工程問題解題技巧精編版

1、工程問題（一）顧名思義，工程問題指的是與工程建造有關(guān)的數(shù)學(xué)問題。其實(shí)，這類題目的內(nèi)容已不僅僅是工程方面的問題， 也括行路、水管注水等許多內(nèi)容。在分析解答工程問題時(shí)，一般常用的數(shù)量關(guān)系式是: 工作量二工作效率XX作時(shí)間， 工作時(shí)間二工作量坯作效率， 工作效率二工作量 坯作時(shí)間。工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用 數(shù)1表示，也可以是部分工程量，常用分?jǐn)?shù)表示。例如，工程的一半表示成孑 工程的三分 之一表示為$工作效率指的是干工作的快慢，其意義是單位時(shí)間里所干的工作量。單位時(shí)間的選取，根據(jù)題目需要，可以是天，也可 以是時(shí)、分、秒等。工作效率的單位是一個(gè)復(fù)合單位，表示成 工作量/天”或工

2、作量/時(shí)”等。但在不引起誤會(huì)的情況下，一般不寫工作效率的單位。例1單獨(dú)干某項(xiàng)工程，甲隊(duì)需100天完成，乙隊(duì)需150 天完成。甲、乙兩隊(duì)合干50天后，剩下的工程乙隊(duì)干還需多 少天？分析與解：以全部工程量為單位1。甲隊(duì)單獨(dú)干需100天， 甲的工作效率是滸同理，乙隊(duì)的工作效率是存兩隊(duì)合干的工作效率是（侖+存 由工作量=工作效率X工作時(shí)間”，50天的工作量是150x50 =56剰下的工作量是（1-由工作時(shí)間=工作量十工作效率：剩下的工 作量由乙隊(duì)干還需150=25（:天）e例2某項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需36天完成，乙單獨(dú)做需45 天完成。如果開工時(shí)甲、乙兩隊(duì)合做，中途甲隊(duì)退出轉(zhuǎn)做新的 工程，那么乙隊(duì)又做了

3、18天才完成任務(wù)。問：甲隊(duì)干了多少 天？分析：將題目的條件倒過來想，變?yōu)?乙隊(duì)先干18天，后 面的工作甲、乙兩隊(duì)合干需多少天？ ”這樣一來，問題就簡(jiǎn)單多 了。213=x 20 = 12天）c答：甲隊(duì)干了 12天。例3單獨(dú)完成某工程，甲隊(duì)需10天，乙隊(duì)需15天，丙隊(duì)需20天。開始三個(gè)隊(duì)一起干，因工作需要甲隊(duì)中途撤走了， 結(jié)果一共用了 6天完成這一工程。問：甲隊(duì)實(shí)際工作了幾天？分析與解：乙、丙兩隊(duì)自始至終工作了 6天，去掉乙、丙 兩隊(duì)6天的工作量，剩下的是甲隊(duì)干的，所以甲隊(duì)實(shí)際工作了 卩誥詩(shī)X 6誥=3（天）-例4 一批零件，張師傅獨(dú)做20時(shí)完成，王師傅獨(dú)做30 時(shí)完成。如果兩人同時(shí)做，那么完成任

4、務(wù)時(shí)張師傅比王師傅多 做60個(gè)零件。這批零件共有多少個(gè)？分析與解：這道題可以分三步。首先求出兩人合作完成需 要的時(shí)間，再求岀每小時(shí)張比王多做的零件數(shù)，60亠12兀個(gè)八最后求出這批零件的總數(shù)，”（存帶） = 300 （個(gè)）。例5 一水池裝有一個(gè)放水管和一個(gè)排水管，單開放水管5時(shí)可將空池灌滿，單開排水管7時(shí)可將滿池水排完。如果一開 始是空池，打開放水管1時(shí)后又打開排水管，那么再過多長(zhǎng)時(shí) 間池內(nèi)將積有半池水？分析與解；以滿池氷為單位1。1吋放水管可使水增加-排水管可使水 減少芻同時(shí)開時(shí)可使水増加放水管打開1吋后，池內(nèi)己經(jīng)有+ 的加 與半池水還差（丄冷），所以要達(dá)到半池水，還需呂（時(shí)兒例6甲、乙二人同

5、時(shí)從兩地出發(fā)，相向而行。走完全程甲 需60分鐘，乙需40分鐘。出發(fā)后5分鐘，甲因忘帶東西而返 回出發(fā)點(diǎn)，取東西又耽誤了 5分鐘。甲再出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間兩人 相遇？分析：這道題看起來像行程問題，但是既沒有路程又沒有 速度，所以不能用時(shí)間、路程、速度三者的關(guān)系來解答。甲出 發(fā)5分鐘后返回，路上耽誤10分鐘，再加上取東西的5分鐘, 等于比乙晚出發(fā)15分鐘。我們將題目改述一下：完成一件工 作，甲需60分鐘，乙需40分鐘，乙先干15分鐘后，甲、乙 合干還需多少時(shí)間？由此看出，這道題應(yīng)該用工程問題的解法 來解答。解（i-護(hù)斫（存（分八答：甲再出發(fā)后15分鐘兩人相遇。練習(xí)51. 某工程甲單獨(dú)干10天完成，乙單獨(dú)

6、干15天完成，他們 合干多少天才可完成工程的一半？2. 某工程甲隊(duì)單獨(dú)做需48天，乙隊(duì)單獨(dú)做需36天。甲隊(duì) 先干了 6天后轉(zhuǎn)交給乙隊(duì)干，后來甲隊(duì)重新回來與乙隊(duì)一起干了 10天，將工程做完。求乙隊(duì)在中間單獨(dú)工作的天數(shù)。3. 條水渠，甲、乙兩隊(duì)合挖需 30天完工。現(xiàn)在合挖12 天后，剩下的乙隊(duì)單獨(dú)又挖了 24天挖完。這條水渠由甲隊(duì)單 獨(dú)挖需多少天？4甲*乙二人植樹，若單獨(dú)完成則甲比乙所需的時(shí)間多！ 若兩人合干,則完成任務(wù)時(shí)乙比甲多植50棵。這批樹共有多少棵？5. 修一段公路，甲隊(duì)獨(dú)做要用40天，乙隊(duì)獨(dú)做要用24天。 現(xiàn)在兩隊(duì)同時(shí)從兩端開工，結(jié)果在距中點(diǎn) 750米處相遇。這段 公路長(zhǎng)多少米？6. 蓄

7、水池有甲、乙兩個(gè)進(jìn)水管，單開甲管需18時(shí)注滿，單 開乙管需24時(shí)注滿。如果要求12時(shí)注滿水池，那么甲、乙兩 管至少要合開多長(zhǎng)時(shí)間？7. 兩列火車從甲、乙兩地相向而行，慢車從甲地到乙地需8 時(shí)，比快車從乙地到甲地多用+的時(shí)間。女喋兩車同時(shí)開出，那么相遇時(shí)快車比慢車多行40千米。求甲、乙兩地的距離。工程問題（二）上一講我們講述的是已知工作效率的較簡(jiǎn)單的工程問題。在較復(fù)雜的工程問題中，工作效率往往隱藏在題目條件里，這 時(shí)，只要我們靈活運(yùn)用基本的分析方法，問題也不難解決。例1 一項(xiàng)工程，如果甲先做5天，那么乙接著做20天可 完成；如果甲先做20天，那么乙接著做8天可完成。如果甲、 乙合做，那么多少天可

8、以完成？分析與解：本題沒有直接給出工作效率，為了求出甲、乙的工 作效率，我們先畫出示意圖：乙如天&口天乙8天從上圖可直觀地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量。于是可用 乙 工作4天”等量替換題中 甲工作5天”這一條件，通過此替換可 知乙單獨(dú)做這一工程需用20+4=24 （天）完成，即乙的工作效率為二 又因?yàn)橐夜ぷ?天的工作量和甲工作了天的工作 24量相等，所以甲的工作效率是乙的 為存卜春甲、乙合做這一工程，需用的時(shí)間為中護(hù)命=諸（天）例2 一項(xiàng)工程，甲、乙兩隊(duì)合作需6天完成，現(xiàn)在乙隊(duì)先做7天，然后甲隊(duì)做4天，共完成這項(xiàng)工程的詈，如杲把其余的工程交給

9、乙隊(duì)單獨(dú)做，那么還要幾天才能完成？分析與解：題中沒有告訴甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)的工作效率，只知道他們合作的工作效率是,但甲、乙兩隊(duì)一天也沒有合作過。為了解決這個(gè)問題，找們把乙先做7天，甲再做4天”的過程轉(zhuǎn)化為 甲、乙合做4天，丁擊活袖做3天S這樣，就可以把合作的工作效率;用上廠 乙再單獨(dú)1o甲*乙兩隊(duì)合作4天完成的工程量是= 乙再做3天就可完成工63程量的存 由此求出乙的工作效率為（護(hù)鈔口-4）誥剩下的工程乙隊(duì)還需干（1 -）+ = 2 （天）。例3單獨(dú)完成一件工作，甲按規(guī)定時(shí)間可提前 2天完成，乙則要超過規(guī)定時(shí)間3天才能完成。如果甲、乙二人合做 2天 后，剩下的繼續(xù)由乙單獨(dú)做，那么剛好在規(guī)定時(shí)間完成

10、。問： 甲、乙二人合做需多少天完成？分析與解：乙單獨(dú)做要超過3天，甲、乙合做2天后乙繼續(xù)做，剛好按時(shí)完成，說明甲做 2天等于乙做3天，即完成這上倍件工作，乙需要的時(shí)間是甲的因?yàn)閱为?dú)做，乙比甲多用弓+ 珂天）,所以甲需曼開岸1）=（天），乙需要10+5=15 （天）。甲、乙合作需要1*（逅十去=6 （天）例4放滿一個(gè)水池的水，若同時(shí)打開1, 2 , 3號(hào)閥門，則 20分鐘可以完成；若同時(shí)打開2，3, 4號(hào)閥門，則21分鐘可 以完成；若同時(shí)打開1, 3, 4號(hào)閥門，貝S 28分鐘可以完成； 若同時(shí)打開1 , 2, 4號(hào)閥門，則30分鐘可以完成。問：如果 同時(shí)打開1 , 2, 3, 4號(hào)閥門，那么多

11、少分鐘可以完成？分析與解：同時(shí)打開1, 2, 3號(hào)閥門1分鐘，再同時(shí)打開2, 3, 4號(hào)閥門1分鐘，再同時(shí)打開1 , 3, 4號(hào)閥門1分鐘，再同時(shí)打開1 , 2, 4號(hào)閥門1分鐘，這時(shí)，1, 2, 3, 4號(hào)閥門各打開了 3分鐘，放水量等于一池水的2Q + 2)+ 2g + 3Q所以同時(shí)打開人, 3, 4號(hào)閥門，放滿一池水需l20 2128307二 1+子孑）=1+= 18 （分）*例5某工程由一、二、三小隊(duì)合干，需要8天完成；由二、 三、四小隊(duì)合干，需要10天完成；由一、四小隊(duì)合干，需 15 天完成。如果按一、二、三、四、一、二、三、四、 的順 序，每個(gè)小隊(duì)干一天地輪流干，那么工程由哪個(gè)隊(duì)最

12、后完成?分析與解：與例4類似，可求出一、二、三、四小隊(duì)的工 作效率之和是1 1 17（- + -+）-2 = .四個(gè)小隊(duì)各干了6天即24天后，還剩下工程量的5 111 ID4ol-xe = L又因?yàn)橐弧⒍?三外隊(duì)合干需8天，即一、二 三小隊(duì)各干1天完成工程量的,所以工程由三水隊(duì)最后完成。0例6甲、乙、丙三人做一件工作，原計(jì)劃按甲、乙、丙的順序每人一天輪流去做，恰好整天做完，并且結(jié)束工作的是乙。若按乙、丙、甲的順序輪流去做，則比計(jì)劃多用丄天；若按丙、甲、乙的順序輪流去做，則比原計(jì)劃多 用+天。己知甲單獨(dú)做完這件工作需要9天，那么甲、乙、丙三人一起做這 件工作，要用多少天才能完成？分析與解：把甲、

13、乙、丙三人每人做一天稱為一輪。在一輪中，無論誰先誰后，完成的總工作量都相同。所以三種順序前面若干輪完成的工作量及用的天數(shù)都相同（見下圖虛線左邊），相差的就是最后一輪（見下圖虛線右邊）。甲乙丙丙甲乙乙丙甲甲乙丙*甲丙甲乙乙丙甲Z乙由最后一輪完成的工作量相同，得到甲+乙二乙十丙+ 甲， 乙+丙+扌甲二丙+甲+乙。宀*13由式得到；丙=扌甲；由式得到：乙二扌甲&甲、乙、丙三人合 做一天等于甲做1 + | + | = | （:天），推知三人合做需用練習(xí)61甲、乙二人同時(shí)開始加工一批零件， 每人加工零件總數(shù)的一半。甲完成12任務(wù)的+時(shí)乙劑工了巧個(gè)零件，甲完成彳時(shí)乙完成了一半。問：這批零件共33有多少個(gè)?2件工程，甲*乙合做6天能完成孝 草獨(dú)做，甲完成與乙完成&所052需的時(shí)間相等。問：甲、乙單獨(dú)做各需多少天?3加工一批零件，王師傅先做 6時(shí)李師傅再做12時(shí)可完成，王師傅先做8時(shí)李師傅再做9時(shí)也可完成?，F(xiàn)在王師傅先做2時(shí)，剩下的兩人合做，還需要多少小時(shí)？4甲、乙 丙三人合修一圍墻，甲.乙合修茨傷好圍墻的$ 乙 丙合修2天修好余下的剩下的甲、丙又合修了5天才完成柯問；甲、乙 丙單4獨(dú)修各需幾天？5蓄水池有甲、乙、丙三個(gè)進(jìn)水管，甲、乙、丙管單獨(dú)灌滿一池水依次需要1