專題3.2：含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)分類討論問題的研究與拓展

1、專題3.2:含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)分類討論問題的研究與拓展【探究拓展】探究：已知函數(shù)f (x) = x2eax,a乞0(1) 討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2) 求函數(shù)f (x)在區(qū)間0,11上的最大值1 2 變式1 ：已知函數(shù)f (x) = |n xax2 - bx，2(1) 試用含有a的式子表示b ；( 2)求f (x)的單調(diào)區(qū)間.變式2 :函數(shù)y =3x2(-1乞X1)的圖像上有 A, B兩點(diǎn)，且xA ： XB, AB/X軸，其中點(diǎn)C(2,m)，其中 m 3，(1) 試寫出用點(diǎn)B的橫坐標(biāo)t表示 ABC面積S的函數(shù)解析式S = f (t)；(2) 記S的最大值為g(m),求g(m).一 . 2變式3:

2、設(shè)函數(shù)f(x)=x -(a-2)x-alnx，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.20. M1J巴2J3 （aES u ! = b- （T0）.所以函數(shù)只小的單凋増區(qū)閭為當(dāng)QO時(shí)點(diǎn)於30皤 Q*由fQOC瞬 XaC專.犧函的單調(diào)増區(qū)間為烷+Q沖調(diào)駆間為自.怡拓展 1:設(shè)函數(shù) f x =2x3 -3 a 1 x2 6ax, a R .(1) 當(dāng)a =1時(shí)，求證：f x為單調(diào)增函數(shù)；(2) 當(dāng)x 1,3 時(shí)，f x的最小值為4，求a的值.解: (1)當(dāng) a=1 時(shí)，f (x )=2x3 6x2 +6x，所以 f (x )=6x2 12x+6 = 6(x1)0 ,所以f x為單調(diào)增函數(shù).(2) f x =6

3、x -1 x a . 當(dāng)a 3時(shí)，f x在區(qū)間1,a上是減函數(shù)，最小值為 f 3，由f 3 =4，得玄二23： (舍)9綜上所述，a =2 .變式：已知函數(shù) f (x) = (m 3)x3 + 9x.(1) 若函數(shù)f (x)在區(qū)間(一g, +旳上是單調(diào)函數(shù)，求 m的取值范圍；(2) 若函數(shù)f (x)在區(qū)間1, 2上的最大值為4，求m的值.【解】(1)因?yàn)?0) = 9 0,所以f(x)在區(qū)間-：，=上只能是單調(diào)增函數(shù).由(x)= 3(m 3)x2 + 90在區(qū)間(一y, +x)上恒成立，所以 m3.故m的取值范圍是3, +m).(2)當(dāng) m3 時(shí)，f (x)在1, 2上是增函數(shù)，所以f (x)

4、 max= f =8(m 3) + 18= 4,5解得m= 4 0). + 9=0，得 x =-所以f (x)的單調(diào)區(qū)間為： 單調(diào)減，一，二C,：一迂 單調(diào)增，二，二單調(diào)減. 3 - m- 3 - m 3 - m- 3 - m 當(dāng)2，即9 0). 1 1 當(dāng) 0v mv 1 時(shí)，由 g (x) 0 得 0v xv 1 或 x：,由 g (x)v 0 得 1 vxv匸 所以函數(shù)g(x)在(0, 1)為增函數(shù)，在(1 ,十)上為減函數(shù)，在(十,+m )上為增函數(shù). 又g(1) = 0，且當(dāng)Xis時(shí)，g(x) is,此時(shí)曲線y= g(x)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn). 故0 v mv 1不合題意. W1，即 m

5、W 0 時(shí)，則1, 2二 i 3 ，:，所以 f (x)在區(qū)間1 , 2上單調(diào)減，f (x) max =3_ml 糾3_mf (1) = m + 6 = 4, m= 2.綜上所述：m= 2.拓展 2:已知函數(shù) f(x)= 2_(x 1)2 2x+ 3+ Inx , m R.(1) 當(dāng)m= 0時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2) 當(dāng)m0時(shí)，若曲線y= f(x)在點(diǎn)P(1, 1)處的切線I與曲線y= f(x)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的值.1 2x+ 1解(1)由題意知，f(x)=2x+3+ Inx,所以f(x)= 2+一=-(x0).2 分x x1 110分由f(x)0得x (0, P .

6、所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0, 1. 4分 當(dāng)m= 1時(shí)，g(x)0, g(x)在(0,+ )上為增函數(shù)，且g(1)= 0,故m= 1符合題意.1i 當(dāng) m 1 時(shí)，由 g(x)0 得 0vxv石或 x 1,由 g(x) v 0 得石1不合題意.綜上，實(shí)數(shù) m的值為m=1.變式：已知函數(shù) f(x) =1 n xax?x , ae R .(1) 若函數(shù)y = f (x)在其定義域內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍；P處的切(2) 設(shè)函數(shù)y =f (x)的圖象被點(diǎn)P(2, f (2)分成的兩部分為 sc?(點(diǎn)P除外)，該函數(shù)圖象在點(diǎn)線為I，且C1,C2分別完全位于直線I的兩側(cè)，試求所有滿足條件的

7、 a的值.212 ax + x -12解: (1) f (x) 2ax -1(x 0),只需要 2ax x -1 0 ,x111111即 2a g(2) =0 , C1,C2在直線i同側(cè)，不合題意; ，所以 a w -.x2 x x 24811(2)因?yàn)?f (x) 2ax T .所以切線 I 的方程為 y = (-4a)(-2) In24a2 .x2令 g(x) = In x -ax2 _x -(aa(x_2) I n2_4a_2，貝H g(2)=0 .! 2 211 1 2ax _(4 _)_1g (x)2ax 4a2.x2x12a(x2)(x+)若 a, g(x)復(fù),x!(|-1)2-H

8、-若a , g (x)2 0 , g(x)是單調(diào)增函數(shù),8x當(dāng) x (2, + ：)時(shí)，g(x) g(2) =0 ;當(dāng) x (0,2)時(shí)，g(x) ： g(2) =0，符合題意；10 分1 1若8，當(dāng) x (育2)時(shí)，g(x)”，g(x) g(2)當(dāng) x (2,二)時(shí)，g (x) . 0 , g(x) g(2) =0 ,不合題意;1 1若 一8亠。，當(dāng) x (2=)時(shí)，g(x)：o g(xng(2)=。,當(dāng) x (0,2)時(shí)，g (x)0 , g(x) :：: g(2) =0 ,不合題意;若 a 0，當(dāng) x (0,2)時(shí)，g(x) 0 , g(x)：g(2)=0,當(dāng) x (2.：)時(shí)，g (x

9、) : 0 , g(x) ： g(2) = 0，不合題意.1故只有a 符合題意.8拓展 3:已知函數(shù) f(x)=ln x-ax2 (2-a)x .(1) 討論f (x)的單調(diào)性；11 1(2) 設(shè) a .0 ,證明：當(dāng) 0 :x ：1 時(shí)，f(- - x) f (1 -x)；aaa(3) 若函數(shù)y =f(x)的圖像與x軸交于A, B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0,證明:f(X。)：0 .解: (1) f(x)的定義域?yàn)?0, ：), f(X)二1 _2ax (2-a)二 _ (2x 1)(ax _).xx(i)若a空0,則f (x) 7,所以f (x)在(0,=)單調(diào)增加.1(ii )若a

10、0,則由f (x) =0得x,且當(dāng)a11x (0, )時(shí)，f (x)0,當(dāng)x 時(shí)，f (x) ： 0.aa11所以f(x)在(0,)單調(diào)增加，在(_,：)單調(diào)減少.aa11(2)設(shè)函數(shù) g(x) = f( x) - f (x),則aag(x) = In(1 ax) -In(1 -ax) -2ax,32a a2a xg(x)2a r.1 +ax 1 ax1 -a x1 當(dāng) 0 x 時(shí)，g (x) .0,而g(0)=0,所以 g(x) 0.a111故當(dāng) 0 ： x 時(shí)，f ( x) f (x).aaa(3) 由(I)可得，當(dāng)a乞0時(shí)，函數(shù)y =f(x)的圖像與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn),11故a 0，從而

11、f (x)的最大值為f(),且f() .0.aa、 1 不妨設(shè) A(x.j,0), B(x2,0),0 : x- : x2,則0 : x-ix2.a211由(II )得 f(xj=f(xj .f(X1)= 0.從而aaa2x-ix21x2x(,于是 x0-.由(l)知，f (x) ： 0.a2 a拓展 4 :已知函數(shù) f(x)二 ax3 xax(a,R).(1) 若a= 1，求函數(shù)f (x)對應(yīng)曲線上平行于 x軸的所有切線的方程；f (x)1(2) 直接寫出(不需給出演算步驟)函數(shù) g(x)In x(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；x2(3) 如果存在a (-：, -1，使函數(shù)h(x) = f (x) f

12、 (x) , x -1,b，在x - -1處取得最小值，試求b的取值范圍.解：(1)由題意知,f (x) =3x2 2x -1 ,1=0，得 x - -1 或 x =-.31 f(-1) =1 ;當(dāng) x 時(shí),35 所求切線方程為y =1和y -.27由 3x2 2x -11(2)當(dāng)a 時(shí)，不存在增區(qū)間;8當(dāng)-：0時(shí)，增區(qū)間為(1辰一-1 8a)；8 “ “4a-當(dāng)0W a 1時(shí)，增區(qū)間為(一：).24a(3) h(x)二ax3 (3a 1)x2 (2 a)x a，由題意知,h(x)h(_1)在區(qū)間_1,b上恒成立,即(x 1)ax2 (2a 1)x (1 _3a)0 在區(qū)間_1,b上恒成立.當(dāng)x = -1時(shí)，上式顯然成立， b -1 ;當(dāng)_1 ：xw b時(shí)，可轉(zhuǎn)化為ax2(2a 1)x (3a) 0在區(qū)間(1,b上恒成立，令(x) =ax2 (2a 1)x (3a),由于二次函數(shù)(x)的圖象是開口向下的拋物線，故它在閉區(qū)間上的最小值必在區(qū)間端點(diǎn)處取得，又(_i)-/a 0 ,所以只要(b) 0,