抽象函數(shù)的奇偶性_單調(diào)性問題

1、 例例1已知已知y=f(x), 是定義為是定義為R單調(diào)增函數(shù)單調(diào)增函數(shù). y=g(x), 是定義為是定義為R單調(diào)減函數(shù)單調(diào)減函數(shù). 求證求證y=fg(x)在其定域義上的減函數(shù)在其定域義上的減函數(shù) 證明：設(shè)，證明：設(shè)，x1,x2R且且x1g(x2)，同理：，同理：y=f(x)是上的增函數(shù)是上的增函數(shù) 即即g(x1)g(x2) fg(x1)fg(x2) 故函數(shù)故函數(shù)y=fg(x)是減函數(shù)是減函數(shù) 同理可得復(fù)合函數(shù)的同理可得復(fù)合函數(shù)的同增異減法則同增異減法則 ，單調(diào)性相同原函數(shù)是增函數(shù)，單調(diào)性相同原函數(shù)是增函數(shù) ，單調(diào)性相異原函數(shù)是減函數(shù)，單調(diào)性相異原函數(shù)是減函數(shù) 例例2已知已知y=f(x)是定義在

2、是定義在R上的不恒為零的上的不恒為零的 函數(shù)，且對任意的函數(shù)，且對任意的a、bR都滿足：都滿足： f(ab)=af(b)+bf(a) 求求f(0)及及f(1)的值的值 判斷判斷f(x)的奇偶性，并證明你的結(jié)論的奇偶性，并證明你的結(jié)論 抽象函數(shù)：無函數(shù)具體表達形式，僅知道一些函抽象函數(shù)：無函數(shù)具體表達形式，僅知道一些函 數(shù)性質(zhì)去解決相關(guān)的問題數(shù)性質(zhì)去解決相關(guān)的問題 (4)若若f(x).f(2x)1求求x的取值范圍的取值范圍; 例例3：定義：定義在實數(shù)集合上的函數(shù)在實數(shù)集合上的函數(shù)y=f(x),f(0) 0， 當(dāng)當(dāng)x0時時.f(x)1,對對任意實數(shù)任意實數(shù)a,b,有有f(a+b)=f(a)f(b)

3、 (1)求證求證:f（0）=1 (2)求證求證:定義在實數(shù)集合上的函數(shù)定義在實數(shù)集合上的函數(shù)y=f(x)恒有恒有 f(x)0 (3)求證求證:是是R上的增函數(shù)。上的增函數(shù)。 解解:(1)令令a=b=0,f(0)=f2(0), f(0)0, f(0)=1 (2)xR,f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=1, f(x)0 ( )()( ) ( )0 2222 ( )0( )0 2 xxxx f xfff x ff x (4) f(x)f(2x)=f(x+2x)f(0), 3x0 解解:(3)設(shè)任意實數(shù)設(shè)任意實數(shù)x1,x2,且且x10有已知有已知 f(x2-x1)1 ,f(x2)=f(x2-

4、x1)+x1=f(x2-x1)f(x1) f(x)0有有f(x1)0 (4)若若f(x) f(2x)1求求x的取值范圍的取值范圍; 例例3.定義定義在實數(shù)集合上的函數(shù)在實數(shù)集合上的函數(shù)y=f(x),f(0) 0， 當(dāng)當(dāng)x0時時.f(x)1對任意實數(shù)對任意實數(shù)a,b,有有f(a+b)=f(a)f(b) (3)求證求證:是是R上的增函數(shù)。上的增函數(shù)。 f(x2)f(x1),所以函數(shù)是上的增函數(shù)所以函數(shù)是上的增函數(shù) 00時時,f(x)0且且f(x-y)=f(x)-f(y), 求證求證:y=f(x)是增函數(shù)是增函數(shù) 練習(xí)練習(xí)1 :已知已知y=f(x)當(dāng)當(dāng)x0時時f(x)1且且. f(x+y)=f(x)

5、+f(y)-1求證求證y=f(x)是是R上的增函數(shù)。上的增函數(shù)。 練習(xí)練習(xí)2:已知已知y=f(x) 定義域是定義域是R+,且且y=f(x)是增是增函數(shù)函數(shù), f(xy)=f(x)+f(y) (1)求證求證:f( x y )=f(x)-f(y); (2)當(dāng)當(dāng)f(3)=1時時f(a)f(a-1)+2.求求a取值范圍取值范圍; ( )()( )( ) ( )( )( ) xx f xf yf yf yy x ff xf y y ( )(1)2 ()(9) 1 9 1 0 10 9 1 8 f af a a ff a a a a a a 證明證明（）（） （）由已知得（）由已知得 練習(xí)練習(xí)3： 已知函

6、數(shù)已知函數(shù)f(x),當(dāng)當(dāng)x,yR時，恒有時，恒有 f(x+y)=f(x)+f(y) (1) 求證求證:f(x)是奇函數(shù)是奇函數(shù) （2） 如果如果xR+時，時，f(x)0，并且，并且 f(1)=-0.5,求求f(x)在區(qū)間在區(qū)間-2，6上的上的 最值最值 )(xf 21,x x )( 21 xxf)()( 21 xfxf 21 xx )()( 21 xfxf )0(f 0)(xf )( )( )( 2 1 21 xf xf xxf 練習(xí)練習(xí)4：是定義在是定義在R 上的函數(shù)，對任意的上的函數(shù)，對任意的 ，滿足，滿足，又對任意的，又對任意的 ，有，有 （）求證：對任意）求證：對任意x ，都有，都有 ； （）證明：）證明： （）求）求 的的值值 ； 練習(xí)5：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為，當(dāng)?shù)亩x域為，當(dāng)x0 時時,f(x)1;對任意的對任意的x,yR有有f(x+y)=f(x)f(y)成成 立，解不等式立，解不等式 1 () (1) fx fx 證明：證明：f(0)=0,x+y=0f(x)+f(-x)=0 -1x1x21,x1-x20(x2-1)(x1+1)0 x1x2-1x1-x2f(x2) 練習(xí)練習(xí)6：定義在定義在(-1,1)上的函數(shù)上的函數(shù)f(x),滿足滿足 ,對任意對任意x(-1,0),都有都有f(x)0