點(diǎn)與曲線空間投影的探討學(xué)士學(xué)位論說(shuō)

1、 西安文理學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文點(diǎn)與曲線空間投影的探討系 院 名 稱 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院 西安文理學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院點(diǎn)與曲線空間投影的探討（西安文理學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，陜西 西安， 710065）摘要： 空間投影是解析幾何的重要內(nèi)容之一，而且其應(yīng)用很廣泛.本文介紹了空間投影的概念，給出了點(diǎn)與曲線空間投影的概念及其求法，并分析了空間曲線在坐標(biāo)平面的投影的誤區(qū)所在，將點(diǎn)與曲線空間投影整體做了歸納，并總結(jié)了幾種投影的具體求法。關(guān)鍵詞：空間的點(diǎn)；空間的直線；空間的曲線；投影。the projection of points and curves in spacewang chun( mathe

2、matics and computer engineering xian university of arts and science college of xian, shaanxi,710065)abstract: the analytic geometry of space projection is one of the important contents, but also its application is very extensive. this paper introduces the concept of space projection is presented, an

3、d the curve of space projection concept and method, and an analysis of space curve in a coordinate plane projection of the misunderstandings, the points and curves in space projection overall summarized, in the projection of lines, points in the projection plane, straight line in the plane of projec

4、tion, curve in the coordinates of the projection and the curve in the general plane of projection, and the curve in stereo in the projection plane, and error-prone areas summarized.key words: point of space; space straight line; space curve; projection.前言：投影在幾何研究領(lǐng)域有著重要地位，點(diǎn)與曲線是幾何研究中比較普遍的東西，也是至關(guān)重要的內(nèi)容，

5、有許多技巧和方法需要我們掌握，本文主要通過(guò)實(shí)例說(shuō)明問(wèn)題并將其歸納總結(jié)，也指出了在求投影時(shí)經(jīng)常出錯(cuò)的地方，并總結(jié)了求點(diǎn)與曲線的各種投影的方法。一、預(yù)備知識(shí)空間曲線的一般方程空間曲線c可看作空間兩曲面的交線。 叫做空間曲線的一般方程。特點(diǎn)：曲線上的點(diǎn)都滿足方程，滿足方程的點(diǎn)都在曲線上，不在曲線上的點(diǎn)不能同時(shí)滿足兩個(gè)方程?？臻g曲線的一般方程 ， 當(dāng)給定時(shí)，就得到曲線上的一個(gè)點(diǎn)，隨著參數(shù)的變化可得到曲線上的全部點(diǎn)。二、空間點(diǎn)的投影1、空間點(diǎn)到直線的投影定義：點(diǎn)到直線的投影就是由點(diǎn)向直線做垂線，這條垂線和直線的交點(diǎn)即所求的投影。求法：過(guò)點(diǎn)作平面與l垂直，l與交點(diǎn)p即為點(diǎn)在直線l上的投影點(diǎn)。例1、求點(diǎn)在直

6、線上的投影？解：所求投影就是該直線與以為法向量的，且過(guò)點(diǎn)的平面的交點(diǎn) ，所求平面方程為：，即 ，與直線方程聯(lián)立即可解出,，所以所求投影為。2、空間點(diǎn)到平面的投影定義: 點(diǎn)到平面的投影就是由已知點(diǎn)向已知平面作垂線，垂線與已知平面的交點(diǎn)即為投影點(diǎn)。求法：過(guò)作直線l與垂直，l與交點(diǎn)p即為點(diǎn)在平面上的投影點(diǎn)。例2、平面l為,點(diǎn)為,求點(diǎn)在平面l上的投影。解：過(guò)已知點(diǎn)，作垂直于平面 的直線：直線的參數(shù)方程 為 , , ； = , = 2, = 2，求該直線與平面 的交點(diǎn), 直線方程代入平面方程，得 9=6 ，故，于是，即為所求投影點(diǎn)。例3、已知點(diǎn),求點(diǎn)a在平面上的投影點(diǎn)b？解：過(guò)點(diǎn)向平面做垂線，交平面于b

7、因?yàn)橄蛄繛槠矫娴姆ㄏ蛄?，所以過(guò)線段ab的直線的方向向量為，所以根據(jù)空間直線的點(diǎn)向式可得：垂線ab的方程為=，它與平面的交點(diǎn)b即為投影點(diǎn)所以將上述兩個(gè)方程聯(lián)立解出b（-，,）。三、空間曲線的投影1、直線在空間平面的投影定義：直線在平面的投影就是直線上每一點(diǎn)在平面的投影點(diǎn)構(gòu)成的直線。求法: 過(guò)l作平面與垂直，則與的交線為l在上的投影。通常求直線在平面的投影，我們采取的方法是：（1）、在直線上任取兩點(diǎn)，分別向平面做垂線，垂線與平面交點(diǎn)所在的直線就是直線到平面的投影；（2）、過(guò)直線l作平面與垂直，則與交線為就是直線l在平面的投影。例4、直線l：;在平面x+y+2z=5上的投影直線方程是什么？解：在直線

8、l: 上取點(diǎn)a(0,1,-1),b(,0, )。過(guò)a作平面x+y+2z=5的垂線x=y-1=,交平面x+y+2z=5于點(diǎn)c(1,2,1)。過(guò)b作平面x+y+2z=5的垂線=y= ,交平面x+y+2z=5于點(diǎn)d(,1, )。直線cd:3(x-1)=-(y-2)=(z-1),就是l在平面x+y+2z=5上的投影直線。例5、求直線,在平面上的投影直線方程。解：的法向量為(1,1,1)，過(guò)直線的平面束方程為，即 (1)，法向量為(1+3,2-2,-1)，若該法向量與(1,1,1)垂直，則，即2+2=0，=-1；代入(1) ，即，即該平面與平面的交線就是投影直線，直線就是，也可化成較簡(jiǎn)單的形式, 。2、

9、空間曲線在平面的投影2.1、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影設(shè)空間曲線c的一般方程為由上述方程組消去變量z，x，y后所得的方程分別為：h ( x , y )=0 r( y , z )=0 t( x , z )=0表示曲線c在面上的投影,表示曲線c在面上的投影,表示曲線c在面上的投影。設(shè)空間曲線的一般方程：，消去變量z后得：這就是曲線關(guān)于 的投影柱面，投影柱面的特征：以此空間曲線為準(zhǔn)線，垂直于所投影的坐標(biāo)面。如圖:投影曲線的研究過(guò)程?？臻g曲線投影曲線投影柱面例6、求曲線 在坐標(biāo)面上的投影。解（1）消去變量z后得在 面上的投影為（2）因?yàn)榍€在平面 上，所以在面上的投影為線段。（3）同理在面上的投影也為線

10、段。例7、 求拋物面與平面 的截線在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影曲線方程。解:截線方程為（1）消去得投影（2）消去得投影（3）消去得投影補(bǔ)充: 由空間曲線圍成的空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影?？臻g立體曲面例8、設(shè)一個(gè)立體，由上球面和錐面所圍成，求球面與錐面圍成圓的曲線在平面的投影。解:半球面和錐面的交線為一個(gè)圓,2.2、在尋求 l 在坐標(biāo)平面上的投影曲線及曲線圍成柱面在坐標(biāo)平面的投影時(shí)常有如下典型錯(cuò)誤：求: 在平面上的投影曲線。解：從的兩個(gè)方程中消去得到，故 :在平面上的投影曲線的方程為求:關(guān)于 平面的投影柱面的方程,解:從的兩個(gè)方程消去y ,即得到關(guān)于 平面的投影柱面 的方程:，容易看出這兩個(gè)解答都是

11、不完善的，因?yàn)楹途鶠閮蓚€(gè)曲面的交線,且 其 中至 少各有一個(gè)曲面是封閉的,即范圍是有限的,所以在平面 上 的 投 影,在平面上的投影也只能在有限范圍內(nèi)。其實(shí)由以上所作,我們只能斷定在 柱 面上，在柱面上，而它們各自是否與柱面的直母線都相交尚待討論。現(xiàn)來(lái)求在平面上的投影曲線 ,易見(jiàn)可表成，由第一式知: ，于是的投影曲線應(yīng)是曲線，在平面的單位圓內(nèi)的部分,討論不等式組，首先，此外又有，故解得，所以在平面上的投影曲線應(yīng)為，。完全相仿, 關(guān)于平面的投影柱面方程為，。現(xiàn)在我們就以尋求空間曲線l: ，在平面上的投影曲線及關(guān)于平面的投影柱面為例, 給出其正確的解法如下:從方程（1）、（2）消去坐標(biāo)z，得 （3

12、），如果記平面上的曲線: 以及當(dāng)方程（1）或（2）顯含z時(shí)， 記平面上的區(qū)域 ，再根據(jù)l的新方程是l:或者l:,那么，曲線在平面上的投影就是，或者，而l在平面的投影柱面為，作為特殊情況，我們易見(jiàn)曲線在平面上的投影曲線及關(guān)于平面的投影柱面方程分別為和。例9、對(duì)于曲線l: ，由第一式乘以3再減去第二式得：，又由（1）式知，解不等式組，得，故l在平面上的投影曲線方程為且，（或者），l關(guān)于平面的投影柱面為，。例10、對(duì)于曲線l：將（2）式改寫(xiě)成，易見(jiàn)在平面上圓：整個(gè)被包括在半徑為a的圓之內(nèi)，即，故l在平面的投影柱面即為圓柱面：。下面在求此曲線在平面的投影柱面。把l的方程首先改寫(xiě)成l：進(jìn)而在把它改寫(xiě)成l

13、: ，又易知對(duì)于任意y，z，方程（3）關(guān)于x均有實(shí)解，故從曲線l的最后形式的方程立即可知l在的投影柱面為。就以上所論可見(jiàn)，問(wèn)題歸根究底是從方程中消去參數(shù)時(shí)如何真確把握所產(chǎn)生的限制條件。如果在問(wèn)題（2）中，將寫(xiě)成，那么由第二式立即有，再將第二式代入第一式，即消去z就得到關(guān)于平面的投影柱面方程。同樣道理，對(duì)于一些歸結(jié)為消去參數(shù)的問(wèn)題，特別由曲線族生成曲面時(shí)，我們務(wù)必考慮為使這些參數(shù)在實(shí)數(shù)范圍對(duì)點(diǎn)的坐標(biāo)所產(chǎn)生的限制條件，否則難以活得正確結(jié)論。2.3、空間曲線在一般平面上的投影前面我們探討了空間曲線在坐標(biāo)平面的投影，現(xiàn)在我們來(lái)研究一下空間曲線在一般平面的投影有哪些問(wèn)題：所謂空間曲線c 在平面p 上的投

14、影線,是將c 上的每一點(diǎn)作p 的垂直線與p 的交點(diǎn)的集合。問(wèn)題1 ： 求空間曲線c 在一般平面p ：上的投影曲線l 的方程。 方法一 空間曲線c 可看成兩個(gè)空間曲面的交線,即可用 ( 1)表示， ( 1) 式稱為曲線c 的一般方程。所求投影曲線l 可看成由兩個(gè)空間曲面的交線，一個(gè)是已知平面p,另一個(gè)是經(jīng)過(guò)已給空間曲線c 且垂直于已知平面p 的柱面 ,故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求這一柱面方程。設(shè)柱面 的準(zhǔn)線的方程為，母線方向，點(diǎn)m( x , y, z) 屬于柱面的充要條件是點(diǎn)m 在某一條母線上，即存在準(zhǔn)線上一點(diǎn) (, , ) ，使得點(diǎn)m位于過(guò)點(diǎn)且以 b為方向向量的直線上.因此，有，方法二 空間曲線c 也可用參

15、數(shù)方程表示,即，其中t 為參數(shù)。經(jīng)過(guò)c 上任意一點(diǎn)，作p 的垂直線方程為，則該垂直線方程可寫(xiě)成參數(shù)式:代入平面p 的方程求出s,記為 ：，設(shè)t 在c 的定義域內(nèi)變動(dòng),即得l的參數(shù)方程如上,注意, 當(dāng)t 變動(dòng)時(shí)，不是常數(shù)。特別地，若p 為 平面,則于是l 的參數(shù)方程為，即曲線 c 在平面上的投影曲線只要將其參數(shù)方程中的z = z ( t ) 換成z = 0 即可。例11、求空間曲線在平面：上的投影曲線的方程。解 投影曲線的方程可看作平面 p和經(jīng)過(guò)空間曲線c 且垂直于平面p的柱面的交線。先求柱面方程:柱面的準(zhǔn)線方程為，母線方向?yàn)?，設(shè)點(diǎn)m( x , y, z ) 是柱面上一點(diǎn),點(diǎn) (, , ) 為準(zhǔn)

16、線上一點(diǎn),則有，由以上兩式消去 , , 及t, 可得柱面方程為故投影曲線方程為。例12、 求曲線在平面上的投影曲線的方程。解：經(jīng)過(guò)已知曲線 c 上任意一點(diǎn)作已知平面的垂直線方程為，則該垂直線方程可寫(xiě)成參數(shù)式: 代入已知平面方程求出s,記為 :，于是得到投影點(diǎn)的坐標(biāo): ，上式即為所求投影曲線的參數(shù)方程?？偨Y(jié)，由上面可知，點(diǎn)與曲線在空間的投影在解析幾何中地位的重要性，將它總結(jié)歸納可以為以后研究解析幾何提供了便利。結(jié)束語(yǔ)綜上所述，數(shù)學(xué)研究就是不斷總結(jié)學(xué)習(xí)新知識(shí)的過(guò)程，通過(guò)研究學(xué)習(xí)不斷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并將其改正完善。在本節(jié)所涉及點(diǎn)與曲線在空間的投影就是通過(guò)總結(jié)以前所學(xué)的知識(shí)，找出解決的辦法，并將我們?nèi)菀壮鲥e(cuò)

17、的地方分析研究，不但采用具體實(shí)例說(shuō)明，而且采用數(shù)形結(jié)合，可以讓我們直觀地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，為解析幾何研究提供便利，另外，本文將點(diǎn)與曲線在空間投影擴(kuò)展到由曲線圍成的立體圖形也給了研究和分析的投影，為今后數(shù)學(xué)研究提供了很好的素材?！緟⒖嘉墨I(xiàn)】 1 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué) m . 北京:高等教育出版社, 1996. 2 錢昌本.高等數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的分析和研究 m . 北京: 科學(xué)出版社, 2005. 3 孫本旺,汪浩. 數(shù)學(xué)分析中典型例題和解題方法m . 長(zhǎng)沙:湖南科學(xué)技術(shù)出版社, 1983. 4 徐利治,王興華. 數(shù)學(xué)分析的方法及例題選講m . 北京:高等教育出版社, 1984.5 李養(yǎng)成, 郭瑞芝

18、. 空間解析幾何 m . 北京:科學(xué)出版社,2007: 77 - 79.6呂林根.解析幾何第四版 m. 高等教育出版社，2005.7李建華.射影幾何 m. 北京:科學(xué)出版社,2011.8徐文智.高等數(shù)學(xué) m.西安電子科技大學(xué)，2010.9唐倫章.高等代數(shù) m.化學(xué)工業(yè)出版社，2010.10陳治中. 線性代數(shù)與解析幾何 m.北方交通大學(xué)出版社，2003.11鄭寶東. 線性代數(shù)與解析幾何 m. 北京:高等教育出版社,2000.12水乃翔.從空間曲線問(wèn)題的典型錯(cuò)誤談起 p.湖州師專學(xué)報(bào)1984:55-57.致 謝本論文是在我的指導(dǎo)老師閆焱副教授的親切關(guān)懷和悉心指導(dǎo)下完成的.她用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神，精益求精的工作作風(fēng)，在忙碌的教學(xué)之余抽出時(shí)間對(duì)我的論文給予最細(xì)致的指導(dǎo)，不斷地督促并為我指導(dǎo)，同時(shí)也深深地感染和激勵(lì)著我.在此我要向我的指導(dǎo)老師致以最衷心的感謝和深深的敬意.同時(shí)，也向幫助