信號與系統(tǒng)奧本海姆版復(fù)習(xí)要點

1、第一章：singnals and system（信號與系統(tǒng)）11：continuous-time and discrete-time signals（連續(xù)時間與離散時間信號）信號：信息的載體。在信號與系統(tǒng)分析中，信號的表達(dá)式為函數(shù)（functions）p3:signals are represented mathematically as functions of one or more independent variables（獨立自變量）。例如：關(guān)于某導(dǎo)線電流強度對應(yīng)不同時間的函數(shù)i(t)；等比數(shù)列的某一個數(shù)對應(yīng)其序號的函數(shù)an=bn。自變量的定義域為連續(xù)的時間段（有限或無限）的信號（函

2、數(shù)）稱為連續(xù)時間信號x(t)自變量的定義域為間斷的時間點（一般地，歸一為整數(shù)點1，0，1，2）的信號稱為離散時間信號xn，又叫序列（sequences）。兩者有相似處，離散時間函數(shù)（又稱為離散時間序列）可以看作連續(xù)時間函數(shù)對整數(shù)點時間進(jìn)行抽樣得到，但兩者計算上有很大區(qū)別。信號（函數(shù)）對應(yīng)某一自變量值的信號函數(shù)值大小稱為信號的幅度（phenomenon）。例如x(t)=2t，在t=3時x(t)=x(3)=6就是此刻的幅度。signal energy and power（信號的能量與功率）把信號看作電流，該電流在某一段時間內(nèi)流過1歐姆的電阻產(chǎn)生的能量和平均功率(average power)便是信號

3、在該段時間的能量與功率。因此可得在t1t2內(nèi)信號x(t)的能量為：e=(t1t2)(|x(t)|2)dt，而相應(yīng)這段時間的功率則為p=e/(t2-t1)信號在整個定義域的能量e=（limt）(tt)(|x(t)|2)dt信號在整個定義域的平均功率p=(limt)(1/2t)(tt)(|x(t)|2)dt 相應(yīng)的，對于離散時間信號則有p6-7(1,7)(1,9)(這個東西要輸入太困難了，呵呵)顯然，對于一個信號在無窮區(qū)間的能量與平均功率有三種可能：（1） 平均功率無窮大，總能量無窮大（2）平均功率有限，總能量無窮大（3）總能量有限，平均功率無窮?。ㄒ彩怯邢蓿?-2:transformations

4、 of the independent variable（自變量的變換）自變量的變換就是對信號x(t)或xn的自變量t或n進(jìn)行相應(yīng)變換，由此會影響信號。（1） time shift（時移），將x(t)/xn變成x(t-t0)/xn-n0。結(jié)果是使信號形狀不變，但在位置上相對原來的信號有移位。注意：當(dāng)t/n00時，信號向右移動，反之則向左。（2） time reversal（時間反轉(zhuǎn)）將x(t)/xn變成x(-t)/x-n。新信號等于把原來信號以t=0/n=0為軸反轉(zhuǎn)得到。（3） time scaling（尺度變換）將x(t)變成x(at)，a0，則新信號等于把原信號在橫坐標(biāo)上壓縮或拉伸為原先的

5、1/a。例如x(2t)信號等于橫向壓縮為原先1/2。離散信號的時間尺度變換很復(fù)雜，因為它只能在整點取值。periodic signals（周期信號）這是非常重要的一類信號。連續(xù)周期信號定義：若某一連續(xù)信號選x（t）對任意t有 x(t)=x(t+t)則x(t)稱為周期信號，t(不為0)稱為周期（period）一個周期信號有無窮多個周期，其中最小的t0稱為基波周期或基本周期（fundamental period）。其余周期t都是t0的整倍數(shù)對于常數(shù)信號x(t)=c，不存在基波周期的概念，這是一類特殊的周期信號。不具有周期性質(zhì)的信號叫非周期信號（aperiodic signal）類似的，離散信號中滿

6、足xn=xn+n的叫做周期信號，n為周期。最小的n0為基波周期。但常數(shù)信號有基波周期為1！even and odd signals（偶信號與奇信號）從t=0軸反轉(zhuǎn)后與原信號重合的信號稱為偶信號,即滿足x(t)=x(-t)從t=0軸反轉(zhuǎn)后與原信號相反的信號稱為奇信號，即滿足x(t)=-x(-t)任何一個信號x(t)都可以分解為一個偶信號和一個奇信號的和，分別叫做這個信號x(t)的偶部（even part）和奇部（odd part）evx(t)=(1/2)x(t)+x(-t); odx(t)=(1/2)x(t)-x(-t)，離散也完全一樣。13 exponential and sinusoidal

7、 signals（指數(shù)信號與正弦信號）comtinuous-time complex exponential and sinusoidal signals(連續(xù)時間復(fù)指數(shù)信號與正弦信號)x(t)=ce(at)。一般而言c與a都是復(fù)數(shù)。實指數(shù)信號(real exponential signal)：c和a都是實數(shù)(real)。x(0)=c,a0，信號隨時間增長；a0，信號隨時間衰減周期復(fù)指數(shù)和正弦信號（periodic complex exponential and sinusoidal signals）周期復(fù)指數(shù)信號：a為純虛數(shù)（imaginary），則x(t)=e(jw0t)由于eja=ej(

8、a+2),或e（j2）1，因此x(t)=x(t+(2/w0)t0=2/|w0|為基波周期。x(t)=acos(t+)或x(t)=asin(t+)稱為正弦信號，也是基波周期為t0=2/|的周期函數(shù)。由歐拉公式（eulers relation）:e(j(t+)= cos(t+)+jsin(t+)可以完成指數(shù)函數(shù)與正弦函數(shù)的相互表達(dá)和轉(zhuǎn)換cos(t+)（1/2）（e(j(t+)e(j(t+)）sin(t+)(1/2j) （e(j(t+)e(j(t+)）對于周期復(fù)指數(shù)信號和正弦信號，基波周期為2/, |稱為基波角頻率（fundamental frequency）對于周期復(fù)指數(shù)信號和正弦信號而言，很明顯

9、其能量與功率的關(guān)系是在無窮區(qū)間的有限平均功率和無窮總能量。a set of harmonically related complex exponentials （一組成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號）一個重要的概念。指的是這樣一組復(fù)指數(shù)信號k(t)=exp(jk0t),k=0,1,-1,2,-2顯然這些信號都是周期信號，具有共同周期2/0。這樣一組復(fù)指數(shù)周期信號就稱為一組諧波。一般復(fù)指數(shù)信號：x(t)=cexp(at)，其中c=|c|exp(j),a=r+j0則x(t)=cexp(at)=|c|exp(rt)exp(j(0t+)通過包絡(luò)分析，可以看出信號包絡(luò)|c|exp(rt)的走向（21頁）discr

10、ete-time complex exponential and sinusoidal signals(離散時間復(fù)指數(shù)和正弦信號)指數(shù)信號、正弦信號、歐拉公式等都與連續(xù)類似。不過更方便在于可以令xn=cexp(n),當(dāng)a=exp,則xnc（an）離散指數(shù)周期信號：xn=exp(jn)的周期分析：與連續(xù)信號x(t)=exp(jt)周期為2/不同，由于n只能取整數(shù)值，因此周期（如果有周期的話）必須是整數(shù)。當(dāng)2/為有理，則周期基波t0(2/)k，k是使t0為正整數(shù)的整數(shù)。例如：/4，則t0=8(k=1); 3,則t0=2(k=3)當(dāng)2/為無理數(shù)，則xn=exp(jn)不是周期信號。因為無論什么n都不

11、能使n=2k，也就是不能使得exp(jn)=1，也就是不能使得exp(jn) exp(j(n+n)離散指數(shù)周期信號的另一特性：exp(jt)= exp(j(+2)t)也就是說，離散指數(shù)信號的一組基波頻率為2/n0的諧波只有n0個不同的指數(shù)信號（而在連續(xù)指數(shù)周期信號中一組有無數(shù)多個）1. 4：the unit impulse and unit step functions（單位沖激與單位階躍函數(shù)）離散時間單位沖激和單位階躍單位沖激/單位脈沖/單位樣本（unit sample）n：n=0時，n=1，其他時候n=0單位階躍un：n0時，un=1n是un的一次差分（first difference相當(dāng)

12、于連續(xù)中的微分）：nun-un-1un是n的動求和（running sum，相當(dāng)于連續(xù)中的不定積分）：p31公式1.67n具有采樣性：xn .n-n0=xn0.n-n0連續(xù)時間單位階躍和單位沖激函數(shù)連續(xù)時間中的單位階躍和單位沖激都是理想化的奇異函數(shù)。單位階躍函數(shù)u(t)：t0,u(t)=1;t0,u(t)=0單位沖激函數(shù)（t）：一個特殊函數(shù)。僅在t=0時有非零函數(shù)值。函數(shù)值為無窮大。換言之，這個函數(shù)寬度為0，高度為無窮大，而積分面積為1（t）為u(t)的微分；u(t)為（t）的積分。（t）的采樣性：x(t).（t-t0）=x(t0).（t-t0）1.5 continuous-time and

13、discrete-time system（連續(xù)時間和離散時間系統(tǒng)）在信號與系統(tǒng)中，系統(tǒng)是指這樣一些元件的互聯(lián)，通過它，當(dāng)輸入一個信號（input），能夠得到一個輸出信號(output)。信號與系統(tǒng)根本上就是研究輸入、輸出與系統(tǒng)三者的關(guān)系。連續(xù)時間系統(tǒng)即輸入和輸出都是連續(xù)時間信號的系統(tǒng)；離散時間系統(tǒng)即輸入和輸出都是離散時間信號的系統(tǒng)。系統(tǒng)的互聯(lián)(interconnections of systems)包括三種簡單連接：串聯(lián)（series）或級聯(lián)（cascade interconnection）并聯(lián)（parallel interconnection）反饋聯(lián)結(jié)(feedback interconne

14、ction)以及各種簡單連接組合而成的混聯(lián)系統(tǒng)聯(lián)結(jié)往往采用方框圖（block diagrams）1.6 basic system properties(基本系統(tǒng)性質(zhì))記憶系統(tǒng)與無記憶系統(tǒng)（systems with and without memory）如果某系統(tǒng)的輸出信號的每個時刻的值僅僅取決于輸入信號在該時刻的值而與輸入信號在之前或之后時刻的值無關(guān)，則稱為無記憶系統(tǒng)。反之如果在某一時刻的輸出值還與其他時刻的輸入值有關(guān)則稱為記憶系統(tǒng)。 可逆性與可逆系統(tǒng)（invertibility and inverse system）可逆系統(tǒng)的條件：不同輸入必然導(dǎo)致不同輸出，則稱該系統(tǒng)為可逆（invertib

15、le）的。對可逆系統(tǒng)存在一個逆系統(tǒng)（inverse system）使得把原系統(tǒng)的輸出信號輸入到逆系統(tǒng)中，則最終的輸出信號便是最初的輸入信號。因果性（causality）一個系統(tǒng)任何時刻的輸出只決定于該時刻以及該時刻以前的輸入，而與該時刻以后的輸入無關(guān)，則稱為因果系統(tǒng)（causal），或稱為不可預(yù)測系統(tǒng)(nonanticipative)所有的無記憶系統(tǒng)都是因果的。穩(wěn)定性（stability）如果對于任何一個有界的輸入，該系統(tǒng)的輸出都是有界的則稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。時不變性（time invariance）概念：如果系統(tǒng)的參數(shù)不隨時間改變，則系統(tǒng)是時不變(time invariant)的。如：y(t)=x

16、(t)+x(t-3)反之則系統(tǒng)是時變（time variant）的：如y(t)=t.x(t)對于時不變系統(tǒng)，輸入信號發(fā)生時移則輸出信號發(fā)生相同的時移：x(t)y(t),則x(t-t0)y(t-t0)線性(linearity)線性系統(tǒng)(linear system)具有的重要特性是疊加性質(zhì)（superposition property）ax1(t)+bx2(t)ay1(t)+by2(t)該系統(tǒng)也可等效為兩個系統(tǒng)：可加性（additivity）：x1+x2y1+y2比例性（scaling）或齊次性(homogeneity)：ax1ay1（a為任意復(fù)數(shù)）增量線形疊加（incrementally lin

17、ear systems）任意輸入信號的輸出y(t)=yh(t)+yp(t)，其中yp(t)是一個線形輸出。換言之，對任意兩個輸出的差y1-y2=y1p-y2p是一個線形的表達(dá)式。2.linear time-invariant system（線性時不變系統(tǒng)）2-1:discrete-time lti system:the convolution sum（離散lti系統(tǒng)：卷和）本節(jié)的關(guān)鍵在于：把任意離散信號xn表示為若干個脈沖信號的疊加。這樣，信號xn輸入某一個系統(tǒng)的輸出yn，便可以等效為把這些脈沖信號分別輸入這個系統(tǒng)之后，再把它們的輸出結(jié)果疊加。當(dāng)系統(tǒng)是lti系統(tǒng)時，對應(yīng)每個脈沖信號輸入的輸出函

18、數(shù)都可以由對應(yīng)單位沖激函數(shù)的響應(yīng)n的輸出hn進(jìn)行時移和乘以系數(shù)得到。把每個脈沖輸入的輸出疊加便得到了輸入信號xn的輸出yn。用脈沖信號表示任意信號：可以把xn看作x0.n+ n-1.x1+ n-2.x2即p75 22式對一個系統(tǒng)lti，當(dāng)輸入信號為n時的輸出信號hn稱為單位沖激響應(yīng)（unit impulse response）卷和而對于每個xk.n-k，輸入系統(tǒng)后的輸出為hkn=xk.hn-k,因此，xn輸入后的輸出yn便應(yīng)當(dāng)是全部hkn（k從負(fù)無窮取到正無窮）的累加。換言之得到了p78 2-6式（公式請自己看啦，輸入太麻煩了，呵呵呵呵）該公式稱作xn和hn的卷和或卷積和（convolutio

19、n sum）。寫作xn*hn。是一種基本的運算方式，由兩個函數(shù)卷和得到一個新函數(shù)。對lti系統(tǒng)而言，就是輸入xn與單位沖激響應(yīng)卷和，得到輸出信號yn。xn*hn=yn對于有限長序列卷和的運算：豎式法比較簡單。22：continuous-time lti systems:the convolution integral（連續(xù)時間lti系統(tǒng)：卷積）與離散系統(tǒng)類似，本節(jié)的核心也是把輸入的一個連續(xù)時間信號從時間上拆分成無數(shù)個沖激信號的疊加，然后對于每個沖激信號去求它輸入這個系統(tǒng)得到的輸出，再把所有的這些輸出疊加起來，從而得到原信號輸入系統(tǒng)的輸出。用沖激信號表示連續(xù)時間信號：對于任一個連續(xù)信號x(t)，

20、可以從時間上把它拆成無數(shù)個小的“矩形”。每個矩形寬度為，高度為x(k)（k是該矩形的序號，原點處為0）這樣信號x(t)可以看成這無數(shù)個矩形信號的疊加。而當(dāng)趨向無窮小，疊加求和趨向于積分，由此得到書上p92公式2.27。卷積由于對輸入(t)，系統(tǒng)的輸出為h(t)（單位沖激響應(yīng)），因此對于每一個沖激信號x().(t-)，輸入系統(tǒng)后得到的響應(yīng)為x().h(t-),因此對于lti系統(tǒng)而言，整個的輸出y(t)就等于對應(yīng)的積分公式p97 公式233。該運算稱為x(t)與h(t)的卷積（convolution integral），寫作x(t)*h(t)簡言之，對于lti系統(tǒng)，其輸出信號y(t)可由輸入信號x

21、(t)與系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)h(t)卷積得到。23properties of lti system（線性時不變系統(tǒng)的性質(zhì)）首先是卷積的運算法則：（lti系統(tǒng)的性質(zhì)）交換律（commutative）：x(t)*h(t)=h(t)*x(t)分配率（distributive）:x(t)*(h1(t)+h2(t)=x(t)*h1(t)+x(t)*x2(t) (x1(t)+x2(t)*h(t)=x1(t)*h(t)+x2(t)*h(t)結(jié)合律（associative）：x1*h1*h2=x1*(h1*h2)接下來是lti系統(tǒng)的一些性質(zhì)分析判斷記憶系統(tǒng)與無記憶lti系統(tǒng)（lti systems with an

22、d without memory）對一個無記憶的lti系統(tǒng)而言，其單位沖激響應(yīng)必然是h(t)=k(t),hn=kn，因此其輸出必然有y(t)kx(t)lti系統(tǒng)的可逆性（invertiblity of lti systems）對一個可逆lti系統(tǒng)系統(tǒng)而言，如果它的單位沖激響應(yīng)為h1(t)，則它的可逆系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h2(t)，且滿足h1(t)*h2(t)1lti系統(tǒng)的因果性（causality for lti system）因果系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)顯然有t0時h(t)=0對于一個系統(tǒng)而言，這種情形被稱為初使松弛（initial rest），也就是直到從某一時刻系統(tǒng)得到一個非0的輸入以

23、前，系統(tǒng)的輸出一直為0。對于當(dāng)t0時候x(t)=0的信號又稱為因果信號（causal signal）。因果系統(tǒng)的充要條件是，它的單位沖激響應(yīng)是一個因果信號。lti系統(tǒng)的穩(wěn)定性（stability for lti system）對于lti系統(tǒng)判斷穩(wěn)定性：離散時間系統(tǒng)：絕對可和（absolutely summable），公式286連續(xù)時間系統(tǒng)：絕對可積(absolutely integrable)，公式287lti系統(tǒng)的單位階躍相應(yīng)（tne unit step response of an lti system）即對于lti系統(tǒng)，當(dāng)輸入為u(t)或un時的輸出，寫作s(t)或sn有：s(t)=u(

24、t)*h(t)；sn=un*hnh(t)為s(t)的導(dǎo)數(shù)，s(t)為h(t)的積分。24causal lti system described by differential and difference equations（微分和差分方程描述的因果lti系統(tǒng)）本節(jié)更多屬于高數(shù)內(nèi)容，對于微分（連續(xù)時間）和差分（離散時間）方程的解法。值得說明的是任何一個微分或者差分方程實際上是對某一個連續(xù)或者離散系統(tǒng)的輸入與輸出關(guān)系的一個表達(dá)。往往還需要給出初時條件才能得出輸出的表達(dá)式。具體的方法請自己看書掌握。25singularity functions（奇異函數(shù)）奇異函數(shù)是一種理想化的函數(shù)，以連續(xù)時間的單

25、位沖激信號(t)為基本，對其進(jìn)行微分和積分運算得到的一族信號都稱為奇異函數(shù)。(t)又寫作u0(t)，它的一次微分為u1(t),二次微分為u2(t)(t)的一次積分即單位階躍信號u(t)又寫作u-1(t)，二次積分tu(t)為u-2(t)奇異函數(shù)uk(t)的主要特性是：x(t)*uk(t)的結(jié)果是x(t)的k次微分（k為負(fù)數(shù)則是積分）例如，x(t)*u2(t)結(jié)果為x(t)的二次微分;x(t)*u-3(t)的結(jié)果為x(t)的三次積分。第三章fourier series representation of periodic signals(周期信號的傅立葉級數(shù)表示)32 the response

26、of lti system to complex exponentials（lti系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號的響應(yīng)）我們很容易發(fā)現(xiàn)，復(fù)數(shù)指數(shù)信號輸入lti系統(tǒng)可以得到對其增加系數(shù)的響應(yīng)，即：對連續(xù)時間lti系統(tǒng)：exp(st)h(s).exp(st)對離散時間lti系統(tǒng)：znh(z).zn其中，h(s)和h(z)地表達(dá)式在p183 式3-6,3-10，都是與t和n無關(guān)而只與s和z有關(guān)的表達(dá)式。也就是說，對指數(shù)信號輸入得到的輸出，僅僅等于原信號乘以一個與自變量無關(guān)而與頻率有關(guān)的式子。這使得我們可以非常方便的對它進(jìn)行處理。如果一個輸入信號能表達(dá)為若干個指數(shù)信號的疊加，那么對它的輸出的表達(dá)也會非常方便。例如：

27、a1.exp(s1t)+a2.exp(s2t)a1.h(s1).exp (s1t)+a2.h(s2).exp(s2t)本章研究的，就是多大范圍的信號可以表達(dá)為類似p184,3-13和3-15的表達(dá)方式，分解為指數(shù)信號的線形疊加？如果進(jìn)行分解？33：fourier series representation of continuous-time periodic signals（連續(xù)時間周期信號的傅立葉級數(shù)表達(dá)）本節(jié)研究把連續(xù)時間周期信號分解為若干個周期信號的疊加的傅立葉級數(shù)。成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號的線性組合（linear combinations of harmonically related

28、 complex exponential）如前，成諧波關(guān)系的一組復(fù)指數(shù)信號指的是形如k(t)=exp(jk0t)的一組指數(shù)信號，其中k=0,1,-1,2,-2顯然這樣一組信號具有公共的周期為t0=2/0，因此這樣一組信號的線性組合必然有周期為t0。把這樣一組信號ak.k(t)=ak.exp(jk0t)進(jìn)行線性組合如186頁325公式的形式，形成的周期信號x(t)，其中的每一個分量ak.k(t)=ak.exp(jk0t)稱為諧波分量。k=0時的a0稱為直流分量；k=正負(fù)1時稱為一次諧波分量（first harmonic components）或基波分量(fundamental component

29、s)，k=2時稱為二次諧波分量（second harmonic components），以此類推。傅立葉級數(shù)，研究的便是如何把一個周期為t0的周期信號分解為若干個具有公共周期為t0的信號k(t)=exp(jk0t)的的線形組合。連續(xù)時間周期信號傅立葉級數(shù)表示式的確定（determinbation of the fourier series representataion of a continuous-time periodic signal）假設(shè)一個給定的周期為t0的周期信號x(t)可以表達(dá)為上面所說的指數(shù)信號的線性組合，則可以推導(dǎo)出其系數(shù)對應(yīng)每一個諧波分量k(t)=ak.exp(jk0t)

30、的系數(shù)ak的表達(dá)式。這就是p191的公式338和339338是把具有基波周期t0=2/0的周期信號x(t)分解為指數(shù)信號的疊加的公式，稱為綜合公式（synthesis equation）；339是對應(yīng)具體k值的每一個諧波系數(shù)ak的計算公式，稱為分析公式（analysis equation）。系數(shù)ak的這一組合稱為x(t)的傅立葉級數(shù)系數(shù)（fourier series coefficients）或者頻譜系數(shù)（spectral coefficients）。每一個ak表示對應(yīng)的k倍頻率的指數(shù)信號分量在總信號中所占地比例度量。34：convergence of the fourier series（傅

31、立葉級數(shù)的收斂）表達(dá)式3-38并不是對所有的周期信號x(t)都成立。因為根據(jù)分析公式339推導(dǎo)，在有些情況下會得出無窮大的系數(shù)ak（即傅立葉級數(shù)系數(shù)不收斂）。本節(jié)判斷在何種情況下傅立葉級數(shù)是收斂的。收斂條件的判斷a：在一個周期內(nèi)平方可積（p197，351式）即可判斷該周期信號x(t)的傅立葉級數(shù)收斂。另外一組條件判斷：狄里赫里（dirichlet）條件。當(dāng)同時滿足下列三個條件，則可判斷該周期信號x(t)的傅立葉級數(shù)收斂。（1） 在一個周期內(nèi)絕對可積（absolutely integrable）p197，356（2） 在任意有限區(qū)間內(nèi)只有有限個起伏變化（3） 在任意有限區(qū)間內(nèi)只有有限個不連續(xù)點，

32、且這些不連續(xù)點上函數(shù)值是有限值。36：fourier series representation of discrete-time periodic signals(離散時間周期信號的傅立葉級數(shù))對離散信號而言，也存在類似的分析。對于一個周期n，構(gòu)建以下的一組指數(shù)信號：kn=exp(jk0n)。其中02/n，k=整數(shù)。這樣的一組信號稱為成諧波關(guān)系的指數(shù)信號。顯然這樣一組信號具有公共周期為n，它們的線性組合得到的信號也具有周期為n。又由于對離散信號，有kn=exp(jk0n)exp(jk0nj2n)= exp(jk0nj0nn)=(k+n)n因此在一組基波頻率為02/n的離散信號的諧波，總共只具

33、有n個獨立的諧波分量。周期信號傅立葉級數(shù)表示的確定（determination of the fourier series representation of a periodic signal）如上，由于離散信號的諧波只具有n個獨立分量，因此離散信號的傅立葉級數(shù)，只有n個連續(xù)的kn線性組合。k可以任意取n個連續(xù)整數(shù)值，效果是一樣的。同樣由p213的綜合公式394和分析公式395確定。38：fourier series and lti systems（傅立葉級數(shù)與lti系統(tǒng)）由前面所說，對于lti連續(xù)與離散系統(tǒng)，當(dāng)輸入為x(t)=exp(st)或xn=zn時，輸出分別為：exp(st)h(s)

34、.exp(st)znh(z).znh(s)與h(z)的計算式為p226 3119和3120h(s)與h(z)分別稱為連續(xù)lti系統(tǒng)與離散lti系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)(system functions)對于連續(xù)系統(tǒng)而言，本章主要分析的是s=j的特殊形式，此時的系統(tǒng)函數(shù)h(j)即p227 3121式稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（frequency response）。因為一個系統(tǒng)的h(j)其實表示的是該系統(tǒng)對不同頻率的指數(shù)信號的放大倍數(shù)的函數(shù)。（例如，h(j)當(dāng)100時值為2，1000時值為3，含意就是該系統(tǒng)對角頻率100的指數(shù)信號放大2倍，對角頻率1000的指數(shù)信號放大為3倍。而傅立葉級數(shù)的意義在于把一個周期信號

35、x(t)分解為不同頻率的指數(shù)信號的和，然后把每個分量ak.exp(j0kt)輸入lti系統(tǒng)，得到響應(yīng)為h(jk0)ak.exp(j0kt),然后再累加起來。公式為p228 3-124根據(jù)不同的頻率對應(yīng)的頻率響應(yīng)h(j)不同，系統(tǒng)對各指數(shù)信號分量的改變不同。這構(gòu)成了我們系統(tǒng)濾波的原理。3-9 filtering （濾波）濾波器即是一種lti系統(tǒng)，根據(jù)前面說的lti 系統(tǒng)對于不同頻率的信號具有不同的h(j)倍數(shù)改變的原理，可以對信號中具有某些頻率的分量進(jìn)行放大和保持而對另一些頻率分量進(jìn)行抑止或消除。主要目的為改變信號頻譜形狀的濾波器稱為頻率成形濾波器（frequency-shaping filte

36、rs）。例如，h(j)= j的系統(tǒng)，對于較大的有較大的放大倍數(shù)主要目的為無失真地通過一些頻率而顯著地消除掉另一些頻率的稱為頻率選擇性濾波器（frequency-selective filters）有幾種基本類型的濾波器：低通濾波器（lowpass filter）：對|0的頻率分量通過而對低頻分量過濾帶通濾波器（bandpass filter）：對|在1和2之間的頻率分量通過而對高頻和低頻分量都過濾其中，邊界的頻率（即上面公式中的0. 1, 2稱為截止頻率（cutoff frequencies）。能通過的頻率帶稱為通帶（passband）。被過濾掉的（阻止）的頻率帶稱為阻帶（stopband）理

37、想濾波器與現(xiàn)實濾波器的差別。第四章：the continuous-time fourier transform（連續(xù)時間傅立葉變換）上一章，我們研究了如何把周期信號分解為指數(shù)信號的線形疊加，這樣對于我們的信號處理是非常方便的。那么，能否對非周期信號進(jìn)行類似的處理？本章便是研究由周期信號推導(dǎo)到非周期信號的擴展。4-1：representation of aperiodic signals:the continuous-time foueier transform(非周期信號的表示：連續(xù)時間傅立葉變換)在第三章研究了把周期信號分解為指數(shù)信號疊加的傅立葉級數(shù)。其中，各頻率的指數(shù)信號分量的系數(shù)ak又稱

38、為頻譜。對ak作圖稱為頻譜圖。圖中兩根頻譜線的間距是周期信號的基波頻率0（也就是2/t0）?？梢韵胂?，如果周期信號的周期不斷變大，即基波頻率0不斷變小，則頻譜線的間距將漸漸變小，直到（在極端的時候）變得連續(xù)。一個非周期信號的傅立葉變換，可以看作是周期信號的周期無限變大的結(jié)果。這時公式p287 4-3中的exp(jk0t)趨向exp(jt)，ak趨向(1/t)x(j)，求和趨向積分，由此得到非周期信號的傅立葉變換公式：p288 4-8,4-9其中綜合公式4-8是由一個連續(xù)信號的頻域表達(dá)式x(j)求得其時域表達(dá)式x(t)的公式，稱為傅立葉反變換式（inverse fourier transform

39、）。分析公式49是由一個信號的時域表達(dá)式x(t)求得其頻域表達(dá)式x(j)的公式，稱為傅立葉變換（fourier transform）或傅立葉積分（fourier integral）這種一個信號的時域（time domain）表達(dá)式x(t)和頻域(frequency domain)表達(dá)式x(j)之間通過傅立葉變換與反變換建立聯(lián)系x(t)x(j)，稱之為一個傅立葉變換對（fourier transform pari）注意：時域表達(dá)式x(t)是一個關(guān)于時間的函數(shù)，表達(dá)的是在不同時間點函數(shù)幅度值的不同，自變量為時間t；頻域表達(dá)式x(j)表達(dá)的是把信號分解為不同頻率的指數(shù)信號的組合（只不過這些指數(shù)信號的

40、頻率變化是連續(xù)的），這些不同頻率的指數(shù)信號在總信號中所占分量的大小,自變量為頻率。兩者都是同一信號的不同表達(dá)方式，而不是不同的信號。兩者之間的轉(zhuǎn)換（即傅立葉變換與反變換）也是同一信號的由時域表達(dá)式推導(dǎo)頻域表達(dá)式或由頻域表達(dá)式推導(dǎo)時域表達(dá)式的過程。傅立葉變換的收斂與傅立葉級數(shù)類似：如果某非周期信號的總能量（即時域絕對值平方積分）有限則該信號傅立葉變換收斂?；蛘?，同時滿足下列三個條件的信號傅立葉變換也收斂：（1） 在整個定義域絕對可積（2） 任何有限區(qū)間只有有限個起伏（3） 任何有限區(qū)間只有有限個不連續(xù)點，且每個不連續(xù)點都是有限值。4-2：the fourier for periodic sign

41、als（周期信號的傅立葉變換）顯然，周期信號是不滿足上面的收斂判斷式的，而且把周期信號x(t)代入傅立葉變換公式，得到的積分結(jié)果也是無窮大。那么如何求它的傅立葉變換？教材上通過傅立葉反變換來求的。由于周期信號的傅立葉變換應(yīng)當(dāng)正比于其傅立葉級數(shù)系數(shù)，且根據(jù)計算又是無窮大，我們猜測是一個沖激。因此通過求頻域沖激信號的傅立葉反變換，我們得到了以下傅立葉變換對：exp(j0t)2(-0)由于對任何周期信號都可以用傅立葉級數(shù)分解為若干個周期指數(shù)信號的線性疊加，因此可以得到p297 4-22。即任何一個周期信號，其傅立葉變換為一些沖激串。沖激的大小正比于其傅立葉級數(shù)的系數(shù)。4-3：properties o

42、f the continuous-time fourier transform（連續(xù)時間傅立葉變換的性質(zhì)）本節(jié)主要介紹了連續(xù)時間傅立葉變換的性質(zhì)。這些性質(zhì)都可以由兩大公式本身的運算推導(dǎo)出來。熟練掌握不但有利于我們進(jìn)行變換與反變換，更有利于我們運用傅立葉變換，解決以后的一些實際問題。線性：linearity：x1(t)x1(j),x2(t)x2(j)，則ax1(t)+bx2(t)ax1()+bx2(j)時移性質(zhì)：（time shifting）x(t)x(j)，則x(tt0)x(j)exp(-jt0)共軛及共軛對稱性：（conjugation and conjugate symmetry）x(t)

43、x(j)，則x* (t)x* (-j)這里的*表示共軛。特別，對于x(t)為實函數(shù)，由于x* (t)=x(t)，因此x* (j)=x(-j)，稱為共軛對稱性。再進(jìn)一步可以論證，實信號傅立葉變換為頻率的偶函數(shù)，而純虛數(shù)信號的傅立葉變換為頻率的奇函數(shù)。換言之，信號時域函數(shù)的實部對應(yīng)頻域頻域函數(shù)的偶部，而虛部對應(yīng)頻域函數(shù)的奇部。微分與積分（differentiation and integration）x(t)x(j)，則dx(t)/dtjx(j)x(t)的不定積分(1/j)x(j)+x(0)(),右邊的沖激函數(shù)反映了積分產(chǎn)生的直流分量。時間與頻率的尺度變換（time and frequency s

44、caling）x(t)x(j)，則x(at)(1/|a|).x(j/a)對偶性（duality）通過上面的一些性質(zhì)我們可以發(fā)現(xiàn)，傅立葉變換與傅立葉反變換之間似乎有一些相似的形式，事實上這正是有兩個變換式本身的形式相似決定的。如果x(t)x(j)則x(jt)2x(-)運用這一性質(zhì)我們可以由前面的性質(zhì)自己推導(dǎo)出其他的一些性質(zhì)例如，由微分性質(zhì)：x(t)x(j)，則dx(t)/dtjx(j)和對偶性可以得出：x(t)x(j)，則-jtx(t)dx(j)/d由時移性質(zhì)：x(t)x(j)，則x(tt0)x(j)exp(-jt0)和對偶性可以得出：x(t)x(j)，則x(t)exp(j0t)x(j(-0)等

45、等。帕斯瓦爾定理（parsevals relation）p312 443表明了時域和頻域總能量的積分在數(shù)值上的關(guān)系。有時候可以用來解決一些問題。44：the convolution property（卷積性質(zhì)）這是最重要的性質(zhì)。x1(t)x1(j)，x2(t)x2(j)，則x1(t)*x2(t)x1(j).x2(j)即時域的卷積對應(yīng)頻域的乘積。而對于我們的信號與系統(tǒng)分析而言，對于一個lti系統(tǒng)，單位沖激響應(yīng)h(t)的傅立葉變換即是其頻率響應(yīng)函數(shù)h(j):h(t)h(j)當(dāng)輸入函數(shù)為x(t)時，輸出y(t)x(t)*h(t)，則有：y(t)=x(t)*h(t)（傅立葉變換）x(j).h(j)y(

46、j)如此，將時域卷積與頻域的乘積對應(yīng)，實際上是建立了時域與頻域之間的最重要的聯(lián)系。再配合其他的傅立葉變換性質(zhì)，可以把復(fù)雜的卷積、微積分關(guān)系式表示稱為簡單的代數(shù)關(guān)系式，在我們的信號系統(tǒng)研究中將帶來無與倫比的方便。例如對已知輸入x(t)、輸出y(t)和系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)h(t)中的兩個求第三個的問題中，可以把兩個已知信號進(jìn)行傅立葉變換，用簡單的乘除法求出第三個未知函數(shù)的頻域表達(dá)式，然后再進(jìn)行反變換求得要求信號的時域表達(dá)式。然而，能夠用該方法進(jìn)行分析的，必須是一個穩(wěn)定的lti系統(tǒng)。對于不穩(wěn)定的lti系統(tǒng)的分析將用后面的拉普拉斯變換來解決。4-5：the multiplication property（

47、相乘性質(zhì)）上一節(jié)證明了時域的卷積對應(yīng)頻域的相乘，據(jù)此以及對偶性質(zhì)，可以推知時域的相乘對應(yīng)頻域的卷積：r(t)=s(t)p(t)r(j)=(1/2).p(j)*p(j)一個信號去乘另外一個信號可以理解為用一個信號去調(diào)制（modulate）另一個信號的振幅(amolitude)，因此兩個信號相乘又稱幅度調(diào)制(amplitude modulation)，故相乘性質(zhì)又稱調(diào)制性質(zhì)(modulation property)具有可變中心頻率的頻率選擇性濾波（frequency-selective filtering with variable center frequency）本小節(jié)主要介紹一種調(diào)制解調(diào)方式

48、： y(t)x(t) x1(t) exp(j0t) exp(-j0t)該方式利用指數(shù)信號的頻率搬移功能。從時域上：y(t)=x(t).exp(j0t) x1(t)=y(t).exp(-j0t)=x(t).exp(j0t).exp(-j0t)=x(t)從頻域上：exp(j0t)(-0) exp(-j0t)(+0)故y(j)=x(j)* (-0)=x(j(-0)x1(j)=y(j)*(+0)=x(j(-0)*(+0)= x(j)換言之，從頻域上，調(diào)制是把信號在頻域上進(jìn)行頻域搬移，解調(diào)是進(jìn)行一次相反的搬移將其還原。4-6：tables of fourier properties and of bas

49、ic fourier transform pairs(傅立葉變換性質(zhì)和基本傅立葉變換對一覽表)本節(jié)采用列表方式給出了連續(xù)時間傅立葉變換的一些基本特性，和一些常見的重要的信號的傅立葉變換對，應(yīng)該牢記掌握。p328-3294-7：systems characterized by linear constant-coefficient differential equations（用線性常系數(shù)微分方程表征的系統(tǒng)）如第二章所說，線性常系數(shù)微分方程可以表征系統(tǒng)的特征。但從時域計算的方法要解出這個方程，或者要由輸入求輸出，輸出求輸入都是很麻煩的計算。但引入頻域的傅立葉變換后，大大簡化了我們的工作。線性常系

50、數(shù)微分方程的兩邊分別是輸入x(t)和輸出y(t)的各次微分的線性組合。從時域進(jìn)行解需要設(shè)未知系數(shù)等等而從頻域解，直接對兩邊各次項進(jìn)行傅立葉變換，則d(k)x(t)/dtk(x(t)的k次微分)(j)k.x(j)d(k)y(t)/dtk(y(t)的k次微分)(j)k.y(j)又，x(t)*h(t)=y(t)，則x(j).h(j)=y(j),即h(j)=y(j)/x(j)這樣，可以很方便地從頻域通過簡單的有理式乘除運算求到所求的信號，再通過傅立葉反變換可以求到時域表達(dá)式。該方法非常簡單，大家可結(jié)合例題自己看。第六章：time and frequency characterization of si

51、gnals and systems（信號與系統(tǒng)的時域和頻域特性）本章其實是第四章和第五章的分析運用。介紹一些基本的分析方法。6-1：the magnitude-phase representation of the fourier transform（傅立葉變換的模和相位表示）連續(xù)信號和離散信號的傅立葉變換（頻域表達(dá)）一般是復(fù)數(shù)值的，可以用它的模和相位來表示：x(j)=|x(j)|.exp(jx(j)離散類似：x(exp(j)=|x(exp(j)|.exp(jx(exp(j)因為傅立葉變換可以理解為把信號分解為不同頻率的指數(shù)信號的“疊加”，則對于每一頻率0，模|x(j)|是信號x(t)在該0頻

52、率分量的“大小”而相位角x(exp(j)則是表示這些不同頻率分量的相對相位關(guān)系。對于一個信號而言，不同頻率分量的大小和彼此相位關(guān)系都是非常重要的信息。6-2：the aagnitude-phase representation of the frequency response of lti systems（lti系統(tǒng)頻率響應(yīng)的模和相位表示）一個lti系統(tǒng)的輸入、輸出和頻率響應(yīng)的關(guān)系為：x(j).h(j)y(j)；x(exp(j).h(exp(j)y(exp(j)再考慮各分量均可表示為模相位的形式，可知（以連續(xù)為例，離散類似）：|y(j)|=|x(j)|.|h(j)|y(j)=x(j)+h(j

53、)即輸出y(j)的幅度等于輸入幅度乘以頻率響應(yīng)的幅度；相位角等于輸入信號的相位角加上頻率響應(yīng)的相位角。因此，|h(j)|一般稱為系統(tǒng)的增益（gain）；h(j)一般稱為系統(tǒng)的相移(phase shift)。相移可以改變信號各頻率分量之間相對的相位關(guān)系。如果我們不希望系統(tǒng)對輸入信號的幅度和相位的改變，則這樣的改變稱為幅度和相位的失真（distortions）線性相位與非線性相位（linear and nonlinear phase）當(dāng)系統(tǒng)相移h(j)是的線性函數(shù)時，則系統(tǒng)頻域的相移對應(yīng)時域的時移。例如h(j)= exp(-jt0),顯然有|h(j)|=1， h(j)t0顯然這個系統(tǒng)產(chǎn)生的是信號的

54、時移：y(t)=x(t-t0)而如果系統(tǒng)的相移h(j)是關(guān)于的非線性函數(shù)，則輸出信號相對應(yīng)的原函數(shù)中各頻率分量的相對相位將發(fā)生變化，這會使信號y(t)相對于x(t)發(fā)生很大變化。具有單位增益（即|h(j)|=1）的系統(tǒng)稱為全通系統(tǒng)（all pass system）。全通系統(tǒng)的特性完全是由它的相位特性決定的。群時延(group delay)對于線性相移h(j)-(jt0)-，從時域上可以看作系統(tǒng)對輸入信號x(t)有一個時延t0再乘上一個常系數(shù)exp(-j)，換言之，y(t)=x(t-t0).exp(-j)。顯然這個時候，時移t0=-d(h(j)/d對于一般的系統(tǒng)而言，相移h(j)并非是的線性函數(shù)，對于不同的值，有不同的h(j)，自然我們可以把這個系統(tǒng)理解為對不同的有不同的時移。物理意義在