導數(shù)知識點總結(jié)

1、精品文檔 導數(shù)知識要點 1.導數(shù)(導函數(shù)的簡稱)的定義：設 X0是函數(shù)y f(x)定義域的一點，如果自變 量X在X0處有增量X，貝U函數(shù)值y也引起相應的增量 y f (X0 x) f(Xo);比值 丄 竺_x) f(X0)稱為函數(shù)y f(X)在點xo到Xox之間的平均變化率；如果極 XX 限lim丄lim竺X) f(X0)存在，則稱函數(shù)y f(x)在點xo處可導，并把這個 x 0 x x 0 x 極限叫做y f(x)在xo處的導數(shù)，記作f(x。)或y，即 、一” y . f (XoX) f(Xo) f (xo) = limlim x 0 xx 0 x 注：X是增量，我們也稱為改變量”因為X可正

2、，可負，但不為零 已知函數(shù)y f(x)定義域為A，y f(x)的定義域為B，則A與B關系為A B. 2.函數(shù)y f (x)在點xo處連續(xù)與點xo處可導的關系: 函數(shù)y f (x)在點xo處連續(xù)是y f(x)在點xo處可導的必要不充分條件 可以證明，如果y f(x)在點xo處可導，那么y f (x)點xo處連續(xù). 事實上，令x xox，則x xo相當于x o . f (xo X) f(xo) x x f (xo) lim f(xox) f(xo) nm x oxx o mof(xo) f (xo) o f(xo) f (xo). 于是 lim f (x) lim f (x0 x x0 x 0 x

3、) limf(x xo) f(Xo)f(Xo) x 0 如果y f(x)點xo處連續(xù)，那么y f(x)在點xo處可導，是不成立的 例：f(x) |x|在點xo o處連續(xù)，但在點xo o處不可導，因為 Li1，當x x x o時，-y 1 ；當x V o時，-y1，故lim y不存在. xxx o x 注：可導的奇函數(shù)函數(shù)其導函數(shù)為偶函數(shù). 可導的偶函數(shù)函數(shù)其導函數(shù)為奇函數(shù) 3. 導數(shù)的幾何意義： 函數(shù)y f (x)在點xo處的導數(shù)的幾何意義就是曲線y f(x)在點(xo, f(x)處的切線 的斜率，也就是說，曲線y f(x)在點P(xo,f(x)處的切線的斜率是f(xo)，切線 方程為 y y

4、 f (x)(x Xo). 4、幾種常見的函數(shù)導數(shù): c o ( C為常數(shù)) I (sin x) cosx (In x)1 x x x (e ) e n、n 1 z、 (x ) nx ( n R) I (cosx) sin x 1 (log a x) log a e x (ax)ax In a 5. 求導數(shù)的四則運算法則: (u v) u vy f1(x) f2 (x). fn (x) yf1 (x) f2(X). .fn(x) (uv) 1 1 1 1 1 vu v u (cv) c v cv cv ( c為常數(shù)) 1 u 1 1 vuv u zc、 2(v 0) v v 注：U,v必須是可

5、導函數(shù). 若兩個函數(shù)可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數(shù)均不可導，則它 們的和、差、積、商不一定不可導. 例如：設f(x) 2sinx ， g(x) cosx ，則f(x),g(x)在x 0處均不可導，但它們 xx 和 f (x) g(x) sinx cosx在 x 0處均可導. 6. 復合函數(shù)的求導法則：fx( (X) f(u) (x)或yx yu ux 復合函數(shù)的求導法則可推廣到多個中間變量的情形. 7. 函數(shù)單調(diào)性： 函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設函數(shù)y f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導，如果f(x) 0,則 y f (x)為增函數(shù)；如果f(x) V0,則y f(x)為減函數(shù). 常數(shù)的判定方法

6、； 如果函數(shù)y f(x)在區(qū)間I內(nèi)恒有f(x)=0,則y f(x)為常數(shù). 注：f(x) 0是f (X)遞增的充分條件，但不是必要條件，如y 2x3在(，)上 并不是都有f (x) 0 ,有一個點例外即x=0時f (x) = 0,同樣f (x) 0是f (x) 遞減的充分非必要條件. 一般地，如果f(x)在某區(qū)間內(nèi)有限個點處為零，在其余各點均為正(或負)， 那么f (x)在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加(或單調(diào)減少)的. 8. 極值的判別方法：(極值是在X0附近所有的點，都有f(x) V f(X0)，則f(X0)是 函數(shù)f (X)的極大值，極小值同理) 當函數(shù)f (X)在點X0處連續(xù)時， 如果在X。附

7、近的左側(cè)f (X) 0,右側(cè)f(x) V 0,那么f(X。)是極大值； 如果在X0附近的左側(cè)f (X) V 0,右側(cè)f(X) 0,那么f(X0)是極小值. 也就是說X0是極值點的充分條件是X0點兩側(cè)導數(shù)異號，而不是f(x) =0.此外， 函數(shù)不可導的點也可能是函數(shù)的極值點 .當然，極值是一個局部概念，極值點的 大小關系是不確定的，即有可能極大值比極小值小(函數(shù)在某一點附近的點不 同). 注：若點X0是可導函數(shù)f (X)的極值點，則f(X) =0.但反過來不一定成立.對 于可導函數(shù)，其一點X0是極值點的必要條件是若函數(shù)在該點可導，則導數(shù)值為零. 例如：函數(shù)y f (x) X3 , x 0使f (

8、X) =0,但x 0不是極值點. 例如：函數(shù)y f(x) |x|，在點x 0處不可導，但點x 0是函數(shù)的極小值點. 9. 極值與最值的區(qū)別：極值是在局部對函數(shù)值進行比較，最值是在整體區(qū)間上 對函數(shù)值進行比較. 注：函數(shù)的極值點一定有意義. 導數(shù)練習 一、選擇題 1.設函數(shù)f(x)在R上可導,其導函數(shù)f (x),且函數(shù)f(x)在x2處取得極小值, 則函數(shù)y xf (x)的圖象可能是 2. 3. 設aO,bO,e是自然對數(shù)的底數(shù) A. 若 ea+2a=eb+3b,則 ab B. 若 ea+2a=eb+3b,則 ab D. 若 ea-2a=eb-3b,則 a0,b0. A.若 2a 2a 2b 3b

9、 ,則 ab B.若 2a 2a 2b 3b,則 abD.若 2a 2a 2b 9.設函數(shù)f (x)在R上可導,其導函數(shù)為f (x),且函數(shù)y 的圖像如題(8)圖所示,則下列結(jié)論中一定成立的是 A. 函數(shù)f (x)有極大值f(2)和極小值f (1) B. 函數(shù)f (x)有極大值f( 2)和極小值f(1) C. 函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f( 2) D. 函數(shù)f(x)有極大值f( 2)和極小值f(2) 10 .設函數(shù)f(x) xex,則 A. x 1為f (x)的極大值點 C. x 1為f (x)的極大值點 B . x 1為f(x)的極小值點 D. x 1為f(x)的極小值點 11 .

10、設a 0且a 1 ,則“函數(shù)f(x) ax在R上是減函數(shù)”,是“函數(shù) g(x) (2 a)x3在R上是增函數(shù)”的 A.充分不必要條件 C.充分必要條件 B.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件 12.已知函數(shù)y x3 3x c的圖像與x軸恰有兩個公共點，則c A.2 或 2 B.9或 3 C.1 或 1 D.3或 、填空題 13.曲線y x(3In x 1)在點(1,1)處的切線方程為 14.曲線y x3 x 3在點1,3處的切線方程為 三、解答題 15.已知函數(shù)f (x) ax3 bx c在x 2處取得極值為c 16 (1) 求a、b的值;(2)若f(x)有極大值28,求f(x)在3,3上的最大值. 16 .已知 a R,函數(shù) f (x) 4x3 2ax a (1) 求f(x)的單調(diào)區(qū)間 (2) 證明：當 OW x0. 17. 已知函數(shù) f (x)- x3 - a x2 ax a(a 0) 32 求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間； (II) 若函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,0)內(nèi)恰有兩個零點,求a的取值范圍； (III) 當a 1時,設函數(shù)f(x)在區(qū)間t,t 3上的最大值為 M(t