數(shù)學(xué)建模(貯存)課程設(shè)計運(yùn)用微積分解決貯存問題

1、東北大學(xué)秦皇島分校數(shù)學(xué)建模課程設(shè)計報告運(yùn)用微積分解決貯存問題系 別信息與計算科學(xué)專 業(yè)學(xué) 號姓 名指導(dǎo)教師 成 績教師評語：指導(dǎo)教師簽字： 2011年7月8日1 緒 論1.1 課題的背景在實(shí)際生活中，特別是在工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理和科學(xué)研究領(lǐng)域中存在著很多優(yōu)化模型，如投資的成本最小、利潤最大問題，郵遞員的投遞路線最短問題，貨物的運(yùn)輸調(diào)度問題，風(fēng)險證劵投資中的收益最大，風(fēng)險最小問題。優(yōu)化模型大致可以分成兩大類：無約束優(yōu)化模型和約束優(yōu)化模型。無約束優(yōu)化模型即求一個函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值或最小值，這類問題往往可以使用微分的方法得到最終的結(jié)論，如一元及多元函數(shù)的最值歸結(jié)為求函數(shù)駐點(diǎn)；約束優(yōu)化模型即求函數(shù)在

2、一些條件約束下的最優(yōu)解，對于等式約束的問題，可以使用lagrange乘數(shù)法求解，但是在數(shù)學(xué)建模中得到的優(yōu)化模型往往不是等式約束問題，而是諸如不等式約束甚至更復(fù)雜的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題，這些問題需要使用matlab等科技計算軟件才能解決。數(shù)學(xué)規(guī)劃問題包括線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、非線性規(guī)劃、目標(biāo)規(guī)劃、多目標(biāo)規(guī)劃以及動態(tài)規(guī)劃等類型問題。本篇將就存貯模型具體分析，歸結(jié)為微積分中函數(shù)極值問題。2 貯存模型配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種部件，輪換生產(chǎn)不同的部件時因更換設(shè)備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)（與生產(chǎn)數(shù)量無關(guān)），同一部件的產(chǎn)量大于需求時因積壓資金、占用倉庫要付貯存費(fèi)。今已知某部件的日需求量為,生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為，存貯費(fèi)每日每件。如果生產(chǎn)

3、能力遠(yuǎn)大于需求，并且不允許缺貨，試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計劃，即多少天生產(chǎn)一次（稱為生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，可使總費(fèi)用最小。2.1 模型假設(shè) 1. 為了處理方便，考慮連續(xù)模型，即設(shè)生產(chǎn)周期和產(chǎn)量均為連續(xù)量；2. 生產(chǎn)能力為無限大（相對于需求量），當(dāng)貯存量降到零時，件產(chǎn)品立即生產(chǎn)出來供給需求，即不允許缺貨。2.2 模型建立將貯存量表示為時間的函數(shù),生產(chǎn)件，貯存量, 以需求速率遞減，直到,如圖1。圖1 不允許缺貨模型的貯存量rttoqqa顯然有 一個周期內(nèi)的貯存費(fèi)是，其中積分恰好等于圖1中三角形的面積。因?yàn)橐恢芷诘目傎M(fèi)用為 ,再注意到式，得到一周期的總費(fèi)用為 于是每天的平均費(fèi)用是 式即為這個優(yōu)化模型的

4、目標(biāo)函數(shù)。2.3 模型求解求使的最小，容易得到 代入式可得 由算出最小的總費(fèi)用為2.4 結(jié)果解釋由式，可以看到，當(dāng)準(zhǔn)備費(fèi)增加時，生產(chǎn)周期和產(chǎn)量都變大；當(dāng)準(zhǔn)備費(fèi)增加時，生產(chǎn)周期和產(chǎn)量都變??；當(dāng)需求量增加時，生產(chǎn)周期變小而產(chǎn)量變大。這些定性結(jié)果都是符合常識的。當(dāng)然，式，的定量關(guān)系憑常識是無法猜出的，只能由數(shù)學(xué)建模得到。2.5 敏感性分析討論參數(shù)，有微小變化時對生產(chǎn)周期的影響。用相對該變量衡量結(jié)果對參數(shù)的敏感程度，對的敏感度記作，定義為由式容易得到。作類似的定義并可得到。即增加，增加0.5%，而或增加，減少。，的微小變化對生產(chǎn)周期的影響是很小的。2.6 模型應(yīng)用設(shè)生產(chǎn)速率為常數(shù),銷售速率為常數(shù)，。在

5、每個生產(chǎn)周期內(nèi)，開始的一段時間一邊生產(chǎn)一邊銷售，后來的一段時間只銷售不生產(chǎn)，畫出貯存量的圖形。設(shè)每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為，單位時間每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為，以總費(fèi)用最小為目標(biāo)確定最優(yōu)生產(chǎn)周期，討論和的情況。解：由題意可得貯存量的圖形如下：k-rrttgo圖2 貯存量個的圖形貯存費(fèi)為又,貯存費(fèi)變?yōu)橛谑遣辉试S缺貨的情況下，生產(chǎn)銷售的總費(fèi)用（單位時間內(nèi)）為令 得易得函數(shù)在處取得最小值，即最優(yōu)周期為： 當(dāng)時，。相當(dāng)于不考慮生產(chǎn)的情況當(dāng)時，。此時產(chǎn)量與銷售量相抵消，無法形成貯存量。結(jié) 論當(dāng)打算用數(shù)學(xué)建模的方法來處理一個優(yōu)化問題的時候，首先要確定優(yōu)化的目標(biāo)是什么，尋求的決策是什么，決策受到哪些條件的限制（如果有限制的話），然后用數(shù)學(xué)工具（變量、常數(shù)、函數(shù)等）表示它們。當(dāng)然，在這個過程中要對實(shí)際問題作若干合理的簡化假設(shè)。最后，在用微分法求出最優(yōu)決策后，要對結(jié)果做些定性、定量的分析和必要的檢驗(yàn)。參考文獻(xiàn)1 王高雄,