2015年高考數(shù)學(xué)(人教A版理)一輪復(fù)習(xí)配套講義：選修4-5 第1講 不等式、含有絕對(duì)值的不等式

1、第1講不等式、含有絕對(duì)值的不等式最新考綱1理解絕對(duì)值三角不等式的代數(shù)證明和幾何意義，能利用絕對(duì)值三角不等式證明一些簡(jiǎn)單的絕對(duì)值不等式2掌握|axb|c，|axb|c，|xa|xb|c型不等式的解法.知 識(shí) 梳 理1絕對(duì)值三角不等式(1)定理1：如果a，b是實(shí)數(shù)，則|ab| |a|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)，等號(hào)成立；(2)性質(zhì)：|a|b|ab|a|b|；(3)定理2：如果a，b，c是實(shí)數(shù)，則|ac|ab|bc|，當(dāng)且僅當(dāng)(ab)(bc)0時(shí)，等號(hào)成立2絕對(duì)值不等式的解法(1)含絕對(duì)值的不等式|x|a的解法不等式a0a0a0|x|ax|axax|xa，或x0)和|axb|c(c0)型不等式的解法|a

2、xb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法法一：利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；法二：利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；法三：通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想診 斷 自 測(cè)1不等式1|x1|3的解集為_(kāi)解析數(shù)軸上的點(diǎn)到1的距離大于1且小于3的全體實(shí)數(shù)為所求解集答案(4，2)(0,2)2設(shè)ab0，下面四個(gè)不等式中，正確命題的序號(hào)是_|ab|a|；|ab|b|；|ab|ab|；|ab|a|b|.解析ab0，a，b同號(hào)，|ab|a|b|，和正確答案3不等式|x8|

3、x4|2的解集為_(kāi)解析令：f(x)|x8|x4|當(dāng)x4時(shí)，f(x)42；當(dāng)4x8時(shí)，f(x)2x122，得x5，4x5；當(dāng)x8時(shí)，f(x)42不成立故原不等式的解集為：x|x5答案x|x54(2012山東卷)若不等式|kx4|2的解集為x|1x3，則實(shí)數(shù)k_.解析|kx2|2，2kx42，2kx6.不等式的解集為x|1x3，k2.答案25已知關(guān)于x的不等式|x1|x|k無(wú)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_解析|x1|x|x1x|1，當(dāng)k1時(shí)，不等式|x1|x|k無(wú)解，故k1.答案(，1)考點(diǎn)一含絕對(duì)值不等式的解法【例1】 解不等式|x1|x2|5.解法一如圖，設(shè)數(shù)軸上與2,1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A，B，則不

4、等式的解就是數(shù)軸上到A、B兩點(diǎn)的距離之和不小于5的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)顯然，區(qū)間2,1不是不等式的解集把A向左移動(dòng)一個(gè)單位到點(diǎn)A1，此時(shí)A1AA1B145.把點(diǎn)B向右移動(dòng)一個(gè)單位到點(diǎn)B1，此時(shí)B1AB1B5，故原不等式的解集為(，32，)法二原不等式|x1|x2|5或或解得x2或x3，原不等式的解集為(，32，)法三將原不等式轉(zhuǎn)化為|x1|x2|50.令f(x)|x1|x2|5，則f(x)作出函數(shù)的圖象，如圖所示由圖象可知，當(dāng)x(，32，)時(shí)，y0，原不等式的解集為(，32，)規(guī)律方法 形如|xa|xb|c(或c)型的不等式主要有三種解法：(1)分段討論法：利用絕對(duì)值號(hào)內(nèi)式子對(duì)應(yīng)方程的根，將數(shù)軸分為

5、(，a，(a，b，(b，)(此處設(shè)ab)三個(gè)部分，在每個(gè)部分上去掉絕對(duì)值號(hào)分別列出對(duì)應(yīng)的不等式求解，然后取各個(gè)不等式解集的并集(2)幾何法：利用|xa|xb|c(c0)的幾何意義：數(shù)軸上到點(diǎn)x1a和x2b的距離之和大于c的全體，|xa|xb|xa(xb)|ab|.(3)圖象法：作出函數(shù)y1|xa|xb|和y2c的圖象，結(jié)合圖象求解【訓(xùn)練1】 解不等式|x3|2x1|1.解當(dāng)x3時(shí)，原不等式化為(x3)(12x)1，解得x10，x3.當(dāng)3x時(shí)，原不等式化為(x3)(12x)1，解得x，3x.當(dāng)x時(shí)，原不等式化為(x3)(2x1)1，解得x2，x2.綜上可知，原不等式的解集為.考點(diǎn)二含參數(shù)的絕對(duì)值

6、不等式問(wèn)題【例2】 已知不等式|x1|x3|a.分別求出下列情形中a的取值范圍(1)不等式有解；(2)不等式的解集為R；(3)不等式的解集為.解法一因?yàn)閨x1|x3|表示數(shù)軸上的點(diǎn)P(x)與兩定點(diǎn)A(1)，B(3)距離的差，即|x1|x3|PAPB.由絕對(duì)值的幾何意義知，PAPB的最大值為AB4，最小值為AB4，即4|x1|x3|4.(1)若不等式有解，a只要比|x1|x3|的最大值小即可，故a4.(2)若不等式的解集為R，即不等式恒成立，只要a比|x1|x3|的最小值還小，即a4.(3)若不等式的解集為，a只要不小于|x1|x3|的最大值即可，即a4.法二由|x1|x3|x1(x3)|4.|

7、x3|x1|(x3)(x1)|4.可得4|x1|x3|4.(1)若不等式有解，則a4；(2)若不等式的解集為R，則a4；(3)若不等式解集為，則a4.規(guī)律方法 本題中(1)是含參數(shù)的不等式存在性問(wèn)題，只要求存在滿足條件的x即可；不等式的解集為R是指不等式的恒成立問(wèn)題，而不等式的解集的對(duì)立面(如f(x)m的解集是空集，則f(x)m恒成立)也是不等式的恒成立問(wèn)題，此兩類問(wèn)題都可轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，即f(x)a恒成立af(x)max，f(x)a恒成立af(x)min.【訓(xùn)練2】 設(shè)函數(shù)f(x)|xa|3x，其中a0.(1)當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)3x2的解集；(2)若不等式f(x)0的解集為x|x1，

8、求a的值解(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)3x2可化為|x1|2.由此可得x3或x1.故不等式f(x)3x2的解集為x|x3，或x1(2)由f(x)0得|xa|3x0.此不等式化為不等式組或即或因?yàn)閍0，所以不等式組的解集為.由題設(shè)可得1，故a2.考點(diǎn)三含絕對(duì)值的不等式的應(yīng)用【例3】 (2013新課標(biāo)全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)當(dāng)a2時(shí)，求不等式f(x)1，且當(dāng)x時(shí)，f(x)g(x)，求a的取值范圍解(1)當(dāng)a2時(shí)，不等式f(x)g(x)化為|2x1|2x2|x30.設(shè)函數(shù)y|2x1|2x2|x3，則y其圖象如圖所示，由圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)x(0,2)時(shí)，y0.所以原

9、不等式的解集是x|0x2(2)當(dāng)x時(shí)，f(x)1a，不等式f(x)g(x)化為1ax3，所以xa2對(duì)x都成立，應(yīng)有a2，則a，從而實(shí)數(shù)a的取值范圍是.規(guī)律方法 含有多個(gè)絕對(duì)值的不等式，可以分別令各絕對(duì)值里的式子為零，并求出相應(yīng)的根把這些根從小到大排序，以這些根為分界點(diǎn)，將實(shí)數(shù)分成若干小區(qū)間按每個(gè)小區(qū)間來(lái)去掉絕對(duì)值符號(hào)，解不等式，最后取每個(gè)小區(qū)間上相應(yīng)解的并集【訓(xùn)練3】 (2012新課標(biāo)全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)|xa|x2|.(1)當(dāng)a3時(shí)，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范圍解(1)當(dāng)a3時(shí)，f(x)當(dāng)x2時(shí)，由f(x)3得2x53，解得x1；當(dāng)2

10、x3時(shí)，f(x)3無(wú)解；當(dāng)x3時(shí)，由f(x)3得2x53，解得x4.所以f(x)3的解集為x|x1，或x4(2)f(x)|x4|x4|x2|xa|.當(dāng)x1,2時(shí)，|x4|x2|xa|4x(2x)|xa|2ax2a.由條件得2a1且2a2，即3a0.故滿足條件的a的取值范圍是3,0.絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用【典例】 (2013福建卷)設(shè)不等式|x2|a(aN*)的解集為A，且A，A.(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)|xa|x2|的最小值審題視點(diǎn)(1)利用條件A，A，建立不等式，求a的值；(2)利用絕對(duì)值三角不等式進(jìn)行放縮求解解(1)A，A.a，且a，因此a，又aN*，從而a1.(2)由(1)知

11、，f(x)|x1|x2|，又|x1|x2|(x1)(x2)|3，當(dāng)且僅當(dāng)(x1)(x2)0，即1x2時(shí)等號(hào)成立故f(x)的最小值為3.反思感悟本題難以想到利用絕對(duì)值三角不等式進(jìn)行放縮是失分的主要原因；對(duì)于需求最值的情況，可利用絕對(duì)值三角不等式性質(zhì)定理：|a|b|ab|a|b|，通過(guò)適當(dāng)?shù)奶?、拆?xiàng)來(lái)放縮求解【自主體驗(yàn)】1若不等式|x1|x3|a對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析當(dāng)a0時(shí)，顯然成立；當(dāng)a0時(shí)，|x1|x3|的最小值為4，a4.a2.綜上可知a的取值范圍是(，0)2答案(，0)22(2012陜西卷)若存在實(shí)數(shù)x使|xa|x1|3成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析|xa|x1|(xa)(x1)|a1|，要使|xa|x1|3有解，可使|a1|3，3a13，2a4.答案2,4一、填空題1不等式|2x1|3的解集為_(kāi)解析|2x1|332x131x2.答案(1,2)2不等式|2x1|x2|0的解集為_(kāi)解析法一原不等式即為|2x1|x2|，4x24x1x24x4，3x23，1x1.原不等式解集為x|1x0時(shí)，x，得a2.(2)記h(x)f(x)2f|2x1|2x2|，則h(x)所以|h(x)|1，因此k1.故k的取值范圍是1，)12設(shè)函數(shù)f(x)|x1|xa|.(1)若a1，解不等式f(