29.利潤最值問題（解析版）2021年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難題型突破

1、 類型三利潤最值問題【典例1】將進(jìn)貨單價為70元的某種商品按零售價100元售出時，每天能賣出20個若這種商品的零售價在一定范圍內(nèi)每降價1元，其日銷售量就增加了1個，為了獲得最大利潤，則應(yīng)降價_元，最大利潤為_元【答案】：5元,625元【解析】：設(shè)每件價格降價元，利潤為元，則： 當(dāng)，（元）答：價格提高5元，才能在半個月內(nèi)獲得最大利潤【典例2】黔東南州某超市購進(jìn)甲、乙兩種商品，已知購進(jìn)3件甲商品和2件乙商品，需60元；購進(jìn)2件甲商品和3件乙商品，需65元（1）甲、乙兩種商品的進(jìn)貨單價分別是多少？（2）設(shè)甲商品的銷售單價為x（單位：元/件），在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：當(dāng)11x19時，甲商品的日銷售量y（單位

2、：件）與銷售單價x之間存在一次函數(shù)關(guān)系，x、y之間的部分?jǐn)?shù)值對應(yīng)關(guān)系如表：銷售單價x（元/件）1119日銷售量y（件）182請寫出當(dāng)11x19時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（3）在（2）的條件下，設(shè)甲商品的日銷售利潤為w元，當(dāng)甲商品的銷售單價x（元/件）定為多少時，日銷售利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）甲、乙兩種商品的進(jìn)貨單價分別是10、15元/件；（2）y2x+40（11x19）（3）當(dāng)甲商品的銷售單價定為15元/件時，日銷售利潤最大，最大利潤是50元【解析】【分析】（1）設(shè)甲、乙兩種商品的進(jìn)貨單價分別是a、b元/件，然后列出二元一次方程組并求解即可；（2）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為yk

3、1x+b1，用待定系數(shù)法求解即可；（3）先列出利潤和銷售量的函數(shù)關(guān)系式，然后運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可【詳解】解：（1）設(shè)甲、乙兩種商品的進(jìn)貨單價分別是a、b元/件，由題意得：，解得：甲、乙兩種商品的進(jìn)貨單價分別是10、15元/件（2）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為yk1x+b1，將（11，18），（19，2）代入得：，解得：y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y2x+40（11x19）（3）由題意得：w（2x+40）（x10）2x2+60x4002（x15）2+50（11x19）當(dāng)x15時，w取得最大值50當(dāng)甲商品的銷售單價定為15元/件時，日銷售利潤最大，最大利潤是50元【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組

4、的應(yīng)用、運(yùn)用待定系數(shù)法則求函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)求最值等知識點(diǎn)，弄懂題意、列出方程組或函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵【典例3】為倡導(dǎo)健康環(huán)保，自帶水杯已成為一種好習(xí)慣，某超市銷售甲，乙兩種型號水杯，進(jìn)價和售價均保持不變，其中甲種型號水杯進(jìn)價為25元/個，乙種型號水杯進(jìn)價為45元/個，下表是前兩月兩種型號水杯的銷售情況：時間銷售數(shù)量（個）銷售收入（元）（銷售收入售價銷售數(shù)量）甲種型號乙種型號第一月2281100第二月38242460（1）求甲、乙兩種型號水杯的售價；（2）第三月超市計(jì)劃再購進(jìn)甲、乙兩種型號水杯共80個，這批水杯進(jìn)貨的預(yù)算成本不超過2600元，且甲種型號水杯最多購進(jìn)55個，在80

5、個水杯全部售完的情況下設(shè)購進(jìn)甲種號水杯a個，利潤為w元，寫出w與a的函數(shù)關(guān)系式，并求出第三月的最大利潤【答案】（1）甲、乙兩種型號水杯的銷售單價分別為30元、55元；（2）w5a+800，第三月的最大利潤為550元【解析】【分析】（1）設(shè)甲種型號的水杯的售價為每個元，乙種型號的水杯每個元，根據(jù)題意列出方程組求解即可，（2）根據(jù)題意寫出利潤關(guān)于的一次函數(shù)關(guān)系式，列不等式組求解的范圍，從而利用一次函數(shù)的性質(zhì)求利潤的最大值【詳解】解：（1）設(shè)甲種型號的水杯的售價為每個元，乙種型號的水杯每個元，則 得： 把代入得： 答：甲、乙兩種型號水杯的銷售單價分別為30元、55元；（2）由題意得：甲種水杯進(jìn)了個，

6、則乙種水杯進(jìn)了個，所以：又 由得：，所以不等式組的解集為： 其中為正整數(shù)，所以 隨的增大而減小， 當(dāng)時，第三月利潤達(dá)到最大，最大利潤為：元【點(diǎn)睛】本題考查的是二元一次方程組的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，不等式組的應(yīng)用，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵【典例4】“節(jié)能環(huán)保，綠色出行”意識的增強(qiáng)，越來越多的人喜歡騎自行車出行，也給自行車商家?guī)砩虣C(jī)某自行車行經(jīng)營的A型自行車去年銷售總額為8萬元今年該型自行車每輛售價預(yù)計(jì)比去年降低200元若該型車的銷售數(shù)量與去年相同，那么今年的銷售總額將比去年減少10%，求：（1）A型自行車去年每輛售價多少元；（2）該車行今年計(jì)劃新進(jìn)一批A型車和新款B型車共60輛，且B型車的進(jìn)貨

7、數(shù)量不超過A型車數(shù)量的兩倍已知，A型車和B型車的進(jìn)貨價格分別為1500元和1800元，計(jì)劃B型車銷售價格為2400元，應(yīng)如何組織進(jìn)貨才能使這批自行車銷售獲利最多【答案】(1) 2000元；（2） A型車20輛，B型車40輛【解析】【分析】（1）設(shè)去年A型車每輛售價x元，則今年售價每輛為（x200）元，由賣出的數(shù)量相同列出方程求解即可；（2）設(shè)今年新進(jìn)A型車a輛，則B型車（60a）輛，獲利y元，由條件表示出y與a之間的關(guān)系式，由a的取值范圍就可以求出y的最大值【詳解】解：（1）設(shè)去年A型車每輛售價x元，則今年售價每輛為（x200）元，由題意，得，解得：x=2000經(jīng)檢驗(yàn)，x=2000是原方程的根

8、答：去年A型車每輛售價為2000元；（2）設(shè)今年新進(jìn)A型車a輛，則B型車（60a）輛，獲利y元，由題意，得y=a+（60a），y=300a+36000B型車的進(jìn)貨數(shù)量不超過A型車數(shù)量的兩倍，60a2a，a20y=300a+36000k=3000，y隨a的增大而減小a=20時，y最大=30000元B型車的數(shù)量為：6020=40輛當(dāng)新進(jìn)A型車20輛，B型車40輛時，這批車獲利最大【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用【典例5】端午節(jié)前夕，某商鋪用620元購進(jìn)50個肉粽和30個蜜棗粽，肉粽的進(jìn)貨單價比蜜棗粽的進(jìn)貨單價多6元（1）肉粽和蜜棗粽的進(jìn)貨單價分別是多少元？（2）由于粽子暢銷，商

9、鋪決定再購進(jìn)這兩種粽子共300個，其中肉粽數(shù)量不多于蜜棗粽數(shù)量的2倍，且每種粽子的進(jìn)貨單價保持不變，若肉粽的銷售單價為14元，蜜棗粽的銷售單價為6元，試問第二批購進(jìn)肉粽多少個時，全部售完后，第二批粽子獲得利潤最大？第二批粽子的最大利潤是多少元？【答案】（1）肉粽得進(jìn)貨單價為10元，蜜棗粽得進(jìn)貨單價為4元；（2）第二批購進(jìn)肉粽200個時，全部售完后，第二批粽子獲得利潤最大，最大利潤為1000元【解析】【分析】（1）設(shè)肉粽和蜜棗粽的進(jìn)貨單價分別為x、y元，根據(jù)題意列方程組解答；（2）設(shè)第二批購進(jìn)肉粽t個，第二批粽子得利潤為W，列出函數(shù)關(guān)系式再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答即可.【詳解】（1）設(shè)肉粽和蜜棗粽的進(jìn)

10、貨單價分別為x、y元，則根據(jù)題意可得：.解此方程組得：.答：肉粽得進(jìn)貨單價為10元，蜜棗粽得進(jìn)貨單價為4元；（2）設(shè)第二批購進(jìn)肉粽t個，第二批粽子得利潤為W，則 ，k=20，W隨t的增大而增大，由題意，解得，當(dāng)t=200時，第二批粽子由最大利潤，最大利潤,答：第二批購進(jìn)肉粽200個時，全部售完后，第二批粽子獲得利潤最大，最大利潤為1000元.【點(diǎn)睛】此題考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，不等式的實(shí)際應(yīng)用，一次函數(shù)解決實(shí)際問題，一次函數(shù)的性質(zhì)，正確理解題意列出方程組或函數(shù)、不等式解決問題是關(guān)鍵.【典例6】某公司經(jīng)營甲、乙兩種特產(chǎn)，其中甲特產(chǎn)每噸成本價為10萬元，銷售價為10.5萬元；乙特產(chǎn)每噸成本價

11、為1萬元，銷售價為1.2萬元由于受有關(guān)條件限制，該公司每月這兩種特產(chǎn)的銷售量之和都是100噸，且甲特產(chǎn)的銷售量都不超過20噸（1）若該公司某月銷售甲、乙兩種特產(chǎn)的總成本為235萬元，問這個月該公司分別銷售甲、乙兩種特產(chǎn)各多少噸？（2）求該公司一個月銷售這兩種特產(chǎn)所能獲得的最大總利潤【答案】（1）甲特產(chǎn)15噸，乙特產(chǎn)85噸；（2）26萬元【解析】【分析】（1）設(shè)這個月該公司銷售甲特產(chǎn)噸，則銷售乙特產(chǎn)噸，根據(jù)題意列方程解答；（2）設(shè)一個月銷售甲特產(chǎn)噸，則銷售乙特產(chǎn)噸，且，根據(jù)題意列函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答.【詳解】解：（1）設(shè)這個月該公司銷售甲特產(chǎn)噸，則銷售乙特產(chǎn)噸，依題意，得，解得，則，

12、經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以，這個月該公司銷售甲特產(chǎn)15噸，乙特產(chǎn)85噸；（2）設(shè)一個月銷售甲特產(chǎn)噸，則銷售乙特產(chǎn)噸，且，公司獲得的總利潤，因?yàn)椋噪S著的增大而增大，又因?yàn)?，所以?dāng)時，公司獲得的總利潤的最大值為26萬元，故該公司一個月銷售這兩種特產(chǎn)能獲得的最大總利潤為26萬元.【點(diǎn)睛】此題考查一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用、一次函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力、應(yīng)用意識，考查函數(shù)與方程思想，正確理解題意，根據(jù)問題列方程或是函數(shù)關(guān)系式解答問題.【典例7】某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調(diào)查反映：每漲價1元，每星期少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出20件，已知商品的進(jìn)價為每件40

13、元，如何定價才能使利潤最大？【答案】：65元【解析】：設(shè)漲價（或降價）為每件元，利潤為元，為漲價時的利潤，為降價時的利潤則： 當(dāng)，即：定價為65元時，（元） 當(dāng)，即：定價為57.5元時，（元）綜合兩種情況，應(yīng)定價為65元時，利潤最大【典例8】某商店購進(jìn)一批單價為20元的日用品，如果以單價30元銷售，那么半個月內(nèi)可以售出400件根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，提高單價會導(dǎo)致銷售量的減少，即銷售單價每提高1元，銷售量相應(yīng)減少20件如何提高售價，才能在半個月內(nèi)獲得最大利潤？【答案】：5元【解析】：設(shè)每件價格提高元，利潤為元，則： 當(dāng)，（元）答：價格提高5元，才能在半個月內(nèi)獲得最大利潤【典例9】某旅行社組團(tuán)去外地旅游，

14、30人起組團(tuán)，每人單價800元旅行社對超過30人的團(tuán)給予優(yōu)惠，即旅行團(tuán)每增加一人，每人的單價就降低10元你能幫助分析一下，當(dāng)旅行團(tuán)的人數(shù)是多少時，旅行社可以獲得最大營業(yè)額？【答案】：55人【解析】：設(shè)旅行團(tuán)有人，營業(yè)額為元，則： 當(dāng)，（元）答：當(dāng)旅行團(tuán)的人數(shù)是55人時，旅行社可以獲得最大營業(yè)額x（元）152030y（件）252010【典例10】某產(chǎn)品每件成本10元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價(元)與產(chǎn)品的日銷售量(件)之間的關(guān)系如下表： 若日銷售量是銷售價的一次函數(shù) 求出日銷售量(件)與銷售價(元)的函數(shù)關(guān)系式； 要使每日的銷售利潤最大，每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為多少元？此時每日銷售利潤是多少元？【

15、答案】：（1）（2）25元，225元【解析】：設(shè)一次函數(shù)表達(dá)式為則 解得，即一次函數(shù)表達(dá)式為 設(shè)每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為元，所獲銷售利潤為元 當(dāng)，（元）答：產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為25元時，每日獲得最大銷售利潤為225元【典例11】超市購進(jìn)一批20元/千克的綠色食品，如果以30元/千克銷售，那么每天可售出400千克由銷售經(jīng)驗(yàn)知，每天銷售量(千克)與銷售單價(元)(）存在如下圖所示的一次函數(shù)關(guān)系式 試求出與的函數(shù)關(guān)系式； 設(shè)超市銷售該綠色食品每天獲得利潤P元，當(dāng)銷售單價為何值時，每天可獲得最大利潤？最大利潤是多少？根據(jù)市場調(diào)查，該綠色食品每天可獲利潤不超過4480元，現(xiàn)該超市經(jīng)理要求每天利潤不得低于41

16、80元，請你幫助該超市確定綠色食品銷售單價的范圍(直接寫出答案)【答案】：（1）（2）4500（3）31x34或36x39【解析】：設(shè)y=kx+b由圖象可知，即一次函數(shù)表達(dá)式為 P有最大值當(dāng)時，（元）（或通過配方，也可求得最大值）答：當(dāng)銷售單價為35元/千克時，每天可獲得最大利潤4500元 31x34或36x39【典例12】某果品批發(fā)公司為指導(dǎo)今年的櫻桃銷售，對往年的市場銷售情況進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)：銷售價x（元/千克） 25 24 23 22銷售量y（千克）2000250030003500 （1）在如圖的直角坐標(biāo)系內(nèi)，作出各組有序數(shù)對（x，y）所對應(yīng)的點(diǎn)連接各點(diǎn)并觀察所得的圖形，判斷

17、y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若櫻桃進(jìn)價為13元/千克，試求銷售利潤P（元）與銷售價x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)x取何值時，P的值最大？【答案】：（1）y=-500x+14500（2）21元，32000元【解析】：（1）由圖象可知，y是x的一次函數(shù)，設(shè)y=kx+b，點(diǎn)（25，2000），（24，2500）在圖象上， ，y=-500x+14500（2）P=(x-13)y=(x-13)(-500x+14500)=-500(x-21)2+32000P與x的函數(shù)關(guān)系式為P=-500x2+21000x-188500，當(dāng)銷售價為21元/千克時，能獲得最大利潤，最大利

18、潤為32000元【典例13】有一種螃蟹，從海上捕獲后不放養(yǎng)，最多只能存活兩天如果放養(yǎng)在塘內(nèi)，可以延長存活時間，但每天也有一定數(shù)量的蟹死去假設(shè)放養(yǎng)期內(nèi)蟹的個體質(zhì)量基本保持不變，現(xiàn)有一經(jīng)銷商，按市場價收購這種活蟹1000 kg放養(yǎng)在塘內(nèi)，此時市場價為每千克30元，據(jù)測算，此后每千克活蟹的市場價每天可上升1元，但是，放養(yǎng)一天需支出各種費(fèi)用為400元，且平均每天還有10 kg蟹死去，假定死蟹均于當(dāng)天全部銷售出，售價都是每千克20元(1)設(shè)x天后每千克活蟹的市場價為p元，寫出p關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)如果放養(yǎng)x天后將活蟹一次性出售，并記1000 kg蟹的銷售總額為Q元，寫出Q關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(3)該

19、經(jīng)銷商將這批蟹放養(yǎng)多少天后出售，可獲最大利潤(利潤=Q收購總額)？【答案】：（1）p=30+x,（2）Q=(100010x)(30+x)+200x=10x2+900x+30000.（3）25天【解析】：(1)由題意知：p=30+x,(2)由題意知：活蟹的銷售額為(100010x)(30+x)元,死蟹的銷售額為200x元.Q=(100010x)(30+x)+200x=10x2+900x+30000.(3)設(shè)總利潤為W元則：W=Q100030400x=10x2+500x=10(x250x) =10(x25)2+6250.當(dāng)x=25時，總利潤最大，最大利潤為6250元答：這批蟹放養(yǎng)25天后出售，可獲

20、最大利潤【典例14】政府出臺了一系列“三農(nóng)”優(yōu)惠政策，使農(nóng)民收入大幅度增加某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷一種農(nóng)副產(chǎn)品，已知這種產(chǎn)品的成本價為20元/千克市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量(千克)與銷售價(元/千克)有如下關(guān)系：=280設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷售利潤為(元) (1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)銷售價定為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少?(3)如果物價部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價不得高于28元/千克，該農(nóng)戶想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應(yīng)定為多少元?【答案】：（1）（2）30,200（3）25元【解析】： 當(dāng)，（元）(1)與之間的的函數(shù)關(guān)系式為；(2)當(dāng)銷售價定為30元時，每天的銷售利潤

21、最大，最大利潤是200元(3) ，（不合題意，舍去）答：該農(nóng)戶想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應(yīng)定為25元【典例15】研究所對某種新型產(chǎn)品的產(chǎn)銷情況進(jìn)行了研究，為投資商在甲、乙兩地生產(chǎn)并銷售該產(chǎn)品提供了如下成果：第一年的年產(chǎn)量為(噸)時，所需的全部費(fèi)用(萬元）與滿足關(guān)系式，投入市場后當(dāng)年能全部售出，且在甲、乙兩地每噸的售價，（萬元）均與滿足一次函數(shù)關(guān)系（注：年利潤年銷售額全部費(fèi)用）（1）成果表明，在甲地生產(chǎn)并銷售噸時，請你用含的代數(shù)式表示甲地當(dāng)年的年銷售額，并求年利潤（萬元）與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）成果表明，在乙地生產(chǎn)并銷售噸時，（為常數(shù)），且在乙地當(dāng)年的最大年利潤為35萬元試確定的值

22、；（3）受資金、生產(chǎn)能力等多種因素的影響，某投資商計(jì)劃第一年生產(chǎn)并銷售該產(chǎn)品18噸，根據(jù)（1），（2）中的結(jié)果，請你通過計(jì)算幫他決策，選擇在甲地還是乙地產(chǎn)銷才能獲得較大的年利潤？【答案】：（1）（2）15【解析】：（1）甲地當(dāng)年的年銷售額為萬元；（2）在乙地區(qū)生產(chǎn)并銷售時，年利潤由，解得或經(jīng)檢驗(yàn)，不合題意，舍去，（3）在乙地區(qū)生產(chǎn)并銷售時，年利潤，將代入上式，得（萬元）；將代入，得（萬元），應(yīng)選乙地【典例16】某農(nóng)谷生態(tài)園響應(yīng)國家發(fā)展有機(jī)農(nóng)業(yè)政策，大力種植有機(jī)蔬菜，某超市看好甲、乙兩種有機(jī)蔬菜的市場價值，經(jīng)調(diào)查甲種蔬菜進(jìn)價每千克元，售價每千克16元；乙種蔬菜進(jìn)價每千克元，售價每千克18元（1）該超市購進(jìn)甲種蔬菜10千克和乙種蔬菜5千克需要170元；購進(jìn)甲種蔬菜6千克和乙種蔬菜10千克需要200元求，的值（2）該超市決定每天購進(jìn)甲、乙兩種蔬菜共100千克，且投入資金不少于1160元又不多于1168元，設(shè)購買甲種蔬菜千克，求有哪幾種購買方案（3）在（2）的條件下，超市在獲得的利潤取得最大值時，決定售出的甲種蔬菜每千克捐出元，乙種蔬菜每千克捐出元給當(dāng)?shù)馗＠?，若?/p>