2020年高考理科數(shù)學(xué)《圓錐曲線》題型歸納與訓(xùn)練及答案(總22頁

1、2020年高考理科數(shù)學(xué)圓錐曲線題型歸納與訓(xùn)練【題型歸納】題型一 求曲線的方程例1已知，點滿足，記點的軌跡為求軌跡的方程【答案】【解析】由可知：點的軌跡是以為焦點的雙曲線的右支，由，故軌跡的方程為.【易錯點】（1）對于雙曲線的定義理解片面；（2）如果動點滿足，則點的軌跡是雙曲線。但該題已知條件中給出的是“”只能表示點的軌跡是雙曲線的右支，而不是雙曲線的全部?！舅季S點撥】利用雙曲線解題時，一定要觀察是雙曲線的全部還是部分。題型二 定值、定點問題例2已知橢圓C：1過A(2,0)，B(0,1)兩點(1)求橢圓C的方程及離心率；(2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x

2、軸交于點N，求證：四邊形ABNM的面積為定值【答案】(1)y21，e(2)2.【解析】(1)由題意得所以橢圓C的方程為y21.又c，所以離心率e.(2)證明：設(shè)P(x0，y0)(x00，y00)，則x4y4.又A(2,0)，B(0,1)，所以直線PA的方程為y(x2).令x0，得yM，從而|BM|1yM1.直線PB的方程為yx1.令y0，得xN，從而|AN|2xN2.所以四邊形ABNM的面積S|AN|BM|從而四邊形ABNM的面積為定值.【易錯點】(1)想不到設(shè)出P(x0，y0)后，利用點斜式寫出直線PA，PB的方程不會由直線PA，PB的方程求解|BM|，|AN|；(2)不知道四邊形的面積可用

3、S| AN|BM|表示；(3)四邊形ABNM的面積用x0，y0表示后，不會變形、化簡，用整體消參來求值【思維點撥】第(1)問由a2，b1，c，解第一問；第(2)問畫草圖可知ANBM，四邊形ABNM的面積為|AN|BM|，設(shè)點P(x0，y0)，得出PA，PB的方程，進而得出M，N的坐標，得出|AN|，|BM|，只需證明|AN|BM|是一個與點P的坐標無關(guān)的量即可例3已知橢圓C：1(ab0)，四點P1(1,1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三點在橢圓C上(1)求C的方程；(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A，B兩點若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1，證明：l過定點【答案】(1)y21(

4、2)(2，1)【解析】(1)因為P3，P4，所以P3，P4兩點關(guān)于y軸對稱，故由題設(shè)知橢圓C經(jīng)過P3，P4兩點又由知，橢圓C不經(jīng)過點P1，所以點P2在橢圓C上.故橢圓C的方程為y21.(2)證明：設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2.由題設(shè)知t0，且|t|0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，而k1k2.由題設(shè)k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.即(2k1)(m1)0.當且僅當m1時，0，于是l：yxm，即y1(x2)，所以l過定點(2，1). 【易錯點】(1)觀察不出P3，P4對稱，忽視對稱性導(dǎo)致判斷失誤;(2)不會用點的坐標代入方程判斷P1，P2是否在橢圓

5、上而滯做;(3)聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，計算化簡失誤而滯做;(4)利用k1k21運算變形不明確變形目標，導(dǎo)致化簡不出k，m的關(guān)系【思維點撥】第(1)問利用橢圓的性質(zhì)，易排除點P1(1,1)不在橢圓上，從而求橢圓方程；第(2)問分類討論斜率是否存在，若存在，設(shè)l：ykxm，利用條件建立k，m的等量關(guān)系，消參后再表示出直線l的方程可證明題型三最值（范圍）問題例4已知橢圓C：y21(a0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是其左、右焦點，以F1F2為直徑的圓與橢圓C有且僅有兩個交點(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)過點F1且不與坐標軸垂直的直線l交橢圓于A，B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點P，點P橫坐標的取值范

6、圍是，求線段AB長的取值范圍【答案】(1)y21(2)【解析】(1)因為以F1F2為直徑的圓與橢圓C有且僅有兩個交點，所以bc1，a，所以橢圓C的方程為y21(2)根據(jù)題意，直線A，B的斜率存在且不為0，設(shè)直線AB的方程為yk(x1)，與y21聯(lián)立，消去y并整理得(12k2)x24k2x2k220，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點為M(x0，y0)，則x1x2，x1x2，y1y2k(x11)k(x21)k(x1x22)，即M.則直線AB的垂直平分線為y，令y0，得xP，因為xP，即0，所以0k2，.1，|AB|【易錯點】運算錯誤，由于運算方法、運算技巧以及自身運算能力差，都是出

7、錯原因?！舅季S點撥】與圓錐曲線有關(guān)的取值范圍問題的三種解法：（1）數(shù)形結(jié)合法：利用待求量的幾何意義，確定出極端位置后數(shù)形結(jié)合求解（2）構(gòu)建不等式法：利用已知或隱含的不等關(guān)系，構(gòu)建以待求量為元的不等式求解（3）構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其值域題型四存在性問題例5.如圖，橢圓E：1(ab0)的離心率是，點P(0，1)在短軸CD上，且1.(1)求橢圓E的標準方程；(2)設(shè)O為坐標原點，過點P的動直線與橢圓交于A，B兩點是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由【答案】(1)1(2)3，理由見解析【解析】(1)由已知，點C，D的坐標分別為(0，b)，(0

8、，b)又點P的坐標為(0,1)，且1，于是解得a2，b.所以橢圓E的方程為1.(2)當直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為ykx1，A，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)聯(lián)立得(2k21)x24kx20.其判別式(4k)28(2k21)0，所以x1x2，x1x2.從而，x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12.所以，當1時，23.此時，3為定值當直線AB斜率不存在時，直線AB即為直線CD.此時，2.當1時，3，為定值綜上，存在常數(shù)1，使得為定值3.【思維點撥】解決是否存在常數(shù)的問題時，應(yīng)首先假設(shè)存在，看是否能求出符合條件的參數(shù)值，如果

9、推出矛盾就不存在，否則就存在。例6已知橢圓C：1(ab0)的右焦點為F2(2,0)，點P在橢圓C上(1)求橢圓C的標準方程；(2)是否存在斜率為1的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，使得|F1M|F1N|(F1為橢圓的左焦點)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由【答案】(1)1(2)不存在滿足條件的直線l【解析】(1)法一：橢圓C的右焦點為F2(2,0)，c2，橢圓C的左焦點為F1(2,0)由橢圓的定義可得2a 2，解得a，b2a2c2642.橢圓C的標準方程為1.法二：橢圓C的右焦點為F2(2,0)，c2，故a2b24，又點P在橢圓C上，則1，故1，化簡得3b44b2200，得b22

10、，a26.橢圓C的標準方程為1.(2)假設(shè)存在滿足條件的直線l，設(shè)直線l的方程為yxt，由得x23(xt)260，即4x26tx(3t26)0，(6t)244(3t26)9612t20，解得2t2.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x2，x1x2，由于|F1M|F1N|，設(shè)線段MN的中點為E，則F1EMN，故kF1E1，又F1(2,0)，E，即E，kF1E1，解得t4.當t4時，不滿足2tb0)的離心率為，點(2，)在C上(1)求C的方程；(2)直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值【答案】(1)1(

11、2)略【解析】(1)由題意有，1，解得a28，b24.所以C的方程為1(2)證明：設(shè)直線l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)將ykxb代入1，得(2k21)x24kbx2b280故xM，yMkxMb于是直線OM的斜率kOM，即kOMk.所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值2.已知動圓M恒過點(0,1)，且與直線y1相切(1)求圓心M的軌跡方程；(2)動直線l過點P(0，2)，且與點M的軌跡交于A，B兩點，點C與點B關(guān)于y軸對稱，求證：直線AC恒過定點. 【答案】(1)x24y(2)略【解析】(1)由題意，得點M與點(0,1)的距離始終等于點M

12、到直線y1的距離，由拋物線定義知圓心M的軌跡為以點(0,1)為焦點，直線y1為準線的拋物線，則1，p2.圓心M的軌跡方程為x24y(2)證明：由題知，直線l的斜率存在，設(shè)直線l：ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則C(x2，y2)，聯(lián)立得x24kx80，kAC，則直線AC的方程為yy1(xx1)，即yy1(xx1)xxx1x28，yxx2，故直線AC恒過定點(0,2)3.已知橢圓C：1(ab0)上一點P與橢圓右焦點的連線垂直于x軸，直線l：ykxm與橢圓C相交于A，B兩點(均不在坐標軸上)(1)求橢圓C的標準方程；(2)設(shè)O為坐標原點，若AOB的面積為，試判斷直線OA與OB的斜率之

13、積是否為定值？ 【答案】(1)1(2)【解析】(1)由題意知解得橢圓C的標準方程為1(2)設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(4k23)x28kmx4m2120，由(8km)216(4k23)(m23)0，得m24k23x1x2，x1x2，SOAB|m|x1x2|m|，化簡得4k232m20，滿足0，從而有4k2m2m23(*)，kOAkOB，由(*)式，得1，kOAkOB，即直線OA與OB的斜率之積為定值題型三 最值（范圍）問題1.已知平面內(nèi)一動點M與兩定點B1(0，1)和B2(0,1)連線的斜率之積等于.(1)求動點M的軌跡E的方程；(2)設(shè)直線l：yxm(m0)與軌跡E交于A，

14、B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點P，當m變化時，求PAB面積的最大值. 【答案】(1)y21(x0)(2)【解析】(1)設(shè)M的坐標為(x，y)，1分依題意得，化簡得動點M的軌跡E的方程為y21(x0)(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)聯(lián)立化簡得3x24mx2m220(x0)，有兩個不同的交點，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2，x1x2，(4m)212(2m22)0，即m且m1,0,1.設(shè)A，B的中點為C(xC，yC)，則xC，yCxCm，C，線段AB的垂直平分線方程為y，令y0，得P點坐標為 則點P到AB的距離d，由弦長公式得|AB|，SPAB，當且僅當m2，即m(，)時，等號成立，P

15、AB面積的最大值為2.已知橢圓1(ab0)離心率為，過點E(，0)的橢圓的兩條切線相互垂直. (1)求此橢圓的方程；(2)若存在過點(t,0)的直線l交橢圓于A，B兩點，使得FAFB(F為右焦點)，求t的取值范圍. 【答案】(1)1(2)【解析】(1)由橢圓的離心率e，得a2c，b2a2c23c2.不妨設(shè)在x軸上方的切點為M，x軸下方的切點為N，由橢圓的對稱性知kME1，直線ME的方程為yx， 聯(lián)立消去y，整理得7x28x2812c20，由(8)247(2812c2)0，得c1，a2，b，橢圓方程為1.(2)設(shè)l的方程為xmyt，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立消去x，整理得(3m24

16、)y26mty3t2120，則y1y2，y1y2.又(x11，y1)，(x21，y2)，(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y2(m21)y1y2(mtm)(y1y2)t22t10，(m21)(3t212)(mtm)(6mt)(t22t1)(3m24)0，化簡得7t28t89m2.要滿足題意，則7t28t89m2有解，7t28t80，解得t或t.t的取值范圍為.3.已知橢圓1(ab0)的右焦點為F，直線PQ過F交橢圓于P，Q兩點，且|PF|max|QF|min. (1)求橢圓的長軸與短軸的比值； (2)如圖，線段PQ的垂直平分線與PQ交于點M，與x軸，y軸分別交于D，E兩點，

17、求的取值范圍【答案】(1)2(2)【解析】(1)設(shè)F(c,0)，則|PF|maxac，|QF|minac，a2c2.b2c2a2，a24b2，長軸與短軸的比值為2a2b2.(2)由(1)知a2b，可設(shè)橢圓方程為1.依題意，直線PQ的斜率存在且不為0，設(shè)直線PQ的方程為yk(xc)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，聯(lián)立消去y，得(4k21)x28k2cx4k2c24b20，則x1x2，y1y2k(x1x22c)，M.MDPQ，設(shè)D(x3,0)，k1，解得x3，D.DMFDOE，的取值范圍為.題型四存在性問題1.如圖，橢圓C：1(ab0)經(jīng)過點P，離心率e，直線l的方程為x4.(1)求橢圓C的

18、方程；(2)AB是經(jīng)過右焦點F的任一弦(不經(jīng)過點P)，設(shè)直線AB與直線l相交于點M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3.問：是否存在常數(shù)，使得k1k2k3？若存在，求的值；若不存在，說明理由【答案】(1)1(2)2【解析】(1)由P在橢圓上得，1.依題設(shè)知a2c，則b23c2.代入解得c21，a24，b23.故橢圓C的方程為1.(2)由題意可設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為yk(x1)代入橢圓方程并整理，得(4k23)x28k2x4(k23)0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有x1x2，x1x2.在方程中令x4得，M的坐標為(4,3k)從而k1，k2，k3k.由于

19、A，F(xiàn)，B三點共線，則有kkAFkBF，即有k.所以k1k22k.代入得k1k22k2k1，又k3k，所以k1k22k3.故存在常數(shù)2符合題意2.已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，左頂點為A，左焦點為F1(2,0)，點B(2，)在橢圓C上，直線ykx(k0)與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點，直線AE，AF分別與y軸交于點M，N.(1)求橢圓C的方程；(2)在x軸上是否存在點P，使得無論非零實數(shù)k怎樣變化，總有MPN為直角？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由【答案】(1)1(2)P(2,0)或P(2,0)【解析】(1)設(shè)橢圓C的方程為1(ab0)，因為橢圓的左焦點為F1(2,0)，所以a2b24.由題可得橢圓的右焦點為F2(2,0)，