中考二次函數(shù)壓軸題解題通法重點中學(xué)

1、中考二次函數(shù)壓軸題 解題通法研究 二次函數(shù)在全國中考數(shù)學(xué)中常常作為壓軸題，同時在省級，國家級數(shù)學(xué)競賽 中也有二次函數(shù)大題，在宜賓市的拔尖人才考試中同樣有二次函數(shù)大題，在成都， 綿陽，瀘縣二中等地的外地招生考試中也有二次函數(shù)大題，很多學(xué)生在有限的時 間內(nèi)都不能很好完成。由于在高中和大學(xué)中很多數(shù)學(xué)知識都與函數(shù)知識或函數(shù)的 思想有關(guān)，學(xué)生在初中階段函數(shù)知識和函數(shù)思維方法學(xué)得好否，直接關(guān)系到未來 數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。所以二次函數(shù)綜合題自然就成了相關(guān)出題老師和專家的必選內(nèi)容。 我通過近6年的研究，思考和演算了上1000道二次函數(shù)大題，總結(jié)出了解決二次 函數(shù)壓軸題的通法，供大家參考。 幾個自定義概念： 三角形基本

2、模型：有一邊在 X軸或Y上，或有一邊平行于 X軸或Y軸的三 角形稱為三角形基本模型。 動點(或不確定點)坐標(biāo)“一母示” ：借助于動點或不確定點所在函數(shù)圖象 的解析式，用一個字母把該點坐標(biāo)表示出來， 簡稱“設(shè)橫表縱”。如：動點 P 在 y=2x+1 上, 就可設(shè) P (t, 2t+1 ).若動點卩在丫= 3x2 2x 1，則可設(shè)為P(t, 3t2 2t 1)當(dāng)然若動點 M在X軸上，則設(shè)為(t, 0 ).若動點M在Y軸上，設(shè)為 (0,t). 動三角形：至少有一邊的長度是不確定的，是運動變化的。或至少有一個 頂點是運動，變化的三角形稱為動三角形。 動線段：其長度是運動，變化，不確定的線段稱為動線段。

3、 定三角形：三邊的長度固定，或三個頂點固定的三角形稱為定三角形。 定直線：其函數(shù)關(guān)系式是確定的，不含參數(shù)的直線稱為定直線。 口： y = 3x 6o X標(biāo)，Y標(biāo)：為了記憶和闡述某些問題的方便，我們把橫坐標(biāo)稱為x標(biāo)，縱 坐標(biāo)稱為y標(biāo)。 直接動點：相關(guān)平面圖形(如三角形，四邊形，梯形等)上的動點稱為直 接動點，與之共線的問題中的點叫間接動點。動點坐標(biāo)“一母示”是針對直接動 點坐標(biāo)而言的 1. 求證“兩線段相等”的問題： 借助于函數(shù)解析式，先把動點坐標(biāo)用一個字母表示出來； 然后看兩線段的長度是什么距離（即是“點點”距離，還是“點軸距離” ，還 是“點線距離”，再運用兩點之間的距離公式或點到 x軸（y

4、軸）的距離公式或點 到直線的距離公式，分別把兩條線段的長度表示出來，分別把它們進行化簡，即 可證得兩線段相等。 2、“平行于y軸的動線段長度的最大值”的問題： 由于平行于y軸的線段上各個點的橫坐標(biāo)相等（常設(shè)為t），借助于兩個端點 所在的函數(shù)圖象解析式，把兩個端點的縱坐標(biāo)分別用含有字母 t 的代數(shù)式表示出 來，再由兩個端點的高低情況，運用平行于 y軸的線段長度計算公式y(tǒng)上-y下， 把動線段的長度就表示成為一個自變量為 t ，且開口向下的二次函數(shù)解析式， 利用 二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得動線段長度的最大值及端點坐標(biāo)。 3、求一個已知點關(guān)于一條已知直線的對稱點的坐標(biāo)問題： 先用點斜式（或稱 K點法）求

5、出過已知點，且與已知直線垂直的直線解析 式，再求出兩直線的交點坐標(biāo)，最后用中點坐標(biāo)公式即可。 4、“拋物線上是否存在一點，使之到定直線的距離最大”的問題 （方法 1）先求出定直線的斜率，由此可設(shè)出與定直線平行且與拋物線相 切的直線的解析式（注意該直線與定直線的斜率相等，因為平行直線斜率（ k） 相等），再由該直線與拋物線的解析式組成方程組，用代入法把字母 y 消掉， 得到一個關(guān)于x的的一元二次方程，由題有厶 二b2-4ac=0 （因為該直線與拋物 線相切，只有一個交點，所以b2-4ac=0 ）從而就可求出該切線的解析式，再把 該切線解析式與拋物線的解析式組成方程組，求出x、 y 的值，即為切點

6、坐標(biāo)， 然后再利用點到直線的距離公式， 計算該切點到定直線的距離， 即為最大距離。 （方法 2）該問題等價于相應(yīng)動三角形的面積最大問題，從而可先求出該三角 形取得最大面積時，動點的坐標(biāo)，再用點到直線的距離公式，求出其最大距離。 方法 3）先把拋物線的方程對自變量求導(dǎo)， 運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義， 當(dāng)該導(dǎo)數(shù) 等于定直線的斜率時，求出的點的坐標(biāo)即為符合題意的點，其最大距離運用點到 直線的距離公式可以輕松求出。 5. 常數(shù)問題： （ 1）點到直線的距離中的常數(shù)問題： “拋物線上是否存在一點， 使之到定直線的距離等于一個 固定常數(shù)” 的問題： 先借助于拋物線的解析式，把動點坐標(biāo)用一個字母表示出來，再利用點到

7、直線的 距離公式建立一個方程，解此方程，即可求出動點的橫坐標(biāo)，進而利用拋物線解 析式，求出動點的縱坐標(biāo)，從而拋物線上的動點坐標(biāo)就求出來了。 （2）三角形面積中的常數(shù)問題： “拋物線上是否存在一點，使之與定線段構(gòu)成的動三角形的面積等于一 個定常數(shù)”的問題： 先求出定線段的長度，再表示出動點（其坐標(biāo)需用一個字母表示）到定直線 的距離，再運用三角形的面積公式建立方程，解此方程，即可求出動點的橫坐標(biāo)， 再利用拋物線的解析式，可求出動點縱坐標(biāo)，從而拋物線上的動點坐標(biāo)就求出來 了。 （3）幾條線段的齊次冪的商為常數(shù)的問題： 用 K 點法設(shè)出直線方程，求出與拋物線（或其它直線）的交點坐標(biāo)，再運用 兩點間的距

8、離公式和根與系數(shù)的關(guān)系，把問題中的所有線段表示出來，并化解即 可。 6. “在定直線（常為拋物線的對稱軸，或 x 軸或 y 軸或其它的定直線）上是 否存在一點，使之到兩定點的距離之和最小”的問題： 先求出兩個定點中的任一個定點關(guān)于定直線的對稱點的坐標(biāo)，再把該對稱點 和另一個定點連結(jié)得到一條線段，該線段的長度應(yīng)用兩點間的距離公式計算 即為符合題中要求的最小距離，而該線段與定直線的交點就是符合距離之和最小 的點，其坐標(biāo)很易求出（利用求交點坐標(biāo)的方法） 。 7. 三角形周長的“最值 （ 最大值或最小值 ） ”問題： “在定直線上是否存在一點，使之和兩個定點構(gòu)成的三角形周長最小” 的問題（簡稱“一邊固

9、定兩邊動的問題） ： 由于有兩個定點，所以該三角形有一定邊（其長度可利用兩點間距離公 式計算），只需另兩邊的和最小即可。 “在拋物線上是否存在一點，使之到定直線的垂線，與y軸的平行線和 定直線，這三線構(gòu)成的動直角三角形的周長最大的問題（簡稱“三邊均動的問 題）： 在圖中尋找一個和動直角三角形相似的定直角三角形，在動點坐標(biāo)一母示 后，運用也=斜邊竺，把動三角形的周長轉(zhuǎn)化為一個幵口向下的拋物線來破解。 C定V斜邊定V 8. 三角形面積的最大值問題： “拋物線上是否存在一點，使之和一條定線段構(gòu)成的三角形面積最大” 的問題（簡稱“一邊固定兩邊動的問題”）： （方法1）先利用兩點間的距離公式求出定線段的

10、長度；然后再利用上面3 的方法，求出拋物線上的動點到該定直線的最大距離。最后利用三角形的面 積公式1底高。即可求出該三角形面積的最大值，同時在求解過程中， 2 切點即為符合題意要求的點。 （方法2）過動點向y軸作平行線找到與定線段（或所在直線）的交點， 從而把動三角形分割成兩個基本模型的三角形，動點坐標(biāo)一母示后，進一步 1 可得到三角形一（丫上（動）-下（動）？（x右（定）-左（定） 2，轉(zhuǎn)化為一個幵口向下的二次 函數(shù)問題來求出最大值。 “三邊均動的動三角形面積最大”的問題（簡稱“三邊均動的問題）： 先把動三角形分割成兩個基本模型的三角形（有一邊在x軸或y軸上的三角 形，或者有一邊平行于 x軸

11、或y軸的三角形，稱為基本模型的三角形）面積之差， 設(shè)出動點在x軸或y軸上的點的坐標(biāo)，而此類題型，題中一定含有一組平行線， 從而可以得出分割后的一個三角形與圖中另一個三角形相似（常為圖中最大的那 一個三角形）。利用相似三角形的性質(zhì)（對應(yīng)邊的比等于對應(yīng)高的比）可表示出分 割后的一個三角形的高。從而可以表示出動三角形的面積的一個幵口向下的二次 函數(shù)關(guān)系式，相應(yīng)問題也就輕松解決了。 9. “一拋物線上是否存在一點，使之和另外三個定點構(gòu)成的四邊形面積最大 的問題”： 由于該四邊形有三個定點，從而可把動四邊形分割成一個動三角形與一個定 三角形（連結(jié)兩個定點，即可得到一個定三角形）的面積之和，所以只需動三角

12、 形的面積最大，就會使動四邊形的面積最大，而動三角形面積最大值的求法及拋 物線上動點坐標(biāo)求法與 7 相同。 10、“定四邊形面積的求解”問題： 有兩種常見解決的方案： 方案（一）：連接一條對角線，分成兩個三角形面積之和； 方案（二）：過不在 x 軸或 y 軸上的四邊形的一個頂點，向 x 軸（或 y 軸）作 垂線，或者把該點與原點連結(jié)起來，分割成一個梯形（常為直角梯形）和一些三 角形的面積之和（或差） ，或幾個基本模型的三角形面積的和（差） 11. “兩個三角形相似”的問題： 兩個定三角形是否相似： （1）已知有一個角相等的情形： 運用兩點間的距離公式求出已知角的兩條夾邊， 看看是否成比例？若成

13、比例，則相似 ; 否則不相似。 （2）不知道是否有一個角相等的情形： 運用兩點間的距離公式求出兩個三角形 各邊的長，看看是否成比例？若成比例，則相似 ; 否則不相似。 一個定三角形和動三角形相似： （ 1）已知有一個角相等的情形： 先借助于相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把動點坐標(biāo)表示出來（一母示） ，然后把兩個目 標(biāo)三角形（題中要相似的那兩個三角形）中相等的那個已知角作為夾角，分別計 算或表示出夾角的兩邊，讓形成相等的夾角的那兩邊對應(yīng)成比例（要注意是否有 兩種情況），列出方程，解此方程即可求出動點的橫坐標(biāo)，進而求出縱坐標(biāo)，注意 去掉不合題意的點。 （2）不知道是否有一個角相等的情形： 這種情形在相似性中屬

14、于高端問題，破解方法是，在定三角形中，由各個頂 點坐標(biāo)求出定三角形三邊的長度，用觀察法得出某一個角可能是特殊角，再為該 角尋找一個直角三角形，用三角函數(shù)的方法得出特殊角的度數(shù)，在動點坐標(biāo)“一 母示”后，分析在動三角形中哪個角可以和定三角形中的那個特殊角相等，借助 于特殊角，為動點尋找一個直角三角形，求出動點坐標(biāo)，從而轉(zhuǎn)化為已知有一個 角相等的兩個定三角形是否相似的問題了，只需再驗證已知角的兩邊是否成比 例？若成比例，則所求動點坐標(biāo)符合題意，否則這樣的點不存在。簡稱“找特角， 求（動）點標(biāo)，再驗證” ?；蚍Q為“一找角，二求標(biāo)，三驗證” 。 1 2.、“某函數(shù)圖象上是否存在一點，使之與另兩個定點構(gòu)

15、成等腰三角形”的 問題： 首先弄清題中是否規(guī)定了哪個點為等腰三角形的頂點。 （若某邊底，則只有一 種情況；若某邊為腰，有兩種情況；若只說該三點構(gòu)成等腰三角形，則有三種情 況）。先借助于動點所在圖象的解析式，表示出動點的坐標(biāo)（一母示） ，按分類的 情況，分別利用相應(yīng)類別下兩腰相等，使用兩點間的距離公式，建立方程。解出 此方程，即可求出動點的橫坐標(biāo)，再借助動點所在圖象的函數(shù)關(guān)系式，可求出動 點縱坐標(biāo)，注意去掉不合題意的點（就是不能構(gòu)成三角形這個題意） 。 1 3、“某圖象上是否存在一點，使之與另外三個點構(gòu)成平行四邊形”問題： 這類問題，在題中的四個點中，至少有兩個定點，用動點坐標(biāo)“一母示”分 別設(shè)

16、出余下所有動點的坐標(biāo)（若有兩個動點，顯然每個動點應(yīng)各選用一個參數(shù)字 母來“一母示”出動點坐標(biāo)） ，任選一個已知點作為對角線的起點，列出所有可能 的對角線（顯然最多有 3 條），此時與之對應(yīng)的另一條對角線也就確定了，然后運 用中點坐標(biāo)公式，求出每一種情況兩條對角線的中點坐標(biāo)，由平行四邊形的判定 定理可知，兩中點重合，其坐標(biāo)對應(yīng)相等，列出兩個方程，求解即可。 進一步有： 若是否存在這樣的動點構(gòu)成矩形呢？先讓動點構(gòu)成平行四邊形，再驗證 兩條對角線相等否？若相等，則所求動點能構(gòu)成矩形，否則這樣的動點不存在。 若是否存在這樣的動點構(gòu)成棱形呢？先讓動點構(gòu)成平行四邊形，再驗證 任意一組鄰邊相等否？若相等，則

17、所求動點能構(gòu)成棱形，否則這樣的動點不存在。 若是否存在這樣的動點構(gòu)成正方形呢？先讓動點構(gòu)成平行四邊形，再驗 證任意一組鄰邊是否相等？和兩條對角線是否相等？若都相等，則所求動點能構(gòu) 成正方形，否則這樣的動點不存在。 1 4、“拋物線上是否存在一點，使兩個圖形的面積之間存在和差倍分關(guān)系” 的問題：（此為“單動問題” 即定解析式和動圖形相結(jié)合的問題 ，后面的 19 實 為本類型的特殊情形。 ） 先用動點坐標(biāo)“一母示”的方法設(shè)出直接動點坐標(biāo)，分別表示（如果圖 形是動圖形就只能表示出其面積）或計算（如果圖形是定圖形就計算出它的具體 面積），然后由題意建立兩個圖形面積關(guān)系的一個方程，解之即可。 （注意去掉

18、不 合題意的點） ，如果問題中求的是間接動點坐標(biāo)，那么在求出直接動點坐標(biāo)后，再 往下繼續(xù)求解即可。 1 5、“某圖形直線或拋物線上是否存在一點，使之與另兩定點構(gòu)成直角 三角形”的問題： 若夾直角的兩邊與 y 軸都不平行：先設(shè)出動點坐標(biāo)（一母示） ，視題目分類的 情況，分別用斜率公式算出夾直角的兩邊的斜率，再運用兩直線（沒有與y 軸平 行的直線）垂直的斜率結(jié)論（兩直線的斜率相乘等于 -1），得到一個方程，解之即 可。 若夾直角的兩邊中有一邊與 y 軸平行， 此時不能使用斜率公式。 補救措施是： 過余下的那一個點（沒在平行于 y 軸的那條直線上的點）直接向平行于 y 的直線 作垂線或過直角點作平行

19、于 y 軸的直線的垂線與另一相關(guān)圖象相交，則相關(guān)點的 坐標(biāo)可輕松搞定。 1 6、“某圖象上是否存在一點，使之與另兩定點構(gòu)成等腰直角三角形”的問 題。 若定點為直角頂點，先用 k 點法求出另一直角邊所在直線的解析式（如 斜率不存在，根據(jù)定直角點，可以直接寫出另一直角邊所在直線的方程） ，利用該 解析式與所求點所在的圖象的解析式組成方程組，求出交點坐標(biāo)，再用兩點間的 距離公式計算出兩條直角邊等否？若等，該交點合題，反之不合題，舍去。 若動點為直角頂點：先利用 k 點法求出定線段的中垂線的解析式，再把 該解析式與所求點所在圖象的解析式組成方程組，求出交點坐標(biāo)，再分別計算出 -1？ 該點與兩定點所在的

20、兩條直線的斜率，把這兩個斜率相乘，看其結(jié)果是否為 若為 -1 ，則就說明所求交點合題；反之，舍去。 1 7、“題中含有兩角相等，求相關(guān)點的坐標(biāo)或線段長度”等的問題： 題中含有兩角相等，則意味著應(yīng)該運用三角形相似來解決，此時尋找三角形 相似中的基本模型“ A”或“X”是關(guān)鍵和突破口。 18. “在相關(guān)函數(shù)的解析式已知或易求出的情況下，題中又含有某動圖形（常 為動三角形或動四邊形）的面積為定常數(shù)，求相關(guān)點的坐標(biāo)或線段長”的問題： （此為“單動問題” 即定解析式和動圖形相結(jié)合的問題 ，本類型實際上是 前面 14 的特殊情形。 ） 先把動圖形化為一些直角梯形或基本模型的三角形（有一邊在x軸或y軸上，

21、或者有一邊平行于 x 軸或 y 軸）面積的和或差，設(shè)出相關(guān)點的坐標(biāo)（一母示） ，按 化分后的圖形建立一個面積關(guān)系的方程，解之即可。一句話，該問題簡稱“單動 問題”，解題方法是“設(shè)點（動點）標(biāo)，圖形轉(zhuǎn)化（分割） ，列出面積方程” 。 19. “在相關(guān)函數(shù)解析式不確定（系數(shù)中還含有某一個參數(shù)字母）的情況下， 題中又含有動圖形（常為動三角形或動四邊形）的面積為定常數(shù)，求相關(guān)點的坐 標(biāo)或參數(shù)的值”的問題： 此為“雙動問題” （即動解析式和動圖形相結(jié)合的問題） 。 如果動圖形不是基本模型，就先把動圖形的面積進行轉(zhuǎn)化或分割（轉(zhuǎn)化或分 割后的圖形須為基本模型） ，設(shè)出動點坐標(biāo)（一母示） ，利用轉(zhuǎn)化或分割后的

22、圖形 建立面積關(guān)系的方程（或方程組） 。解此方程，求出相應(yīng)點的橫坐標(biāo)，再利用該點 所在函數(shù)圖象的解析式，表示出該點的縱坐標(biāo)（注意，此時，一定不能把該點坐 標(biāo)再代入對應(yīng)函數(shù)圖象的解析式，這樣會把所有字母消掉） 。再注意圖中另一個點 與該點的位置關(guān)系（或其它關(guān)系，方法是常由已知或利用（2）問的結(jié)論，從幾何 知識的角度進行判斷，表示出另一個點的坐標(biāo)，最后把剛表示出來的這個點的坐 標(biāo)再代入相應(yīng)解析式，得到僅含一個字母的方程，解之即可。如果動圖形是基本 模型，就無須分割（或轉(zhuǎn)化）了，直接先設(shè)出動點坐標(biāo)（一母式） ，然后列出面積 方程，往下操作方式就與不是基本模型的情況完全相同。 一句話， 該問題簡稱 “

23、雙 動問題”，解題方法是“轉(zhuǎn)化（分割） ，設(shè)點標(biāo)，建方程，再代入，得結(jié)論” 中考二次函數(shù)壓軸題分析 【涼山州中考】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+4與x軸，y軸分別交于 A,B,兩點，拋物線yx2 bx c經(jīng)過A,B,兩點，并與x軸交于另一點C (點C 在點A的右側(cè))，點P是拋物線上一動點 (1) 求拋物線的解析式及點 C的坐標(biāo). 若點P在第二象限內(nèi)，過點 P作PD x軸于D,交AB于點E.當(dāng)點P運動到什 么位置時，線段PE最長？此時PE等于多少？ 如果平行于x軸的動直線1與拋物線交于點Q,與直線AE交于點N,點M為 OA的中點，那么是否存在這樣的直線1,使得三角形 MON是等腰三角形？若存在，請求出點Q的坐標(biāo)；若 不存在，請說明理 【廣安市中考】在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，AB丄x軸于點 B, AB=3, tan / AOB=3