人教版高一數(shù)學(xué)必修一-第一章-知識點(diǎn)與習(xí)題講解

1、最新 料推薦必修 1 第一章集合與函數(shù)基礎(chǔ)知識點(diǎn)整理第 1 講1.1.1集合的含義與表示知識要點(diǎn) ：1. 把一些元素組成的總體叫作集合（ set），其元素具有三個(gè)特征，即確定性、互異性、無序性 .2. 集合的表示方法有兩種：列舉法，即把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“ ”括起來，基本形式為 a1, a2 , a3 ,an ，適用于有限集或元素間存在規(guī)律的無限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征來表示，基本形式為 xA | P(x) ，既要關(guān)注代表元素x，也要把握其屬性 P( x) ，適用于無限集 .3. 通常用大寫拉丁字母 A, B, C, 表示集合 . 要記住一些常見數(shù)集的表示， 如

2、自然數(shù)集 N，正整數(shù)集 N * 或 N ，整數(shù)集 Z ，有理數(shù)集 Q，實(shí)數(shù)集 R.4. 元素與集合之間的關(guān)系是屬于（ belong to）與不屬于（ not belong to），分別用符號 、表示，例如 3 N ， 2 N .例題精講 ：【例 1】試分別用列舉法和描述法表示下列集合：（1）由方程 x(x2 2 x 3) 0 的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；（2）大于 2 且小于 7 的整數(shù) .解：（1）用描述法表示為： x R | x(x22 x3)0 ；用列舉法表示為 0,1,3 .（2）用描述法表示為： xZ | 2x7 ；用列舉法表示為 3,4,5,6 .【例 2】用適當(dāng)?shù)姆柼羁眨阂阎狝 x

3、 | x3k2,k Z ， B x | x 6m1, m Z ，則有：17A； 5A；17B.解：由 3k217，解得 k5Z ，所以 17A；由 3k25 ，解得 k7Z ，所以 5A ；3B .由 6m117 ，解得 m3Z ，所以 17【例 3】試選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?（教材 P6 練習(xí)題 2， P13A 組題 4）（1）一次函數(shù) yx3 與 y2 x6 的圖象的交點(diǎn)組成的集合；（2）二次函數(shù) yx24 的函數(shù)值組成的集合；（3）反比例函數(shù) y2 的自變量的值組成的集合 .x解：（1）yx3(1,4).( x, y) |2xy6（2） y | y x24 y | y4 .（3）

4、x | y2 x | x 0 .x點(diǎn)評：以上代表元素，分別是點(diǎn)、函數(shù)值、自變量 . 在解題中不能把點(diǎn)的坐標(biāo)混淆為 1,4 ，也注意對比（ 2）與（ 3）中的兩個(gè)集合，自變量的范圍和函數(shù)值的范圍，有著本質(zhì)上不同，分析時(shí)一定要細(xì)心 .1最新 料推薦* 【例 4】已知集合 Axa a | 21有唯一實(shí)數(shù)解 ，試用列舉法表示集合 Axax22x (a 2)0 應(yīng)分以下三種情況：解：化方程 21為： xx29 ，此時(shí)的解為 x1方程有等根且不是2 ：由 =0，得 a，合42方程有一解為2 ，而另一解不是2 ：將 x2 代入得 a2 ，此時(shí)另一解 x 12 ，合方程有一解為2，而另一解不是2 ：將 x2

5、代入得 a2 ，此時(shí)另一解為x2 1 ，合綜上可知， A92, 2 ,4. 注意分式方程易造點(diǎn)評：運(yùn)用分類討論思想方法，研究出根的情況，從而列舉法表示成增根的現(xiàn)象 .第 2 講1.1.2集合間的基本關(guān)系知識要點(diǎn) ：1. 一般地，對于兩個(gè)集合 A、B，如果集合 A 中的任意一個(gè)元素都是集合 B 中的元素，則說兩個(gè)集合有 包含關(guān)系，其中集合 A 是集合 B 的子集（ subset），記作 AB （或 BA ），讀作“ A 含于 B”（或 “B 包含 A”）.2. 如果集合 A 是集合 B 的子集（ AB ），且集合 B 是集合 A 的子集（ BA ），即集合 A與集合 B 的元素是一樣的，因此集合

6、A 與集合 B 相等，記作 A B .3. 如果集合 AB ，但存在元素 xB ，且 xA ，則稱集合 A 是集合 B 的真子集（ propersubset），記作 AB（或 BA） .4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set），記作，并規(guī)定空集是任何集合的子集 .5. 性質(zhì)： AA ；若 AB ， BC ，則 AC ；若 AB A ，則 A B ；若 A BA ，則 B A .例題精講 ：【例 1】用適當(dāng)?shù)姆柼羁眨海?） 菱形 平行四邊形 ； 等腰三角形 等邊三角形 .（2） x22 0；00 ；0 ；N0.R | x解：（1） ，；（2）=， ， .【例 2】設(shè)集合 A x

7、| x n , nZ,B x | x n1, nZ ，則下列圖形能表示A 與 B 關(guān)22）.系的 A BBAABAB是（AB CD解：簡單列舉兩個(gè)集合的一些元素，A ,31,113 ,311322,0,1, , ，B, ，易知 B，故答案選A222222A另解：由 B x | x2n1，易知 BA，故答案選 A 2, n Z2最新 料推薦【例 3】若集合 Mx | x2x6 0 , N x | ax 10，且 N M ，求實(shí)數(shù) a 的值 .解：由 x2x 60x2或3 ，因此， M2,3.（ i）若 a0 時(shí)，得 N，此時(shí)， N M ；（ ii ）若 a0 時(shí)，得 N1 .若 N M ,滿足

8、12或 13 ，解得 a1 或 a1 .aaa23故所求實(shí)數(shù) a 的值為 0 或 1或 1 .23B . 從而點(diǎn)評：在考察“ AB ”這一關(guān)系時(shí)，不要忘記“” ，因?yàn)?A時(shí)存在 A需要分情況討論 . 題中討論的主線是依據(jù)待定的元素進(jìn)行 .【例 4】已知集合 A= a,a+b,a+2b ，B= a,ax,ax2.若，求實(shí)數(shù)x的值.A=Babax22解：若2bax 2a+ax -2ax=0, 所以 a(x-1)=0，即 a=0 或 x=1.a當(dāng) a=0 時(shí)，集合 B 中的元素均為 0，故舍去；當(dāng) x=1 時(shí)，集合 B 中的元素均相同，故舍去 .若 abax22ax2-ax-a=0.a2bax因?yàn)?

9、a0，所以 2x2即(x-1)(2x+1)=0.又 ，所以只有 x1.-x-1=0,x 12經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí) A=B 成立 . 綜上所述 x1 .2點(diǎn)評：抓住集合相等的定義，分情況進(jìn)行討論 . 融入方程組思想，結(jié)合元素的互異性確定集合 .第 3 講1.1.3集合的基本運(yùn)算（一）知識要點(diǎn) ：集合的基本運(yùn)算有三種，即交、并、補(bǔ)，學(xué)習(xí)時(shí)先理解概念，并掌握符號等，再結(jié)合解題的訓(xùn)練，而達(dá)到掌握的層次 . 下面以表格的形式歸納三種基本運(yùn)算如下 .概念記號符號并集交集由所有屬于集合A 或?qū)儆蓪儆诩螦 且屬于集于集合 B 的元素所組成合 B 的元素所組成的集的集合，稱為集合A 與合，稱為集合A 與 B 的B 的

10、并集（ union set）交集（ intersection set）AB （讀作“ A 并 B”）AB （讀作“ A 交 B”）AB x | xA,或 xBAB x | xA,且 xB補(bǔ)集對于集合 A,由全集 U 中不屬于集合 A 的所有元素組成的集合，稱為集合 A 相對 于 全 集 U 的 補(bǔ) 集（ complementary set）e U A （讀作“ A 的補(bǔ)集”）e U A x | xU ,且 xA圖形U表示A例題精講 ：【例 1】設(shè)集合 U R Ax| 1x5,Bx| 3x9,求ABe UAB.,()解：在數(shù)軸上表示出集合 A、B，如右圖所示：ABA B x | 3 x5 ，CU

11、 ( A B) x | x1,或 x9 ，-1359x3最新 料推薦【例 2】設(shè) A x Z | | x | 6 ， B 1,2,3 , C3,4,5,6 ，求：（1） A (BC ) ； （ 2） A eA (B C) .解： A6, 5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6.（1）又 BC 3 ， A(B C) 3 ；（2）又BC1,2,3,4,5,6，得 CA ( BC)6,5,4,3,2,1,0 . A CA (BC )6,5,4,3,2, 1,0.【例 3】已知集合 A x |2x4 ， B x | x m ，且 AB解：由 ABA ，可得 AB .在數(shù)軸上表示集合 A 與集合

12、 B，如右圖所示：B由圖形可知， m4 .點(diǎn)評：研究不等式所表示的集合問題， 常常由集合之間的關(guān)系，得到各端點(diǎn)之間的關(guān)系，特別要注意是否含端點(diǎn)的問題A ，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍 .A-24mx.【例 4】已知全集 U x | x10,且 xN* ，A 2,4,5,8，B1,3,5,8 ，求 CU ( AB) ，CU ( A B) ，( CU A) ( CU B) ， (CU A)(CU B) ，并比較它們的關(guān)系 .解：由 AB 1,2,3,4,5,8，則 CU ( AB )6,7,9 .由 A B5,8 ，則 CU ( AB)1,2,3,4,6,7,9由 CU A1,3,6,7,9 ， CU

13、B2,4,6,7,9，則 (CU A)(CU B) 6,7,9 ，(CU A) (CU B) 1,2,3,4,6,7,9 .由計(jì)算結(jié)果可以知道， (CU A)(CU B)CU ( AB) ，(CU A) (CU B) CU ( AB) .另解：作出 Venn圖，如右圖所示，由圖形可以直接觀察出來結(jié)果 .B ) ，在理解的點(diǎn)評：可用 Venn 圖研究(CU A(CU BCUAB 與 (CU A) (CU B) CU (A)()基礎(chǔ)記住此結(jié)論，有助于今后迅速解決一些集合問題.第 4 講1.1.3集合的基本運(yùn)算（二）知識要點(diǎn) ：1. 含兩個(gè)集合的 Venn 圖有四個(gè)區(qū)域，分別對應(yīng)著這兩個(gè)集合運(yùn)算的結(jié)

14、果 . 我們需通過Venn 圖理解和掌握各區(qū)域的集合運(yùn)算表示，解決一類可用列舉法表示的集合運(yùn)算. 通過圖形，我們還可以發(fā)現(xiàn)一些集合性質(zhì)：CU ( AB)(CU A)(CU B) , CU ( AB)(CU A)(CU B) .2. 集合元素個(gè)數(shù)公式：n( AB)n ( A)n( B)n (AB) .3. 在研究集合問題時(shí)， 常常用到分類討論思想、 數(shù)形結(jié)合思想等 . 也常由新的定義考查創(chuàng)新思維 .例題精講 ：【例 1】設(shè)集合 A4,2a1,a2 , B9, a5,1a ，若 AB9 ，求實(shí)數(shù) a 的值 .解：由于 A4,2 a1,a2 ,B9,a5,1a ，且 AB9 ，則有：當(dāng) 2a 19時(shí)

15、，解得 a5，此時(shí) A= 4, 9, 25 ， B=9, 0, 4 ，不合題意，故舍去；當(dāng) a29 時(shí)，解得 a3或 3 .a3時(shí)，A= 4,5,9 ，B =9, 2,2 ，不合題意，故舍去；a 3，A= 4, 7，9 ， B=9, 8, 4 ，合題意 .所以， a3 .4最新 料推薦【例 2】設(shè)集合 A x | (x3)( xa ) 0,a R ， B x | ( x 4)( x1)0 ，求 A B , AB .（教材 P14 B 組題 2）解： B1,4 .當(dāng) a3時(shí)， A3 ，則 AB1,3,4 ， AB；當(dāng) a1時(shí)， A1,3 ，則 AB1,3,4 ， AB1 ；當(dāng) a4 時(shí)， A3,

16、4，則 A B1,3,4 ， AB4 ；當(dāng) a3且 a 1且 a4時(shí)， A3, a ，則 AB 1,3,4, a ， AB.點(diǎn)評：集合 A 含有參數(shù) a，需要對參數(shù) a 進(jìn)行分情況討論 . 羅列參數(shù) a 的各種情況時(shí)，需依據(jù)集合的性質(zhì)和影響運(yùn)算結(jié)果的可能而進(jìn)行分析，不多不少是分類的原則.【例 3】設(shè)集合 A = x | x24x 0 ， B = x | x22(a 1)x a21 0 ， aR ，若 A B=B，求實(shí)數(shù) a 的值解：先化簡集合 A= 4,0 . 由 AB=B，則 BA，可知集合 B 可為，或?yàn)?0 ，或 4 ，或 4,0 .(i)若 B=，則4( a1)24(a 21) 0 ，

17、解得 a 1 ；(ii )若 0B，代入得 a21=0a =1 或 a = 1，當(dāng) a =1 時(shí)， B=A，符合題意；當(dāng) a = 1時(shí)， B=0 A，也符合題意(iii )若 4B，代入得 a 28a70a =7 或 a =1，當(dāng) a =1 時(shí)，已經(jīng)討論，符合題意；當(dāng) a =7 時(shí)， B= 12， 4 ，不符合題意綜上可得， a =1 或 a 1點(diǎn)評：此題考查分類討論的思想，以及集合間的關(guān)系的應(yīng)用 . 通過深刻理解集合表示法的轉(zhuǎn)換，及集合之間的關(guān)系， 可以把相關(guān)問題化歸為解方程的問題，這是數(shù)學(xué)中的化歸思想，是重要數(shù)學(xué)思想方法解該題時(shí)，特別容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是遺漏了A=B 和 B=的情形，從而造成錯(cuò)

18、誤這需要在解題過程中要全方位、多角度審視問題.8, x N * ，集合【例 4】對集合 A 與 B，若定義 AB x | xA, 且 x B ，當(dāng)集合 A x | xB x | x( x 2)( x 5)( x6) 0 時(shí)，有 AB =. （由教材 P12補(bǔ)集定義“集合 A 相對于全集 U 的補(bǔ)集為 CU A x | x,且 x A ”而拓展）解：根據(jù)題意可知， A 1,2,3,4,5,6,7,8 ， B0,2,5,6由定義 A B x | x A,且xB ，則AB1,3,4,7,8 .點(diǎn)評：運(yùn)用新定義解題是學(xué)習(xí)能力的發(fā)展，也是一種創(chuàng)新思維的訓(xùn)練，關(guān)鍵是理解定義的實(shí)質(zhì)性內(nèi)涵，這里新定義的含義是

19、從A 中排除 B 的元素 . 如果再給定全集U，則 AB 也相當(dāng)于 A(CU B) .第 5 講1.2.1函數(shù)的概念知識要點(diǎn) ：1. 設(shè) A、B 是非空的數(shù)集，如果按某個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f ，使對于集合 A 中的任意一個(gè)數(shù) x ，在集合 B 中都有唯一確定的數(shù) y 和它對應(yīng)，那么就稱 f ：A B 為從集合 A 到集合 B 的一個(gè)函數(shù)（ function），記作 y = f ( x) ， x A 其中， x 叫自變量， x 的取值范圍 A 叫作定義域（ domain），與 x 的值對應(yīng)的 y 值叫函數(shù)值，函數(shù)值的集合 f ( x) | xA 叫值域（ range） .2. 設(shè) a、b 是兩個(gè)實(shí)數(shù)

20、，且 ab，則： x|axb a,b 叫閉區(qū)間；x|axb (a,b)叫開區(qū)間；5最新 料推薦x|axb a,b) ， x|a1， f( 3 2 )=( 3 2 )3+( 3 2 )-3=2+ 1 = 5 ，即 ff(0)= 5 .222【例 3】畫出下列函數(shù)的圖象：（1） y | x 2 | ； （教材 P26練習(xí)題 3）（2） y | x 1| | 2x 4 | .解：（1）由絕對值的概念，有x2,x2y | x 2 |x,x.22所以，函數(shù) y| x2 | 的圖象如右圖所示 .3x3, x1（2） y | x 1| | 2 x 4 |x 5, 2x 1 ，3x3, x2所以，函數(shù) y |

21、 x 1| | 2x4|的圖象如右圖所示 .點(diǎn)評：含有絕對值的函數(shù)式，可以采用分零點(diǎn)討論去絕對值的方法，將函數(shù)式化為分段函數(shù)，然后根據(jù)定義域的分段情況，選擇相應(yīng)的解析式作出函數(shù)圖象 .【例 4】函數(shù) f (x) x的函數(shù)值表示不超過 x 的最大整數(shù)， 例如 3.54 ， 2.12 ，當(dāng) x(2.5,3 時(shí)，寫出 f (x) 的解析式，并作出函數(shù)的圖象 .3,2.5x22,2x1解： f ( x)1,1x0. 函數(shù)圖象如右：0,0x11, 1x22,2x33,x3點(diǎn)評：解題關(guān)鍵是理解符號m 的概念，抓住分段函數(shù)的對應(yīng)函數(shù)式 .7最新 料推薦第 7 講1.3.1函數(shù)的單調(diào)性知識要點(diǎn) ：1. 增函數(shù)

22、：設(shè)函數(shù) y=f(x)的定義域?yàn)?I，如果對于定義域 I 內(nèi)的某個(gè)區(qū)間 D 內(nèi)的任意兩個(gè)自變量 x1， x2，當(dāng) x1x2 時(shí)，都有 f(x1)f(x2)，那么就說 f(x)在區(qū)間 D 上是增函數(shù)（increasingfunction） . 仿照增函數(shù)的定義可定義減函數(shù).2. 如果函數(shù) f(x)在某個(gè)區(qū)間 D 上是增函數(shù)或減函數(shù)，就說 f(x)在這一區(qū)間上具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D 叫 f(x)的單調(diào)區(qū)間 . 在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是從左向右是上升的（如右圖1），減函數(shù)的圖象從左向右是下降的（如右圖 2）. 由此，可以直觀觀察函數(shù)圖象上升與下降的變化趨勢，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性 .3

23、. 判斷單調(diào)性的步驟：設(shè) x1 、x 2 給定區(qū)間，且 x1 x 2 ；計(jì)算 f(x1 ) f(x 2 ) 判斷符號下結(jié)論 .例題精講 ：【例 1】試用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)f (x)2 x在區(qū)間（ 0，1）上的單調(diào)性 .x 1解：任取 x1 , x2 (0,1)，且 x1 x2. 則 f ( x1)f ( x2 )2x12 x22( x2 x1 )x11x2 1.(x1 1)(x2 1)由于 0 x1 x2 1 ， x1 1 0 ， x21 0 ， x2x10 ，故 f ( x1 )f ( x2 ) 0 ，即 f ( x1 ) f ( x2 ) .2x所以，函數(shù)f ( x)x1在（ 0，

24、1）上是減函數(shù) .【例 2】求二次函數(shù)f (x)ax2c (a0) 的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性 .bx解：設(shè)任意 x1 , x2R，且x1x2 .則f ( x1 )f (x2 ) (ax12bx1c) (ax22bx2c)a( x12x22 ) b(x1 x2 )(x1x2 ) a( x1x2 )b .若 a 0 ， 當(dāng) x1x2b 時(shí) ， 有 x1x20 ， x1x2b ， 即 a (x1x2 ) b0 ， 從 而2aaf (x1 ) f (x2 )0 ，即 f (x1 )f ( x2 ) ，所以 f (x) 在 (,b 上單調(diào)遞增 .同理可得 f (x) 在 b, )上單調(diào)遞減 .2a2a【例 3

25、】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1） y | x 1| | 2x4 | ；（2） yx22 | x | 3 .3x3,x1解：（1） y | x 1| 2 x 4 |x5,2x1 ，其圖象如右 .3x3, x2由圖可知，函數(shù)在 2,) 上是增函數(shù)，在 (,2 上是減函數(shù) .（2） y23x22 x3,x0，其圖象如右 .x 2| x |22 x3,x0x由圖可知，函數(shù)在 (, 1 、0,1上是增函數(shù)，在 1,0、 1,) 上是減函數(shù) .點(diǎn)評：函數(shù)式中含有絕對值，可以采用分零點(diǎn)討論去絕對值的方法，將函數(shù)式化為分段函數(shù) . 第 2 小題也可以由偶函數(shù)的對稱性，先作y 軸右側(cè)的圖象，并把 y 軸右側(cè)的圖象

26、對折到左側(cè)，得到 f (| x|) 的圖象 . 由圖象研究單調(diào)性，關(guān)鍵在于正確作出函數(shù)圖象.8最新 料推薦第 8 講1.3.1函數(shù)最大（?。┲抵R要點(diǎn) ：1. 定義最大值： 設(shè)函數(shù) y f (x) 的定義域?yàn)?I ，如果存在實(shí)數(shù) M 滿足：對于任意的 x I ，都有 f (x) M；存在 x0I ，使得 f ( x0 ) = M.那么，稱 M 是函數(shù) y f ( x) 的最大值（MaximumValue）. 仿照最大值定義，可以給出最小值（Minimum Value ）的定義 .2. 配 方 法 ： 研 究 二 次 函 數(shù) y ax2bx c (a 0) 的 最 大 （ 小 ） 值 ， 先 配

27、 方 成b )22ya(x24 ac b 后，當(dāng) a 0 時(shí)，函數(shù)取最小值為4ac b ；當(dāng) a0 時(shí)，函數(shù)取最大值b 22a4a4a4ac.4a3. 單調(diào)法：一些函數(shù)的單調(diào)性，比較容易觀察出來，或者可以先證明出函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最大值或最小值 .4. 圖象法：先作出其函數(shù)圖象后，然后觀察圖象得到函數(shù)的最大值或最小值 . 例題精講 ：【例 1】求函數(shù) y6的最大值 .xx216，由 (x1) 233 ，得 068.解：配方為 y3112244( x23( x)4)422所以函數(shù)的最大值為8.【例 2】某商人如果將進(jìn)貨單價(jià)為8 元的商品按每件10 元售出時(shí)，每天可售出 10

28、0 件 . 現(xiàn)在他采用提高售出價(jià)，減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤，已知這種商品每件提價(jià) 1 元，其銷售量就要減少 10 件，問他將售出價(jià)定為多少元時(shí)，才能使每天所賺得的利潤最大？并求出最大利潤 .解：設(shè)他將售出價(jià)定為x 元，則提高了 ( x10) 元，減少了 10 ( x10) 件，所賺得的利潤為y( x8) 10010 (x 10) .即 y10x2280x160010(x 14) 2360 . 當(dāng) x14 時(shí)， ymax360.所以，他將售出價(jià)定為14 元時(shí)，才能使每天所賺得的利潤最大, 最大利潤為 360 元.【例 3】求函數(shù) y2 xx1 的最小值 .解：此函數(shù)的定義域?yàn)?,，且函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，所以當(dāng) x1時(shí)， ymin21 1 2 ，函數(shù)的最小值為 2.點(diǎn)評：形如 yaxbcxd 的函數(shù)最大值或最小值， 可以用單調(diào)性法研究，也可以用換元