立體幾何綜合訓(xùn)練題.

1、立體幾何綜合訓(xùn)練題1，底面邊長為2，E是棱BC的中點(diǎn)。1.如圖，ABCD - A1B1C1D1是正四棱柱側(cè)棱長為(1) 求證：BD1 / 平面 C1DE ;(2) 求三棱錐 D _ DC的體積.2.如圖，已知棱柱 ABCD - A1B1C1D1的底面是菱形，且AA, _面ABCD，. DAB =60；CAD = AA1 = 1, F為棱AA1的中點(diǎn)，M為線段BD1的中點(diǎn)，(I)求證：MF/面 ABCD;(n)試判斷直線mf與平面 BDD1B1的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論;(川)求三棱錐 D1 - BDF的體積.E3.如圖，在矩形ABCD中，AB二2BC , P, Q分別為線段AB,CD的中點(diǎn)，E

2、P丄平面ABCD.(I)求證：AQ /平面CEP ;(n)求證:平面AEQ丄平面DEP ;(川)若EP二AP =1,求三棱錐E -AQC的體積.C1第2頁共10頁4.如圖，在直三棱柱 ABC A1B1C1中,B1(I)求證：AC _ BC1 ；(n)A第4題圖A1第6頁共10頁5.已知ABCD是矩形，AD =4, AB =2 , E、F分別是線段AB、BC的中點(diǎn)，PA_面ABCD.證明：PF丄FD ;(2)在PA上找一點(diǎn) G ,使得EG /平面PFD .6.如圖所示，在直三棱柱 ABC - ABQ 中， ACB二90 ,AB=2 , BC =1, AA = 一3 .(I)證明：AC _平面AB

3、,G ；(n)若D是棱CCi的中點(diǎn)，在棱 AB上是否存在一點(diǎn) E , 使DE二；平面ABiCi ?證明你的結(jié)論.7.如圖所示，在長方體 ABCD -B1Ci Di中， AB二BC =i,BBi(I)求證：AiC _ BD ；(n)求三棱錐 A - BCD的體積.8.如圖，四棱錐P-ABCD的底面為矩形，側(cè)面PAD是正三角形， 且側(cè)面PAD丄底面ABCD ,E是側(cè)棱PD上一點(diǎn)，且PB /平面EAC.(I) 求證：E是PD的中點(diǎn)；第5題圖BBi AiCi(II) 求證：AE丄平面PCD.9.如圖所示，四棱錐P-ABCD底面是直角梯形，BA _ AD,CD _ AD,CD =2AB,PA _底面 A

4、BCD , E 為 PC 的中點(diǎn)。PA = AD = AB = 1。(1) 證明：EB|_平面PAD ;(2) 證明：BE _平面PDC ；(3) 求三棱錐 B-PDC的體積V。10.如圖ABCD是正方形，0是正方形的中心，P0_底面 ABCD，E是PC的中點(diǎn).求證：(1). PA/ 平面 BDE ;(2).平面PAC _平面BDE .C12.在正方體ABCD -ABQQj中，M為DD1的中點(diǎn),(I) 求證：BD1 /平面 ACM ；(II) 求證：BQ _平面ACM ;(川)求三棱錐 O -ABjM的體積.0為AC的中點(diǎn)，AB=2 .A5二ZC14如圖，在長方體ABCD - AjBjGDj

5、中，AAj = AD 二 a , AB = 2a , E、F 分別為 C1D1、AD1的中點(diǎn).(I)求證:DE _ 平面 BCE ; AF / 平面 BDE .1(n)求證:AE = EB = BC = 2 , F 為 CE 上的點(diǎn)，CB15.如圖，在四棱錐 P _ABCD中，側(cè)面PAD是正三角 形，且與底面 ABCD垂直，底面 ABCD是邊長為2的菱 形，.BAD =60， N是PB中點(diǎn)，過 A、N、D三點(diǎn)的平面 交PC于M .(I)求證：AD/MN ;(H)求證：平面 PBC丄平面 ADMN .16如圖，矩形 ABCD中，AD _平面ABE , 且BF _平面ACE .(I)求證：AE _

6、平面BCE ；(H)求證；AE /平面BFD ；(川)求三棱錐 C-BGF的體積1. (1)證明：連接DiC交DCi于F,連結(jié)EF正四棱柱，四邊形 DCCiDi為矩形，二F為DiC中點(diǎn). 在厶 CDiB 中，E 為 BC 中點(diǎn)， EF/DiB.又TDiB 二面 Ci DE, EF 二面 CiDE , BDi / 平面 CiDE .(2)連結(jié) BD , Vd_d1bc 二 Vd_dbc，T正四棱柱，二 Dq丄面 DBC.i/ DC=BC=2 , S bcd 2 2 = 2.ii22VDi _DBCS bcd DiD2 i . 二棱錐 D - Di BC 的體積為.133332.解：（i）（方法一

7、）證明：連結(jié)AC、BD交于點(diǎn)0,再連結(jié)M01 ii.0M / A,A 且 OMAA,又 AFAA, . OM /AF 且 OM 二 AF2 22.四邊形MOAF是平行四邊形，.MF/OA又 OA 面 ABCD . MF / 面 ABCD（方法二）如圖：延長DA至E,使AE = AD，連結(jié)BE,證M F|BE即可（H） AC _ 平面 BDDi Bi證明：幕底面是菱形，.AC _ BD又 BiB _面 ABCD , AC 面 ABCD.AC _, AC _ 平面 BDDi BiMF /AC MF _ 平面 ADDiAi(川)過點(diǎn)E作又EH丄AD于HA,平面 ABCD ,BH 二平面 ABCDV三

8、棱錐Di -BDF=V 三棱錐 B -DDiF =3SQdiF3BH _, BH _ 平面 BDDi Bi在R t ABHk中，.DAB =60 , AB=1,ABH =3.證明：（I ）在矩形 ABCD 中AP = PB,DQ = QC, AP 二 CQ. AQCP 為平行四邊形. CP/ AQ.CP 二平面 CEP, AQ 二平面 CEP, AQ /平面 CEP.（H ） / EP 丄平面 ABCD, AQ 二平面 ABCD, AQ 丄 EP./ AB = 2BC, P 為 AB 中點(diǎn), AP = AD.連 PQ, ADQP 為正方形. AQ 丄 DP.又 EPP DP = P, AQ 丄

9、平面 DEP.第5頁共io頁/ AQ 平面 AEQ. 平面 AEQ丄平面 DEP.（川）解： EP丄平面ABCD EP為三棱錐 E- AQC的高0第8頁共10頁所以V4.解：（1）證明:1 1111S AQC EPCQ AD EP 1113 AQC 3 266.ACB =90 , AC _ CB又在直三棱柱 ABC - ABG中，有AC _ BB1 , AC _平面BB1C1C .（n）證明：設(shè) BC1與B1C交于點(diǎn)P,連結(jié)DP。易知P是BC1的中點(diǎn)，又D是AB的中點(diǎn)。 AC1 / DP。 DP 平面 CDB1, AC平面 CDB1, AC1 /平面 CDB1 .5.解：證明：連結(jié)AF,在矩形

10、ABCD中，AD =4,AB=2 , F是線段BC的中點(diǎn)， AF丄FD . 又 PA丄面 ABCD , PA丄 FD. 平面 PAF 丄FD. PF 丄 FD.(2) 過E作EH / FD交AD于H，貝U EH /平面 PFD且AH =丄AD41再過H作HG / DP交PA于G,貝U HG /平面PFD且AG =丄AP4平面EHG /平面PFD .1 EG /平面PFD .從而滿足AGAP的點(diǎn)G為所找.46.證明：（I）： ACB =90； , BC_AC .三棱柱 ABC為直三棱柱,BC _ CC1 . AC PlCCj =C , BC _ 平面 ACC1A1 . ： AC 二平面 ACC1

11、A1 , BC _ A,C , BC 二 B1C1，則 BG _ AC .在 Rt ABC 中，AB =2 , BC = 1, AC = .3 . / A/ =畐，四邊形 ACC1A1 為 正方形.A1C1AQ AG .T B1C1 門 AC1 = C1 , AC 平面（n）當(dāng)點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn)時(shí)，DE平面AB1C1 證明如下：如圖，取BB1的中點(diǎn)F，連EF、FD、DE , D、E、F 分別為 CC1、AB、BB1 的中點(diǎn)，EF l AB .t AB1 平面 AB1C1 , EF -平面 ABC , EF 二平面 AB1C1 .同理可證FD二平面AB1C1 ./ EFI FD二F ,平面EFD

12、 平面AB1C1 . DE 二平面 EFD , DE 二平面 AB1C1 .7. (I)證明：連 AC . AB=BC , BD _ AC .T A、A _ 底面 ABCD , BD _ AA. AjA 二平面 AjAC, AC 二平面 A, AC , A, A AC = A ,- BD _ 平面 A AC . BD _ AC .11 11（n）解： A1A 平面 BCD , VA _bcdS bcd * AA|11233 238. 解：（I ）證：設(shè) AC與BD交于點(diǎn)O,連結(jié)EO. EO是平面PBD與平面EAC的交線./ PB /平面EAC, PB/ EO. 又O為AC中點(diǎn)， E為PD中點(diǎn).

13、（n ）證：由（I ）知E為PD中點(diǎn)，且 PAD為正三角形， AE丄PD .又平面 PAD丄平面 ABCD且CD 平面 ABCD , CD丄AD. CD丄平面 PAD.又AE 平面PAD , CD丄AE .由、知 AE丄平面 PCD.19. 證明：（1 ）取 PD 中點(diǎn) Q,連 EQ, AQ，則 QE CD=AB2QE LCD、CDLAB = QEABQE =AB=四邊形ABEQ是平行四邊形 =DELAQ兀譽(yù) 二BEL平面PADAQ 平面PADCD 丄 PAPA 一 平面 ABCD I 二CD _AD =CD 匚平面 ABCD JAD 門 PA=ACD丄平面PAD十=AQ丄CDAQ u 平面

14、PAD JPA = ADI!H AQ 丄 PDQ為PD的中點(diǎn)JcdC1pd= d=AQ _ 平面 PCD | 十=.:BE _ 平面 PCDbeLaq(3)Sbdc=adLdc= 2 1 2=1, Vb_pdc10. (1)連接 AC OE ACBD=O1=Vp_BDC=尹人鳥在厶PAC中，T E為PC中點(diǎn)，O為AC中點(diǎn). PA / EO ,BDCC第13頁共10頁又 EO u 平面 EBD , PA Z 平面 EBD / PA BDE .(2)T PO丄底面 ABCD 二 PO丄 BD.又 BD_AC, BD_ 平面 PAC又BD平面BDE 平面PAC_平面BDE分11.解：MN和PB的位置

15、如右圖示：（正確標(biāo)出給1分）(I)： ND / MB 且 ND = MB四邊形NDBM為平行四邊形 MN / DB3 分 NM 二平面 PDB, DB 二平面 PDB MN / 平面 PBD4 分(n)T QC _ 平面 ABCD , BD 二平面 ABCD , BD _ QC5又 BD _ AC BD _ 平面 AQC,6:AQ 面 AQC AQ _ BD ,同理可得 AQ _ PB , / BDPl PB = B（川）連結(jié)PQ交MN于點(diǎn)E,/ PE _ MN, PE _ MB, MBMN =M PE _ 平面 NMB連結(jié)BE,則.PBE為PB和平面NMB所成的角1在直角三角形PEB中 PE

16、 PB2即PB和平面NMB所成的角為3012. （I）證明：連結(jié)BD，則BD與AC的交點(diǎn)為O,7 AC , BD為正方形的對(duì)角線，故 0為BD中點(diǎn);12分 APBE=30口連結(jié)MO, ；O, M分別為DB , DD1的中點(diǎn),.OM / BD1 , OM 平面 ACM ,M5B1M，CiBD1広平面ACMDC1 /平面ACM .且AC 平面ABCD ,AC _ 平面 BDD1B1(II )； ACBD , DD1 _ 平面 ABCD ,AC _ DDj ；且 BD Pl DDj =D ,OB1 平面 BDDB ,BO AC ,連結(jié) B1M，在 B1MO 中，MO2 =12、2i； =3,BQ2

17、=22=6 , BjM22 2 .2 =9 ,2 2 2 BiM = MO BQ , 3O_OM又 OM 門 AC=O ,BQ _ 平面 AMC ；(川)求三棱錐 O - AB M的體積1 1 1VO _AB1M - VB1 _AOMOB1 S AOM =36OA OM1=1_ _62,3 =1 .3213. (1)因?yàn)檎芋w的各個(gè)頂點(diǎn)是正方體各面的中心，所以AB、2211正四棱錐E - ABCD的底面積S=AB =丄，高h(yuǎn)= .2 211111正子體體積VSh 22二3 3226(2)法一：建立空間直角坐標(biāo)系.法二：記正方體為 MNGH -M1N1G1H1,記棱MN中點(diǎn)為P , MM 1中點(diǎn)

18、為Q .則 PQ / FC , DM 1 / PQ，所以 DM 1 / FC .異面直線DE與CF所成的角即為.MQE .% 又因?yàn)?DE 二 DM 1 二 EM 1，故.M 1 DE = 60 .2異面直線DE與CF所成的角為60 .14. (I)證明：幕 BC _ 側(cè)面 CDD1C1 , DE 側(cè)面 CDD1C1 , DE _ BC ,在 CDE 中，CD= 2a,CE 二 DE = .2a，則有 CD2二 CE2DE2DEC =90 , DE _ EC , 又 BC EC 二 C DE _ 平面 BDE .1 1(n)證明：連 EF、A1C1，連 AC 交 BD 于 O ,EF一 AG , AO一 AC1,=2=2四邊形AOEF是平行四邊形， AF /OE又 OE 平面