2014高中數(shù)學(xué)抽象函數(shù)專題8頁

1、2014高三數(shù)學(xué)專題抽象函數(shù)特殊模型和抽象函數(shù)特殊模型抽象函數(shù)正比例函數(shù)f(x)=kx (k0)f(x+y)=f(x)+f(y)冪函數(shù) f(x)=xnf(xy)=f(x)f(y) 或指數(shù)函數(shù) f(x)=ax (a0且a1)f(x+y)=f(x)f(y) 對數(shù)函數(shù) f(x)=logax (a0且a1)f(xy)=f(x)+f(y) 正、余弦函數(shù) f(x)=sinx f(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函數(shù) f(x)=tanx余切函數(shù) f(x)=cotx一.定義域問題 -多為簡單函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的定義域互求。例1.若函數(shù)y = f（x）的定義域是2，2，則函數(shù)y = f（x+1）+f（x1）

2、的定義域?yàn)?。 解：f(x)的定義域是，意思是凡被f作用的對象都在 中。評析：已知f(x)的定義域是A，求的定義域問題，相當(dāng)于解內(nèi)函數(shù)的不等式問題。練習(xí)：已知函數(shù)f(x)的定義域是 ，求函數(shù) 的定義域。例2：已知函數(shù)的定義域?yàn)?，11，求函數(shù)f(x)的定義域 。評析： 已知函數(shù)的定義域是A，求函數(shù)f(x)的定義域。相當(dāng)于求內(nèi)函數(shù)的值域。練習(xí)： 1. f(x)的定義域?yàn)?，對任意正?shí)數(shù)x,y都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2 ，則 （ ）2. 。2000 .( ,原式=16)四、求解析式問題（換元法，解方程組，待定系數(shù)法，遞推法，區(qū)間轉(zhuǎn)移法，例5. 已知f(1+sinx)=2+si

3、nx+cos2x, 求f(x)解:令u=1+sinx,則sinx=u-1 (0u2),則f(u)=-u2+3u+1 (0u2)故f(x)=-x2+3x+1 (0u2)例9、已知是定義在R上的偶函數(shù)，且恒成立，當(dāng)時(shí)，則時(shí)，函數(shù)的解析式為（ D ） A B C D 解：易知T=2，當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.故選D。 五、單調(diào)性問題 （抽象函數(shù)的單調(diào)性多用定義法解決） 練習(xí)：設(shè)f(x)定義于實(shí)數(shù)集上，當(dāng)x0時(shí)，f(x)1,且對于任意實(shí)數(shù)x、y，有f(x+y)=f(x)f(y)，求證：f(x)在R上為增函數(shù)。證明：設(shè)R上x11，f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1),(注意此處不能直接得

4、大于f(x1)，因?yàn)閒(x1)的正負(fù)還沒確定) 。取x=y=0得f(0)=0或f(0)=1;若f（0）=0,令x0,y=0，則f(x)=0與x0時(shí)，f(x)1矛盾，所以f(0)=1，x0時(shí)，f(x)10,x0，f(-x)1,由，故f(x)0，從而f(x2)f(x1).即f(x)在R上是增函數(shù)。（注意與例4的解答相比較，體會解答的靈活性）例11、已知偶函數(shù)f(x)的定義域是x0的一切實(shí)數(shù)，對定義域內(nèi)的任意x1,x2都有，且當(dāng)時(shí)， （1）f(x)在(0,+)上是增函數(shù)； （2）解不等式解： （1）設(shè)，則 ，即， 在上是增函數(shù) （2），是偶函數(shù)不等式可化為，又函數(shù)在上是增函數(shù)，0，解得：練習(xí)2 定義

5、在R上的函數(shù)y=f（x），f（0）0，當(dāng)x0時(shí)，f（x）1，且對任意的a、bR，有f（a+b）=f（a）f（b）. （1）求證：f（0）=1；（2）求證：對任意的xR，恒有f（x）0；（3）求證：f（x）是R上的增函數(shù)；（4）若f（x）f（2xx2）1，求x的取值范圍.解：（1）證明：令a=b=0，則f（0）=f 2（0）.又f（0）0，f（0）=1.（2）證明：當(dāng)x0時(shí)，x0，f（0）=f（x）f（x）=1.f（x）=0.又x0時(shí)f（x）10，xR時(shí)，恒有f（x）0。（3）證明：設(shè)x1x2，則x2x10.f（x2）=f（x2x1+x1）=f（x2x1）f（x1）.x2x10，f（x2x1）1

6、.又f（x1）0，f（x2x1）f（x1）f（x1）.f（x2）f（x1）.f（x）是R上的增函數(shù)。（4）解：由f（x）f（2xx2）1，f（0）=1得f（3xx2）f（0）.又f（x）是R上的增函數(shù)，3xx20.0x3.六、奇偶性問題例13. （1）已知函數(shù)f(x)(x0的實(shí)數(shù))對任意不等于零的實(shí)數(shù)x、y都有f(xy)=f(x)+f(y)，試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性。解析：函數(shù)具備奇偶性的前提是定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，再考慮f(-x)與f(x)的關(guān)系：取y=-1有f(-x)=f(x)+f(-1),取x=y=-1有f(1)=2f(-1)，取x=y=1有f(1)=0.所以f(-x)=f(x),即f(

7、x)為偶函數(shù)。例15：設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，又。求實(shí)數(shù)的取值范圍。解析：又偶函數(shù)的性質(zhì)知道：在上減，而，所以由得，解得。（設(shè)計(jì)理由：此類題源于變量與單調(diào)區(qū)間的分類討論問題，所以本題彈性較大，可以作一些條件變換如：等；也可將定義域作一些調(diào)整）2. 定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足：對于任意的實(shí)數(shù)x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且當(dāng)x0時(shí)f(x)0恒成立.(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；(2)證明f(x)為減函數(shù)；若函數(shù)f(x)在-3，3）上總有f(x)6成立，試確定f(1)應(yīng)滿足的條件；解:（2）設(shè)任意x1，x2R且x1x2，則x2-x10，f（x2-

8、x1）0,而f（x2-x1）= f（x2）+ f（-x1）= f（x2）-f（x1）0時(shí)，0f(x)0的結(jié)論。這是解題的關(guān)鍵性步驟，完成這些要在抽象函數(shù)式中進(jìn)行。由特殊到一般的解題思想，聯(lián)想類比思維都有助于問題的思考和解決。例22.設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x),滿足當(dāng)x0時(shí),f(x)1,且對任意x,yR,有f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2解:(1)先證f(x)0,且單調(diào)遞增，因?yàn)閒(x)=f(x+0)=f(x)f(0),x0時(shí)f(x)1,所以f(0)=1.f(x)=f(x-xo)+xo=f(x-xo)f(xo)=0,與已知矛盾，故f(x)0,任取x1,x2R且x10,f(x2-x1)1,所以f(x1)-f(x2)=f(x2-x1)+x1-f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)f(x2-x1)-10. 所以xR時(shí),f(x)為增函數(shù). 解得:x|1x-1（這是使用“判別式法”時(shí)需特別注意的）。記x+1=t,(t0),此時(shí)x=t-1,設(shè)g(t)=(當(dāng)且僅當(dāng)t=1即x=0時(shí)等號成立，（注意這里的“換元”實(shí)質(zhì)是“整體化”的具體落實(shí)，將需要“整體化”的部分換成一個(gè)變量，比“湊”更具一般性也更易實(shí)施），選C。5.求參變量的取值范圍通常采用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求某函數(shù)的值域或最值；也可以整