速度分別是多大？(2 )整個過程中回路釋放的電能是多少？(3)若已知a、b桿的電阻之比Ra : Rb=3 : 4,其余電阻不計，整個過程中 量分別是多少？a、b上產(chǎn)生的熱3 2312答案：(1) va=vb= J2gh (2) A E= magh (3) Qa= E=magh ,

24、 1、772如圖所示，abcd和a/b/c/d/水平放置的光滑平行導(dǎo)軌， 區(qū)域內(nèi)充滿方向豎直向上的勻強磁場。ab、a/b/間的寬度是cd、cd間寬度的2倍。設(shè)導(dǎo)軌足夠長，導(dǎo)體棒 ef的質(zhì)量是棒gh的 質(zhì)量的2倍?，F(xiàn)給導(dǎo)體棒 ef 一個初速度v0,沿導(dǎo)軌向左運動， 當(dāng)兩棒的速度穩(wěn)定時，兩棒的速度分別是多少？解析：當(dāng)兩棒的速度穩(wěn)定時，回路中的感應(yīng)電流為零，設(shè) 導(dǎo)體棒ef的速度減小到 V1,導(dǎo)體棒gh的速度增大到49a/對導(dǎo)體棒ef由動量定理得:2BL I t 2mvi對導(dǎo)體棒gh由動量定理得:BL It mv2由以上各式可得:1v1 3v0，v223v03 .如圖所示，在勻強磁場區(qū)域內(nèi)與中有兩根足

25、夠長的固定金屬平行導(dǎo)軌，在它們上面橫放兩根平行導(dǎo)體棒構(gòu)成矩形回路，長度為L,質(zhì)量為m,與導(dǎo)軌無摩擦，不計重力和電磁輻射，且開始時圖中左側(cè)導(dǎo)體棒靜止, 速v0,試求兩棒之間距離增長量解析：用而減速，B垂直的平面共同速度為416Q b= E=magh749f e *I/cg d/Z/dhd/fV2,則有2BLv1-BLv2=0,即卩 v2=2v1。2mv0XX XX V V VXX Xxv0y X XXX XX X X XXX XX X X X電阻為R,回路部分導(dǎo)軌電阻可忽略，棒 右側(cè)導(dǎo)體棒具有向右的初x的最大值。當(dāng)ab棒運動時，產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，ab、cd棒中有感應(yīng)電流通過，ab棒受到安培力作cd棒受到安培力作用而加速